2014年江蘇理科數(shù)學(xué)高考試題及答案

1、2.2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江蘇卷)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1.已知集合 A= 2, 1,3,4 , B 1,2,3,則 A B .已知復(fù)數(shù)z (5 2i)2 (i為虛數(shù)單位工則z的實部為5 / 173.右圖是一個算法流程圖，則輸出的n的值是4.8.別為V1 , V2 ,若它們的側(cè)面積相等，且0.0300.0250.020則幺的值是V20.0150.0109.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線x 2y3 0被圓80 90 100 110 120 130 底部周長 /cm （第6題）從1,2,3,6這4個數(shù)中一次隨機(jī)地

2、取2個數(shù),則所取2個數(shù)的乘積為 6的概率(第3題)5 .已知函數(shù)y cosx與y sin(2x )(0w工它們的圖象有一個橫坐標(biāo)為一的交點，則 的值6 .設(shè)抽測的樹木的底部周長均在區(qū)間80,130上淇頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有 株樹木的底部周長小于100cm.7 .在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a2 1, a8 a62a4，則a6的值是設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面分別為Si , S2 ,體積分(x 2)2 (y 1)2 4截得的弦長為10 .已知函數(shù)f(x) x2 mx 1,若對于任意 x m,m 1,都有f(x) 0成立，則實數(shù)m的取值范圍 是.2 b11 .在平面直角坐

3、標(biāo)系 xOy中，右曲線y ax （a, b為吊數(shù)）過點P（2, 5）,且該曲線在點 P處的 x切線與直線7x 2y 3 0平行，則a b的值是.12 .如圖，在平行四邊形 ABCD中，已知 AB 8 , AD 5 , CP 3PD , AP BP 2 ,則 AB AD 的值是.13 .已知f（x）是定義在 R上且周期為 3的函數(shù)，當(dāng)x 0,3）時,21 .f（x） |x 2x 一|.若函數(shù)y f（x） a在區(qū)間3,4上有10 2個零點（互不相同工則實數(shù)a的取值范圍是 .2sin C，則cosC的最小值是14 .若 ABC的內(nèi)角滿足sin A J2sin B二、解答題：本大題共6小題，共計90分

4、.請在答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15 .（本小題滿分14分）已知 （一，），sin2求sin（一 ）的值;4，5(2)求 cos(一 6）的值.（第16題）16 .（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐 P ABC中，D, E, F分別為棱PC, AC,AB的中點.已知PA AC ,PA 6,BC 8,DF 5.求證：直線 PA/平面 DEF ；(2)平面BDE 平面ABC .3y2 1（a b 0）的左、右焦點，頂點 B的 b217 .（本小題滿分14分）2X如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分力1J是橢圓 a坐標(biāo)為（0,b）,連結(jié)BF2并延長交橢

5、圓于點 A,過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C,連結(jié)FiC.4 1若點C的坐標(biāo)為（一,），且BF2 J2,求橢圓的方程; 3 3（2）若F1C AB,求橢圓離心率e的值.18 .（本小題滿分16分）如圖，為了保護(hù)河上古橋 OA,規(guī)劃建一座新橋 BG同時設(shè)立一個圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求：新橋BC與河 岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心 M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端。和A到該圓上任 意一點的距離均不少于 80m.經(jīng)測量，點 A位于點。正北方向60m處，點C位于點。正東方向4170m 處（OC為河岸）,tan BCO .3（1）求新橋BC的長；（2）當(dāng)OM多長時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？5/ 1

6、719 .(本小題滿分16 分 )已知函數(shù)f(x) ex e x ,其中e 是自然對數(shù)的底數(shù).證明：f (x)是R上的偶函數(shù)；(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)3x m 1在(0,)上恒成立，求實數(shù) m的取值范圍；(3)已知正數(shù)a滿足：存在xo 1,),使得f(xo) a( x3 3x0)成立.試比較ea1與ae1的大小, 并證明你的結(jié)論.20 .(本小題滿分16 分 )設(shè)數(shù)列an的前 n 項和為Sn.若對任意正整數(shù)n， 總存在正整數(shù)m ， 使得 Snam，則稱an是 “ H數(shù)列” .13 / 17(1)若數(shù)列a n 的前 n 項和 Sn2n(n N ),證明: an 是“ H 數(shù)列”(2)設(shè)

7、an 是等差數(shù)列,其首項a1 1 ,公差 d 0 .若 an 是“ H 數(shù)列” ,求 d 的值；(3)證明：對任意的等差數(shù)列an ，總存在兩個“H 數(shù)列” bn 和 cn ，使得 anbncn( n N )成立 .數(shù)學(xué)n （附加題）21 .選作題 本題包括A、B、C D,請選定其中兩小題作答，若多做，則按作答的前兩小題評分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。A.選修4-1:幾何證明選講（本小題滿分 10分）如圖，AB是圓。的直徑，C,D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點。證明：/ OCB=ZDB.選彳4-2矩陣與變換:（本小題滿分10分）已知矩陣A= 1 2 , B= 11 ，向量“ =2 ,

