2016數(shù)學(xué)建模作業(yè)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案說明：本電子版題目與教材原題不符者以教材為準(zhǔn)，教材上沒有的做了會(huì)適當(dāng)加分。教材上有而本電子版題目沒有原題的，請(qǐng)同學(xué)們自行錄入原題。所有基本題目解答過程均須不少于姜啟源先生數(shù)學(xué)模型第三版習(xí)題參考解答之答案長(zhǎng)度！第1章數(shù)學(xué)模型引論1.1 在穩(wěn)定的椅子問題中， 如設(shè)椅子的四腳連線呈長(zhǎng)方形，結(jié)論如何？（穩(wěn)定的椅子問題見姜啟源 數(shù)學(xué)模型第6頁）（小型題目模版）解：模型分析（黑體五號(hào)字）：宋體五號(hào)字模型假設(shè)與符號(hào)說明（黑體 五號(hào)字）：宋體五號(hào)字模型建立： 宋體五號(hào)字模型求解： 宋體五號(hào)字程序源代碼（如果需要編程）：宋體五號(hào)字程序運(yùn)行結(jié)果（如果有圖形或數(shù)據(jù)）：宋體五號(hào)字模型討論： 宋體五號(hào)字1.

2、2 在商人們安全過河問題中， 若商人和隨從各四人， 怎樣才能安全過河呢？ 一般地，有n名商人帶n名隨從過河，船每次能渡 k人過河，試討論商人們能安全過河時(shí)，n與k應(yīng)滿足什么關(guān)系。（商人們安全過河問題見姜啟源數(shù)學(xué)模型第 7頁）1.3 人、狗、雞、米均要過河，船需要人劃，另外至多還能載一物，而當(dāng)人不在時(shí)，狗要吃雞，雞要 吃米。問人、狗、雞、米怎樣過河？1.4 有3對(duì)阿拉伯夫妻過河，船至多載兩人，條件是根據(jù)阿拉伯法典，任一女子不能在其丈夫不在的 情況下與其他的男子在一起。問怎樣過河？1.5 如果銀行存款年利率為5.5% ,問如果要求到2010年本利積累為100000元，那么在1990年應(yīng)在銀行存入多

3、少元？而到 2000年的本利積累為多少元？dN 112 ，1.6 某城市的Logistic 模型為 N 6N ，如果不考慮該市的流動(dòng)人口的影響以及非出 2525 106正常死亡。設(shè)該市 1990年人口總數(shù)為 8000000 人，試求該市在未來的人口總數(shù)。當(dāng) t時(shí)發(fā)生什么情況。1.7 假設(shè)人口增長(zhǎng)服從這樣規(guī)律：時(shí)刻 t的人口為X(t),最大允許人口為Xm, t到t t時(shí)間內(nèi)人口數(shù) 量與Xm X(t)成正比。試建立模型并求解，作出解的圖形并與指數(shù)增長(zhǎng)模型和阻滯增長(zhǎng)模型的結(jié)果進(jìn)行比 較。1.8 一晝夜有多少時(shí)刻互換長(zhǎng)短針后仍表示一個(gè)時(shí)間？如何求出這些時(shí)間？1.9 你在十層樓上欲乘電梯下樓，如果你想知

4、道需要等待的時(shí)間，請(qǐng)問你需要有哪些信息？如果你不 愿久等，則需要爬上或爬下幾個(gè)樓層？第2章初等模型文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2.1學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學(xué)生們要組織一個(gè)10人的委員會(huì)，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：(1)按比例分配取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者.(2) 2.1節(jié)中的Q值方法.(3) d' Hondt方法：將各宿舍的人數(shù)用正整數(shù) n 1,2,3,相除，其商數(shù)如下表：12345A235117.578.358.75B333166.511183.25C43221614410886.4將所得商數(shù)從大到小取前

5、10個(gè)(10為席位數(shù)),在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中A, B, C行有橫線的數(shù)分別為2,3,5,這就是3個(gè)宿舍分配席位.你能解釋這種方法的道理嗎。如果委員會(huì)從10人增至15人，用以上3種方法再分配名額.將3種方法兩次分配的結(jié)果列表比較.(4)你能提出其他的方法嗎.用你的方法分配上面的名額 .2.2在超市購物時(shí)你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種想象了嗎.比如潔銀牙膏 50克裝的每支1.50元,120克裝的每支3.00元,二者單位的重量的價(jià)格比是1.2:1,試用比例方法構(gòu)造模型解釋這個(gè)現(xiàn)象.(1)分析商品的價(jià)格 C與商品重量 W的關(guān)系.價(jià)格由生產(chǎn)成本、包裝成本和其它成本等決定，這些成本中有的與重量

6、W成正比，有的與表面積成正比，還有與 W無關(guān)的因素。(2)給出單位重量?jī)r(jià)格 C與W的關(guān)系。畫出它的簡(jiǎn)圖，說明 W越大C越小，但是隨著 W的增加C減 小的程度變小。解釋實(shí)際意義是什么。2.3 一垂釣俱樂部鼓勵(lì)垂釣者將釣上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給予獎(jiǎng)勵(lì)，俱樂部只準(zhǔn)備了一把軟尺用與測(cè)量，請(qǐng)你設(shè)計(jì)按照測(cè)量的長(zhǎng)度估計(jì)魚的重量的方法。假設(shè)魚池中只有一種妒魚，并且得到 文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案了 8條魚的如下數(shù)據(jù)（胸圍指魚身的最大周長(zhǎng)）動(dòng)物體重（g ）心率（次/分）身長(zhǎng)(cm) E336.831.843.8 25 36.832.145.1675.932.11重量(cm)<765鬼54482116手0

7、0 73720004821389420 652205胸圍（cm）/"24.821.327.9 50004.821.631.8120.921.6先用機(jī)理分析建立模型，再用數(shù)據(jù)確定參數(shù)。2.4 用已知尺寸的矩形板材加工一定的圓盤，給出幾種簡(jiǎn)便、有效的排列方法使加工出盡可能多的圓盤。2.5 雨滴勻速下降，空氣阻力與雨滴表面積和速度平方的乘積成正比，試確定雨速與雨滴質(zhì)量的關(guān)系。2.6 生物學(xué)家認(rèn)為，對(duì)于休息狀態(tài)的熱血?jiǎng)游锵牡哪芰恐饕糜诰S持體溫，能量與從心臟到全身的血流量成正比，而體溫主要通過身體表面散失，建立一個(gè)動(dòng)物體重與心率之間關(guān)系的模型，并用下面的數(shù)據(jù)加以檢驗(yàn)。文檔大狗3000085

