2020中考數(shù)學(xué)《幾何》壓軸大題專練(30道)

1、2020中考數(shù)學(xué)幾何壓軸大題專練(30道)1 . (2019安徽省中考模擬)已知如圖 1,在4ABC中，ACB = 90°, BC = AC ,點(diǎn)D在AB上，DS AB交BC于E,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)(1)寫出線段FD與線段FC的關(guān)系并證明；(2)如圖2,將4BDE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)a (0°< a< 90°),其它條件不變，線段 FD與線段FC的關(guān)系是否變化，寫出你的結(jié)論并證明；BF的范圍.(3)將4BDE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果 BC = 4, BE=2j2,直接寫出線段11(3)在(2)題中，連接BD分別交 x|2 x 4 于M、N ,你還能用旋轉(zhuǎn)的

2、思想說明圖I堊32 . (2019山東省中考模擬)正方形 ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn)，(1)將VADE繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)， 使AD、AB重合，得到VABF ,如圖1所示.觀察可知：與DE相等的線段是, AFB .(2)如圖2,正方形ABCD中，P、Q分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且 PAQ 45，試通過旋轉(zhuǎn)的方式說明:DQ BP PQ2-22BM2 DN2 MN2.3 . (2019內(nèi)蒙古自治區(qū)中考模擬)如圖 ，9BC內(nèi)接于aOBB是。的直徑，CD平分 UCB交4O于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)F,弦AEACD于點(diǎn)H,連接CE、OH.延長AB到圓外一點(diǎn) P,連接PC若PC2=PB PA,求證：PC是AO

3、的切線；（2）求證：CF AE=AC BC;若竺 二3, ZO的半徑是 J13,求tan "EC和OH的長.BF 24 .（2017營口市老邊區(qū)柳樹鎮(zhèn)中學(xué)中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點(diǎn).直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D,且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），另一直角邊與 CBM的平分線 BF相交于點(diǎn)F.（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊得中點(diǎn)位置時：通過測量DE、EF的長度，猜想 DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ;連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N,猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ，請證明你的猜想；（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時， 猜想此時DE與

4、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系， 并證明你的猜想.5 . （2019山東省中考模擬）（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1,在RtAABC中，AB=AC=2, ABAC =90°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，以 CD為一邊作正方形 CDEF , 點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為 （2）（拓展研究）在（1）的條件下，如果正方形 CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接BE, CE, AF ,線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）（問題發(fā)現(xiàn)）當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B, E, F三點(diǎn)共線時候，直接寫出線段AF的長.6 . (2019山東省中考模擬)如圖1,在Rt ABC中， A 90 , AB

5、AC ,點(diǎn)D、E分別在邊 AB、AC上，AD AE ,連結(jié)DC ,點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn).(1)觀察猜想圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 ;(2)探究證明把 ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖 2的位置，連結(jié) MN、BD、CE ,判斷 PMN的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸把 ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若 AD 4 , AB 10,請直接寫出 PMN面積的最大值.7 .(2018河南省中考模擬)已知：在VABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)；過點(diǎn)A作AF/BC, 交BE的延長線于F ,連接CF .1求證：四邊形 ADCF是平行四邊形;2填空：當(dāng)A

6、B AC時，四邊形ADCF是 形;當(dāng) BAC 90o時，四邊形ADCF是 形.8 D C8. (2019江蘇省中考模擬)如圖，矩形ABCD中，AB 6 , BC 8,點(diǎn)E在BC邊的延長線上，連接DE , 過點(diǎn)B作DE的垂線，交CD于點(diǎn)M，交AD邊的延長線于點(diǎn) N .(2)在(1)的條件下，求BM的長;(3)設(shè)CE x , BN y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出 x的取值范圍9. (2019河南省中考模擬) 如圖(1),已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對角線AC上，GX BC ,垂足為點(diǎn)E,GFA CD,垂足為點(diǎn)F.(1)證明與推斷：求證：四邊形 CEGF是正方形；AG，一.推斷：的值為BE(

7、2)探究與證明：將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn) a角(0°V a< 45°),如圖(2)所示，試探究線段 AG與BE之間 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)拓展與運(yùn)用：正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B, E, F三點(diǎn)在一條直線上時， 如圖(3)所示，延長CG交AD于點(diǎn)H.若AG=6 , GH=2 后,則 BC=10. (2018山東省中考模擬)如圖 ,在 ABC中，BAC=90° , AB=AC，點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn) A, C重合)，在4ABC的外部作 ACED,使CED=90 , DE=CE ,連接AD ,分別以 AB, AD為鄰邊作平行四邊形ABFD

