專題52中考數(shù)學(xué)最值問(wèn)題(解析版)

1、專題52中考數(shù)學(xué)最值問(wèn)題領(lǐng)知磁雌在中學(xué)數(shù)學(xué)題中，最值題是常見題型，圍繞最大（?。┲邓龅臄?shù)學(xué)題是各種各樣，就其解法，主要 分為幾何最值和代數(shù)最值兩大部分。一、解決幾何最值問(wèn)題的要領(lǐng)（D兩點(diǎn)之間線段最短；（2）直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短：（3）三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）。二、解決代數(shù)最值問(wèn)題的方法要領(lǐng)1.二次函數(shù)的最值公式二次函數(shù)y =+ c （a、b、c為常數(shù)且其性質(zhì)中有h b若>0當(dāng)x =二時(shí)，y有最小值。：2a4。b4-tic b若。0當(dāng)1=乙時(shí)，y有最大值。3'max =。2（i4a2 . 一次函數(shù)的增減性.一次

2、函數(shù)），=kx + b（k*0）的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，圖象是一條直線， 因而沒(méi)有最大（?。┲担旱?dāng)時(shí)，則一次函數(shù)的圖象是一條線段，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，就 有最大（小）值。3 .判別式法.根據(jù)題意構(gòu)造一個(gè)關(guān)于未知數(shù)X的一元二次方程；再根據(jù)X是實(shí)數(shù)，推得azo,進(jìn)而求出 y的取值范圍，并由此得出y的最值。4 .構(gòu)造函數(shù)法.“最值”問(wèn)題中一般都存在某些變量變化的過(guò)程，因此它們的解往往離不開函數(shù)。5 .利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì).在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)。=人=0時(shí)，等號(hào)成立，即 a2 +b2 +k的最小值為k°6 .零點(diǎn)區(qū)間討論法.用“零點(diǎn)區(qū)間討論法”消去函數(shù)y中絕對(duì)值符號(hào)，然后求

3、出y在各個(gè)區(qū)間上的最大 值，再加以比較，從中確定出整個(gè)定義域上的最大值。7 .利用不等式與判別式求解.在不等式4中，X = 4是最大值，在不等式XNb中，X = 是最小值。8 . “夾逼法”求最值.在解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)轉(zhuǎn)化、變形和估計(jì)，將有關(guān)的量限制在某一數(shù)值范闈 內(nèi)，再通過(guò)解不等式獲取問(wèn)題的答案，這一方法稱為“夾逼法”。例題解析與對(duì)點(diǎn)練習(xí)【例題1】（2020黑龍江）如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形一/8中，ZABC=60J ,將人鋁。沿射線80方向平 移，得到EFG,連接EC、GC.求EC+GC的最小值為.【答案】技【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到X5=l, NABD = 30： 根據(jù)平移的性質(zhì)得到EG

4、=."=1, EG/AB,推出四 邊形EG8是平行四邊形，得到ED=GC,于是得到EC+GC的最小值=氏+61）的最小值，根據(jù)平移的性 質(zhì)得到點(diǎn)E在過(guò)點(diǎn),4且平行于3。的定直線上，作點(diǎn)0關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)連接CM交定直線于HE, 解宜角三角形即可得到結(jié)論.在邊長(zhǎng)為1的菱形,4C。中，N”C=60° ,：.AB=CD=1,乙四。=30° ,將小血）沿射線3D的方向平移得到AEG尸，：.EG=AB=, EG/AB,.四邊形*38是菱形，：.AB=CD, .IB/CD,.NA1D=12O° ,：,EG=CD, EG/CD,，四邊形EGCD是平行四邊形,:ED=

5、GC,：.EC+GC的最小值=87+助的最小值， ,點(diǎn)E在過(guò)點(diǎn)A且平行于BD的定直線上，.作點(diǎn)。關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)連接CM交定直線于工則CM的長(zhǎng)度即為EC+DE的最小值， NElD=NJDB=3（r , AD=1,：.ZADM=6QQ , DH=MH= AD=:DM=CD, : /CDM=/MD/CDB=9& +30“ =120° ,，NM=NOCM=30° ,【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2020內(nèi)江）如圖，在矩形H8CZ）中，8c=10, Z.4BD=3Q° ,若點(diǎn)M、N分別是線段。5、.鋁上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】15.【解析】作點(diǎn)工關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)T ,