8、羊5000070人7000072馬450000382.7 舉重比賽按照運(yùn)動(dòng)員的體重分組，你能在一些合理、簡(jiǎn)化的假設(shè)下建立比賽成績(jī)與體重之間的關(guān)系嗎。下面是一界奧運(yùn)會(huì)競(jìng)賽的成績(jī)，可供檢驗(yàn)?zāi)愕哪Ｐ?。最大體重抓舉挺舉總成績(jī)組別（kg）（kg）（kg）（kg）154132.5155287.5259137.5170307.5364147.5187.5335470162.5195357.5576167.5200367.5683180212.5392.5791187.5213402.5899185235420910819523543010>108197.5260457.52.8 速度為v的風(fēng)吹在迎風(fēng)面

9、積 S為的風(fēng)車上，空氣密度是。用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率P與v , s ,的關(guān)系。2.9 雨速的速度v與空氣密度 、粘滯系數(shù)和重力加速度g有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)。用量綱分析方法給出速 度v的表達(dá)式。2.10 用量綱分析方法研究人體浸在勻速流動(dòng)的水里時(shí)損失的熱量。記水的流速 v,密度 ，比熱C, 粘性系數(shù)，熱傳導(dǎo)系數(shù) k,人體尺寸d。證明人體與水的熱交換系數(shù)h與上述各物理量的關(guān)系可表為h k v-d,是未定函數(shù)，h定義為單位時(shí)間內(nèi)人體的單位面積在人體與水的溫差為1C時(shí)的dk熱量交換。2.11 在小說格里彳游記

10、中，小人國(guó)中的人們決定給格里佛相當(dāng)于一個(gè)小人食量1728倍的食物.他們是這樣推理的，因格里佛身高是小人的 12倍.他的體格是小人的123 1 728倍.所以他需要的食物是一個(gè)小 人的食量的1728倍.為什么他們的推理是錯(cuò)誤的 ？正確的答案是什么？第3章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型3.1 在存貯模型的總費(fèi)用中增加購買貨物本身的費(fèi)用。重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量。證明在不 允許缺貨模型中結(jié)果與原來的一樣。而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和定貨批量都比原來結(jié)果減少。3.2 建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯*II型。設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)k,銷售速率為常數(shù)r, k r在每個(gè)生產(chǎn)周期T內(nèi)，開始的一段時(shí)間（0 t To）一邊生

11、產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時(shí)間（To t T）只銷售不生產(chǎn)，畫出貯存量q（t）的圖形。設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為c單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為C2,以總費(fèi)用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期。討論 k r和k r的情況。3.3 在森林救火模型中，如果考慮消防隊(duì)員的滅火速度與開始救火時(shí)的火勢(shì) b有關(guān)，試假設(shè)一個(gè)合理的函數(shù)關(guān)系，重新求解模型。3.4 在雨中從一處沿直線跑道另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變。試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑的越快， 淋雨量越少。將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高 a 1.5m (頸部以下)，寬b 0.5m,厚c 0.2m,設(shè)跑步距 離d 1000m ,跑步最大速度Vm 5m/s,雨速u 4m/s ,降雨量w

12、2cm/h ,記跑步速度為v。按以 下步驟進(jìn)行討論：(1)不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全程的總淋雨量。(2)雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖1,建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a, b , c , d , u , w , 之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少。計(jì)算 0 ,30時(shí)的總淋雨量。(3)雨從背后吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖2。建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a , b , c , d , u , w, 之間的關(guān)系，問速度 v多大，總淋雨量最少。計(jì)算 30 時(shí)總淋雨量。(4)以總淋雨量為縱軸，速度 v為橫軸

13、，對(duì)(3)作圖(考慮的影響)，并解釋結(jié)果的實(shí)際意義。(5)若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會(huì)有什么變化。3.5 甲乙兩公司通過廣告來競(jìng)爭(zhēng)銷售商品的數(shù)量，廣告費(fèi)分別是 x和y。設(shè)甲乙公司商品的售量在兩公司總售量中占的份額，是它們的廣告費(fèi)在總廣告中所占份的函數(shù)f(x)和f(y)。又設(shè)公司的收入x y x y與售量成正比，從收入中扣除廣告費(fèi)即為公司的利潤(rùn)。試構(gòu)造模型的圖形，并討論甲公司怎樣確定廣告費(fèi)才能使利潤(rùn)最大。x(1)令t ，則f(t) f (1 t) 1?；爻鰂(t)的示意圖。x y(2)寫出甲公司利潤(rùn)的表達(dá)式 p(x)。對(duì)于一定的y ,使p(x)最大的x的最優(yōu)值應(yīng)滿足什么關(guān)系。用 圖

14、解法確定這個(gè)最優(yōu)值。3.6 人行走時(shí)作的功是抬高人體重心所需勢(shì)能與兩腿運(yùn)動(dòng)所需動(dòng)能之和。試建立模型討論在作功最小的準(zhǔn)則下每秒走幾步最合適(勻速行走)。(1)設(shè)腿長(zhǎng)l ,步長(zhǎng)s,證明人體重心在行走時(shí)升高s2/8l (s l)(2)將腿看作均勻直桿，行走看作腿繞腰部的轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)腿的質(zhì)量m ,行走速度v,證明單位時(shí)間所需動(dòng)能為mv2/6s o(3)設(shè)人體質(zhì)量M，證明在速度v 一定時(shí)每秒行走 n 13Mg步作功最小。實(shí)際上，M 4, l 1m :4mlm分析這個(gè)結(jié)果合理嗎？(4)將(2)的假設(shè)修改為：腿的質(zhì)量集中在腳部，行走看作腳的直線運(yùn)動(dòng)。證明結(jié)果應(yīng)為n寸地 步。. 4ml分析這個(gè)結(jié)果是否合理。3.7

