高考復(fù)習(xí)講解專題之不等式(共31頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第七編 不等式§7.1 不等關(guān)系與不等式1.已知-1a0,那么-a,-a3,a2的大小關(guān)系是 .答案 -aa2-a32.若m0,n0且m+n0，則-n，-m，m，n的大小關(guān)系是 .答案 m-nn-m3.已知a0,-1b0,那么a,ab,ab2的大小關(guān)系是 .答案 abab2a4.設(shè)a=2-,b=-2,c=5-2,則a,b,c的大小關(guān)系為 .答案 abc5.設(shè)甲：m、n滿足乙：m、n滿足那么甲是乙的 條件.答案 必要不充分例1 （1）設(shè)xy0,試比較(x2+y2)(x-y)與(x2-y2)(x+y)的大??；（2）已知a,b,c正實(shí)數(shù)，且a2+b2=c2,當(dāng)nN

2、,n2時(shí)比較cn與an+bn的大小.解 （1）方法一 （x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)x2+y2-(x+y)2=-2xy(x-y),xy0,xy0,x-y0,-2xy(x-y)0,(x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y).方法二 xy0,x-y0,x2y2,x+y0.(x2+y2)(x-y)0,(x2-y2)(x+y)0,0=1,(x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y).(2)a,b,c正實(shí)數(shù)，an,bn,cn0,而=+.a2+b2=c2,則+=1,01,01.nN,n2,=+=1,an+bncn.例2 已知a、b、c是任意的實(shí)數(shù)，且ab,則下列不

3、等式恒成立的是 .(a+c)4(b+c)4 ac2bc2lg|b+c|lg|a+c| (a+c)(b+c) 答案 例3 （14分）已知-1a+b3且2a-b4,求2a+3b的取值范圍.解 設(shè)2a+3b=m(a+b)+n(a-b), 4分m=,n=-. 6分2a+3b=(a+b)-(a-b). 7分-1a+b3,2a-b4,-(a+b),-2-(a-b)-1, 10分-(a+b)- (a-b), 12分即-2a+3b. 14分1.（1）比較x6+1與x4+x2的大小，其中xR;(2)設(shè)aR,且a0,試比較a與的大小.解 （1）（x6+1）-（x4+x2）=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-

4、(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1)=(x2-1)2(x2+1).當(dāng)x=±1時(shí)，x6+1=x4+x2;當(dāng)x±1時(shí)，x6+1x4+x2.（2）a-=當(dāng)-1a0或a1時(shí),a；當(dāng)a-1或0a1時(shí),a；當(dāng)a=±1時(shí),a=.2.適當(dāng)增加不等式條件使下列命題成立：（1）若ab,則acbc;(2)若ac2bc2,則a2b2;(3)若ab,則lg(a+1)lg(b+1);(4)若ab,cd,則;(5)若ab,則.解 （1）原命題改為：若ab且c0，則acbc,即增加條件“c0”.(2)由ac2bc2可得ab,但只有b0時(shí)，才有a2b2,即增

5、加條件“b0”.(3)由ab可得a+1b+1,但作為真數(shù)，應(yīng)有b+10,故應(yīng)加條件“b-1”.（4）成立的條件有多種，如ab0,cd0,因此可增加條件“b0,d0”.還可增加條件為“a0,c0,d0”.(5) 成立的條件是ab,ab0或a0,b0,故增加條件為“ab0”.3.設(shè)f(x)=ax2+bx,1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2)的取值范圍.解 方法一 設(shè)f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n為待定系數(shù)),則4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,于是得,解得,f(-2)=3f(-1)+f(1).又1f(-1)2,2f(1)4,53

6、f(-1)+f(1)10,故5f(-2)10.方法二 由,得,f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,故5f(-2)10.方法三 由確定的平面區(qū)域如圖.當(dāng)f(-2)=4a-2b過點(diǎn)A時(shí),取得最小值4×-2×=5,當(dāng)f(-2)=4a-2b過點(diǎn)B(3,1)時(shí),取得最大值4×3-2×1=10,5f(-2)10.一、填空題1.已知a,b,c滿足cba且ac0，則下列不等式中恒成立的是 （填序號(hào)）. 0 0答案 2.（2009·姜堰中學(xué)高三第四次綜合練習(xí)）已知存在實(shí)數(shù)a滿足ab2aab