6、連接MT , BA',過(guò)點(diǎn)X' HUB于H.首先證明，依：是等 邊三角形，求出H,根據(jù)垂線段最短解決問(wèn)題即可.解：作點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)工，連接班: , BAr ,過(guò)點(diǎn)4 HUB于H.9：BA=BAr , /ABD= NDBq =30。,: NAB A' =60° ,:.AABA'是等邊三角形，.四邊形.48是矩形，/-4Z) BC= 10»在RtAMQ中一鋁=106， C Ull D U9：Af HL1B,：.AH=HB=5y/3.：.Af H=bAH=15,9：AM+MN=Af M+MNAr H,."LI什MN的最小值為15.【例題

7、2】（2020襄陽(yáng)）受新冠肺炎疫情影響，一水果種植專業(yè)戶有大量成熟水果無(wú)法出售.“一方有難， 八方支援”某水果經(jīng)銷商主動(dòng)從該種植專業(yè)戶購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種水果進(jìn)行銷售.專業(yè)戶為了感謝經(jīng)銷商的援 助，對(duì)甲種水果的出售價(jià)格根據(jù)購(gòu)買量給予優(yōu)惠，對(duì)乙種水果按25元/千克的價(jià)格出售.設(shè)經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)甲種 水果x千克，付款y元，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.（1）直接寫出當(dāng)0WxW50和x>50時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：（2）若經(jīng)銷商計(jì)劃一次性購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種水果共100千克，且甲種水果不少于40千克，但又不超過(guò)60千 克.如何分配甲，乙兩種水果的購(gòu)進(jìn)量，才能使經(jīng)銷商付款總金額w （元）最少？（3 ）若甲，乙

8、兩種水果的銷售價(jià)格分別為40元/千克和36元/千克.經(jīng)銷商按（2）中甲，乙兩種水果購(gòu)進(jìn) 量的分配比例購(gòu)進(jìn)兩種水果共。千克，且銷售完。千克水果獲得的利潤(rùn)不少于1650元，求。的最小值.【分析】（1）由圖可知y與x的函數(shù)關(guān)系式是分段函數(shù)，待定系數(shù)法求解析式即可.（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種水果為。千克，則購(gòu)進(jìn)乙種水果（100-a）千克，根據(jù)實(shí)際意義可以確定。的范圍，結(jié)合 付款總金額（元）與種水果的購(gòu)進(jìn)量之間的函數(shù)關(guān)系可以分類討論最少費(fèi)用為多少.（3）根據(jù)（2）的結(jié)論列不等式解答即可.【解析】（1）當(dāng)0Wx<50是，設(shè)）=辰，根據(jù)題意得50后=1500,解得分=30：y=30x：當(dāng)x>50時(shí)，設(shè)）=

9、狂什兒根據(jù)題意得，(SOk 4" b = 1500 aw (k = 24(70fc + b = 1980'付lb = 300'Z.y=24x+3000.(30x(0 < % < 50)'】- l24x + 300(%>50)'(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種水果為。千克，則購(gòu)進(jìn)乙種水果(100-a)千克，40WaW60,當(dāng) 40Wa<50 時(shí)，wi = 30+25 (100 - )=5a+2500.當(dāng) 4=40 時(shí).>vww=2700 元，當(dāng) 50<。忘60 時(shí)，w2 = 24+25 (100 -a) = -。+2500.當(dāng) 4=6

10、0 時(shí)，>vww = 2440 元，V2440<2700,當(dāng)。=60時(shí)，總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用為2440元.此時(shí)乙種水果100 -60=40 (千克).答：購(gòu)進(jìn)甲種水果為60千克，購(gòu)進(jìn)乙種水果40千克，才能使經(jīng)銷商付款總金額w (元)最少.(3)由題意得：(40- 24) x|a+ (36 - 25) x|a >1650,解得a N 117戰(zhàn).Z為正整數(shù)，心118,的最小值為118.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2020海南模擬)某水果店在兩周內(nèi)，將標(biāo)價(jià)為10元/斤的某種水果，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格為8.1元/斤，并且兩次降價(jià)的百分率相同.（1）求該種水果每次降價(jià)的百分率；（2）從第一次降價(jià)的

11、第1天算起，第x天（x為正數(shù)）的售價(jià)、銷量及儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示. 己知該種水果的進(jìn)價(jià)為4.1元/斤，設(shè)銷售該水果第x（天）的利潤(rùn)為八元），求y與x（lWx<15）之間的函數(shù) 關(guān)系式，并求出第幾天時(shí)銷售利潤(rùn)最大？時(shí)間（天）1«99WxV15*215售價(jià)阮/斤）第1次降價(jià)后的價(jià)格第2次降價(jià)后的價(jià)格銷量（斤）803x120-x儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用（元）40+3*3x-400（3）在（2）的條件下，若要使第15天的利潤(rùn)比（2）中最大利潤(rùn)最多少127. 5元，則第15天在第14天的價(jià)格基礎(chǔ)上最多可降多少元？【答案】看解析?！窘馕觥浚?）設(shè)該種水果每次降價(jià)的百分率為X，則第一次降價(jià)