15、 駛于河中的渡輪，它的行駛方向要受水流的影響。船在河的位置不同， 所受到水流的影響也不同。試設(shè)計(jì)一條使渡輪到達(dá)對(duì)岸時(shí)間最短的航線。3.8 發(fā)電站的設(shè)計(jì)者們?cè)谘邏紊习惭b水輪機(jī)，當(dāng)潮水通過堰壩時(shí)，推動(dòng)水輪機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)，從而帶動(dòng)發(fā)電機(jī)發(fā)電。潮水通過水輪機(jī)的瞬時(shí)速度可由操作者控制，那么，要生產(chǎn)最大能量，應(yīng)如何控制潮水的瞬時(shí)速度?3.9 為了保證病人平躺在長(zhǎng)寬分別為p, q的病床上從病房進(jìn)入手術(shù)室（如圖所示） ，兩條垂直的通道至少應(yīng)寬多少?*3.10觀察魚在水中的運(yùn)動(dòng)發(fā)現(xiàn)，它不是水平游動(dòng)，而是突發(fā)性、鋸齒狀地向上游動(dòng)和向下滑行。可以認(rèn)為這是在長(zhǎng)期進(jìn)化過程中魚類選擇的消耗能量最小的運(yùn)動(dòng)方式o（1）設(shè)魚總是以常速

16、 v運(yùn)動(dòng)，魚在水中凈重 w,向下滑行時(shí)的阻力是 w在運(yùn)動(dòng)方向的分力；向上游動(dòng)時(shí)所需的力是 w在運(yùn)動(dòng)方向分力與游動(dòng)所受阻力之和，而游動(dòng)的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游動(dòng)時(shí)阻力也是滑行阻力的 k倍，寫出這些力。（2）證明當(dāng)魚要從 A點(diǎn)到達(dá)處于同一水平線上的 B點(diǎn)時(shí)（見下圖），沿折線ACB運(yùn)動(dòng)消耗的能量與沿水平線AB運(yùn)動(dòng)消耗的能量之比為（向下滑行不消耗能量）ksin sinoksin(3)根據(jù)實(shí)際觀察tan 0.2,試對(duì)不同的k值(1.5 , 2, 3),根據(jù)消耗能量最小的準(zhǔn)則估計(jì)最佳第4章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型4.1 某飼養(yǎng)場(chǎng)用n種原料配合成飼料喂雞，為了讓雞生長(zhǎng)得快，對(duì)m種營(yíng)養(yǎng)成分有一個(gè)最低標(biāo)準(zhǔn)。即對(duì)

17、i 1, m ,要求第種i營(yíng)養(yǎng)成分在飼料中的含量不少于bi,若每單位第j種原料中含第i種營(yíng)養(yǎng)成分的量為aj,第j種原料的單價(jià)為Cj,問應(yīng)如何配制飼料才能使成本最低？公工作 工人1234甲10978乙5877丙5465丁23454.2 擬分配甲、 乙、丙、丁四人去干 四項(xiàng)工作，每人干且 僅干一項(xiàng)。他們干各 項(xiàng)工作需用天數(shù)見右 表，問應(yīng)如何分配才能使總用工天數(shù)最少。4.3 某校經(jīng)預(yù)賽選出 A, B, C, D四名學(xué)生，將派他們?nèi)⒓釉摰貐^(qū)各學(xué)校之間的競(jìng)賽。此次競(jìng)賽的四門功課考試在同一時(shí)間進(jìn)行，因而每人只能參加一門，比賽結(jié)果將以團(tuán)體總分計(jì)名次(不計(jì)個(gè)人名次)設(shè)下表是四名學(xué)生選拔時(shí)的成績(jī)，問應(yīng)如何組隊(duì)

18、較好？程學(xué)生，、數(shù)學(xué)物理化學(xué)外語A90957883B85897380C93918879D798584874.4 某工廠生產(chǎn)兩種標(biāo)準(zhǔn)件，A種每個(gè)可獲利0.3元，B種每個(gè)可獲利0.15元。若該廠僅生產(chǎn)一種標(biāo)準(zhǔn)件，每天可 A種標(biāo)準(zhǔn)件800個(gè)或B種標(biāo)準(zhǔn)件1200個(gè)，但A種標(biāo)準(zhǔn)件還需某種特殊處理，每天最多處 理600個(gè)，A, B標(biāo)準(zhǔn)件最多每天包裝 1000個(gè)。問該廠應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能使每天獲利最大。4.5 將長(zhǎng)度為500cm 的線材截成長(zhǎng)度為 78cm的坯料至少1000根，98cm的坯料至少2000根, 若原料充分多，在完成任務(wù)的前提下，應(yīng)如何截切，使得留下的余料最少？4.6 某廠有原料甲、乙，

19、生產(chǎn)四種產(chǎn)品 A, B, C, D,各參數(shù)如下表：(1)求總收入最大的生產(chǎn)方案；(2)當(dāng)最優(yōu)生產(chǎn)方案不變時(shí)，分別求出 A, B, C, D的單價(jià)的變化范圍;(3)當(dāng)最優(yōu)基不變時(shí)，分別求出原料甲、乙的變化范圍。4.7 某廠生產(chǎn) A, B兩種產(chǎn)品，分別由四臺(tái)機(jī)床加工，加工順序任意，在一個(gè)生產(chǎn)期內(nèi)，各機(jī)床的有 效工作時(shí)數(shù)，各產(chǎn)品在各機(jī)床的加工時(shí)數(shù)等參數(shù)如下表：加工時(shí)數(shù)甲乙丙丁單價(jià)(百元/件)A21402B22013有效時(shí)數(shù)240140200180(1)求收入最大的生產(chǎn)方案;(2)若引進(jìn)新產(chǎn)品 C,每件在機(jī)床甲，乙，丙，丁的加工時(shí)間分別是3, 2, 4, 3小時(shí)，問C的單價(jià)多少時(shí)才宜投產(chǎn)？當(dāng) C的單價(jià)