8、x,y為實數(shù)，若A a1x21y=B 3 ,求x+y的值。C.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為2（t為參數(shù)）芻2,直線l與拋物線2y 4x相父于A、B兩點,求線段AB的長。D.選彳4-5:不等式選講（本小題滿分10分）已知 x 0, y 0,證明：1 x y2 1 x2 y 9xy【必做題】第22題、23題，每題10分，共計20分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。22 .（本小題滿分10分）盒中共有9個球，其中有4個紅球、3個黃球和2個綠球，這些球的除顏色外完全相同。從盒中一次隨機(jī)取出 2個球，求取出的2個球顏色相同的概

9、率 P;X,x2,x3,隨機(jī)變量 X表示從盒中一次隨機(jī)取出 4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)分別記為Xl,X2,X3中的最大數(shù)，求 X的概率分布和數(shù)學(xué)期望 E(X)23 .(本小題滿分10分)sin x已知函數(shù)fo Xsn3(X0),設(shè)fn X為fn 1 X的導(dǎo)數(shù)，n NX求 2fl _f2 222證明：對任意的n N*,等式nfni fn 迎都成立4442數(shù)學(xué)I試題參考答案一.填空題1本麓考查基礎(chǔ)知識、基本運算和基本思想方法.每小題5分,共計加分.6. 24IU.IL. -3工2215.本小國主要考壹三甭函數(shù)的基本關(guān)察式.兩甯和與差及二倍皓的公式，害查運算求解能 力.滿分14分.解XI)因

10、為ICI，由( I ) H 內(nèi)色北三，iMm nyi 2k一娉)?7T> in2a66-2o故sdnITH ,-+ I* slfLtt0ft2b =1 - 2 s in" a =tr e 宣癡i】ctx§. 所0=im,.5 ITxijKJa + s所以jtH + txH)=-4十3百Ti拈 本小題主要考查直線與直垓、直域與平面以及平面與平面的位置關(guān)系.考查空間想象靠力 和推理論證熊力.滿分14分.證明；（I）因為小K分別為楨P（ M；的中點，所以O(shè)APl.又因為/J.t5千面DEk. 平面陽， 所以支線凡1/平面U£K（2）因為"& F分

11、別為域PC, AC, AB的中點,P4=6, 二=豈,W U DE/fPA. JJA = J-P4 = 3 T tl =-y-i/r = 4. ，乂因為DF=5,故"尸=口心十£匕所以3EF=州,即攝工££ 又! Lia i）Ef/PA,所以 DEL AU. 因為 AC Fl EF=£ ACC 平面"二 EFU平面 ABC, 所以比，平面MC.乂。EU平面由就.所以平面幽注，平面，詁C.I第U)17.本小題主要考查摘圖的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直坡與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識.考查運 算求解能力.滿分14分.解:設(shè)推圈的焦距為兒則儲Ln。）

12、.廣式乙。）.（1）因為趙（。，川，所以白上二=/卜<7? =& 乂 "5=6故=A-16因為點今寧）在描劇上，所%+L解得t;=L 故所求橢回的方程為十1 L（2）因為MQ, &）, F式j(luò) 0）在門理 W上.所以點月的坐標(biāo)為（學(xué)M.<O 4 CH （能"題）所以在線,卬的方程為-t =L c b乂北,垂克于支軸，由幡園的對稱性，可得點。的坐標(biāo)為（母冬.年學(xué) f c “F r J因為直線F£的斜翠為 序'=砥LL直緩AH的斜率為-T字鼻_p/且£C_LAE.所以0人?f-l=-I. 乂# =/J.整理得了二短.故虱、

13、+ J I w/5因此一n）如圖，以“為型標(biāo)蛆點j此所在直線為，軸.建立平間立再坐林系*"由條件知乂（0. &J）, CCI7«, 0） T， HC 的制率m tan£JJCf）=又因為力HLHf；.所以在線,1#的斜率%4-設(shè)點月的坐標(biāo)為g.外.riH 6 y。4HH« = 17O = -3解得荏=K（）, A = 20.所以 KC=J（6J 二 KU）4 10 - 120壬=J5（l 因此新橋弁匚的長是15。m（2謨保護(hù)區(qū)的邊扉阿M的半律為r m, QH = inHOWMW（ML 由條件知.直線依的方程為j =-義-170）,即4X + 3y

14、 - 6KO = （）, 曲于闕H與直線昵相切，故寰 陽0.8到直線際的距離是人因為0和.1到回V上任意一點的距離均不少于3。m.所以r- (-3孑S0 .即-(60 - if)'涮 3d解得附*dW35.故當(dāng)d=】U時，,=6-;3d最大,即凰面枳最反 所以當(dāng)（JW=】。m時，噠形保護(hù)區(qū)的面積最太 解法二,1如商，延長04, £戶交于有K（第1n題）1免本小盤主要考查初等函戴的基*桂質(zhì)、鼻數(shù)的應(yīng)用等基酬知識，考查蝗合運用數(shù)學(xué)思想 方法分析與解決問題的能力,滿分16分. "）證明£明為對任意工修裝.都行/t=L+ e-P =尸+ 一人兀所以八G是r上的偶函