8、，連接AF .(1)請直接寫出線段 AF, AE的數(shù)量關(guān)系 (2)將4CED繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時，如圖,連接AE ,請判斷線段 AF, AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在圖的基礎(chǔ)上，將4CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，請判斷(2)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變, 結(jié)合圖寫出證明過程；若變化，請說明理由.11. (2019哈爾濱市雙城區(qū)第六中學(xué)中考模擬)如圖，點(diǎn) M是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接 AM , 點(diǎn)E是線段AM上一點(diǎn)，4CDE的平分線交 AM延長線于點(diǎn)F.如圖1,若點(diǎn)E為線段AM的中點(diǎn),BM ： CM =1： 2, BE =廂,求 AB 的長;(2)如圖 2,

9、若 DA = DE ,求證：BF+DF = J2AF .12. (2017湖北省中考模擬)如圖 1,在矩形ABCD中，E是CB延長線上一個動點(diǎn)，F(xiàn)、G分別為AE、BC的中點(diǎn)，F(xiàn)G與ED相交于點(diǎn)H(1)求證：HE = HGPE PA (2)如圖2,當(dāng)BE=AB時，過點(diǎn) A # APADE于點(diǎn)P連接BP,求的值PB(3)在(2)的條件下，若 AD = 2, AADE =30 °,則BP的長為圉113. （2019陜西省中考模擬）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1, AACB和DCE均為等邊三角形，點(diǎn)填空：那EB的度數(shù)為;線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系為 .（2）拓展研究如圖2, AACB和4DCE均為等

10、腰直角三角形,A、D、E在同一條直線上，連接 BE.ACB = DCE = 90°,點(diǎn) A、D、E 在同一條直線上， CM為4DCE中DE邊上的高，連接BE,請判斷AAEB的度數(shù)及線段 CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（3）解決問題如圖3,在正方形 ABCD中，CD = 2j2,若點(diǎn)P滿足PD = 2,且BPD = 90°,請直接寫出點(diǎn) A至ij BP的距離.鼠14. （2019浙江省中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（4, 6）,點(diǎn)P為線段OA上一動點(diǎn)（與點(diǎn) O、A不重合），連接CP,過點(diǎn)P作P曰CP交AB于點(diǎn)D,且PE = PC,

11、過點(diǎn)P作PFAOP且PF = PO （點(diǎn)F在第一象限），連結(jié) FD、BE、BF ,設(shè) OP = t.(1)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示)： ;(2)四邊形BFDE的面積記為S,當(dāng)t為何值時，S有最小值，并求出最小值；(3) 4BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出 t；若不能，說明理由.15. (2019江西省中考模擬)某數(shù)學(xué)活動小組在研究三角形拓展圖形的性質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程:麋作發(fā)現(xiàn)在等腰AABC中，AB = AC,分別以AB和AC為腰，向4ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖所示，連 接DE,其中F是DE的中點(diǎn)，連接AF,則下列結(jié)論正確的是 (填序號即可)1DE ABC>

12、AF=BC: AFBC; 整個圖形是軸對稱圖形;2 數(shù)學(xué)思考在任意AABC中，分別以AB和AC為腰，向AABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖所示，連接DE ,其中F是DE的中點(diǎn)，連接 AF ,則AF和BC有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程 類比探索在任意AABC中，仍分別以AB和AC為腰，向AABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖 所示，連接DE , 其中F是DE的中點(diǎn)，連接 AF,試判斷AF和BC的數(shù)量和位置關(guān)系是否發(fā)生改變？并說明理由.圖1圖2圖316 .(2017湖北省中考模擬)如圖1,ABCD為正方形，將正方形的邊 CB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到CE,記BCE=a, 連接BE, DE,過點(diǎn)C作C

13、F ADE于F ,交直線BE于H .(1)當(dāng) a =60時，如圖 1 ,貝UBHC=;(2)當(dāng)45° V a< 90°,如圖2,線段BH、EH、CH之間存在一種特定的數(shù)量關(guān)系，請你通過探究，寫出這個關(guān)系式： (不需證明)；(3)當(dāng)90。 “V 180。，其它條件不變(如圖 3), (2)中的關(guān)系式是否還成立？若成立，說明理由；若不 成立，寫出你認(rèn)為成立的結(jié)論，并簡要證明.17 . (2018山東省中考模擬)矩形 ABCD中，DE平分 ADC交BC邊于點(diǎn)E, P為DE上的一點(diǎn)(PEVPD), PM PD , PM 交 AD 邊于點(diǎn) M.(1)若點(diǎn)F是邊CD上一點(diǎn)，滿足