20、為4百元時(shí)，求C投產(chǎn)后的生產(chǎn)方案。(3)為提高產(chǎn)品質(zhì)量，增加機(jī)床戊的精加工工序，其參數(shù)如下。問應(yīng)如何安排生產(chǎn)。產(chǎn)品AB有效時(shí)數(shù)精加工時(shí)間22.42484.8 已知某廠生產(chǎn)有關(guān)參數(shù):單位消耗j_品ABC DE限額(公斤)0.100.20.30.1600甲乙0.20.20.100.3500丙00.300.20.13004365單價(jià)(元)8(1)求最優(yōu)生產(chǎn)方案；(2)根據(jù)市場(chǎng)情況，計(jì)劃 A至少生產(chǎn)500件，求相應(yīng)生產(chǎn)方案；(3)因E滯銷，計(jì)劃停產(chǎn)，求相應(yīng)生產(chǎn)方案；(4)根據(jù)市場(chǎng)情況，限定 C不超過1640件，求相應(yīng)生產(chǎn)方案；(5)若限定原料甲需剩余至少 50公斤，求相應(yīng)生產(chǎn)方案；(6)若限定生產(chǎn) A

21、至少1000件，生產(chǎn)B至少200件，求相應(yīng)生產(chǎn)方案。4.9 要從寬度分別為 3m和5m的B1型和B2型兩種標(biāo)準(zhǔn)卷紙中，沿著卷紙伸長(zhǎng)的方向切割出寬度分別為1.5m , 2.1m 和2.7m 的A1型、A2型和A3型三種卷紙3000m , 10000m 和6000m 。問如何切割 才能使耗費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)卷紙的面積最少。4.10 某銀行經(jīng)理計(jì)劃用一筆資金進(jìn)行有價(jià)證券的投資，可供購進(jìn)的證券以及其信用等級(jí)、到期年限、收益如下表所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50 %的稅率納稅。此外還有以下限制：(1)政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購進(jìn)400萬元；(2)所購證券的平均信用等級(jí)不超過1.

22、4 (信用等級(jí)數(shù)字越小，信用程度越高)；(3)所購證券的平均到期年限不超過5年。證券名稱證券種類信用等級(jí)到期年限到期稅前收益(%)A市政294.3B代辦機(jī)構(gòu)2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5試解答下列問題：(1)若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資？(2)如果能夠以2.75 %的利率借到不超過 100萬元資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作?(3)在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為 4.5 %,投資應(yīng)否改變？若證券 C的稅前收益減少為4.8 %,投資應(yīng)否改變？4.11 某儲(chǔ)蓄所每天的營(yíng)業(yè)時(shí)間是上午9: 00到下午5: 00。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每天不同時(shí)間段所需要的服務(wù)員數(shù)

23、量如下：910 1011 1112 121 122334 45時(shí)間段(時(shí))服務(wù)員數(shù)量43465688儲(chǔ)蓄所可以雇傭全時(shí)和半時(shí)兩類服務(wù)員。全時(shí)服務(wù)員每天報(bào)酬100元，從上午9: 00到下午5: 00工作，但中午12 : 00到下午2: 00之間必須安排1小時(shí)的午餐時(shí)間。儲(chǔ)蓄所每天可以雇傭不超過3名的半時(shí)服務(wù)員，每個(gè)半時(shí)服務(wù)員必須連續(xù)工作4小時(shí)，報(bào)酬40元。問該儲(chǔ)蓄所應(yīng)如何雇傭全時(shí)和半時(shí)兩類服務(wù)員？如果不能雇傭半時(shí)服務(wù)員，每天至少增加多少費(fèi)用？如果雇傭半時(shí)服務(wù)員的數(shù)量沒有限制，每天可 以減少多少費(fèi)用？4.12 一家保姆服務(wù)公司專門向顧主提供保姆服務(wù)。根據(jù)估計(jì)，下一年的需求是：春季6000人日，夏季

24、7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必須經(jīng)過5天的培訓(xùn)才能上崗，每個(gè)保姆每季度工作(新保姆包括培訓(xùn))65天。保姆從該公司而不是從顧主那里得到報(bào)酬，每人每月工資800元。春季開始時(shí)公司擁有 120名保姆，在每個(gè)季度結(jié)束后，將有15 %的保姆自動(dòng)離職。(1)如果公司不允許解雇保姆，請(qǐng)你為公司制定下一年的招聘計(jì)劃；哪些季度需求的增加不影響招聘 計(jì)劃？可以增加多少？(2)如果公司在每個(gè)季度結(jié)束后允許解雇保姆，請(qǐng)為公司制定下一年的招聘計(jì)劃。4.13 某公司將4種不同含硫量的液體原料（分別記為甲、乙、丙、?。┗旌仙a(chǎn)兩種產(chǎn)品（分別記為 A、B）。按照生產(chǎn)工藝的要求，原料甲、乙

25、、丁必須首先倒入混合池中混合，混合后的液體再分別與原料丙 混合生產(chǎn) A、B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分別是3, 1 , 2, 1 （%）,進(jìn)貨價(jià)格分別為 6, 16 ,10 , 15 （千元/噸）；產(chǎn)品A、B的含硫量分別不能超過 2.5, 1.5 （%）,售價(jià)分別為9, 15 （千元/噸）。 根據(jù)市場(chǎng)信息，原料甲、乙、丙的供應(yīng)沒有限制，原料丁的供應(yīng)量最多為50噸，產(chǎn)品A, B的市場(chǎng)需求量分別為100噸、200噸。問應(yīng)如何安排生產(chǎn)？4.14 .某鋼管零售商從鋼管廠進(jìn)貨，將鋼管按照顧客的要求切割后售出。從鋼管廠進(jìn)貨時(shí)得到的原料鋼管長(zhǎng)度都是1850mm ?，F(xiàn)有一客戶需要 15根290mm、28

26、根315mm、21根350mm 和30根455mm 的鋼管。為了簡(jiǎn)化生產(chǎn)過程，規(guī)定所使用的切割模式的種類不能超過4種，使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價(jià)值的1/10增加費(fèi)用，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價(jià)值的2/10增加費(fèi)用，依此類推，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原料鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品）。此外，為了減少余料浪費(fèi)，每種切割模式下的余料浪費(fèi)不能超過100mm 。為了使總費(fèi)用最小，應(yīng)如何下料？4.15 某電力公司經(jīng)營(yíng)兩座發(fā)電站，發(fā)電站分別位于兩個(gè)水庫上，位置如下圖所示。33已知發(fā)電站A可以將水庫A的1萬m3的水轉(zhuǎn)換為400千度電能，發(fā)電站B只能將水庫B的1萬m3 的