7、,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為 .答案 （-，-1）3.(2009·蘇、錫、常、鎮(zhèn)三檢)已知三個(gè)不等式：ab0，bc-ad0, -0(其中a,b,c,d均為實(shí)數(shù)),用其中兩個(gè)不等式作為條件,余下的一個(gè)不等式作為結(jié)論組成一個(gè)命題,可組成的正確命題的個(gè)數(shù)為 個(gè).答案 34.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1),設(shè)abc0,則,的大小關(guān)系為 .答案 5.若xy1,且0a1,則axay;logaxlogay;x-ay-a;logxalogya.其中不成立的有 個(gè).答案 36.已知a+b0，則+與+的大小關(guān)系是 .答案 +7.給出下列四個(gè)命題：若ab0,則;若ab0,則a-b-;若ab0,則;設(shè)a,b

8、是互不相等的正數(shù)，則|a-b|+2.其中正確命題的序號(hào)是 .（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）答案 二、解答題8.比較aabb與abba（a,b為不相等的正數(shù)）的大小.解 =aa-bbb-a=,當(dāng)ab0時(shí)，1,a-b0,1；當(dāng)0ab時(shí)，1,a-b0,1.綜上所述，總有aabbabba.9.已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+)上是單調(diào)遞減函數(shù), ,R且+0, +0, +0.試說明f()+f()+f()的值與0的關(guān)系.解 由+0,得-.f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù),f()f(-).又f(x)為奇函數(shù),f()-f(),f()+f()0,同理f()+f()0,f()+f()0,f()+f()+f()0.10

9、.某個(gè)電腦用戶計(jì)劃使用不超過1 000元的資金購買單價(jià)分別為80元、90元的單片軟件和盒裝磁盤.根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買4盒，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.解 設(shè)買軟件x片、磁盤y盒,N+N+則x、y滿足關(guān)系：.11.已知a0,a2-2ab+c2=0,bca2.試比較a,b,c的大小.解 bca20,b,c同號(hào).又a2+c20,a0,b=0,c0,由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)0,b-c0.當(dāng)b-c0,即bc時(shí),由得·ca2即(a-c)(2a2+ac+c2)0.a0,b0,c0,2a2+ac+c20,a-c0,即ac,則acb；當(dāng)b-c=0,即b=c時(shí)

10、,bca2,b2a2,即ba.又a2-2ab+c2=(a-b)2=0a=b與ab矛盾,b-c0.綜上可知:acb.§7.2 一元二次不等式及其解法1.下列結(jié)論正確的是 .不等式x24的解集為x|x±2不等式x2-90的解集為x|x3不等式(x-1)22的解集為x|1-x1+設(shè)x1,x2為ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根，且x1x2,則不等式ax2+bx+c0的解集為x|x1xx2答案 2.（2007·湖南理）不等式0的解集是 .答案 （-1，23.（2008·天津理）已知函數(shù)f(x)=則不等式x+(x+1)·f(x+1)1的解集是 .答案 x|x

11、-14.在R上定義運(yùn)算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)1對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立,則a的取值范圍是 .答案 -a5.(2008·江蘇，4)A=x|(x-1)23x-7，則AZ的元素的個(gè)數(shù)為 .答案 0例1 解不等式(x2-9)-3x.解 原不等式可化為-x2+x2-3x,即2x2-3x-70.解方程2x2-3x-7=0,得x=.所以原不等式的解集為.例2 已知不等式ax2+bx+c0的解集為(,),且0,求不等式cx2+bx+a0的解集.解 方法一 由已知不等式的解集為(，)可得a0,，為方程ax2+bx+c=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得a0,由得c0,則cx2+bx+a

