變化率與導數(shù)教學教學導案

1、第三章變化率和導數(shù)3. 1. 1瞬時變化率一導數(shù)教學目標：(1)理解并掌握曲線在某一點處的切線的概念(2)會運用瞬時速度的定義求物體在某一時刻的瞬時速度和瞬時加速度理解導數(shù)概念 實際背景,培養(yǎng)學生解決實際問題的水平,進一步掌握在一點處的導數(shù)的定義及 其幾何意義,培養(yǎng)學生轉化問題的水平及數(shù)形結合思想教學過程：時速度我們是通過在一段時間內的平均速度的極限來定義的,只要知道了物體的運動方程,代入公式就可以求出瞬時速度了 .運用數(shù)學工具來解決物理方面的問題, 是不是方便多了 .所以 數(shù)學是用來解決其他一些學科,比方物理、化學等方面問題的一種工具,我們這一節(jié)課學的內容以 及上一節(jié)課學的是我們學習導數(shù)的一

2、些實際背景一、復習引入1、什么叫做平均變化率；2、曲線上兩點的連線(割線)的斜率與函數(shù) f(x)在區(qū)間xa, Xb上的平均變化率3、如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢下面我們來看一個動畫.從這個動畫可以看出,隨著點P沿曲線向點Q運動,隨著點P無限逼 近點Q時,那么割線的斜率就會無限逼近曲線在點 Q處的切線的斜率.所以我們可以用Q點處的切線的斜率來刻畫曲線在點 Q處的變化趨勢二、新課講解f(X1) - f (Xo)= ,X1 - Xo1、曲線上一點處的切線斜率不妨設P(x1, f(x 1) , Q(x0, f(x 0),那么割線PQ的斜率為kpQ設 X1 xo=4x, 那么 X1 = Ax

3、+ xo,f(Xo漢)- f(Xo) kPQ 二. ：x當點P沿著曲線向點Q無限靠近時,割線PQ的斜率就會無限逼近點 Q處切線斜率,即當 x 無限趨近于O時,kPQ = f(Xo +&X) f(Xo)無限趨近點Q處切線斜率.xI * I2、曲線上任一點Yxo, f(x o)切線斜率的求法：k = f(xo -f(xo),當x無限趨近于o時,k值即為(xo, f(x o)處切線的斜率.x3、瞬時速度與瞬時加速度(1)平均速度： 物理學中,運動物體的位移與所用時間的比稱為平均速度(2)位移的平均變化率：s(to ,&)-s(to)t(3)瞬時速度：當無限趨近于o時,s(to +N)

4、s(to)無限趨近于一個常數(shù),這個常數(shù)稱為t=to時的瞬時速度歡迎閱讀求瞬時速度的步驟：1 .先求時間改變量 &和位置改變量As = s(t0 + At) -s(to)2 .再求平土§速度v=%t3 .后求瞬時速度：當N無限趨近于0,絲無限趨近于常數(shù)v為瞬時速度t(4)速度的平均變化率：v(to +&)&)."：t(5)瞬時加速度：當At無限趨近于0時,V(to+"IV(to)無限趨近于一個常數(shù),這個常數(shù)稱為t=to：t時的瞬時加速度注：瞬時加速度是速度對于時間的瞬時變化率'.三、數(shù)學應用例1、f(x)=x 2,求曲線在x=2處的切

5、線的斜率.1變式:1.求f (x)=)過點(1,1)的切線萬程x2 .曲線y=x3在點P處切線斜率為k,當k=3時,P點的坐標為3 .曲線f(x)=3/7上的一點P(o,o)的切線斜率是否存在例2.一直線運動的物體,從時間t到t+&時,物體的位移為As,那么生為()tA.從時間t到t+&時,物體的平均速度；B.在t時刻時該物體的瞬時速度；C.當時間為與時物體的速度；D.從時間t到t+N時物體的平均速度1 C例3.自由洛體運動的包移s(m)與時間t(s)的關系為s=-gt2(1)求t=t os時的瞬時速度(2)求t=3s時的瞬時速度(3)求t=3s時的瞬時加速度點評：求瞬時速度,