27、水轉(zhuǎn)換為200千度電能。發(fā)電站 A, B每個(gè)月的最大發(fā)電能力分別是60000千度，35000千度，每個(gè)月最多有50000千度電能夠以200元/千度的價(jià)格售出，多余的電能只能夠以140元/千度的價(jià)格售出。水庫A, B的其他有關(guān)數(shù)據(jù)如下（單位：萬立方米）水庫A水庫B水庫最大蓄水量20001500水源流入水量本月20040下月13015水庫最小蓄水量1200800水庫目前蓄水量1900850請(qǐng)你為該電力公司制定本月和下月的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)計(jì)劃。（千度是非國(guó)際單位制單位,31千度=103千瓦時(shí)）4.16有4名同學(xué)到一家公司參加三個(gè)階段的面試：公司要求每個(gè)同學(xué)都必須首先找公司秘書初試，然后到部門主管處復(fù)試，最后

28、到經(jīng)理處參加面試，并且不允許插隊(duì)（即任何一個(gè)階段4名同學(xué)的順序是一樣的）。由于4名同學(xué)的專業(yè)背景不同，所以每人在三個(gè)階段的面試時(shí)間也不同，如下表所示（單位：分鐘）秘書初試主管復(fù)試經(jīng)理面試同學(xué)甲131520同學(xué)乙102018同學(xué)丙201610同學(xué)丁81015這4名同學(xué)約定他們?nèi)棵嬖囃暌院笠黄痣x開公司。假定現(xiàn)在時(shí)間是早晨8:00 ,問他們最早何時(shí)能離開公司?第5章微分方程模型5.1某人每天由飲食獲取10467焦熱量，其中5038焦用于新陳代謝，此外每公斤體重需支付69焦熱量作為運(yùn)動(dòng)消耗，其余熱量則轉(zhuǎn)化為脂肪，已知以脂肪形式貯存的熱量利用率為100% ,每公斤脂肪含熱量41868焦，問此人的體重如

29、何隨時(shí)間而變化?5.2生活在阿拉斯加海濱的鞋魚服從Malthus增長(zhǎng)模型dp(t)dt0.003p(t)其中t以分鐘計(jì)。在t 0時(shí)一群鯊魚來到此水域定居, 開始捕食鞋魚。鯊魚捕殺鞋魚的速率是 0.001p2（t）,其中p（t）是t時(shí)刻鞋魚總數(shù)。此外，由于在它們周圍出現(xiàn)意外情況，平均每分鐘有0.002條鞋魚離開此水域。（1）考慮到兩種因素，試修正 Malthus 模型。（2）假設(shè)在t 0是存在100萬條鞋魚，試求鞋魚總數(shù)p（t）,并問t 時(shí)會(huì)發(fā)生什么情況？5.3 根據(jù)羅瑟福的放射性衰變定律，放射性物質(zhì)衰變的速度與現(xiàn)存的放射性物質(zhì)的原子數(shù)成正比，比例系數(shù)成為衰變系數(shù)，試建立放射性物質(zhì)衰變的數(shù)學(xué)模型

30、。若已知某放射性物質(zhì)經(jīng)時(shí)間T12放射物質(zhì)的原子下降至原來的一半（T1.2稱為該物質(zhì)的半衰期）試決定其衰變系數(shù)。5.4 用具有放射性的C14測(cè)量古生物年代的原理是：宇宙線轟擊大氣層產(chǎn)生中子，中子與氮結(jié)合產(chǎn)生C14。植物吸收二氧化碳時(shí)吸收了C14,動(dòng)物食用植物從植物中得到C14。在活組織中C14的吸收速率恰好與C14的衰變速率平衡。但一旦動(dòng)植物死亡，它就停止吸收C14,于是C14的濃度隨衰變而降低。由于宇宙線轟擊大氣層的速度可視為常數(shù)，既動(dòng)物剛死亡時(shí)C14的衰變速率與現(xiàn)在取的活組織樣本（剛死亡） 的衰變速率是相同的。若測(cè)得古生物標(biāo)本現(xiàn)在C14的衰變速率，由于 C14的衰變系數(shù)已知，即可決定古生物的

31、死亡1414時(shí)間。試建立用 C14測(cè)古生物年代的模型（C14的半衰期為5568年）。5.5 試用上題建立的數(shù)學(xué)模型，確定下述古跡的年代：（1） 1950年從法國(guó)Lascaux古洞中取出的碳測(cè)得放射性計(jì)數(shù)率為0.97計(jì)數(shù)（g min）,而活樹木樣本測(cè)得的計(jì)數(shù)為 6.68計(jì)數(shù)（g min ）,試確定該洞中繪畫的年代；（2） 1950年從某古巴比倫城市的屋梁中取得碳標(biāo)本測(cè)得計(jì)數(shù)率為4.09計(jì)數(shù)（g min）,活數(shù)標(biāo)本為6.68計(jì)數(shù)（g min ）,試估計(jì)該建筑的年代。5.6 容器用一薄膜分成容積為 Va和Vb的兩部分，分別裝入同一物質(zhì)不同濃度的溶液。設(shè)該物質(zhì)分 子能穿透薄膜由高濃度部分向低濃度部分?jǐn)U

32、散，擴(kuò)散速度與兩部分濃度差成正比，比例系數(shù)稱為擴(kuò)散系數(shù)。試建立描述容器中溶液濃度變化的數(shù)學(xué)模型。設(shè) Va Vb (l),每隔100s測(cè)量其中一部分溶 3放的濃度共 10 次，具體數(shù)據(jù)為 454 , 499 , 535 , 565 , 590 , 610 , 626 , 650 , 659 ,單位為 mol/m 。試建立擴(kuò)散系數(shù)，并決定 2h后兩部分中溶液的濃度各為多少。5.7 建立耐用消費(fèi)品市場(chǎng)銷售量的模型。如果已知了過去若干時(shí)期銷售量的情況，如何確定模型的參 數(shù)。5.8 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)當(dāng)一種新產(chǎn)品投入市場(chǎng)后，隨著人們對(duì)它擁有量的增加，其銷售量s(t)的下降速度與s(t)成正比。廣告宣傳可給銷售量添