12、后的價(jià)格為10（1x），第二次降價(jià)后的價(jià)格為 10（1-X尸，進(jìn)而可得方程；（2）分兩種情況考慮，先利用“利潤(rùn)=（售價(jià)一進(jìn)價(jià)）X銷量一儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用二 再分別求利潤(rùn)的最大值，比較大小確定結(jié)論：（3）設(shè)第15天在第14天的價(jià)格基礎(chǔ)上降a元，利用不等關(guān)系“（2）中最大利潤(rùn)一 （8.1八-4.1） X銷量一儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用這127. 5”求解.解答：（1）設(shè)該種水果每次降價(jià)的百分率為筋依題意得：10（l-x）:=8. 1.解方程得：m=0. 1 = 10%,g=1.9（不合題意，舍去）答：該種水果每次降價(jià)的百分率為10%.（2）第一次降價(jià)后的銷售價(jià)格為：10X（1-10%） =9（元/斤）,當(dāng) 0V9

13、 時(shí),y= （9-4. 1） （80-3.y） - （40+3*） = - 17. 7x+352；第33頁(yè)共40頁(yè)當(dāng) 9V15 時(shí),y= (8. 1-4. 1) (120-jv) - (3Y-64.y+400) =-3y+60jv+80,綜上，y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y= 17.7*+352(1W*V9, *為整數(shù)), 91-3+60y+80(9W*<15, x為整數(shù)).當(dāng) 1W*V9 時(shí)，尸一177，+352,六當(dāng) x=l 時(shí)，y.大=334. 3（元）;當(dāng) 9W/V15 時(shí)，/=一3丁+60才+80= 3（*10尸+380,，當(dāng) x=10 時(shí)，y«>；=380（7C）:

14、V334. 3V380,，在第10天時(shí)銷售利潤(rùn)最大.（3）設(shè)第15天在第14天的價(jià)格上最多可降a元，依題意得：380- （8. l-zi-4.1） （120-15） - （3X 15:-64X 15+400） <127. 5,解得：aW0.5,則第15天在第14天的價(jià)格上最多可降0. 5元.所以當(dāng) = 35時(shí),最大利潤(rùn)為1950元?！纠}3】（2020樂(lè)山）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，直線y=-x與雙曲線產(chǎn)交于4 3兩點(diǎn)，尸是以點(diǎn)C （2, 2）為圓心，半徑長(zhǎng)1的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)JP,。為的中點(diǎn).若線段。長(zhǎng)度的最大值為2,則k的值為（）131A.一彳B. -5C. - 2D.一7224【答

15、案】A【分析】確定。是產(chǎn)的中位線，。的最大值為2,故3尸的最大值為4,則3C=8尸-PC=4-1 = 3,貝IJ (帆-2) 2+ ( - “L 2) 2=3,即可求解.【解析】點(diǎn)。是8的中點(diǎn)，則。是.1SP的中位線,當(dāng)8、C、尸三點(diǎn)共線時(shí)，PB最大,則。=攝52最大，而O0的最大值為2,故8尸的最大值為4,則 3。=3尸-尸。=4- 1=3,設(shè)點(diǎn) 8(小-?)，則。-2) 2+ (-m-2) 2=3?,解得：加2= %:.k=m ( - 7")= - g【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2019云南)如圖，MN是。的直徑，MN=4, ZAMN=10° ,點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑 MN上

16、的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為.【答案】23.【解析】過(guò)A作關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A' B,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知A' B即為PA+PB的最小值， 由時(shí)稱的性質(zhì)可知晶Cl揖由圓周角定理可求出NA' 0N的度數(shù)，再由勾股定理.即可求解.過(guò)A作關(guān) 于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A' B.由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知A' B即為PA-PB的最小值，連接 OB. 0A'，AA， AA'關(guān)于直線MN時(shí)稱，俞不V ZAMN=40° ,，NA 0N=80° , ZB0N=40° , A ZAf OB= 1200

17、 ,過(guò)0作OQ，A' B于Q,在 RtZA 0Q 中，0A# =2,：.Kf B=2Ar Q=2V1，即PA+PB的最小值2a/3.【例題4】（2020衡陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)系xQr中，關(guān)于x的二次函數(shù)=/珈+q的圖象過(guò)點(diǎn)（7, 0）, （2, 0）.（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式：（2）求當(dāng)-2WxWl時(shí)， 的最大值與最小值的差：（3） 一次函數(shù)y= （2-胴）升2-冊(cè)的圖象與二次函數(shù)，=/取管”的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是。和人且。 3從求機(jī)的取值范圍.【答案】見解析。【分析】（1）由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（-1, 0）和（2, 0）兩點(diǎn)，組成方程組再解即可求得二次函數(shù)的表達(dá)式：(2)求得拋物