12、0可化為x2+0,÷得=-0,由得=·0,、為方程x2+x+=0的兩根.0,不等式cx2+bx+a0的解集為.方法二 由已知不等式解集為(,),得a0,且，是ax2+bx+c=0的兩根，+=-,=,cx2+bx+a0x2+x+10()x2-(+)x+10(x-1)(x-1)00.0,x或x,cx2+bx+a0的解集為.例3 已知不等式0 (aR).(1)解這個(gè)關(guān)于x的不等式;(2)若x=-a時(shí)不等式成立,求a的取值范圍.解 (1)原不等式等價(jià)于(ax-1)(x+1)0.當(dāng)a=0時(shí),由-(x+1)0,得x-1;當(dāng)a0時(shí),不等式化為(x+1)0,解得x-1或x;當(dāng)a0時(shí),不等式

13、化為(x+1)0;若-1,即-1a0,則x-1;若=-1,即a=-1,則不等式解集為空集;若-1,即a-1,則-1x.綜上所述,a-1時(shí),解集為;a=-1時(shí),原不等式無解;-1a0時(shí),解集為;a=0時(shí),解集為x|x-1;a0時(shí),解集為.(2)x=-a時(shí)不等式成立,0,即-a+10,a1,即a的取值范圍為a1.例4 （14分）已知f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x-1，+）時(shí)，f(x)a恒成立，求a的取值范圍.解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=a, 2分當(dāng)a(-,-1)時(shí)，結(jié)合圖象知,f（x)在-1，+）上單調(diào)遞增，f(x)min=f(-1)=2a+3, 4

14、分要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina,即2a+3a,解得a-3,又a-1,-3a-1; 6分當(dāng)a-1，+）時(shí)，f(x)min=f(a)=2-a2, 8分由2-a2a,解得-2a1,又a-1,-1a1. 12分綜上所述，所求a的取值范圍為-3a1. 14分方法二 由已知得x2-2ax+2-a0在-1，+）上恒成立， 4分即=4a2-4（2-a）0或, 10分解得-3a1. 14分1.解下列不等式：（1）-x2+2x-0;(2)9x2-6x+10.解 （1）-x2+2x-0x2-2x+03x2-6x+20=120,且方程3x2-6x+2=0的兩根為x1=1-,x2=1+,原不等式解集為.(

15、2)9x2-6x+10(3x-1)20.xR,不等式解集為R.2.已知關(guān)于x的不等式（a+b）x+(2a-3b)0的解集為，求關(guān)于x的不等式(a-3b)x+(b-2a)0的解集.解 （a+b）x+(2a-3b)0的解集是,于是a=2b0,b0,不等式(a-3b)x+(b-2a)0,即為-bx-3b0,亦即-bx3b,x-3.故所求不等式的解集為x|x-3.3.解關(guān)于x的不等式0 （aR）.解 0(x-a)(x-a2)0,當(dāng)a=0或a=1時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)a0或a1時(shí)，aa2，此時(shí)axa2;當(dāng)0a1時(shí)，aa2，此時(shí)a2xa.綜上，當(dāng)a0或a1時(shí)，原不等式的解集為x|axa2；當(dāng)0a1時(shí)，原

16、不等式的解集為x|a2xa;當(dāng)a=0或a=1時(shí)，原不等式的解集為.4.函數(shù)f（x）=x2+ax+3.(1)當(dāng)xR時(shí),f(x)a恒成立,求a的取值范圍.(2)當(dāng)x-2,2時(shí),f(x)a恒成立,求a的取值范圍.解 (1)xR時(shí),有x2+ax+3-a0恒成立,須=a2-4(3-a)0,即a2+4a-120,所以-6a2.(2)當(dāng)x-2,2時(shí),設(shè)g(x)=x2+ax+3-a0,分如下三種情況討論(如圖所示):如圖(1),當(dāng)g(x)的圖象恒在x軸上方時(shí),滿足條件時(shí),有=a2-4(3-a)0,即-6a2.如圖(2),g(x)的圖象與x軸有交點(diǎn),但在x-2,+)時(shí),g(x)0,即即解之得a.如圖(3),g(