6、也就轉化為求極限,瞬3.1.2導數(shù)的幾何意義(1)教學目的：1 . 了解平均變化率與割線之間的關系2 .理解曲線的切線的概率3 .通過函數(shù)的圖像理解導數(shù)的幾何意義教學重點函數(shù)切線的概念,切線的斜率,導數(shù)的幾何意義教學難點理解導數(shù)的幾何意義教學過程練習練習注思3.2 . 3導數(shù)的幾何意義(2)教學目標：理解導數(shù)概念.掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)定義及求法.掌握函數(shù)的導數(shù)的求法.教學重點：導數(shù)的概念及其求法.及幾何意義.教學難點：對導數(shù)概念的理解.教學過程：復習引入1 .函數(shù)的導數(shù)值函數(shù)y=f(x),如果自變量x在X0處有增量x,那么函數(shù)y相應地有增量 y = f(X0+?x) f(X0).比值型就叫做

7、函數(shù)y = f(x)在Xo到Xo+次之間的平均變化率,即 Ay =f(Xo+Ax)- f(x0)LXLXLX如果當Ax-0時,絲有極限,我們就說函數(shù)y=f(x)在點X0處可導,并把這個極限叫做f(x) LX在X0處的導數(shù)(或變化率)記作f ' (X.)或y'|xT,即X 'X 0(X0)二Ly . lim = lim , X0 X.X0f(XoX)- f(X0)X2 .函數(shù)y = f(x)的導函數(shù)如果函數(shù)在開區(qū)間(a, b)內每點處都有導數(shù),對于每一個 X0 (a, b),都對應著一個確定的導數(shù)f ?(x0).從而構成一個新的函數(shù)f ?(x).稱這個函數(shù)為函數(shù)y = f

8、(x)在開區(qū)問 內的導函數(shù).簡稱導數(shù).也可記作 y：.3 .導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點X0處的導數(shù)的幾何意義,就是曲線 y=f(x)在點P(X0, f(x0)處的切線的 斜率.也就是說,曲線y = f(x)在點P (x°, f(xO)處的切線的斜率是f ' (&).切線方程為yy0= f ' (X0) ( X0- X0).練習：1,當自變量從X0變到xi時,函數(shù)值的增量與相應自變量的增量之比是函數(shù)( A )A.在區(qū)間X0, Xi上的平均變化率B.在X0處的變化率C.在Xi處的導數(shù)D.在區(qū)間X0, Xi上的導數(shù)4 .以下說法正確的選項是(C )A.假設f

9、 '(刈不存在,那么曲線y = f ( x)在點(X0, f ( X0)處就沒有切線B.假設曲線y = f ( x)在點(X0, f ( X0)處看切線,那么f ' ( X0)必存在C.假設f ' ( X0)不存在,那么曲線y = f ( x)在點(X0, f ( X0)處的切線斜率不存在D.假設曲線y = f ( x)在點(X0, f ( X0)處的切線斜率不存在,那么曲線在該點處就沒有切線185 .曲線y=X上一點P(2,), ,33求點P處的切線的斜率； 點P處的切線的方程.1 3 X 3_13y3(XX) 一y = lim 二 lim =-Rm3X2+3xAx+

10、(Ax)2 = x2, y=22 =4.點 P處的切線的斜率等于 4. 3-0XA,X-x 0 X X8在點P處的切線的萬程是y-=4(x-2), 即12x 3y 16=0.新課講授：例1.教材例2.例2.教材例3.練習：甲、乙二人跑步的路程與時間關系以及百米賽跑路程和時間關系分別如圖,試問(1)甲、乙二人哪一個跑得快(2)甲、乙二人百米賽跑,問快到終點時,誰跑得較快解：(1)乙跑的快；(2)乙跑的快.例3.教材P10面第5題例4.教材P11面第3題.例5.：曲線y =x2 -1與y = x3 +1在x0處的切線互相垂直,求的值.例6.點M(0,-1), F (0, 1),過點M的直線l與曲線

11、yx34x+4在x = -2處的切線平3行.(1)求直線l的方程；(2)求以點F為焦點,l為準線的拋物線C的方程.解：(1) ; f (名嚶舊十爐戶=0.直線1的斜率為0,其方程為y = -1.(2) 拋物線以點F (0, 1)為焦點,y = -1為準線.設拋物線的方程為x2 = 2 py,那么-=1, P =2 . 2故拋物線C的方程為x2 = 4 y.課堂小結導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義,就是曲線 y=f(x)在點P (x0, f(x0)處的切線的 斜率.也就是說,曲線y = f(x)在點P (x0, f(x0)處的切線的斜率是f ' 0).切線方程為