18、線的對(duì)稱軸，根據(jù)圖象即可得出當(dāng)戈=-2,函數(shù)有最大值4；當(dāng)工=；是函數(shù)有最小值-1進(jìn)而求得它們的差；(3)由題意得 x" x " 2 = (2 - w) x+2 - nit 整理得 x"+ (w? - 3) x-?w - 4=0,因?yàn)?aV2V6, a¥=b, = (m-3) 2 - 4X (w - 4) = (m - 5) 2>0t 把 x=3 代入(2 - m) x+2 - m>x - x 2,解得 m<去.【解析】(l)由二次函數(shù)J，=g*q的圖象經(jīng)過(guò)(-1, 0)和(2, 0)兩點(diǎn)，.(l-p + q=O 解得P = T(4+2

19、p+q =(T 聊% = 2'此二次函數(shù)的表達(dá)式-x-2：(2) ,拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線、=胃2 =1.在-2<xWl范闈內(nèi)，當(dāng)x=-2,函數(shù)有最大值為：y=4+2-2=4：當(dāng)x= g是函數(shù)有最小值：的最大值與最小值的差為：4- (-1) =(3) Vy= (2 - ?m ) x+2 - in與二次函數(shù)y= - x - 2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4和6,：.x2 - X - 2= (2-7)x+2-m,整理得x2+ (加-3) x+?w - 4=09：a<3<b：.ab，= (m-3) 2-4X (w-4) = (?n-5) 2>09：a<3<b當(dāng)

20、 x=3 時(shí)，(2-加 x+2-2,把 x=3 代入（2-m） x+2 - Ax? - x - 2,解得加 V /加的取值范圍為加V-2【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019海南）如圖，已知拋物線y=af+6.什5經(jīng)過(guò)月（-5, 0）, 5（-4, -3）兩點(diǎn)，與X軸 的另一個(gè)交點(diǎn)為。，頂點(diǎn)為。，連結(jié).（D求該拋物線的表達(dá)式：（2）點(diǎn)尸為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)6、。不重合），設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為£.當(dāng)點(diǎn)尸在直線%的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求皈的面積的最大值：該拋物線上是否存在點(diǎn)產(chǎn)，使得/改=N6Q?若存在，求出所有點(diǎn)尸的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】見解析?！窘馕觥浚?）將點(diǎn)兒5坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求

21、解:（2）h=鼻；*）,即可求解；分點(diǎn)尸在直線左下方、上方兩種情況，分別求解印嘰解：（1）將點(diǎn)從 5坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：5b+5=0 解得：卜二1 ll6a-4b+5=-3 b=6故拋物線的表達(dá)式為：片=¥+6田5 , ,一，令 y=0> 則 x= - 1 或-5,即點(diǎn)。（-1, 0）：（2）如圖b過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行線交6。于點(diǎn)G,將點(diǎn)6、。的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線左的表達(dá)式為：尸田1，設(shè)點(diǎn) G（£,卅 1）,則點(diǎn)尸（f, t=+6f+5）,Snc=PG .,八-w） （t+1 - t- - 61 - 5）: - - t- - r - 6>22

22、22一<0,，s .*右上 .，當(dāng)聲=時(shí)，其最大值為 228設(shè)直線仍與第交于點(diǎn)凡當(dāng)點(diǎn)尸在直線6。下方時(shí)，.:/PBC=4BCD, ；點(diǎn)月在6。的中垂線上，線段左的中點(diǎn)坐標(biāo)為（一旦-當(dāng)，22過(guò)該點(diǎn)與6。垂直的直線的左值為-1,設(shè)5c中垂線的表達(dá)式為：尸5皿 將點(diǎn)（-今 -1）代入上式并解得: 乙乙直線改'中垂線的表達(dá)式為：尸-.”4，同理直線6的表達(dá)式為：y=2«v+2，聯(lián)立®并解得：*=-2,即點(diǎn)月（-2, -2）,同理可得直線題的表達(dá)式為：尸%-1，聯(lián)立并解得：*=-得或-4 （舍去-4）, 乙故點(diǎn)尸（-三,-1）24當(dāng)點(diǎn)尸（P ）在直線a'上方時(shí)，