14、PFAPN ,且點(diǎn)N位于AD邊上，如圖1所示.求證： APN=PF; DF+DN=DP;(2)如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)F在CD邊的延長線上時，仍然滿足PFAPN ,此時點(diǎn)N位于DA邊的延長線上,如圖2所示；試問DF, DN, DP有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.18. (2019云南省中考模擬)在矩形ABCD中，AB=12 , P是邊AB上一點(diǎn)，把4PBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,過點(diǎn)B作B8 CG ,垂足為 E且在AD上,BE交PC于點(diǎn)F(1)如圖1,若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證： 4AE*ADEC ;(2)如圖2, 鵬證：BP=BF ；當(dāng) AD=25 ,且 AEVDE 時，求 cos PCB

15、的值;當(dāng)BP=9時，求BE?EF的值.19. (2018廣東省中考模擬)已知：如圖1在Rt ABC中，C=90°, AC=8cm , BC=6cm，點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；同時點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為lcm/s;連接PQ,設(shè)運(yùn)動的時間為t秒(0vtv5),解答下列問題:(1)當(dāng)為t何值時，P8BC ;(2)設(shè)4AQP的面積為y (cm2),求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出 y的最大值；(3)如圖2,連接PC,并把APQC沿QC翻折，得到四邊形 PQPC,是否存在某時刻t,使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時 t的值；若

16、不存在，請說明理由.20. (2018江蘇省中考模擬)如圖 1,在矩形 ABCD中，AD =3, DC = 4,動點(diǎn)P在線段DC上以每秒1個單位的速度從點(diǎn) D向點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)P作P8 AC交AD于Q,將APDQ沿PQ翻折得到4PQE.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t (s).(1)當(dāng)點(diǎn)E落在邊AB上時，t的值為;(2)設(shè)4PQE與4ADC重疊部分的面積為 s,求s與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖2,以PE為直徑作/0 .當(dāng)40與AC邊相切時，求 CP的長.21. （2019山東省中考模擬） 4ABC中，BAC=90° , AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn) D不與B,C重合），以AD為邊在AD右

17、側(cè)作正方形 ADEF ,連接CF ,（1）觀察猜想如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時， BC與CF的位置關(guān)系為： . BC, CD, CF之間的數(shù)量關(guān)系為： ;（將結(jié)論直接寫在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時，結(jié)論 , 是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明.（3）拓展延伸如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點(diǎn)G ,連接GE ,若已知AB=2 J2 , CD=:BC ,4請求出GE的長.22. （2019四川省成都市簇錦中學(xué)中考模擬）如圖，四邊形 ABCD的頂點(diǎn)在 心 上，BD是4O的直徑，延長CD、BA交于點(diǎn)E,連接 AC

18、、BD交于點(diǎn)F ,作AH ACE,垂足為點(diǎn) H ,已知 AADE = AACB .(1)求證：AH是4O的切線；(2)若 OB = 4, AC = 6,求 sin MCB 的值;A(0, 4), B(3, 4), P 為線段 OA 上一動點(diǎn),23. （2019浙江省中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,過O, P, B三點(diǎn)的圓交 x軸正半軸于點(diǎn) C,連結(jié) AB, PC, BC,設(shè)OP=m.(1)求證：當(dāng) P與A重合時，四邊形 POCB是矩形.(2)連結(jié) PB,求tan ABPC 的值.(3)記該圓的圓心為 M,連結(jié) OM, BM,當(dāng)四邊形 POMB中有一組對邊平行時，求所有滿足 條件的m的值.(

19、4)作點(diǎn)O關(guān)于PC的對稱點(diǎn)O ,在點(diǎn)P的整個運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn) O落在 “PB的內(nèi)部(含邊界) 時，請寫出 m的取值范圍.24. (2017內(nèi)蒙古自治區(qū)中考模擬) 如圖，AB為()直徑，C、D為()上不同于A、B的兩點(diǎn)， ABD=2A BAC , 連接CD .過點(diǎn)C作CM DB ,垂足為 E,直線AB與CE相交于F點(diǎn).(1)求證：CF為的切線；.3(2)當(dāng) BF=5, sinF 時，求 BD 的長.525. (2019廣西壯族自治區(qū)中考模擬)如圖， 4ABC內(nèi)接于(), CBGHA , CD為直徑，OC與AB相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EFA BC ,垂足為F,延長CD交GB的延長線于點(diǎn) P,連接BD

20、.(1)求證：PG與()相切；(2)若正=5 ,求正的值；AC 8 OC(3)在(2)的條件下，若 ()的半徑為8, PD=OD ,求OE的長.26. (2019內(nèi)蒙古自治區(qū)中考模擬)在RtABC中，BC=9 , CA=12 , ABC的平分線 BD交AC與點(diǎn)D,DS DB交AB于點(diǎn)E.(1)設(shè)()是4BDE的外接圓，求證： AC是()的切線;(2)設(shè)()交BC于點(diǎn)F,連結(jié)EF,求正的值.AC2527. (2018河南省中考模擬)(1)問題：如圖1,在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)， DPC必A=4B=90°.求證：AD- BC=AP BP .(2)探究：如圖2,在四邊形 ABC