33、加一個(gè)增長(zhǎng)速度，它與廣告費(fèi)a(t)成正比，但廣告只能影響這種商品在市場(chǎng)上尚未飽和的部分(設(shè)飽和量為M )。建立銷量s(t)的模型。若廣告宣傳只進(jìn)行有限時(shí)間t ,且廣告費(fèi)為常數(shù)a ,問s(t)如何變化？5.9 對(duì)于技術(shù)革新的推廣，在下列幾種情況下分別建立模型(1)推廣工作通過已經(jīng)采用新技術(shù)的人進(jìn)行，推廣速度與已采用新技術(shù)的人數(shù)成正比，推廣是無限的。(2)總?cè)藬?shù)有限，因而推廣速度隨著尚未采用的新技術(shù)人數(shù)的減少而降低。(3)在(2)的前提下還要考慮廣告等媒介的傳播作用。5.10 某種細(xì)菌的增長(zhǎng)率不知道，但假設(shè)它是常數(shù)，試驗(yàn)開始時(shí)估計(jì)大約有11500個(gè)細(xì)菌，一時(shí)后有2000個(gè)，問四時(shí)后大約有多少細(xì)菌？

34、5.11 假設(shè)某生物種群的增長(zhǎng)率不是常數(shù)，它以某種的方式依賴于環(huán)境的溫度。如果已知溫度是時(shí)間的函數(shù)，試給出初始為 No的生物種群的增長(zhǎng)模型。證明種群以指數(shù)增長(zhǎng)系數(shù)Re。)而增長(zhǎng)或衰減，即N(t)? eRE(t)t ,這個(gè)增長(zhǎng)系數(shù)等于時(shí)間依賴增長(zhǎng)的平均值。5.12 只考慮人口的自然增長(zhǎng)，不考慮人口的遷移和其它因素，紐約人口滿足方程dNdtN 25125 106若每年遷入人口 6000人，而每年約有4000人被謀殺，試求出紐約的未來人口數(shù)，并討論長(zhǎng)時(shí)間后紐約的 人口狀況。5.13 群體的增長(zhǎng)受自限規(guī)律制約。設(shè)在一定環(huán)境下該群體的生存極限數(shù)為5 108,當(dāng)群體中生物很少時(shí)，每40mm 增加一倍。若開

35、始時(shí)動(dòng)物分別為107和108,求2h后群體中動(dòng)物的總數(shù)。2 5.14 某地有一池塘，其水面面積約為100 100m ,用來養(yǎng)殖某種魚類。在如下的假設(shè)下，設(shè)計(jì)能獲 取較大利潤(rùn)的三年的養(yǎng)魚方案。2(1)魚的存活空間為1kg/m ；(2)每1kg魚每需要的飼料為0.05kg ,市場(chǎng)上魚飼料的價(jià)格為0.2元/kg ；(3)魚苗的價(jià)格忽略不計(jì)，每 1kg魚苗大約有500條魚；(4)魚可四季生長(zhǎng)，每天的生長(zhǎng)重量與魚的自重成正比，365天長(zhǎng)成為魚，成魚的重量為2kg;(5)池內(nèi)魚的繁殖與死亡均忽略;(6)若q為魚重，則此種魚的售價(jià)為? 0元/kg q 0.2 ?6元/kg 0.2? q 0.75?一一一 一

36、一 .?8兀/kg 0.75 ? q 1.5? 10元/kg 1.5? q? 2(7)該池內(nèi)只能投放魚苗。5.15 人工腎是幫助人體從血液中帶走廢物的裝置，它通過一層薄膜與需要帶走廢物的血管相通.如下實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案圖，人工腎中通以某種液體，其流動(dòng)方向與血液在血管中的流動(dòng)方向相反，血液中的廢物透過薄膜進(jìn)入人工腎.設(shè)血液和人工腎中液體的流速均為常數(shù)，廢物進(jìn)入人工腎的數(shù)量與它在這兩種液體中的濃度差成正比。人工腎總長(zhǎng)l .建立單位時(shí)間內(nèi)人工腎帶走廢物數(shù)量的模型.血管血液流動(dòng)方向薄膜人工腎液體流動(dòng)方向5.16 在魚塘中投放no尾負(fù)苗，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，尾數(shù)將減少而每尾的重量將增加(1)設(shè)尾數(shù)n(t)的(相對(duì)

37、)減少率為常數(shù)；由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚表面積成正比，由 于消耗引起的每尾魚重量的減少率與重量本身成正比.分別建立尾數(shù)和每尾魚重的微分方程，并求解.(2)用控制網(wǎng)眼的辦法不捕小魚，到時(shí)刻T才開始捕撈，捕撈能力用尾數(shù)的相對(duì)減少量|n/n表示，記作E,即單位時(shí)間捕獲量是 En(t).問如何選擇T和E,使從T開始的捕獲量最大.5.17 建立腫瘤生長(zhǎng)模型.通過大量醫(yī)療實(shí)踐發(fā)現(xiàn)腫瘤細(xì)胞的生長(zhǎng)有以下現(xiàn)象：1)當(dāng)腫瘤細(xì)胞數(shù)目超過10 11時(shí)才是臨床可觀察的；2)在腫瘤生長(zhǎng)初期，幾乎每經(jīng)過一定時(shí)間腫瘤細(xì)胞就增加一倍；3)由于各種生理?xiàng)l件限制，在腫瘤生長(zhǎng)后期腫瘤細(xì)胞數(shù)目趨向某個(gè)穩(wěn)定值.文檔(1)比較

