平行四邊形性質(zhì)及判定

1、第五講平行四邊形的性質(zhì)及判定【一】知識(shí)要點(diǎn)歸納1、平行四邊形的定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形,在四邊形ABCD中,AB/ DC AD/ BC,那么四邊形ABCD平行四邊形.定義的作用：1給出一種判定四邊形是平行四邊形的方法,如果所給四邊形的兩組對(duì)邊分別平行,那么它一定是平行四邊形；2給出了平行四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)：兩組對(duì)邊分別平行.2、平行四邊形的性質(zhì)邊：對(duì)邊平行,對(duì)邊相等角：對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ)對(duì)角線：對(duì)角線互相平分；對(duì)角線的平方之和等于各邊的平方之和對(duì)稱性：平行四邊形是中央對(duì)稱圖形,平行四邊形繞其對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后,與自身重合,所以說(shuō)平行四邊形是中央對(duì)稱圖形,對(duì)稱中央為對(duì)角

2、線的交點(diǎn).例1如圖,在周長(zhǎng)為 20cm的平行四邊形 ABCD中,AB乒AD,AC,BD相交于點(diǎn) O, O& BD交 AD于£,那么左ABE的周長(zhǎng)為多少例2,如圖平行四邊形 ABCD中,CE是匕DCB的平分線,F是AB的中點(diǎn),AB=6 , BC=4 ,變式：平行四邊形 ABCD 中,CE平分NDCB , DF平分Z ADC , AD=4 , EF=3,求DC的長(zhǎng).例3如圖中,E, F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn),且BE= FD,連結(jié)AE FC,那么AE= FG試說(shuō)明理由.3、平行四邊形的面積平行四邊形的面積等于它的底和該底上的高的積,如下列圖,平行四邊形 ABCD的面積=BC *AE =

3、CD .BF,也就是平行四邊形的面積 =底邊長(zhǎng)X高=ah 其中a是平行四邊形的任 意一條邊長(zhǎng),h必須是a邊與其對(duì)邊的距離.注意：同底等底同高等高的平行四邊形面積相等,如下列圖,平行四邊形 ABCD 和平行四邊EBCF有公共邊BC,那么平行四邊形 ABCD的面積=平行四邊形EBCF的面積.例4如圖,平行四邊形 ABCD中的周長(zhǎng)是 36cm, DE、DF分別是它的兩條高,且DE= 4<3cm, DF =5J3cm,求平行四邊形的面積.變式：1、平行四邊形 ABCD的周長(zhǎng)為10 J3+6 J2 , BC的長(zhǎng)是5后,AE ±BC于E,AF ± DC的延長(zhǎng)線于 F , AE=3

4、求1 Z D的度數(shù)2 AF的長(zhǎng)2、如圖,P是平行四邊形 ABCD內(nèi)一點(diǎn),且 PBA的面積是5, PA D的面積是2,那么APAC 的面積是多少4、四邊形的判定方法定義判定法：兩組對(duì)邊分別平行是的四邊形是平行四邊形.定理判定法：1兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.2兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.3對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.4一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.例5從AB / CD;AB=CD;BC / AD;BC=A DZ A=Z CZ B=Z D這六個(gè)條件中任選兩個(gè),能使四邊形 ABCD是平行四邊形的選法共有A 4 種B 5 種C 6 種D 7 種例6如圖,在EBCD

5、中,AC是它的一條對(duì)角線,B機(jī) AC于M, D北AC于N,那么四邊形 BMDN 是平行四邊形嗎試說(shuō)明理由.例7如圖,平行四邊形 ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn),AF和BE相交于點(diǎn)G,CE和DF 相交于點(diǎn)H,求證:EF與GH相互平分.例8如圖,口ABCD勺對(duì)角線 AC BD交于O, EF過(guò)點(diǎn)O交AD于 巳 交BC于F, G是OA勺中 點(diǎn),H是OC勺中點(diǎn),四邊形 EGFK平行四邊形,說(shuō)明理由.D例9如圖 ABC以BC為邊在點(diǎn) A的同側(cè)作正三角形 DBC以AC, AB為邊在 ABC的夕卜 部作正三角形EAC和正三角形FAB.求證：四邊形AEDF是平形四邊形EB例10如圖,在四邊形 ABCW

6、, AD/ BC,且AD>BC, BC=6cm,R Q分別從A C同時(shí)出發(fā),P 以1厘米/秒的速度由A向D運(yùn)動(dòng),Q以2厘米/秒的速度由C向B運(yùn)動(dòng),幾秒后四邊形 ABQP 是平行四邊形PD【二】有關(guān)平行四邊形的綜合問(wèn)本節(jié)常與全等三角形、等腰三角形知識(shí)結(jié)合在一起考查,需靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定,在解決問(wèn)題時(shí),不單是孤立判定一個(gè)四邊形是平行四邊形,往往是判定出一個(gè)四邊形是平行四邊形后,要利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形的相關(guān)知識(shí)等解決問(wèn)題注意：證實(shí)兩條線段相等的常用方法：1等角對(duì)等邊；2等腰三角形底邊上的高或頂角平分線平分底邊；3證實(shí)線段所在的三角形全等；4 一點(diǎn)為某線段的中點(diǎn)；5平行四邊形

7、的對(duì)邊相等或?qū)蔷€互相平分.例11、三角形ABC的三條中線分別為 AD、BE、CF, H為三角形ABC外一點(diǎn),且四邊形 BHCF為平行四邊形.試探求 AD與EH的位置關(guān)系.例12、如圖,在平行四邊形 ABCD中,AF ± BC于F, ABD=d CBD.交對(duì)角線 BD于E,DE=2DC,試說(shuō)明Z例13、如圖四邊形DC交EB于F.求證：ABCD 中,AB / CD,以 AD,EF=FBAC為邊作平行四邊形 ACED ,延長(zhǎng)B【同步達(dá)綱練習(xí)】一、填空題1.假設(shè)一個(gè)平行四邊形相鄰的兩內(nèi)角之比為2 : 3,那么此平行四邊形四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為2. 在7AECD中,周長(zhǎng)為28,兩鄰邊之比為 3

8、 : 4,那么各邊長(zhǎng)為 .3. 一個(gè)平行四邊形的一邊長(zhǎng)是8, 一條對(duì)角線長(zhǎng)是6,那么它的另一條對(duì)角線 x的取值范圍為4. 等腰 ABC的一腰AB= 9 cm,過(guò)底邊上任一點(diǎn) P作兩腰平行線分別交 AB于M 交AC 于N,貝U AN十P2.5. 平行四邊形鄰邊長(zhǎng)是 4 cm和8cm, 一邊上的高是5 cm,那么另一邊上的高是 .6. 在7AECD中,E、F分別是AB BC上的任一點(diǎn),貝U Scd與S&d的比為.7 . P為 3AECD 內(nèi)一點(diǎn),9拈印=10.,那么 sZ?ab +Scd =.8. EECD的對(duì)角線相交于點(diǎn) 0,它的周長(zhǎng)為10 cm , BCO勺周長(zhǎng)比 AOB的周長(zhǎng)多2cm, 那么 AA.9OAECD中,AE 2, BO 3, Z B、ZC 的平分線分別交AD于E、F,貝UEF=.10. 把邊長(zhǎng)為 4cm、5cm 6cm,兩個(gè)完全重合的三角形拼成四邊形,一共能拼成 種不同的四邊形,其中有 個(gè)平行四邊形.11. 在 O&BCD中,如果Z A的余角比/ B的補(bǔ)角大10°,那么Z A=,Z B=12、假設(shè)一個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)是 a、b、