17、x)的圖象與x軸有交點(diǎn),但在x(-,2時(shí),g(x)0,即即-7a-6綜合得a-7，2.一、填空題1.函數(shù)y=的定義域是 .答案 -,-1）（1，2.不等式0的解集是 .答案 (-2,1)(2,+)3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)0對(duì)任何實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .答案 m-4.若關(guān)于x的不等式：x2-ax-6a0有解且解區(qū)間長不超過5個(gè)單位，則a的取值范圍是 .答案 -25a-24或0a15.(2009·啟東質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x）的定義域?yàn)椋?，+），f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f(x)的圖象如右圖所示，且f(-2)=1,f(3)=1,則不等式f(x

18、2-6)1的解集為 .答案 (2,3)(-3,-2)6.不等式組的解集為 .答案 x|0x17.若不等式2xx2+a對(duì)于任意的x-2，3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .答案 (-,-8)8.已知x|ax2-ax+10=,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .答案 0a4二、解答題9.解關(guān)于x的不等式56x2+ax-a20.解 原不等式可化為(7x+a)(8x-a)0,即0.當(dāng)-,即a0時(shí),-x;當(dāng)-=,即a=0時(shí),原不等式解集為;當(dāng)-,即a0時(shí), x-.綜上知:當(dāng)a0時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)a0時(shí),原不等式的解集為.10.已知x2+px+q0的解集為，求不等式qx2+px+10

19、的解集.解 x2+px+q0的解集為,-,是方程x2+px+q=0的兩實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得,不等式qx2+px+10可化為-,即x2-x-60,-2x3,不等式qx2+px+10的解集為x|-2x3.11.若不等式2x-1m(x2-1)對(duì)滿足|m|2的所有m都成立，求x的取值范圍.解 方法一 原不等式化為(x2-1)m-(2x-1)0.令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2m2).則解得x.方法二 求已知不等式視為關(guān)于m的不等式，（1）若x2-1=0，即x=±1時(shí)，不等式變?yōu)?x-10,即x,x=1,此時(shí)原不等式恒成立.（2）當(dāng)x2-10時(shí)，使m對(duì)一切|m|2恒成立的充

20、要條件是2,1x.(3)當(dāng)x2-10時(shí)，使m對(duì)一切|m|2恒成立的充要條件是-2.x1.由（1）（2）（3）知原不等式的解集為.12.已知函數(shù)f(x)=ax2+a2x+2b-a3,當(dāng)x(-2,6)時(shí)，其值為正，而當(dāng)x(-,-2)(6,+）時(shí)，其值為負(fù).（1）求實(shí)數(shù)a,b的值及函數(shù)f(x)的表達(dá)式；（2）設(shè)F（x）=-f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),問k取何值時(shí)，函數(shù)F（x）的值恒為負(fù)值？解 (1)由題意可知-2和6是方程f(x)=0的兩根，,f(x)=-4x2+16x+48.(2)F(x)=-(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2.當(dāng)k=0時(shí)，F(xiàn)

21、(x)=4x-2不恒為負(fù)值；當(dāng)k0時(shí)，若F(x)的值恒為負(fù)值，則有,解得k-2.§7.3 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題1.已知點(diǎn)A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），則表示ABC的邊界及其內(nèi)部的約束條件是 .答案 2.（2008·天津理，2）設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=5x+y的最大值為 .答案 53.若點(diǎn)（1，3）和（-4，-2）在直線2x+y+m=0的兩側(cè)，則m的取值范圍是 .答案 -5m104.（2008·北京理）若實(shí)數(shù)x，y滿足則z=3x+2y的最小值是 .答案 15.（2008·福建理）若實(shí)數(shù)x、y滿足，則的取值

22、范圍是 .答案 （1，+）例1 畫出不等式組表示的平面區(qū)域,并回答下列問題:(1)指出x,y的取值范圍;(2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn)?解 (1)不等式x-y+50表示直線x-y+5=0上及右下方的點(diǎn)的集合.x+y0表示直線x+y=0上及右上方的點(diǎn)的集合,x3表示直線x=3上及左方的點(diǎn)的集合.所以,不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.結(jié)合圖中可行域得x ,y-3,8.Z(2)由圖形及不等式組知當(dāng)x=3時(shí),-3y8,有12個(gè)整點(diǎn);當(dāng)x=2時(shí),-2y7,有10個(gè)整點(diǎn);當(dāng)x=1時(shí),-1y6,有8個(gè)整點(diǎn);當(dāng)x=0時(shí)，0y5，有6個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x=-1時(shí),1y4,有4個(gè)整點(diǎn);當(dāng)x=-2時(shí),2y3,有2個(gè)整點(diǎn);平面