21、D中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng) ADPCAA=AB=0時，上述結(jié)論是否依然成立.說明理由.(3)應(yīng)用：請利用(1) (2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題：如圖3,在4ABD中，AB=6 , AD=BD=5 .點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度，由點(diǎn) A出發(fā)，沿邊 AB向點(diǎn)B運(yùn)動，且滿足 ADPC-A .設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t (秒)，當(dāng)DC的長與 ABD底邊上的高相等時，求 t 的值.28. (2019福建省中考模擬)如圖，OA是4O的半徑，點(diǎn) E為圓內(nèi)一點(diǎn)，且 OAOE, AB是。的切線,EB交4O于點(diǎn)F, BQAAF于點(diǎn)Q.如圖1 ,求證：OE4AB ;(2)如圖2,若AB=AO,求AFBQ的值;如圖3,連接OF

22、, AEOF的平分線交射線 AF于點(diǎn)P,若OA = 2, cosaAB= 4 ,求OP的長.29. (2019江蘇省中考模擬)平面上，Rt ABC與直彳至為CE的半圓。如圖1擺放，B = 90°, AC = 2CE點(diǎn)D隨半圓O旋轉(zhuǎn)且4ECD=m, BC = n,半圓。交BC邊于點(diǎn)D,將半圓。繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn),始終等于 ACB,旋轉(zhuǎn)角記為 a (0° < a < 180(1)當(dāng) a= 0°時，連接 DE,則CDE=°, CD =; BD(2)試判斷：旋轉(zhuǎn)過程中 的大小有無變化，請僅就圖2的情形給出證明;AE(3)若 m=10, n = 8

23、,當(dāng)a= 4ACB時，求線段 BD的長；(4)若m = 6, n = 4j2,當(dāng)半圓。旋轉(zhuǎn)至與4ABC的邊相切時，直接寫出線段 BD的長.30. (2018廣東省中考模擬)如圖， 4ABC是()的內(nèi)接三角形，點(diǎn) D在？C上，點(diǎn)E在弦AB上(E不與A重合)，且四邊形BDCE為菱形.(1)求證：AC=CE ;(2)求證：BC2-AC2=AB?AC ;(3)已知()的半徑為3.AB 5右二一，求BC的長；AC 3AB 當(dāng)為何值時，AB?AC的值最大?AC2020中考數(shù)學(xué)幾何壓軸大題專練（30道）參考答案1 . （2019安徽省中考模擬）已知如圖1,在4ABC中，ACB = 90°, BC

24、= AC ,交BC于E,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)（1）寫出線段FD與線段FC的關(guān)系并證明；（2）如圖2,將4BDE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn) a （0°< a< 90°）,其它條件不變，線段 否變化，寫出你的結(jié)論并證明；D 在 AB 上，DEA ABFD與線段FC的關(guān)系是（3）將4BDE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果 BC = 4, BE=2，2,直接寫出線段BF的范圍.【答案】（1）結(jié)論：FD=FC, DF ±CF .理由見解析；（2）結(jié)論不變.理由見解析;【解析】解：（1）結(jié)論：FD=FC, DF ±CF .理由：如圖1中，1ADE = ±ACE=9

25、0°,AF= FE,±DF =AF = EF =CF, ±±FAD= ±FDA, 1FAC= ±FCA,± J_DFE = ±FDA + ±FAD = 2 1FAD , ±EFC = XFAC+ ±FCA = 2 1FAC,±CA=CB, _bACB = 90°,±±BAC = 45°,±±DFC = ±EFD + ±EFC = 2 (XFAD+XFAC) =90°,±DF =

26、 FC, DFXFC.(2)結(jié)論不變.理由：如圖2中，延長AC到M使得CM = CA,延長ED到N,使得DN = DE,連接BN、BM . EM、AN,延長ME交AN于H,交AB于O.圖二XBCAM, AC = CM,±BA= BM,同法 BE=BN,1ABM= ±EBN = 90°,±±NBA= ±EBM ,XABNXMBE ,LAN = EM, 11BAN= ±BME ,，AF = FE, AC=CM,±CF= 1EM , FCXEM,同法 FD = 1 AN, FDUN, 22±FD = FC,&#

27、177;±BME + ±BOM= 90 °, 1BOM = ±AOH ,±±BAN + ±AOH = 90°,，LAHO = 90°,±AN ±MH , FDXFC.（3）金 BF 3短當(dāng)點(diǎn)E落在AB上時，BF取得最大值，如圖 5 所示，1BC 4, AC BC, ACB 90 , 1AB 4V2 ,，F(xiàn) 是 AE 的中點(diǎn)，±EF=1 AB BE , 2又 BE 2、, 2,±BF BE EF BE 1 AB BE 272 - 472 242 3亞, 22即BF的最