23、.:/PBC= /BCD、：.BP' /CD.則直線協(xié)的表達(dá)式為：y=2加s,將點(diǎn)6坐標(biāo)代入上式并解得：s=5, 即直線班的表達(dá)式為：片=2肝5，聯(lián)立并解得：m=0或-4（舍去-4）,故點(diǎn)尸（0, 5）：故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸（-提 -工）或（0, 5）.24【點(diǎn)撥】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中 （2）,要主要分類求解，避免遺漏.【例題5】（2020無(wú)錫模擬）如圖，線段四的長(zhǎng)為4,。為四上一動(dòng)點(diǎn)，分別以月0、成為斜邊在相的同 側(cè)作等腰直角月約和等腰直角與"，那么龐長(zhǎng)的最小值是.【答案】4【解析】設(shè)月Gm BO - as根據(jù)等腰

24、直角三角形性質(zhì)，得出“也m CD' = （4-x）, 22根據(jù)勾股定理然后用配方法即可求解.解：設(shè)BO X - JV,板，均為等腰直角三角形，鼻 .V2x, CDr -（4-幻，22, /BCD, =45° ,：.DE-CDCE-x- （4 - .y）二三；-4e8二（x-2）、4,22根據(jù)二次函數(shù)的最值, ，當(dāng)X取2時(shí)，應(yīng)取最小值，最小值為：4.【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019年黑龍江大慶）如圖，在Rt月6。中，ZJ=90° . AB=8cm, AC=6cm,若動(dòng)點(diǎn)。從6 出發(fā)，沿線

25、段胡運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)片為止（不考慮。與5月重合的情況），運(yùn)動(dòng)速度為2cWs,過(guò)點(diǎn)。作無(wú)，交 月。于點(diǎn)后連接應(yīng)；設(shè)動(dòng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x （s）,熊的長(zhǎng)為y（M）.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)*為何值時(shí)，區(qū)B的而枳S有最大值？最大值為多少？【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}主要考查相似三角形的判定、三角形的面枳及涉及到二次函數(shù)的最值問(wèn)題，找到等量比是解題 的關(guān)鍵.（1）由平行線得膽S血用 根據(jù)相似形的性質(zhì)得關(guān)系式.動(dòng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)X秒后，BD=2x.又45=8, ：.AD=8 - 2.y.: DE" BC,.AD _AE6(8-2x) 0 3AB=g二6?'.y關(guān)

26、于x的函數(shù)關(guān)系式為j- 4肝6（0<x<4）. 乙（2）由戶班脛 得到函數(shù)解析式，然后運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求解.S3=£BD您=x 2x （-yx+6） = -1-x2+6x（0<.y<4）. 乙乙乙乙-11 x=殳丁二2時(shí)，S*最大，最大值為6°£2X（）【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的判定、三角形的而枳及涉及到二次函數(shù)的最值問(wèn)題，找到等量比是解題 的關(guān)鍵.專題點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練一、填空題1. （2020揚(yáng)州）如圖，在回，3C。中，Z5=60° , AB=10, BC=3,點(diǎn)E為邊45上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接皮> 并延長(zhǎng)至點(diǎn)尸，使得。尸=力&#

27、163;以EC、"為鄰邊構(gòu)造團(tuán)EFGC,連接EG,則EG的最小值為.【答案】9技【解析】根據(jù)題意和平行四邊形的性質(zhì)，可以得到AD和"的比值，再根據(jù)三角形相似和最短距離，即 可得到EG的最小值，本題得以解決.作CHLAB于點(diǎn)H, 在紅四8 中，N3=60° , BC=8,：.CH= 4>/3, 四邊形ECGF是平行四邊形，：.EF/CG.:.XEODsXGOC, EO DO ED"GO 一不一瓦， : DF= |DE,DE 4工=一， EF SED 4'kl EO _ 4 =1,GO S 當(dāng)EO取得最小值時(shí)，EG即可取得最小值,當(dāng)EOL8時(shí)，

28、E。取得最小值，：.CH=EO.，E0=4 技，GO=5技；.EG的最小值是9V3,2. （2020涼山州）如圖，矩形HBCZ）中，">=12, 乂5 = 8, E是X8上一點(diǎn)，且砧=3,尸是8c上一動(dòng) 點(diǎn)，若將尸沿EF對(duì)折后，點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，則點(diǎn)尸到點(diǎn)。的最短距離為.【答案】10.【解析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算EQ的長(zhǎng)，當(dāng)石、P、。共線時(shí)，QP最小，即最短距離是此時(shí)尸。的長(zhǎng).如圖，連接尸ZX DE.四邊形X8CQ是矩形，乙1=90',VJ5=8, BE=3,：.AE=S,;切=12,ADE=52 + 122 =13,由折疊得：EB=EP=3,: EP+DP>ED,.