12、yy0= f '(x0)( x0 x0).課后作業(yè)3. 2. 4.導數(shù)與導函數(shù)的概念教學目標：1、知識與技能：理解導數(shù)的概念、掌握簡單函數(shù)導數(shù)符號表示和求解方法；理解導數(shù)的幾何意義；理解導函數(shù)的概念和意義；2、過程與方法：先理解概念背景,培養(yǎng)解決問題的水平；再掌握定義和幾何意義,培養(yǎng)轉化問題 的水平；最后求切線方程,培養(yǎng)轉化問題的水平3、情感態(tài)度及價值觀；讓學生感受事物之間的聯(lián)系,體會數(shù)學的美.教學重點：1 、導數(shù)的求解方法和過程；2、導數(shù)符號的靈活運用教學難點：1、導數(shù)概念的理解；2、導函數(shù)的理解、熟悉和運用教學過程歡迎閱讀一、情境引入在前面我們解決的問題：1、求函數(shù)f(x)=x2在

13、點(2, 4)處的切線斜率.包J2+Ax).f(x)取,故斜率為4 LXLX2、直線運動的汽車速度 V與時間t的關系是V =t2 -1 ,求t =t.時的瞬時加速度.=v(to +&)-v(to)=2to十人 ,故瞬時加速度為2tt.立I / _二、知識點講解上述兩個函數(shù)f(x)和V(t)中,當Ax(At)無限趨近于0時,型(電)都無限趨近于一個常數(shù). t x歸納：一般的,定義在區(qū)間(a , b )上的函數(shù)f(x) , xo w (a, b),當Ax無限趨近于 0時,生=f(xo+Ax)-f(xo)無限趨近于一個固定的常數(shù) a,那么稱f(x)在x = x.處可導,并稱A為f(x)在 x

14、xx =x0處的導數(shù),記作f ' (x.)或f '( x) |x40 ,上述兩個問題中：(1) f 1(2) = 4 , (2) V'(to) =2to三、幾何意義：我們上述過程可以看出f (x)在x = x0處的導數(shù)就是f (x)在x = x0處的切線斜率. .! 二一一一四、例題選講例1、求以下函數(shù)在相應位置的導數(shù) 力、十二二一一_2(1) f(x)=x +1, x = 2(2) f(x)=2x-1, x = 2(3) f (x) =3, x=2例1、函數(shù)f(x)滿足f '(1) = 2 ,那么當x無限趨近于0時, f(1 x)-f(1)=2x(2)f(1

15、2x)-f(1) x變式：設f(x)在x=xo處可導,(3) f(x0 , f(x0 -4"x)- f(x0)無限趨近于 1,那么 f,(x0) = x&x) f(x0)無限趨近于 1,那么 >(xo) = x(5)當Ax無限趨近于0, f(Xo +21刈- f(x0 -2知 所對應的常數(shù)與f,(x0)的關系.x總結：導數(shù)等于縱坐標的增量與橫坐標的增量之比的極限值.例 3、假設 f (x) =(x -1)2 ,求 f '(2)和(f (2)'注意分析兩者之間的區(qū)別.例4:函數(shù)f(x)=Vx,求f(x)在x = 2處的切線.導函數(shù)的概念涉及：f(x)的對于

16、區(qū)間(a,b)上任意點處都可導,那么f(x)在各點的導數(shù)也隨x的變化而變化,因而也是自變量 x的函數(shù),該函數(shù)被稱為f(x)的導函數(shù),記作f '(x).五、小結與作業(yè)例 2、 f(x) =x2 2(1)求f (x)在x =1處的導數(shù)；(2)求f (x)在x =a處的導數(shù).補充：點M(0,-1),F(0,1), 過點M的直線l1 O與曲線y = x -4x+4在x =-2處的切線平行.3求直線l的方程；(2)求以點F為焦點,l為準線的拋物線C的方程.3. 3. 1常見函數(shù)的導數(shù)一、教學目標：掌握初等函數(shù)的求導公式；二、教學重難點：用定義推導常見函數(shù)的導數(shù)公式.一、復習1、導數(shù)的定義；2、導