28、大值為3J2 .當(dāng)點(diǎn)E落在AB延長線上時，BF取得長最小值，如圖 6 所示，XBC 4, AC BC, ACB 90 , ±AB 4v2，1 A，F(xiàn) 是 AE 的中點(diǎn)，±AF =- AB BE ,2又BE 2應(yīng)，1_ 1；_±BF AB AF AB AB BE 4 短4 垃 2 盤 垃, 22即BF的最小值為22 .J PC s P圖I圖2圖3圖6綜上所述，2 BF 3 2【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題， 屬于中考壓軸題

29、.2. （2019山東省中考模擬）正方形 ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn)，（1）將VADE繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)， 使AD、AB重合，得到VABF ,如圖1所示.觀察可知：與DE相等的線段是, AFB .（2）如圖2,正方形ABCD中，P、Q分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且 PAQ 45，試通過旋轉(zhuǎn)的方式說明：DQ BP PQ2-22BM2 DN2 MN2.（3）在（2）題中，連接BD分別交 x|2 x 4 于M、N ,你還能用旋轉(zhuǎn)的思想說明【答案】（1） BF, AED； （2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】（1）、±± ADE繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使 AD、AB重合

30、，得到± ABF,± DE=BF, 1 AFB=± AED ,(2)、將，ADQ繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90 °,則AD與AB重合，得到LABE,如圖2,則上 D=L ABE=90 , 即點(diǎn) E、B、P共線，±EAQ=L BAD=90 , AE=AQ , BE=DQ , ± ± PAQ=45 ,± ± PAE=45°± ± PAQ=± PAE± ± APEX ± APQ SAS),± PE=PQ而 PE=PB+BE=PB+DQ

31、 ,±DQ+BP=PQ;(3)、，四邊形 ABCD 為正方形，± ± ABD=± ADB=45° ,如圖，將±ADN繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90°,則AD與AB重合，得到XABK,貝UABKfLADN=45 , BK=DN , AK=AN , 與(2) 一樣可證明 1AMN_±AMK ,得到 MN=MK , ±± MBA+L KBA=45° +45 ° =90°BMK為直角三角形，± BK2+BM 2=MK 2, ±BM2+DN2=MN 2.考點(diǎn)

32、：（1）、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；（2）、全等三角形的判定與性質(zhì)；（3）、勾股定理；（4）、正方形的性質(zhì).3. （2019內(nèi)蒙古自治區(qū)中考模擬）如圖 ，必BC內(nèi)接于 AOAB是AO的直徑，CD平分 "CB交4O于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)F,弦AEACD于點(diǎn)H,連接CE、OH.（1）延長AB到圓外一點(diǎn)P,連接PC若PC2=PB PA,求證：PC是AO的切線； （2）求證：CF AE=AC BC;若工 =3, ZO的半徑是 而，求tan "EC和OH的長.BF 2【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） tan必EC= 3 , OH = 1.2【解析】(1)證明：: PC2=PB FA, /PC

33、PB =PAPC.BPC= ±APC,-., 1PBC ± _LPCA, ，BAC= LPCB,連接OC,如圖所示DAO=OC,-.±ACO=，BACFCO= J_PCB.AB 是上O 的直徑，LACB=90° ,.BCO+LACO=90° ,.BCO+ ±PCB= 90 °PCO=90°. OC是半徑,.- PC是1O的切線.(2)證明：.AB是，O 的直徑,UCB=90 °. CD平分 DCB,DCD= ±FCB= 45°. AHCD ,/±CAE= 45 = ±

34、;FCB.在BCE與±CFB中，1CAE= ±FCB,必EC= ±FBC,BCE ± ±3FB ,-.空=些, CF BC CF AE=AC BC. CD平分 LACB,FM=FN.S ±ACF= 1 AC FM= 1 AF CQ,22S1BCF= 1BC FN= ”F CQ, 221 八1 “g -AC FM CQ AFSVACF _ 2_ 2SVBCF 1BC FN -CQ BF 22AF ACBF BCACAB是，O 的直徑，. LACB=90 且 tan JABC=BCAF 3=且，aec= BBC,BF 2AC 3. tan

35、 JAEC= tan _ABC=BC 2設(shè) AC=3k,BC=2k,.在 Rt 1ACB 中，AB2=AC2+bc2 且 AB=2 后, . (3k)2+ (2k)2= (2 后)2, . k=2(k=-2 舍去),AC=6,BC= 4,.FCB=45° ,CHK=90° , .±K= 45 = ±CAE, HA=HC=HK ,CK=CA= 6. CB=4, / BK=6-4=2, OA=OB,HA=HK , OH是 LABK 的中位線,1 OH=1 BK= 1.2【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性

