最詳細的立方和公式

1、立方和公式aA3+bA3=(a+b) (aA2-ab+bA2 )-立方差公式aA3-bA3=(a-b) (aA2+ab+bA2 )-3項立方和公式aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)推導(dǎo)過程:aA3+bA3+cA3-3abc=(aA3+3aA2 b+3abA2+bA3+cA3 )(3abc+3aA2 b+3abA2 )=(a+b)A3+cA3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(aA2+bA2+2ab-ac-bc+cA2 ) -3ab(a+b+c) =(a+b+c)(aA2+bA2+cA2+2ab-3ab-ac-bc) =(a+b+c)

2、(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)文字表達立方和，差公式兩數(shù)和（差），乘它們的平方和與它們的積的差（和），等于這兩個數(shù)的立方和（差）-3項立方和公式三數(shù)之和，乘它們的平方和與它們兩兩的積的差，等于這三個數(shù)的立方和減三數(shù)之積的三倍公式證明1.迭代法:我們知道:0次方和的求和公式NAO=N 即 1 人 0+2 人 0+.+nA0=n1次方和的求和公式2 仁 N(N+1)/2 即 1A1+2A1+.+nA fz n(n+1)/22次方和的求和公式NA2=N(N+1)( 2N+1) /6 B卩 1 人 2+2 人 2+n 人 2=n(n+1 )( 2n+1)/6 平方和公式，此公式可由同種方

3、法得出，取公式（ 得。x+1) A3-xA3=3xA2+3x+1 迭代即取公式：(X+1 )人 4 咲人 4=4 X XA3+6 X XA2+4X X+1系數(shù)可由楊輝三角形來確定那么就得出：(N+1) A4-NA4=4NA3+6NA2+4N+1 NA4-(N-1 ) A4=4(N-1 ) A3+6(N-1 ) A2+4(N-1 ) +1(N-1 ) A4-(N-2 ) A4=4(N-2 ) A3+6(N-2 ) A2+4(N-2 ) +12 人 4_1 人 4=4 X 1 人 3+6 X 1A2+4 X 1 + 1 ( n)于是(l)+(2)+(3)+(n )有左邊=(N+1) A4-1右邊=

4、4 (1人3+2人3+3人3+NA3) +6 (1人2+2人2+3人2+“人2) +4 (1+2+3+N)+N所以呢把以上這已經(jīng)證得的三個公式代入4( 1人3+2人3+3人3+ +NA3) +6( 1人2+2人2+3人2+ “人2)+4( 1+2+3+N)+N=(N+1)A4-1得 4 (1 人 3+2 人 3+3 人 3+ +NA3) +N(N+1)( 2N+1) +2N(N+1) +“=24+423+622+4“等號右側(cè)合并同類項后得 1人3+2人3+3人3+NA3=1/4 (24+223+22 )移項后得 1 人 3+2 人 3+3 人 3+ +NA3=1/4 (24+423+622+4

5、22222-22223-322-21 a3+2a3+3a3+ +Na3= 1/4 N(N+1) A2大功告成!立方和公式推導(dǎo)完畢1 人 3+2 人 3+3 人 3+ +NA3= 1/4 N(N+1 )人 22.xb因式分解思想證明如下：aA3+bA3=aA3+aA2 x匕+匕人3七人2=aA2(a+b)七(aA2bA2 )=aA2(a+b)七(a+b)(ab)=(a+b)aA2-b(a-b)=(a+b)(aA2-ab+bA2)公式延伸正整數(shù)范圍中 1 人 3 + 2 人 3 + nA3 = n (n+1 ) / 2人 2= (1 +2+n )人 2幾何驗證透過繪立體的圖像，也可驗證立方和。根據(jù)

6、右圖，設(shè)兩個立方，總和為xA3+yA3把兩個立方體對角貼在一起，根據(jù)虛線，可間接得到:(x+y)A3要得到XA3+ yA3，可使用(X + y)A3的空白位置。該空白位置可分割為3個部分： x x y x( x+y) x x( x+y) x y等號右側(cè)合并同類項后得 1人3+2人3+3人3+NA3=1/4 (24+223+22 )(x+y) X x X y把三個部分加在一起，便得:=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)=3xy(x+y)之后，把(X + y)A3減去它，便得：:=(x+y)A3-3xy(x+y )公式發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)項皆有個公因子，把它抽出，并得：=(x+y)(x+y)A2

7、-3xy(X + y)A2可透過和平方公式，得到：=(x +y)( xA2+ 2 xy +yA2-3xy)=(x +y)( xA2- xy +yA2)這樣便可證明：xA3+yA3=( X+ y)( xA2 -xy + yA2)尖于因數(shù)一般而言，任取一自然數(shù)N,他的因數(shù)有1, n1,n2,n3 , , nk,N，這些因數(shù)的因數(shù)個數(shù)分別為 1, mk,k+2，貝 U1 A3+m1 A3+m2A3+m3A3+mkA3+(k+2)人 3 =(1+m1+m2+m3+ .+mk+k+2)7k 2我們發(fā)現(xiàn)，上述規(guī)律對素數(shù)P是永遠成立的，因為素數(shù)P的因數(shù)只有1和P,因數(shù)的個數(shù)只有1和2，所以成立。合數(shù)的驗證方法可以從因數(shù)個數(shù)出發(fā)證明，有中學(xué)水平的人可以自己證明。比如120,有因數(shù)1, 2,3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60,120;它們的因數(shù)個數(shù)為1, 2,2, 3, 2, 4, 4, 4, 6, 4, 6, 8, 8, 8, 12, 16,1 人 3+2 人 3+2 人 3+3 人 3+2 人