17、數(shù)的幾何意義；3、導函數(shù)的定義；4、求函數(shù)的導數(shù)的流程圖.(1)求函數(shù)的改變量 Ay = f (x + Ax) - f (x)(2)求平均變化率y1= f(x+Ax) f(x) xx(3)取極限,得導數(shù)y/= f'(x) =鳴詈本節(jié)課我們將學習常見函數(shù)的導數(shù).首先我們來求下面幾個函數(shù)的導數(shù). 23(1)、y=x (2)、y=x(3)、y=x問題：y=x,y=x, y=x 呢問題：從對上面幾個幕函數(shù)求導,我們能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎二、新授1、根本初等函數(shù)的求導公式：(x)=1(x3) =3x2 kx+b,=k k,b 為常數(shù) C = 0 C為常數(shù)x =2x116=xx由你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律a為常

18、數(shù) (ax) =axln a (a 0, a =1)11一 (logax) logae (a 0,且 a=1) xxlnax . x ,一、.1(11) (e ) =e (12) (lnx) =(13) (sinx) = cosx (14) (cosx) = sinxx從上面這一組公式來看,我們只要掌握幕函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)的求導就可以了 例1、求以下函數(shù)導數(shù).(1) y=x,(2) y =4x(3) y = x1'xVx/一.,豆.、小、n(4) y = log 3 x (5) y=sin( 一+x) (6) y=sin一23(7) y=cos(2 九一x)(8) y=f&#

19、39;(1)例2:點P在函數(shù)y=cosx上,0< x<2：t ,在P處的切線斜率大于0,求點P的橫坐標的取 值范圍.1 例3.右直線y = -x +b為函數(shù)y =一圖象的切線,求b的值和切點坐標.變式1.求曲線y=x2在點1,1處的切線方程.總結切線問題：找切點 求導數(shù) 得斜率變式2:求曲線y=x2過點0,-1的切線方程變式3:求曲線y=x例3.曲線y = x上有兩點A 1, 1, B 2, 2. 求：1割線AB的斜率；2在1 ,1+ x內的平均變化率；過點1,1的切線方程I I變式4:直線y = x -1,點P為y=x2上任意一點,求P在什么位置時到直線距離最短.練習求以下函數(shù)的

20、導數(shù)：2（1） y = x3點A處的切線的斜率；4點A處的切線方程； y=x6；3 y = 4；4 y = 3x.5 y= i=xx 1 一 2 ,例2.求曲線y =一和y = x在它們交點處白兩條切線與 x軸所圍成的三角形的面積.x歡迎閱讀例4.求拋物線y = x2上的點到直線xy2=0的最短距離.三、小結(1)根本初等函數(shù)公式的求導公式(2)公式的應用3. 4. 1根本初等函數(shù)的導數(shù)及導數(shù)的運算法那么(1)一、教學目標：掌握八個函數(shù)求導法那么及導數(shù)的運算法那么并能簡單運用.二、教學重點：應用八個函數(shù)導數(shù)求復雜函數(shù)的導數(shù).教學難點：商求導法那么的理解與應用.三、教學過程：(一)新課1 . P

21、14面根本初等函數(shù)的導數(shù)公式(見教材)2 .導數(shù)運算法那么：(1) .和(或差)的導數(shù)法那么1 兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差),即(u±v) ?= u吐v?.-例1求y=x3 + sin X的導數(shù).解：y' =(x3)' + (sin x)' =3x2+cosx.例2求y=x4 x2 x + 3的導數(shù).解：y' =4x3 2x 1.(2) .積的導數(shù)法那么2兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù),即 ( uv) ?= u?v + uv?.由此可以得出 (Ci) ?= C ?u

22、+ Cu? = 0+ Cu? = Cu? .也就是說,常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù),等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù),即 (CD?=Cu?.例 3 求 y=2x33x2+ 5x-4 的導數(shù).解：y' =6x2 6x + 5. 2例 4 求 y=(2x+3) (3 x2)的導數(shù).解：y' =(2x2 + 3)'(3x 2)+(2x2+ 3)(3 x-2)' =4x(3x 2) + (2x2 + 3) 3= 18x2 8x + 9.或：y = 6x3 - 2x2 + 9x - 6 , y'=18x2-4x + 9練習1 .填空：(3 x2+1)(4x2 3) ' =(