29、當(dāng)E、P、。共線時(shí)，。尸最小，：.DP=DEEP=13-3 = 103. (2020聊城)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M (1, 1), B (3, 3)是第一象限角平分線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1,且C,4 = C&在)，軸上取一點(diǎn)。，連接,4C, BC, AD,即，使得四邊形的周長(zhǎng)最小，這個(gè)最小周長(zhǎng)的值為【答案】4+2V5.【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NA=C=45° ,得到NC=90° ,求得HC=BC=2,作8關(guān)于，軸的對(duì)稱點(diǎn) E,連接交,軸于Q,則此時(shí)，四邊形XC3D的周長(zhǎng)最小，這個(gè)最小周長(zhǎng)的值=HC-BCT£過(guò)E作" _LXC交C4的延長(zhǎng)

30、線于尸，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.解：.,點(diǎn)d (1, 1),點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為1,軸,/. Z5JC=45° ,9：CA = CB,：.ZJBC=Z5JC=45° ,AZC=90° ,:B (3, 3)，C (3, 1)>：.AC=BC=2,作5關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E,連接交)，軸于Z).則此時(shí)，四邊形HC及)的周長(zhǎng)最小，這個(gè)最小周長(zhǎng)的值=XC+8CTE, 過(guò)E作EFLAC交CA的延長(zhǎng)線于F,則 EF=BC=2, JF=6-2=4,：.AE= 1EF2 + AF2 = /22 + 42 =2后，最小周長(zhǎng)的值=dC+5C+.4E=4+2褥4.如圖，菱形四G?中，N#

31、600 ,唐3,的半徑分別為2和1, P、E、尸分別是邊 、CM和 08上的動(dòng)點(diǎn)，則陽(yáng)方的最小值是.【答案】3【解析】利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出P與0重合時(shí)陽(yáng)外的最小值，進(jìn)而求出即可.由題意可得出：當(dāng)產(chǎn)，。重合時(shí)，萬(wàn)點(diǎn)在池上，尸在加 匕 此時(shí)用中最小，連接被 菱形板P中，ZJ=60° , :' A爐AD,則曲是等邊三角形，廬月爐砂3, 。月、的半徑分別為2和1, 二密1, DF=2,，陽(yáng)TV7的最小值是3.【點(diǎn)撥】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出尸點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.5. (2020四川綿陽(yáng)模擬)不等邊三角形A4BC的兩邊上的高分別為4和

32、12且第三邊上的高為整數(shù)，那么 此高的最大值可能為?！敬鸢浮?【解析】設(shè)a、b、c三邊上高分別為4、12、h因?yàn)?2 sM= 4" = 12 = ch，所以 a = 3b又因?yàn)閏 v。+ = 4b ,代入12b = ch得 126<4H,所以/z>3又因?yàn)閏>n- = 2A,代入12b = ch得 12>2R?,所以 <6所以3<h<6,故整數(shù)h的最大值為5。6. (2020齊齊哈爾模擬)設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，那么。2+" +2-4-2"的最小值為?！敬鸢浮?1【解析】a2 +ab + b2 -a-2b=(T +(b- )a+b

33、 -2bb - 1 2 3.2 31 1=(a H1 + /7 b 2424=( + 甘2+京2_后1一 1"。+= 0 - 1 = 0,即。=。，b=l 時(shí)，2上式等號(hào)成立。故所求的最小值為一 1。二、解答題7. （2020達(dá)州）某家具商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)某種餐桌、餐椅進(jìn)行銷售，有關(guān)信息如下表：原進(jìn)價(jià)（元/張）零售價(jià)（元/張）成套售價(jià)（元/套）餐桌a380940餐椅n- 140160已知用600元購(gòu)進(jìn)的餐椅數(shù)量與用1300元購(gòu)進(jìn)的餐桌數(shù)量相同.（1）求表中a的值；（2）該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)餐椅的數(shù)量是餐桌數(shù)量的5倍還多20張，且餐桌和餐椅的總數(shù)量不超過(guò)200張.若 將一半的餐桌成套（一張餐桌和四