38、Logistic 模型與 Gompertz 模型:dnd7nln ,其中n(t)是細(xì)胞數(shù)，N是極限值， 是 N dn(2)說明上述兩個(gè)模型是Usher模型：一出n-(1()的特例. N5.18藥物動(dòng)力學(xué)中的Michaelis-Mentonkx (k,a 0), x(t)表本人體內(nèi)藥物在時(shí)刻 a x模型為dx出t的濃度.研究這個(gè)方程的解的性質(zhì)(1)對(duì)于很多藥物(如可卡因)，a比x(t)大得多，Michadis-Menton方程及其解如何簡(jiǎn)化.(2)對(duì)于另一些藥物(如酒精)，x(t)比a大得多，Michaeli-Menton 方程及其解如何簡(jiǎn)化.5.19 考慮一個(gè)受某種物質(zhì)污染的湖水，假設(shè)這個(gè)湖的

39、湖水體積V (以立方米計(jì))不變，且污染物質(zhì)均勻地混合于湖水中。以x(t)記在任一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物的克數(shù)，這是污染程度的一種合適量度,習(xí)慣稱它為污染濃度。令 r記每天流出的湖水立方米數(shù)，由假設(shè)，這也等于每天流入湖里的水量。我們的問 題是：如果某時(shí)刻污染物質(zhì)突然停止進(jìn)入湖水，那么需要經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間才能使湖水的污染濃度下降到開始 時(shí)污染的5% ?5.20 兩棵不同類別的植物種在一起，按比例吸取養(yǎng)料，試建立它們的生長(zhǎng)模型。5.21 構(gòu)造一個(gè)在接種疫苗成為有效防疫手段之前一種傳染病蔓延如麻疹的模型。麻疹的潛伏期為0.5周，在這段時(shí)間內(nèi)一個(gè)被感染的孩子表面上看來是正常的，但卻會(huì)傳染給別人。過了這

40、段時(shí)間后，患病的孩子一直隔離到病愈為止。病愈后的孩子是免疫的。粗略地說，麻疹流行隔年更為嚴(yán)重。(1)構(gòu)造一個(gè)適用于三種情況的簡(jiǎn)單的微分方程模型：容易感染的、傳染的以及被隔離(或痊愈)。也適用于由于出生而大量增加易感染者的情況。假設(shè)每個(gè)感染者隨機(jī)地與居民接觸，并以概率P傳染給被感染者。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（2）證明你的模型有某種周期性質(zhì)。如果它不是，就加以修改，因?yàn)槁檎盍餍锌隙ㄊ勤呌谥芷谑降爻霈F(xiàn)的。（3）估計(jì)你的模型中白參數(shù)以擬合 0.5周期的潛伏期及2年的周期流行的觀察結(jié)果。估計(jì)出的參數(shù)值是否實(shí)際？5.22 用放射性同位素測(cè)量大腦局部血流量的方法如下：由受試者吸入含有某種放射性同位素的氣體， 然后

41、將探測(cè)器置于受試者頭部某固定處，定時(shí)測(cè)量該處的放射性記數(shù)率（簡(jiǎn)稱記數(shù)率）同時(shí)測(cè)量他呼出氣 的記數(shù)率。由于動(dòng)脈血將肺部的放射性同位素輸送到大腦，使腦部同位素增加，而腦血流量又將同位素帶離，使同位素減少。實(shí)驗(yàn)證明腦血流引起局部地區(qū)記數(shù)率下降的速度與當(dāng)時(shí)該處的記數(shù)率成正比。其比例系數(shù)反 映該處的腦血流量，被稱為血流量系數(shù)。只要確定該系數(shù)即可推算出腦血流量。動(dòng)脈血從肺部輸送同位素 至大腦引起腦部記數(shù)率上升的速度與當(dāng)時(shí)呼出的記數(shù)率成正比。若某受試者的測(cè)試數(shù)據(jù)如下：時(shí)間（分）1.001.251.501.752.002.252.502.753.00頭部記數(shù)率1534152814681378127211621

42、052947348呼出氣記率223115341054724498342235162111時(shí)間（分）3.253.503.754.004.254.504.755.005.25頭部記數(shù)率757674599531471417369326288呼出記數(shù)率765236251712864時(shí)間（分）5.5050756.006.256.256.757.007.257.50頭部記數(shù)率25525519917515513712110794呼出氣記率321111111時(shí)間（分）7.758.008.258.258.759.009.259.509.75頭部記數(shù)率837365575050393531呼出氣記率00000000

43、0試建立確定血流系數(shù)的數(shù)學(xué)模型并計(jì)算上述受試者的腦血流系數(shù)。5.23 給狗一次快速靜脈注射?？┻?20mg/kg ,測(cè)得血藥濃度的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)如下:時(shí)間t/h00.250.51246濃度g /ml12.233.532.682.380.781.991.20利用這些數(shù)據(jù)估計(jì)有關(guān)二室模型的參數(shù)。5.24 多數(shù)藥物是口服或靜脈注射的，并且被血液吸收需要時(shí)間。同時(shí)藥物將由腎排除出。給出這種情況的藥物動(dòng)力學(xué)模型。下列是一些關(guān)于藥物動(dòng)態(tài)的數(shù)據(jù)。第一種藥物是磺胺喀咤，第二種藥物是水揚(yáng)酸鈉。用O表示口服，I表示靜脈注射，第 2列中的“克”表示原服用量，其余的表示用藥后各時(shí)刻的血藥濃度。 檢驗(yàn)?zāi)愕哪Ｐ蛿M合的程度？對(duì)于

44、不一致的現(xiàn)象你能怎樣解釋？藥物動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)用法克1時(shí)2時(shí)4時(shí)6時(shí)8時(shí)10時(shí)12時(shí)24時(shí)O4.02.32.73.63.02.0O40.1.82.83.93.52.62.2I1.83.83.42.62.1I1.83.73.32.72.3O105.014.415.712.5I1039.431.424.216.2I20156.743.035.226.65.25 本世紀(jì)初，在倫敦觀察到一種現(xiàn)象，大約每?jī)赡臧l(fā)生一次麻疹病流行，生物學(xué)家H.F.Soper試圖解釋這一現(xiàn)象，他認(rèn)為，易感人數(shù)有新成員不斷地補(bǔ)充，根據(jù)這一假設(shè)，試建立數(shù)學(xué)模型并解釋這一現(xiàn)象。5.26 在北美的五大湖中，安大略湖處于伊利湖的下游，但安大略