23、6_ )(4 x2-3)+ (3 x2+1)( 8 x )；(x3sinx)'=( 3 )x2 - sin x + x3 ( cosx ).2 .判斷以下求導是否正確,如果不正確,加以改正：(3 +x2)(2 x3) ' = 2x(2 x3) + 3x2(3 + x2).(3 +x2)(2 x3) ' = 2x(2 x3) 3x2(3 +x2).3 .求以下函數(shù)的導數(shù)：(1) y = 2x3+3x2 5x + 4；(2) y = ax3 bx+c；(3) y=sinxx+1；22x(4) y = (3x +1)(2 x) ；(5) y=(1+x)cosx；(6) y =

24、 2 cosx 310g2x例 5.函數(shù) f (x) =x2(x1),假設 f ' (xo) =f (xo),求 xo的值.(3)商的導數(shù)例6,求以下函數(shù)的導數(shù)sin x sinx(1) y = xtanx (2) y = (3) y =1 cosx10g2 x歡迎閱讀練習：求以下函數(shù)的導數(shù)(1)5十3x(2) y u xtanx - cosx例7.求函數(shù)y = xsin xcosx的導數(shù)思考：設 f (x) =x(x+1) ( x+2)(x+n),求 f ' (0).練習.函數(shù) f (x) =x(x 1)(A. 0 B. 1002(三)課堂小結1 .和(或差)的導數(shù)2 .積的

25、導數(shù)(四)課后作業(yè)x-2)( x-3)100)在x = 0處的導數(shù)值為( C. 200 D. 100!( u 土 v) ?= u?± v?. uv) ?= u?v+ uv?.3. 4. 2函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)教學目的：1 .理解兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù)法那么,學會用法那么求一些函數(shù)的導數(shù).2 .理解兩個函數(shù)的積的導數(shù)法那么,學會用法那么求乘積形式的函數(shù)的導數(shù)3 .能夠綜合運用各種法那么求函數(shù)的導數(shù)教學重點：用定義推導函數(shù)的和、差、積、商的求導法那么教學難點：函數(shù)的積、商的求導法那么的推導.授課類型：新授課教學過程：一、復習引入：常見函數(shù)的導數(shù)公式：C'=0; (kx+

26、b)' =k(k,b 為常數(shù))(xn)' = nxn,；(ax)'= ax ln a(a > 0,且 a=0)(sin x)'= cosx ;(cosx)'=-sin x二、講解新課：例1.求y = x2 +x的導數(shù).法那么1 兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差),即l-f (x) -g(x) 1' = f '(x) -g'(x)法那么2常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù),等于常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù).bf(x)'=cf(x)'法那么3兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函

27、數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù),即 f (x)g(x)卜=f'(x)g(x) f (x)g'(x)證實：令y = f (x)g(x),那么y 二 f(x x) g (x：x) - f (x)g (x)=f (x +Ax) g(x +Ax)- f (x) g(x +Ax)+ f (x) g(x + Ax)- f (x)g(x),y f (x . ：x) -f(x)g(x ：x) -g(x)一 二g(x . ：x) + f(x)二 xlxlx由于g(x)在點x處可導,所以它在點x處連續(xù),于是當Axt 0時,g(x + Ax)T g(x),y . f(x x)-f(x)g(xx)_g(x)從

28、而 lim = lim g(x：, x)+ f(x) lim -4 x0 Lx40,xJ0Lx=f '(x)g(x) f(x)g'(x),法那么4兩個函數(shù)的商的導數(shù),等于分子的導數(shù)與分母的積,減去分母的導數(shù)與分子的積,再除以 分母的平方,即三、講解范例：例1求以下函數(shù)的導數(shù)1、y=x2+sin x 的導數(shù).二一2、求y = (2x2 +3)(3x-2)的導數(shù).(兩種方法)t2 13、求以下函數(shù)的導數(shù)h(x)=xsinx s(t)=t4、y=5x10sin x 2 4cosx 9,求 y'2x5、求y=的導數(shù).sin xx 3 .變式：(1)求y=-在點x=3處的導數(shù).x