23、區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2+4+6+8+10+12=42(個(gè)).例2 （2008·湖南理，3）已知變量x、y滿足條件則x+y的最大值是 .答案 6例3 （14分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，計(jì)劃每天每種產(chǎn)品的生產(chǎn)量不少于15噸，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸，需煤9噸，電力4千瓦時(shí)，勞力3個(gè)；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸，需煤4噸，電力5千瓦時(shí)，勞力10個(gè)；甲產(chǎn)品每噸的利潤為7萬元，乙產(chǎn)品每噸的利潤為12萬元；但每天用煤不超過300噸，電力不超過200千瓦時(shí)，勞力只有300個(gè).問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，才能使利潤總額達(dá)到最大？解 設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸、y噸，利潤總額為z萬元， 1分則線性約束條件為

24、， 4分目標(biāo)函數(shù)為z=7x+12y, 8分作出可行域如圖， 10分作出一組平行直線7x+12y=t,當(dāng)直線經(jīng)過直線4x+5y=200和直線3x+10y=300的交點(diǎn)A(20，24)時(shí)，利潤最大. 12分即生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為20噸、24噸時(shí)，利潤總額最大，zmax=7×20+12×24=428（萬元）.答 每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品20噸、乙產(chǎn)品24噸，才能使利潤總額達(dá)到最大. 14分1.（2008·浙江理，17）若a0，b0，且當(dāng)時(shí)，恒有ax+by1，則以a，b為坐 標(biāo)的點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積等于 .答案 12.（2008·全國理，13）若x，y

25、滿足約束條件則z=2x-y的最大值為 .答案 93.某家具公司制作木質(zhì)的書桌和椅子兩種家具，需要木工和漆工兩道工序，已知木工平均四個(gè)小時(shí)做一把椅子，八個(gè)小時(shí)做一張書桌，該公司每星期木工最多有8 000個(gè)工作時(shí)；漆工平均兩小時(shí)漆一把椅子，一個(gè)小時(shí)漆一張書桌，該公司每星期漆工最多有1 300個(gè)工作時(shí).又已知制作一把椅子和一張書桌的利潤分別是15元和20元，根據(jù)以上條件，怎樣安排生產(chǎn)能獲得最大利潤？解 依題意設(shè)每星期生產(chǎn)x把椅子，y張書桌，那么利潤p=15x+20y.NN其中x,y滿足限制條件.即點(diǎn)（x,y）的允許區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，它們的邊界分別為4x+8y=8 000(即AB)，2x+y=1 3

26、00(即BC)，x=0(即OA)和y=0(即OC）.對(duì)于某一個(gè)確定的p=p0滿足p0=15x+20y,且點(diǎn)（x,y)屬于陰影部分的解x,y就是一個(gè)能獲得p0元利潤的生產(chǎn)方案.對(duì)于不同的p,p=15x+20y表示一組斜率為-的平行線，且p越大，相應(yīng)的直線位置越高；p越小，相應(yīng)的直線位置越低.按題意，要求p的最大值，需把直線p=15x20y盡量地往上平移，又考慮到x，y的允許范圍，當(dāng)直線通過B點(diǎn)時(shí)，處在這組平行線的最高位置，此時(shí)p取最大值.由,得B（200，900），當(dāng)x=200,y=900時(shí)，p取最大值，即pmax=15×200+20×900=21 000,即生產(chǎn)200把椅子

27、、900張書桌可獲得最大利潤21 000元.一、填空題1.（2008·全國理，5）設(shè)變量x,y滿足約束條件:則z=x-3y的最小值為 .答案 -82.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是 .答案 0a1或a3.已知平面區(qū)域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成.若在區(qū)域D上有無窮多個(gè)點(diǎn)（x，y）可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，則m= .答案 14.（2008·山東理）設(shè)二元一次不等式組，所表示的平面區(qū)域?yàn)镸,使函數(shù)y=ax （a0,a1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是 .答案 2,95.如果實(shí)數(shù)x，y滿足,目標(biāo)函數(shù)z