36、質(zhì)、三角形中位線定理等知識的綜合應(yīng)用.4.（2017營口市老邊區(qū)柳樹鎮(zhèn)中學(xué)中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點(diǎn).直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D,且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），另一直角邊與 CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F.圖I圖2（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊得中點(diǎn)位置時：通過測量 DE、EF的長度，猜想 DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ;連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N,猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ，請證明你的猜想;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時， 猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系， 并證明你的猜想.【答案】（1） 1DE=EF； ±

37、;NE=BF；理由見解析；（2） DE=EF,理由見解析. 【解析】解：（1） ±DE=EF； ±NE=BF；理由如下：，四邊形ABCD為正方形，± AD=AB , 1 DAB=± ABC=90° ,1N, E分別為AD, AB中點(diǎn)，± AN=DN= Lad, AE=EB= 1 AB , 22± DN=BE, AN=AE ,±± DEF=90°,±± AED+-X FEB=90°,X±±ADE< AED=90 ,±± F

38、EB=± ADE又，AN=AE ,±± ANE=± AEN,又口 A=90,±± ANE=45°,±± DNE=180 - 1 ANE=135° ,又，CBM=9 0 , BF 平分，CBM,±± CBF=45°, ± EBF=135°,ADE FEB在，DNE 和，EBF中 DN EB , DNE EBF±± DNEL± EBF（ASA）, ± DE=EF, NE=BF .（2） DE=EF ,理由如下：

39、在DA邊上截取 DN=EB ,連接 NE,，四邊形ABCD是正方形，DN=EB ,±AN=AE,±± AEN為等腰直角三角形，±± ANE=45°,±± DNE=180)°- 45° =135,°，BF平分，CBM, AN=AE ,±± EBF=90° +45° =1,35°±± DNE=! EBF,±± NDE-+X DEA=90°, ± BEF+X DEA=90°

40、 ,±± NDE=1 BEF,ADE FEB在，DNE 和，EBF 中 DN EB ,DNE EBF±± DNEL± EBF(ASA ),± DE=EF.【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，能正確地根據(jù)圖1中證明LDNE與，EBF全等從而得到結(jié)論，進(jìn)而應(yīng)用到圖2是解題的關(guān)鍵.5. （2019山東省中考模擬）（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1,在RtAABC中，AB =AC=2, ABAC =90°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，以 CD為一邊作正方形 CDEF , 點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為 （2）（

41、拓展研究）在（1）的條件下，如果正方形 CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接BE, CE, AF ,線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）（問題發(fā)現(xiàn)）當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B, E, F三點(diǎn)共線時候，直接寫出線段 AF的長.【解析】解：(1)在 RtXABC 中，AB=AC=2 ,根據(jù)勾股定理得，BC=、,2ab=2 "2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，±AD=1bC= J2, 2、，四邊形CDEF是正方形，± AF=EF=AD=四,± BE=AB=2 , ± BE=72 AF ,故答案為BE=近AF ；(2)無變化;如圖 2,在 RtXA

42、BC 中，AB=AC=2 ,CA± ± ABC=± ACB=45 , ± sin ± ABCCB在正方形 CDEF 中，±FEC=1 ±FED=45°, 2在 RtCEF 中，sin ±FEC=CF 巫 CE 2 ',CF CA工一 一，CE CB± ± FCE=± ACB=45°, ± ± FCE ± ACE=± ACB - 1 ACE, ± ± FCA=± ECBBE CB 一 一口

43、ACF口 BCE， =近,±BE= V2 AF,AF CA，線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系無變化；(3)當(dāng)點(diǎn)E在線段AF上時，如圖2,由（1）知，CF=EF=CD= . 2，在 RtBCF 中，CF=V2，BC=2T2,根據(jù)勾股定理得，BF=遍，1 BE=BF - EF=娓-霹,由（2）知，BE= 2z AF , ± AF= 73 - 1,當(dāng)點(diǎn)E在線段BF的延長線上時，如圖 3,CA在 RtABC 中，AB=AC=2 , ±±ABC=LACB=45 , ±sin ±ABC=caCBCACB在正方形 CDEF 中，±FEC=1 &#

44、177;FED=45°, 2在 RtCEF 中，sin ±FEC=CF 顯XCFCE 2 ' CE± ± FCE=± ACB=45°, ± ± FCB+X ACB=± FCB+X FCE, ± ± FCA=± ECBBE CB -_口 ACF 口 BCE， =五,±BE=/2 AF, AF CA '由（1）知，CF=EF=CD=、工,在 RtBCF 中，CF=, BC=2 無，根據(jù)勾股定理得，BF=、. 6 , J_ BE=BF+EF=、, 6 +、