34、張餐椅配成一套）銷售，其余餐桌、餐椅以零售方式銷售，請(qǐng)問(wèn)怎樣 進(jìn)貨，才能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？【答案】見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)數(shù)量=總價(jià)+單價(jià)，即可得出結(jié)論，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出。值：（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)餐桌x張，則購(gòu)進(jìn)餐椅（5x+20張，由餐桌和餐椅的總數(shù)量不超過(guò)200張，可得出關(guān)于x的 一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，設(shè)銷售利潤(rùn)為y元，根據(jù)銷售方式及總利潤(rùn)=單件（單 套）利潤(rùn)X銷售數(shù)量，即可得出），關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題.【解析】（1）根據(jù)題意得：厘一=. a140a解得4=260,經(jīng)檢驗(yàn)，4=260是原分式方程的解.答：表中a的值為260.（2

35、）設(shè)購(gòu)進(jìn)餐桌張，則購(gòu)進(jìn)餐椅（5x+20）張，根據(jù)題意得：x+5/20W200,解得：xW30.設(shè)銷售利潤(rùn)為元，根據(jù)題意得：y=940-260-4X （260- 140） x%+ （380 - 260） x ix+160 - （260 - 140） X （5x+20 - 4x i-x） =280x+800,VA-=280>0,.當(dāng)x=30時(shí)，_>，取最大值，最大值為：280X30+800=9200.答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)餐桌30張、餐椅170張時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是9200元.8.（2020瀘州）某校舉辦“創(chuàng)建全國(guó)文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種獎(jiǎng)品共30件.其中甲種獎(jiǎng) 品每件3

36、0元，乙種獎(jiǎng)品每件20元.（1）如果購(gòu)買甲、乙兩種獎(jiǎng)品共花費(fèi)800元，那么這兩種獎(jiǎng)品分別購(gòu)買了多少件？（2）若購(gòu)買乙種獎(jiǎng)品的件數(shù)不超過(guò)甲種獎(jiǎng)品件數(shù)的3倍.如何購(gòu)買甲、乙兩種獎(jiǎng)品，使得總花費(fèi)最少？【答案】見解析?！痉治觥浚?）設(shè)甲種獎(jiǎng)品購(gòu)買了 x件，乙種獎(jiǎng)品購(gòu)買了（30-x） 利用購(gòu)買甲、乙兩種獎(jiǎng)品共花費(fèi)了 800 元列方程30x+20 （30 -x） =800,然后解方程求出x,再計(jì)算30-x即可：（2）設(shè)甲種獎(jiǎng)品購(gòu)買了 x件，乙種獎(jiǎng)品購(gòu)買了（30-.x）件，設(shè)購(gòu)買兩種獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為w元，由購(gòu)買乙種 獎(jiǎng)品的件數(shù)不超過(guò)甲種獎(jiǎng)品件數(shù)的3倍，可得出關(guān)于用的一元一次不等式，解之可得出所的取值范圍，再

37、由總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量，可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題.【解析】（1）設(shè)甲種獎(jiǎng)品購(gòu)買了 x件，乙種獎(jiǎng)品購(gòu)買了（30-X）件，根據(jù)題意得3。什20 （30 -x） =800,解得x=20,則 30-x=10,答：甲種獎(jiǎng)品購(gòu)買了 20件，乙種獎(jiǎng)品購(gòu)買了 10件；（2）設(shè)甲種獎(jiǎng)品購(gòu)買了 x件，乙種獎(jiǎng)品購(gòu)買了 （30-X）件，設(shè)購(gòu)買兩種獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為w元,根據(jù)題意得30-xW3x,解得x27.5,w=30x+20 （30 -x ） =10a-+600,V100.w隨x的增大而減小，x=8 時(shí)，w 有最小值為：w= 10X8+600=680.答：當(dāng)購(gòu)買甲種獎(jiǎng)品8件、乙種獎(jiǎng)品2

38、2件時(shí)，總花費(fèi)最小，最小費(fèi)用為680元.9. （2020重慶）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括 函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程.結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫出函數(shù)=-3的圖象并探究該函數(shù)的性質(zhì).x -4-3-2-101234y _ 2 （I - 2- 4 b - 4_ 2 _ 2_ 2-3-11-3（1）列表，寫出表中。，b的值：。=，b=：描點(diǎn)、連線，在所給的平而直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象.（2）觀察函數(shù)圖象，判斷下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的結(jié)論是否正確（在答題卡相應(yīng)位置正確的用“ J”作答, 錯(cuò)誤的用"X”作答）：函數(shù)一提的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱：當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)=一

39、占有最小值，最小值為-6； %4+2在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)_，的值隨自變量X的增大而減小.己知函數(shù)尸-|x-學(xué)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象,直接寫出不等式一盤v-|x-學(xué) 的解集.210v=-x 33【答案】見解析?！痉治觥浚?）將x=-3, 0分別代入解析式即可得y的值，再畫出函數(shù)的圖象；（2）結(jié)合圖象可從函數(shù)的增減性及對(duì)稱性進(jìn)行判斷：（3）根據(jù)圖象求得即可.【解析一】（1）x= - 3、0 分別代入.尸22, 得 a 9V2 IT, b= = -6,故答案為一號(hào)， 6：畫出函數(shù)的圖象如圖：（2）根據(jù)函數(shù)圖象:函數(shù) ）=一提的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，說(shuō)法正確：當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)）=一禺有最