28、=kx+y的最大值為12， 答案 26.（2007·江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A=(x,y)|x+y1,且x0,y0,則平面區(qū)域B=(x+y,x-y)|(x,y)A的面積為 .答案 17.（2008·安徽理，15）若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為 .答案 8.設(shè)集合A=(x,y)|y|x-2|,x0,B=(x,y)|y-x+b,AB.(1)b的取值范圍是 ；（2）若(x,y)AB,且x+2y的最大值為9,則b的值是 .答案 （1）2,+)（2）二、解答題9.已知實(shí)數(shù)x、y滿足，試求z=的

29、最大值和最小值.解 由于z=，所以z的幾何意義是點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)M（-1，-1）連線的斜率，因此的最值就是點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)M（-1，-1）連線的斜率的最值，結(jié)合圖可知：直線MB的斜率最大，直線MC的斜率最小，即zmax=kMB=3，此時(shí)x=0，y=2；zmin=kMC=，此時(shí)x=1，y=0.10.已知變量x,y滿足的約束條件為.若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(其中a0)僅在點(diǎn)（3，0）處取得最大值，求a的取值范圍.解 依據(jù)約束條件，畫出可行域.直線x+2y-3=0的斜率k1=-,目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a0)對(duì)應(yīng)直線的斜率k2=-a,若符合題意，則須k1k2,即-a,得a.11.兩種大小不同的鋼板可按下

30、表截成A,B,C三種規(guī)格成品: 某建筑工地需A，B，C三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，問怎樣截這兩種鋼板，可 得所需三種規(guī)格成品，且所用鋼板張數(shù)最小.解 設(shè)需要第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，鋼板總數(shù)為z張，z=x+y 約束條件為：作出可行域如圖所示： 令z=0，作出基準(zhǔn)直線l:y=-x,平行移動(dòng)直線l發(fā)現(xiàn)在可行域內(nèi)，經(jīng)過直線x+3y=27和直線2x+y=15的交點(diǎn)A可使 z取最小，由于都不是整數(shù)，而最優(yōu)解（x,y）中，x,y必須都是整數(shù)，可行域內(nèi)點(diǎn)A不是最優(yōu)解；通過在可行域內(nèi)畫網(wǎng)格發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與A點(diǎn)距離最近的直線是x+y=12,經(jīng)過的整點(diǎn)是B(3,9)和C（4，8），它

31、們都是最優(yōu)解.答 要截得所需三種規(guī)格的鋼板，且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種：第一種截法是截第一種鋼板3張，第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張，第二種鋼板8張；兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張.12.在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)= x3+ax2+2bx+c,當(dāng)x(0,1)時(shí)取得極大值,當(dāng)x(1,2)時(shí)取得極小值,求點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域 的面積以及的取值范圍. 解 函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=x2+ax+2b,當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)取得極大值,當(dāng)x(1,2)時(shí),f(x)取得極小值,則方程x2+ax+2b=0有兩個(gè)根,一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi),由二

32、次函數(shù)f(x)=x2+ax+2b的圖象與方程x2+ax+2b=0根的分布之間的關(guān)系可以得到,在aOb平面內(nèi)作出滿足約束條件的點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)锳BD(不包括邊界),如圖陰影部分,其中點(diǎn)A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),ABD的面積為SABD=|BD|×h=(h為點(diǎn)A到a軸的距離).點(diǎn)C(1,2)與點(diǎn)(a,b)連線的斜率為,顯然(kCA,kCB),即.§7.4 基本不等式:1.已知a0,b0，+=1，則a+2b的最小值為 .答案 7+22.（2009·常州武進(jìn)區(qū)四校高三期中聯(lián)考）若x,yR+，且x+4y=1,則x·y的最大值是 .答案

33、3.已知x0,y0，x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 .答案 44.x+3y-2=0，則3x+27y+1的最小值為 .答案 75.（2008·江蘇，11）x,y,zR+，x-2y+3z=0,的最小值是 .答案 3例1 已知x0,y0,z0.求證：8.證明 x0,y0,z0,+0, +0.+0, =8.（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號(hào)成立）例2 （1）已知x0,y0，且+=1,求x+y的最小值；（2）已知x,求函數(shù)y=4x-2+的最大值；（3）若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.解（1）x0,y0,+=1,x+y=(x+y)=+106+