45、湖不僅接受伊利湖來的水，還要接受 非伊利湖流入的水。試建模描述這兩個(gè)湖的污染情況。如果流入安大略的水有5/6是伊利湖流出的，對(duì)它們的污染情況給出進(jìn)一步的分析。假設(shè)除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流動(dòng)外，流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暫時(shí)被停止了。 試計(jì)算把安大略凈化到50%以及5%所需要的時(shí)間。5.27 下表給出了五大湖中四個(gè)湖的觀測(cè)數(shù)據(jù)，使用這些數(shù)據(jù)建模對(duì)其中的一個(gè)或兩個(gè)湖的污染給出進(jìn)一步的分析。北美五大洲的觀測(cè)數(shù)據(jù):特 征蘇比利爾湖密執(zhí)安湖伊利湖安大略湖長(zhǎng)度/km560490385309寬度/nm2561889185面積/km 2水面8236758015256619684流域陸地1248

46、381178455879370448總和2072001758608445990132最大深度/m40628160244平均深度/m148841786水的體積/km 31222148711581636平均年降雨/mm736787863863平均流量/ （升/秒）水的平均保存時(shí)間/年206736050126405550720662688018934.82.67.85.28 一家環(huán)境保護(hù)示范餐廳用微生物將剩余的食物變成肥料，餐廳每天將剩余的食物制成漿狀并與蔬菜下腳及少量紙片混合成原料，加入真菌菌種后放入容器內(nèi)。真菌消化這些混合原料，變成肥料。由于原料充足，肥料需求旺盛，餐廳希望增加肥料產(chǎn)量。由于無力

47、添加新設(shè)備，餐廳希望用增加真菌活力的辦法來加速肥料生產(chǎn)。試通過分析以前肥料生產(chǎn)記錄（表），建立反映肥料生成機(jī)理的數(shù)學(xué)模型，提出改善肥料生成的建議。食物漿蔬菜下腳碎紙投料日期產(chǎn)出日期8631090,7,1390,8,1011279090,7,1790,8,137121090,7,2490,8,2020382090,7,2790,8,227928090,8,1090,9,1210552090,8,1390,9,1812115090,8,2090,9,2411032090,8,2290,10,88244091,4,3091,6,185760091,5,291,6,207751091,5,791,6,

48、255238091,5,1091,6,28文檔第7章差分方程模型7.1 設(shè)某種動(dòng)物種群最高年齡為30,按10歲為一段將此種群分為 3組。設(shè)初始時(shí)三組中的動(dòng)物為(1000,1000,1000)T,相應(yīng)的 Leslie 矩陣為030L16000120試求10 , 20, 30年后各年齡組的動(dòng)物數(shù)，并求該種群的穩(wěn)定年齡分布，指出該種群的發(fā)展趨勢(shì)。7.2 設(shè)醫(yī)療保健水平已達(dá)到相當(dāng)高水準(zhǔn)，可以假設(shè)Pi已幾乎無法在增大。在此假設(shè)下，討論 Leslie模型給出的結(jié)果。試根據(jù) Leslie模型設(shè)計(jì)一個(gè)理想的人口增長(zhǎng)模式。7.3 在7 .4節(jié)按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型中，設(shè)一群動(dòng)物最高年齡為15歲，每5歲一組，分

49、成3個(gè)年齡組，各組的繁殖率為60,b24,b33,存活率為S11/2,S21/4,開始時(shí)3組各有1 000只.求15年后各組分別有多只以及 時(shí)間充分長(zhǎng)以后種群的增長(zhǎng)率 (即固有增長(zhǎng)率)和按年齡組的分布.7.4 在按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型基礎(chǔ)上，建立種群的穩(wěn)定收獲模型.(1)設(shè)年齡組區(qū)間、時(shí)段長(zhǎng)度都正好等于種群的繁殖周期，種群的按年齡組分布、Leslie矩陣及增長(zhǎng)規(guī)律仍用7.4節(jié)白X x(k 1) Lx(k)表示.如果時(shí)段k第i年齡組種群的增加量就是這個(gè)時(shí)段的收獲量，表示為Xi(k) Xi (k 1) hi(k)Xi(k), i 1,2, ,n,k 1,2,其中hi (k)為收獲系數(shù).所謂穩(wěn)定收

50、獲是指，各個(gè)時(shí)段同一年齡組的收獲量不變，即hi (k)和Xi (k)(在收獲之后)與k無關(guān).用H表示以加為對(duì)角元素的對(duì)角陣，證明穩(wěn)定收獲模型可表為L(zhǎng)x x HL x ,其中x是種群的按年齡組的穩(wěn)定分布.(2)證明獲得穩(wěn)定收獲白充要條件是：hi滿足(1 hl)blb2s1(1h2)bnSi Sn 1(1h2)(1 hn)1且x cx (C是大于零的常數(shù)),其中x 1,S,(1h2),S1Sn1(1h2)(1hn)T(3)利用第7.3題的數(shù)據(jù)至少給出 H和x的兩組解，并計(jì)算按年齡組穩(wěn)定收獲的分布.7.5 討論穩(wěn)定收獲模型(第7.4題)的兩個(gè)特例(1)有些種群最年幼的級(jí)別具有較大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值，所以飼養(yǎng)者只收獲這個(gè)年齡組的種群， 于是h1h,h2hn 0。給出這種情況下穩(wěn)定收獲的充要條件，并在第 7.3題數(shù)據(jù)下求收獲系數(shù)、種群的穩(wěn)定分布和收獲量按年齡組的穩(wěn)定布.(2)對(duì)于隨機(jī)捕獲的種群，區(qū)分年齡是困難的，不妨假定 h1hnho討論與(1)同樣的問題.7.6 在7 .4節(jié)按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型中，證明當(dāng)時(shí)間充分長(zhǎng)以后若種群繁殖率R 1,則種群增長(zhǎng)，若R 1則種群減少.7.7 對(duì)于7. 1節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問題：(1)因?yàn)橐粋€(gè)時(shí)段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會(huì)影響到下一時(shí)段的價(jià)格，所以第k 1時(shí)段的價(jià)格yk 1由第k 1和第k時(shí)段的數(shù)量xk 1和xk決定.如果仍設(shè)