45、, 2 ,由（2）知，BE=AF, ±AF=73+1 -即：當(dāng)正方形 CDEF旋轉(zhuǎn)到B , E, F三點(diǎn)共線時候，線段 AF的長為J3 - 1或J3 +1 .6. （2019山東省中考模擬）如圖1,在Rt ABC中， A 90 , AB AC ,點(diǎn)D、E分別在邊 AB、AC 上，AD AE ,連結(jié)DC ,點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn).(1)觀察猜想圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 ；(2)探究證明把 ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖 2的位置，連結(jié) MN、BD、CE ,判斷 PMN的形 狀，并說明理由；(3)拓展延伸把 ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若 AD

46、 4 , AB 10,請直接寫出 PMN面積的最 大值.【答案】(1) PM PN , PM PN ; PMN是等腰直角三角形，理由見解析；(3) PMN面積的49最大值為竺. 2 【解析】解：(1)，點(diǎn)P、N是CD、BC的中點(diǎn)1 、 XPN/BD , PN -BD 2，點(diǎn)P、M是CD、DE的中點(diǎn)一 1± PM /CE , PM -CE2± AB AC, AD AE±BD CE±PM PNXPN/BD± DPNADC± PM /CE± DPMDCA± BAC 90± ADC ACD 90± MP

47、N DPM DPN DCA ADC 90±PM PN（2）結(jié)論：VPMN是等腰直角三角形.證明：由旋轉(zhuǎn)知，BAD CAE，AB AC, AD AEXAABDA ACE SAS ± ABD ACE , BD CE 11，由三角形中位線的性質(zhì)可知，PN - BD , PM -CE22±PM PNXVPMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM /CE、 DPMDCE同（1）的方法得， PNBD、 PNCDBC± DPNDCB PNC DCB DBC29± MPN DPM DPNDCE DCB DBCBCE DBCACB ACE DBCACB ABD

48、DBCACB ABC ± BAC 90± ACB ABC 90± MPN 90XVPMN是等腰直角三角形；（3），由（2）得，VPMN是等腰直角三角形,AN，連接AM, AN,如圖:±MN最大時，VPMN的面積最大 ，DEBC且DE在頂點(diǎn)A上面時，MN最大值 AM，在VADE 中，AD AE 4, DAE 90± AM 22，在 VABC 中，AB AC 10, BAC 90AN 5.2，MN 最大值 AM AN=7j2121121- - 2 49，SVPMN 最大值2 PM 2 - MN -7V2-2故答案是：（1） PM PN, PM PN

49、 ; （2） VPMN是等腰直角三角形，理由見解析；（3） VPMN面積一 49的最大值為竺2【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及求最大面積問題等知識點(diǎn)，屬壓軸題目，綜合性較強(qiáng).7 .（2018河南省中考模擬）已知：在VABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)；過點(diǎn)A作AF/BC, 交BE的延長線于F ,連接CF .1求證：四邊形 ADCF是平行四邊形;2填空:當(dāng)AB AC時，四邊形ADCF是 形;當(dāng) BAC 90o時，四邊形ADCF是 形.【答案】（1）見解析；（2），矩；，菱.【解析】證明：QAF/BC,在VAEF和VDEB中AFE

50、 EBD.AFE DBE Q FEA BED , AE DEVAEF XVDEB AAS .AF BD.AF DC .又Q AF/BC ,四邊形ADCF為平行四邊形；2當(dāng)AB AC時，四邊形ADCF是矩形；當(dāng) BAC 90o時，四邊形ADCF是菱形.故答案為矩，菱.【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出VAEF XVDEB是解題關(guān)鍵.8 . （2019江蘇省中考模擬）如圖，矩形ABCD中，AB 6 , BC 8,點(diǎn)E在BC邊的延長線上，連接DE ,（3）設(shè)CE x , BN y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出 x的取值范圍35【答案】（1）見解析；（2）

51、BM 8癡；（3） y M36 , 0 x -. 3y x2【解析】解：（1）證明：±BD=BE, BML D吐 ± DBN=L EBN2B，四邊形ABCD是矩形，AD± BC± ± DNB= ± EBN± ! DBN=1 DNB± BD=DN又，BD=BaBE=DN 又，ADLBd 四邊形 DBEN是平行四邊形又，BD=BE ±平行四邊形DBEN是菱形(2)由(1)可得，BE=BD= 5yAAD2 =10，CE=BE-BC=2UE Rt ± DCE中，DE= JCD2 CE2 =2 加由題意易