15、st2解；由條件知陽Y十一T- 1）df - I在 9上恒成立令y/（工。）.則el.所以一筆-二三時任意01成也r-1 4 1, . 1 ,1 i + jt 因為' f - I + -T + 1 2 /（f - I ） - -r + I ，所以-j號-J 1nJ 1, I . jf - I + + Jt 1當(dāng)且僅當(dāng)I 北即mu M2時等號成立，因此實數(shù)m的取值范圉是（-肛-y.3 卜解：?函救 #1）=eJ4 - - a（- i4- 3外.則以'（H）=1 一 4 式（J 1）. t?11當(dāng)文#1時./_，（, /_】#0,又20.故U”0.所以則乃是I.+ «0上

16、的甲潮 e*增函數(shù)，因此晨）在】，+工）_L的最小值是（1） =? 4 p- ' - 2u.由于存在與eI, +e）,使4+%j）0成立.當(dāng)且僅當(dāng)最小值孤l）a 故十k 一 2日0.即a-7今函數(shù) * )=工-(v 1 ) Llv - 1 9 則 %'(才) = 1 -爭 A'(工)=0. j =(:-,lst當(dāng)玉w(0, r - I)時，術(shù)<0,故人是r - 1 )上的單謝減函數(shù)；當(dāng)主-1J 與時”5)>0.故心外是O - I. *M)上的單刑增函數(shù)一所以A(£)所(0. * m)上的最小值是h(e - 1 ).注意到 A叫*)叫 所以當(dāng)xe(1

17、 . e - 1)C(O, e - 1>時，i(eI I)<A(r)<A(1) =0；(1。成立.(J1 ：(<1 + e) G(e1, + 時！* (-1)&(七)=工所以 A(jc) < 0 時任意的 j e工與(匚弋；,1) U (1.t?時.人(狀卜 <。* 即狀-1< (r - 1 ) luri,從而當(dāng)"=中日，產(chǎn)L M"一，當(dāng)。(-，+ no) C(p-L +m)時.A()亍。，即a-> (I) Ino.故山一、肛1 蹤上所述,當(dāng)/E / +；.)時.小馬*片7；當(dāng)時，心Al=fT；當(dāng)力后(乙+ H) 口

18、¥ 口 一 I y M- 1 BT * f > o .加一本小題主要考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考量原究能力及推理論證能力.滿分 16分.(I)證明：由已知.當(dāng)nMlHt. “，產(chǎn)3向-立=尸：2、”于是豺住總的亞整數(shù)口，總存 在正整數(shù)m=« + L使彳3$.=2"= J 所以是“數(shù)列】(2)解;南已知，得多=窺產(chǎn)d = 2 +比因為恒"是"丹數(shù)列二所胤存在正整數(shù)小 使得 S產(chǎn)心,即2+ (tn - l)</t于是-2評三.因為d t0,所以m - 2 q。，故 陽L從而d= T.當(dāng)心-1時.丫2 f. 0 =晅/是小于2的

19、整數(shù)，M N .于是對任意的正移數(shù)以 總存在正整我露=2邑=2迫/使得S. = 2 相=%.所以卜/是1數(shù)舛T. 因此的值為-LC)證明；設(shè)等差效到川的公差為凡則 * = %+(*-】)d = H/X吁1 )(-,> (flCNf ).令 &.二以叫，e尸(n - 1) (4 一口.),則%="* n e N * ) T 下證1力是”/數(shù)列二設(shè)1%的前日項和為了.'二J5：(“且N* X于是對任意的正趨數(shù)以總存 在正整數(shù)冏=三巴戶.使得二=%.所以I力是一數(shù)列1£同理叮證|也是"“數(shù)列1所以，豺任意的等差數(shù)列I%、總存在闞個5H數(shù)列口兒|和I

20、qL使得口.=6.十r<”號N* ) fe.數(shù)學(xué)n (附加題)21.選作題 本題包括A、B、C D,請選定其中兩小題作答，若多做，則按作答的前兩小題評分，解答 時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。A.選修4-1:幾何證明選講(本小題滿分10分)如圖，AB是圓。的直徑，C,D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點。證明：/ OCB=ZDOCB= ABC= D第21 A題1B.選彳4-2矩陣與變換:（本小題滿分10分）已知矩陣A= 1 2 , B= 11 x 22,x,y為實數(shù)，若 Aa = B3 , X+ x+y的值。y解析：1 222+2yA a =1 x y 2 xy1122 yB3 =21 y4 y所以由Aa=B3得:-2+2y 2 y2 xy 4 y1x 解得2y 4C.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為2 （t為參數(shù)），直線l與拋物線y2馬24x相交于A、B兩點,求線段AB的長。把直線方程22 （t為參數(shù)）代入到y(tǒng)2*t24x中,得 2 -2t2% ,解得 t10,t2所以，AB t1 t28冠D.選彳4-5:不等式選講（本小題滿分10分）已知 x 0, y 0,證明：1 x y2 1 x2 y 9xy提示利用