34、10=16.當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，上式等號(hào)成立，又+=1,x=4,y=12時(shí)，(x+y)min=16.（2）x,5-4x0,y=4x-2+=-+3-2+3=1,當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x=1時(shí)，ymax=1.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,+=1,x+y=(x+y)=10+=10+210+2×2×=18,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2y時(shí)取等號(hào)，又2x+8y-xy=0,x=12,y=6,當(dāng)x=12,y=6時(shí)，x+y取最小值18.例3 （14分）某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級(jí)污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池

35、四周圍墻建造單價(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米，池底建造單價(jià)為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計(jì).（1）試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；（2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià).解 （1）設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為米. 1分則總造價(jià)f(x)=400×+248×2x+80×162=1 296x+12 960=1 296+12 960 4分1 296×2+12 960=38 880（元），當(dāng)且僅當(dāng)x=(x0),即x=10時(shí)取等號(hào). 6分當(dāng)長為

36、16.2米，寬為10米時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為38 880元. 8分（2）由限制條件知,10x16. 10分設(shè)g(x)=x+.g（x）在上是增函數(shù)，當(dāng)x=10時(shí)(此時(shí)=16),g(x)有最小值， 12分即f(x)有最小值.1 296×+12 960=38 882(元).當(dāng)長為16米，寬為10米時(shí)，總造價(jià)最低，為38 882元. 14分1.已知,a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=1.求證：+9.證明 += +=3+3+2+2+2=9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào).2.若-4x1,求的最大值.解 =·=-4x1,-(x-1)0,0.從而2-1當(dāng)且僅當(dāng)-(x-1)= ，即x=2

37、（舍）或x=0時(shí)取等號(hào).即=-1.3.甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過c千米/小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/小時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元.（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v(千米/小時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解 （1）建模：依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為，全程運(yùn)輸成本為y=(a+bv2) =sb,v（0,c.（2）依題意，有s,b,a,v都是正數(shù).因此y=sb2s;若c,則當(dāng)且僅當(dāng)v=v=時(shí),y取到最小值

38、.若c,則y在（0，c上單調(diào)遞減，所以當(dāng)v=c時(shí)，y取到最小值.綜上所述，為了使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)c時(shí)，行駛速度應(yīng)該為v=；當(dāng)c時(shí)，行駛速度應(yīng)該為v=c.一、填空題1.若不等式x2+ax+40對(duì)一切x（0，1恒成立，則a的取值范圍是 .答案 a-52.（2008·江蘇）x,y,zR+，x-2y+3z=0,的最小值為 .答案 33.已知0x1，則x(3-3x)取得最大值時(shí)x的值為 .答案 4.（2008·栟茶中學(xué)模擬）若直線2ax+by-2=0 （a,bR+）平分圓x2+y2-2x-4y-6=0，則+的最小值是 .答案 3+25.函數(shù)y=log2x+logx(2x)的值域是

39、 .答案 （-，-13，+）6.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x= 噸.答案 207.（2008·徐州調(diào)研）若實(shí)數(shù)a,b滿足ab-4a-b+1=0 (a1),則(a+1)(b+2)的最小值為 .答案 278.若a,b是正常數(shù)，ab,x,y(0,+)，則+,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)上式取等號(hào).利用以上結(jié)論，可以得到函數(shù)f(x)=+ 的最小值為 ，取最小值時(shí)x的值為 .答案 25 二、解答題9.（1）已知0x，求x(4-3x)的最大值；（2）點(diǎn)(x,y)在直線x+2y=3上移動(dòng)，求2x+4y的最小

