數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一一.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法每一項(xiàng)都非負(fù)其部分和數(shù)列有界定理1(基本定理)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂的充要條件是1nnu證(充分性)1nnu是正項(xiàng)級(jí)數(shù),因而nnkknuuuuS 211單調(diào)增加單調(diào)有界數(shù)列必有極限,則級(jí)數(shù)收斂.(必要性)由收斂數(shù)列必有界的性質(zhì)可知定理2(比較審斂法)1nnu設(shè) 和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnv且)., 2 , 1( nvunn1nnu1nnv假設(shè) 收斂,那么 收斂;1nnu1nnv假設(shè) 發(fā)散則 發(fā)散.證:設(shè) 收斂于,1nnv那么 部分和1nnunnuuuS 21 nvvv21

2、1nnu由定理1,收斂.1nnv1nnu反之,假設(shè) 發(fā)散則 必發(fā)散.否則與上面的結(jié)論矛盾.注意: 定理2可以與第一節(jié)的性質(zhì)相結(jié)合,靈活運(yùn)用. pppn131211例: p-級(jí)數(shù)的斂散性解0p時(shí),級(jí)數(shù)顯然發(fā)散.因?yàn)?, 而 發(fā)散,那么 p-級(jí)數(shù)發(fā)散nnp1111nn1p時(shí), )1519181()71615141()3121(1ppppppppp它的各項(xiàng)不大于下面的等比級(jí)數(shù)各項(xiàng) 31211)21()21(211)818181()41414141()2121(1pppppppppppp收斂收斂因而 p-級(jí)數(shù)的部分和有界,故收斂. 發(fā)散 收斂1p1p10 p時(shí),例. 判斷級(jí)數(shù)斂散性:1)2)(1(1)

3、.1 (nnn21)2)(1(1nnn而 收斂121nn收斂1) 1(1).2(nnn11) 1(1nnn而 發(fā)散 3121) 1(11nn發(fā)散nnn1sin1).3(1231111sin1nnnnn而 收斂1231nn收斂定理3(比較審斂法極限形式)設(shè) 和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnu1nnv假如)0(limllvunnn那么 和 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.1nnu1nnv證lvunnnlim,2l對(duì)存在自然數(shù)N, 當(dāng) nN 時(shí),22llvullnnnnnvluvl232即由比較審斂法可知結(jié)論例如前面例(3),由1111sin1limnnnnn也可以得出結(jié)論例1)11ln(nn1)11 (limln1)

4、11ln(limnnnnnn而 發(fā)散11nn發(fā)散定理4.(比值審斂法)設(shè) 是正項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnu假如nnnuu1lim那么:10).1 (1).2(收斂;發(fā)散;1).3(無法確定.(證明略)例. 判斷級(jí)數(shù)斂散性:10!).3(1nnnnn:!10).1 (1nnn:10!).4(1nnn:!).2(1nnnnnnnuu1lim1010!)!1(10lim1nnnnnnnnuu1limnnnuu1limnnnuu1lim!1010)!1(lim1nnnnn11!) 1()!1(lim1ennnnnnn11010!) 1(10)!1(lim11ennnnnnnnn收斂收斂發(fā)散發(fā)散定理5.(根值審斂法

5、)設(shè) 是正項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnu假如nnnulim那么:10).1 (1).2(收斂;發(fā)散;1).3(無法確定.(證明略)例 證明 nn13121132收斂并估計(jì)以 近似代替和 S 所產(chǎn)生的誤差nS01limlimnunnnn解則級(jí)數(shù)收斂 321)3(1)2(1)1(1|nnnnnnnrnnnnnnnnn)1(1)1(1)1(1)1(1321 二二.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)的級(jí)數(shù)1. 交錯(cuò)級(jí)數(shù):11) 1(nnnu,.)2 , 1, 0( ,) 1(1nuunnnn或定理6 (萊布尼茲定理)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)11) 1(nnnu滿足:0lim).(,.)2 , 1( ;).(1

6、nnnnuiinuui則級(jí)數(shù)收斂,且其和 ,其1uS 1|nnur證)()()(21243212nnnuuuuuuS 1543212)()(uuuuuuSn 單調(diào)有界12limuSSnnSuSSnnnnn)(limlim122121limuSSnn那么同理.|121 nnnnuuur交錯(cuò)級(jí)數(shù)例如 nn1)1(41312111,.)2 , 1( ;111).(1nunnuinn01limlim).(nuiinnn收斂且S1假如nSSnn1)1(41312111 那么11|nrn2. 絕對(duì)收斂與條件收斂對(duì)于一般的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu考慮1|nnu正項(xiàng)級(jí)數(shù)1|nnu收斂,那么1nnu絕對(duì)收斂1nnu收

7、斂,而 發(fā)散,那么1|nnu1nnu條件收斂例如111)1(nnn1211)1(nnn絕對(duì)收斂條件收斂定理7. 假如 絕對(duì)收斂,那么 必收斂1nnu1nnu證設(shè)|)|(21nnnuuv那么|, 0nnnuvv由1|nnu收斂知1nnv收斂而|2nnnuvu那么1nnu收斂注意:(1) 逆命題不成立 (2) 如果用比值或根值審斂法判定 發(fā)散1|nnu1nnu那么 發(fā)散(證明略)例12sinnnn221sinnnn121nn收斂收斂12sinnnn絕對(duì)收斂例1ln)1(nnnn1ln)1(nnnn對(duì)1lnnnn,.)4, 3(1lnnnnn發(fā)散而11nn發(fā)散1ln)1(nnnn對(duì)0lim).(,.

8、)4 , 3( ;).(1nnnnuiinuui收斂條件收斂)2.(ln)(xxxxf).(0ln1)(2exxxxf單調(diào)減少考慮.12| )1(|,12| )(| )( |, 0)( 0,)( 21)( ! 21)0( )0()(0)0( , 0)0(0)(0)(lim22220法知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別則令使上連續(xù)在包含原點(diǎn)的小閉區(qū)間又之間與介于從而鄰域內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)在及nMnfnxxMxfMxfMxfxxfxfxffxfffxxfxxfx.1,0)(lim,0)(. 110絕對(duì)收斂證明且鄰域內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)在設(shè)nx)n(fxxfxxf.12sinlim1sin)(sin)(sin)(sin1121122222222故原級(jí)數(shù)發(fā)散一致，應(yīng)為發(fā)散的斂散性與記nnnnnnnnnnnvuvuvnnnnnnnnnnnnnnnnnnu122)(sin. 2nnnn.)(,)(.)(0111的收斂性知原級(jí)數(shù)收斂及由而別法知其收斂且由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，nnnnnnnnnnnnnnnnaacaaccacabac收斂證明收斂，且及設(shè)111,.3nnnnnnnnncbcaba收斂證明收斂設(shè)112|,.4nnnnnaa.1)