29、2 3 iJ . I I- I(2)求 y= cosx 的導數(shù). x ' . . , ./ , 1.例2求y=tan x的導數(shù).例3求滿足以下條件的函數(shù)f (x)(1) f (x)是三次函數(shù),且 f(0) =3, f'(0) =0, f '(1)=3, f '(2) =0(2) f'(x)是一次函數(shù),x2f '(x) -(2x-1)f(x) =1變式：函數(shù)f(x)=x 3+bx2+cx+d的圖象過點P(0,2),且在點M處(-1 , f(-1)處的切線方程為 6x-y+7=0 ,求函數(shù)的解析式四、課堂練習：1.求以下函數(shù)的導數(shù)：(1)y二a二(2

30、) y=J2 (3) y=-1a x3x1 - cosx五、小結：由常函數(shù)、幕函數(shù)及正、余弦函數(shù)經加、減、乘運算得到的簡單的函數(shù)均可利用求導法那么與導數(shù)公式求導,而不需要回到導數(shù)的定義去求此類簡單函數(shù)的導數(shù),商的導數(shù)法那么(！)'u v -uvv(vw0),如何綜合運用函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)法那么,來求一些復雜函數(shù)的導數(shù)要將和、差、積、商的導數(shù)法那么記住 六、課后作業(yè)：3. 4. 3簡單復合函數(shù)的導數(shù)教學目的：知識與技能：理解掌握復合函數(shù)的求導法那么.過程與方法：能夠結合已學過的法那么、公式,進行一些復合函數(shù)的求導情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生善于觀察事物,善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,熟悉規(guī)律,掌

31、握規(guī)律,利用規(guī)律.教學重點：復合函數(shù)的求導法那么的概念與應用教學難點：復合函數(shù)的求導法那么的導入與理解教具準備：與教材內容相關的資料.教學設想：提供一個舞臺,讓學生展示自己的才華,這將極大地調動學生的積極性,增強學生的榮 譽感,培養(yǎng)學生獨立分析問題和解決問題的水平,表達了 “自主探究,同時,也鍛煉了學生敢想、 敢說、敢做的水平.教學過程：學生探究過程：一、復習引入：1 .常見函數(shù)的導數(shù)公式：C' = 0; (xn)' = nxn；(sin x)'= cosx ; (cosx)' = -sin x2 .法那么 1u(x) ±v(x)' =u

32、9;(x) ±v'(x).法那么 2u(x)v(x) =u'(x)v(x) u(x)v'(x), Cu(x) =Cu'(x)'法那么3 儀JU 0)I" v二、講解新課：1 .復合函數(shù)：由幾個函數(shù)復合而成的函數(shù),叫復合函數(shù).由函數(shù) y = f(u)與u =(x)復合而成的函數(shù)一般形式是y = fH(x),其中u稱為中間變量.2 .求函數(shù)y =(3x -2)2的導數(shù)的兩種方法與思路：方法一：y； =(3x-2)2' = (9x2 -12x+4)' = 18x-12 ；方法二：將函數(shù)y =(3x-2)2看作是函數(shù)y = u

33、2和函數(shù)u =3x-2復合函數(shù),并分別求對應變量 的導數(shù)如下：,2、y；=(u ),= 2u , uX =(3x2),= 3兩個導數(shù)相乘,得yUuX =2u =2(3x-2)3 =18x-12 ,從而有y'x = y'u u'x對于一般的復合函數(shù),結論也成立,以后我們求y' x時,就可以轉化為求yu'和u' x的乘積,關鍵是找中間變量,隨著中間變量的不同,難易程度不同.3 .復合函數(shù)的導數(shù)：設函數(shù)u=邛(x)在點x處有導數(shù)u' x= ' (x),函數(shù)y=f(u)在點x的對應點u處有導數(shù)y' u=f ' (u),那么

34、復合函數(shù)y=f (中(x)在點x處也有導數(shù),且y'x=y'uu'x或f' x(中(x)= f ' (u)中'(x).證實：(教師參考不需要給學生講)設x有增量Ax,那么對應的u, y分別有增量Au, Ay,由于u=小(x)在點x可導,所以u=cP ( x) 在點x處連續(xù).因此當Ax0時,A u0.當 Auw0 時,由 9y =9y 也. 且 lim 9y = lim 9y.x 二 u x-x-0 l u- u0 l xy.y u. y. u. y. u lim limlim lim = lim lim lx0 _ x- x-0u- x. x0 u