40、值.解 （1）已知0x,03x4.x(4-3x)=(3x)(4-3x)=當(dāng)且僅當(dāng)3x=4-3x,即x=時(shí)“=”成立.當(dāng)x=時(shí)，x(4-3x）的最大值為.（2）已知點(diǎn)(x,y)在直線x+2y=3上移動(dòng)，所以x+2y=3.2x+4y2=2=2=4.當(dāng)且僅當(dāng)，即x=,y=時(shí)“=”成立.當(dāng)x=,y=時(shí)，2x+4y的最小值為4.10.已知a、b（0，+），且a+b=1,求證：(1)a2+b2;(2)+8;(3)+ ;(4) .證明 由 a、b（0，+），得ab4.（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào)）(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-2×=，a2+b2.(2)+8,+8.(3)由(1

41、)、(2)的結(jié)論，知+ =a2+b2+4+4+8=,+ . (4) =+ab+=+22+2=.11.設(shè)a0,b0,a+b=1.（1）證明：ab+4;(2)探索猜想，并將結(jié)果填在以下括號(hào)內(nèi)：a2b2+（   ）；a3b3+（   ）；（3）由（1）（2）歸納出更一般的結(jié)論，并加以證明.（1）證明 方法一 ab+44a2b2-17ab+40(4ab-1)(ab-4)0.ab=()2=,4ab1，而又知ab4,因此（4ab-1）(ab-4)0成立，故ab+4.方法二 ab+=ab+，ab=，4，.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào).又ab+2=，當(dāng)且僅當(dāng)ab=，即=4,

42、a=b=時(shí)取等號(hào).故ab+=4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立）.（2）解 猜想：當(dāng)a=b=時(shí)，不等式a2b2+( )與a3b3+( )取等號(hào)，故在括號(hào)內(nèi)分別填16與64.（3）解 由此得到更一般性的結(jié)論：anbn+4n+.證明如下：ab=,4.anbn+=anbn+2+×4n=+=4n+，當(dāng)且僅當(dāng)ab=,即a=b=時(shí)取等號(hào).12.某工廠統(tǒng)計(jì)資料顯示，產(chǎn)品次品率p與日產(chǎn)量x(單位：件，xN*，1x96)的關(guān)系如下： 又知每生產(chǎn)一件正品盈利a(a為正常數(shù))元，每生產(chǎn)一件次品就損失元.（注：次品率p=×100%，正品率=1-p)（1）將該廠日盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x的函數(shù)；（

43、2）為了獲得最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？解 （1）依題意可知：p=(1x96,xN*),日產(chǎn)量x件中次品有xp件，正品有x-px件，日盈利額T=a(x-px)-px=a.(2)T=a=a=a=aa(104-2)=64a，所以當(dāng)100-x=20，即x=80時(shí)，T最大.因此日產(chǎn)量為80件時(shí)，日盈利額T取最大值.單元檢測(cè)七一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）1.已知集合M=x|x24,N=x|x2-2x-30,則集合MN= .答案 x|-1x22.已知a0,b0,a,b的等差中項(xiàng)是，且m=a+,n=b+，則m+n的最小值是 .答案 5當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào).3.已知x，則函

44、數(shù)y=4x+的最小值為 .4.若x,y是正數(shù)，則+的最小值是 .答案 45.（2009·東海高級(jí)中學(xué)高三調(diào)研）函數(shù)y=a1-x (a0,a1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0 (mn0)上，則+ 的最小值為 .答案 46.設(shè)函數(shù)f(x)=，若f(x0)1,則x0的取值范圍是 .答案 (0,2)(3,+)7.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是 .答案 5a78.一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從某市以v km/h的速度勻速直達(dá)400 km外的災(zāi)區(qū)，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于km,則這批物資全部運(yùn)送到災(zāi)區(qū)最少需 h.答案 109.函數(shù)f(x)=，則不等式xf(x)-x2的解集為 .答案 -1，210.（2008·江西文）已知函數(shù)f(x)=2x2+(4-m)x+4-m,g(x)=mx，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x,f(x)與g(x)的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .答案 （-，4）11.若方程x2-2ax+4=0在區(qū)間（1，2上有且僅有一個(gè)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .答案 12.（2008·蘇中三市質(zhì)檢）若不等式x2-2ax+a0對(duì)xR恒成立，則關(guān)于t的不等式a2t+1a的解集為 .答案 (-2,2)13.已知，則(x+1)2+(y+1)2的最小值和