52、得 ±MBC=EDC ,又，DCE=BCD=90±± BCM± DCE,BC BM 8±1-DC DE 6BM=»m=8 而2.103(3)由題意易得 LBNAhEDC , ±A=± DCE=90 ±± NABU DCE, BN ABDE CE,一y 6.x2 36 x± y=6x一36 ,其中 0<x< 9 x2【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理和三角形相似的綜合應(yīng)用9 . （2019河南省中考模擬） 如圖（1）,已知點(diǎn)G在正方形 ABCD的對角線AC上，GEA BC ,垂足為

53、點(diǎn)巳GF CD,垂足為點(diǎn)F.（1）證明與推斷：求證：四邊形 CEGF是正方形;AG，一.推斷：的值為BE (2)探究與證明：將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn) a角(0°V a< 45°),如圖(2)所示，試探究線段 AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)拓展與運(yùn)用：正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B, E, F三點(diǎn)在一條直線上時， 如圖(3)所示，延長CG交AD于點(diǎn)H.若AG=6 , GH=2 板,則 BC=【答案】(1)，四邊形CEGF是正方形；L& ; (2)線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為 AG= J2 BE ； (3)10 .5【解析】(1)，小

54、邊形ABCD是正方形，± ± BCD=90°, ± BCA=45° ,±GE1 BC GF± CD,±± CEG=L CFG=1 ECF=90°,，四邊形 CEGF 是矩形，±CGE=L ECG=45 ,± EG=EC,，四邊形CEGF是正方形；，由，知四邊形CEGF是正方形，± ± CEG=L B=90: 1 ECG=45,CG±V2 , GE! AB ,CEBECGCE故答案為.2 ；(2)連接CG,ADgC由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知 ±BCE

55、ACG=,在 RtCEG 和 RtXCBA 中，CE _ 72 CB _ 亞cG -V cA""2" '，”暨 5,CE CB± ± ACGL ± BCEG CA ”，BE CB，線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為 AG=近BE；(3)，CEF=45,點(diǎn) B、E、F 三點(diǎn)共線,±± BEC=135°,± ± ACGL ± BCE±± AGC4 BEC=135°,±± AGHH CAH=45° ,±

56、77; CHAUAHG,± ± AHGL ± CHA,AG GHAH±,AC AHCH設(shè) BC=CD=AD=a ,貝U AC= & a,則由AGACGH /日 62.2得 LAH , 2a AH± AH= - a3則 DH=AD AH= a CH= Jcd2 dh 2 =20 a332 a上 AG AH63X由得 l! ,AC CH、.2a.10a3解得：a=3 J5 ,即 BC=3 J5 ,故答案為3,5 .【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與

57、性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵10. （2018山東省中考模擬）如圖 ,在 ABC中，BAC=90° , AB=AC，點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn) A, C 重合），在4ABC的外部作 ACED,使CED=90 , DE=CE ,連接AD ,分別以 AB, AD為鄰邊作平行四邊 形ABFD ,連接AF .（1）請直接寫出線段 AF, AE的數(shù)量關(guān)系 ;（2）將4CED繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) E在線段BC上時，如圖,連接AE ,請判斷線段 AF , AE的數(shù) 量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在圖的基礎(chǔ)上，將4CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，請判斷（2）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變， 結(jié)

58、合圖寫出證明過程；若變化，請說明理由.【答案】（1）AF= J2AE； （2） AF= J2AE,證明詳見解析；（3）結(jié)論不變，AF= J2 AE ,理由詳見解析解：(1)如圖，中，結(jié)論：af=j，ae.理由：，四邊形ABFD是平行四邊形，±AB=DF,± AB=AC ,±AC=DF,± DE=EC,±AE=EF,±± DEC=1 AEF=90°,AEF是等腰直角三角形，±AF=>/2 AE .(2)如圖，中，結(jié)論：AF=近AE .理由：連接EF, DF交BC于K.，四邊形ABFD是平行四邊形，&#

59、177; AB± DF,± ± DKE=± ABC=45° ,± EKF=180 - 1DKE=135°,±± ADE=180 - 1 EDC=180° - 45° =135±± EKF=± ADE±± DKC=1C ,± DK=DC,± DF=AB=AC ,± KF=AD ,在1 EKF和± EDA中，EK DK EKF ADE, KF AD±± EKF±±

60、; EDA± EF=EA, 1 KEF=± AED,± ± FEA=± BED=90°,±± AEF是等腰直角三角形, ，AF=在AE .(3)如圖，中，結(jié)論不變，AF=展AE.理由：連接EF,延長FD交AC于K.±± EDF=180- 1 KDC- ± EDC=135° - 1 KDC,± ACE= (90 ° - ± KDC) + ± DCE=135° - 1 KDC,±± EDF=± ACE± DF=AB , AB=AC ,± DF=AC在1 E