35、-x70- x'0 u-x0 x x即y'x = y'u u'x (當Au=0時,也成立)4 .復合函數(shù)的求導法那么復合函數(shù)對自變量的導數(shù),等于函數(shù)對中間變量的導數(shù),乘以中間變量對自變量的導數(shù)5 .復合函數(shù)求導的根本步驟是：分解一一求導一一相乘一一回代.三、講解范例：例1試說明以下函數(shù)是怎樣復合而成的T i/ y=(2-x2)3；i(2) y =sinx2 ; y = cos( x)； y = ln sin(3x -1).4解：函數(shù)y =(2-x2)3由函數(shù)y = u3和u = 2-x2復合而成；函數(shù)y = sin x2由函數(shù)y = sin u和u = x2復合

36、而成；函數(shù)y =cos(1 -x)由函數(shù)y = cosu和u =x復合而成；44函數(shù)y =ln sin(3x -1)由函數(shù)y = ln u、 u =sinv和v =3x 1復合而成.說明：討論復合函數(shù)的構成時,“內層、“外層函數(shù)一般應是根本初等函數(shù),如一次函數(shù)、 二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等.例2寫出由以下函數(shù)復合而成的函數(shù)：歡迎閱讀 y =cosu , u=1+x2; y=lnu, u = lnx.解： y = cos(1 + x2); y = ln(ln x).例3求y = (2x +1)5的導數(shù).解：設 y = u5 , u =2x +1 ,貝U= 5u4 ,2=5(2x+1

37、)3 ,2=10(2x+1)4.注意：在利用復合函數(shù)的求導法那么求導數(shù)后,要把中間變量換成自變量的函數(shù).有時復合函數(shù)可以由幾個根本初等函數(shù)組成,所以在求復合函數(shù)的導數(shù)時,先要弄清復合函數(shù)是由哪些根本初等 函數(shù)復合而成的,特別要注意將哪一局部看作一個整體,然后根據復合次序從外向內逐層求導.例4求f (x)=sin x2的導數(shù).解：令 y=f (x)=sin u； u=x2 y'x = y'u u'x=(sin u) ' u (x2)x' =cosu 2x=cosx2 2x=2xcosx2 f' (x)=2xcosx2例5求y=sin 2(2x+y)

38、的導數(shù).分析：設u=sin(2 x+；)時,求u' x,但此時u仍是復合函數(shù),所以可再設 v=2x+ .解： 令 y=u2, u=sin(2 x+ ), 再令 u=sin v, v=2x+上 33 y'x = y" u'x=y' u( u,v v,x):.V' x=y,u u,v v,x=(u2),u (sin v),v (2x+巴),x 3HJI=2u - cosv - 2=2sin(2 x+ )cos(2 x+) - 22二、=4sin(2 x+ )cos(2 x+ )=2sin(4 x+-)一 ,2 二即 y x=2sin(4 x+ )3

39、例6求y = Vax2 +bx +c的導數(shù).解：令 y=Vu , u=ax2+bx+c1 Jy'x = y'u u'x=( Vu) z u (ax2+bx+c),x= u 3 (2ax+b)3/2=-(ax2+bx+c)飛(2 ax+b)= .ax33 (ax2 bx c)2即y' x2ax b33 (ax2 bx c)2例7求y二jtx的導數(shù).1 - x斛：令 y = 5 u,u =x1 - x、,一 y'x = y'u u'x=( Ju) u - () xx即y' x5x5 (x -x2)41例 8 求 y=sin 2U x的導數(shù).1 v=x解：令 y=u2, u=sin1y ,再令 u=sin v, x =(u2)' (sin1v)' v (7)'=2u - cosv .咚 x1=2sin x1 cos x-12x2 sin x12 y x=- x2 sin x例9求函數(shù)y=(2x2 3) Ji+x2的導數(shù).71 + x2是復合函數(shù),可以先算出71 + x2對分析：y可看成兩個函數(shù)的乘積,2x2- 3可求導, x的導數(shù).解：令 y=uv, u=2x2-3, v=、1 + x2,令 v=,® ,