40、小值，最小值為-6,說(shuō)法正確：在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)y的值隨自變量x的增大而減小，說(shuō)法錯(cuò)誤.（3）由圖象可知：不等式一吳一盤一學(xué)的解集為xV-4或-2VxVl. %+2 J J10. （2020綏化）如圖，在矩形。43。中，乂3=2, BC=4,點(diǎn)。是邊，四的中點(diǎn)，反比例函數(shù)>1= （x>0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，交3c邊于點(diǎn)E,直線DE的解析式為經(jīng)=機(jī)/（膽工0）.（1）求反比例函數(shù)y尸稱（x>0）的解析式和直線QE的解析式：（2）在y軸上找一點(diǎn)尸，使年的周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，的周長(zhǎng)最小值是.【答案】見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義和矩形

41、的性質(zhì)得到。（1，4）,解方程和方程組即可得到結(jié)論：（2）作點(diǎn)。關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)。，連接。E交），軸于尸，連接尸D,此時(shí)，尸Z定的周長(zhǎng)最小，求得 直線。'E的解析式為.尸一3+學(xué)，于是得到結(jié)論：（3）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.【解析】（1）.點(diǎn)。是邊乂5的中點(diǎn)，43=2,四邊形CUBC是矩形，BC=4,：.D （b 4）, 反比例函數(shù)yi=§（x>0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D：.k=4.，反比例函數(shù)的解析式為嚴(yán),6>°）， 人當(dāng) x=2 時(shí)，y=2,：.E （2, 2）.把。（b 4）和E （2, 2）代入地=叫+（桁#0）得，/徵十九=2, "Im +

42、 n = 4 Cm = -2 In = 6 .直線DE的解析式為y= - 2.什6：（2）作點(diǎn)。關(guān)于），軸的對(duì)稱點(diǎn)O',連接。'E交y軸于尸，連接尸此時(shí)，PQE的周長(zhǎng)最小，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1, 4）,:的坐標(biāo)為（7, 4）,設(shè)直線。'E的解析式為2 a = "3 ,10 ' b=T直線）E的解析式為產(chǎn)|x+學(xué),令x=0,得產(chǎn)學(xué),點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0.): 3(3) ,:D (1, 4), E (2, 2),:BE=L BD=1,：.DE= Vl2 + 22 =相,由(2)知，Dr的坐標(biāo)為(-1, 4),：.BDr =3,：.Dr E= J22 + 32 =

43、V13,PQE 的周長(zhǎng)最小值=QE+Q' E=y/5 + V13,故答案為：V5 + y/13.11. （2020臨沂）如圖，菱形,”8的邊長(zhǎng)為1,乙/C=60'，點(diǎn)E是邊.州上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），線 段CE的垂直平分線交3。CE分別于點(diǎn)尸，G, AE, EF的中點(diǎn)分別為“，N.（1）求證：AF=EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）當(dāng)點(diǎn)E在鋁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，NCEF的大小是否變化？為什么？一 A M E b【答案】見解析?！痉治觥浚?）連接CR根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和菱形的對(duì)稱性得到3=£1尸和B=4F即可得證；（2）連接X(jué)C根據(jù)菱形對(duì)稱性得到JF+C尸最小值為XC,再

44、根據(jù)中位線的性質(zhì)得到MNtMG的最小值為 ,4C的一半，即可求解：（3 ）延長(zhǎng)EF 交DC于H.利用外角的性質(zhì)證明乙LFC=NFCE+N在GNE4E+N在工，再由h產(chǎn)=CF= EF,得到乙YEF=NE1F, ZFEC= ZFCE,從而推斷出 NWFD=NElE+NHBF=NEtE+NCEE 從而可求 出乙5F=NCE尸=30° ,即可證明.【解析】（1）連接CF,:FG垂直平分CE,cf=ef9 四邊形XB8為菱形，：.A和C關(guān)于對(duì)角線3。對(duì)稱,:.CF=AF.：.lF=EFx(2)連接乂C,V M和N分別是AE和EF的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CE中點(diǎn),：.MN= NG= CF.即必斗NG=,(

45、,嶺CF), 當(dāng)點(diǎn)尸燈菱形."CD對(duì)角線交點(diǎn)。重合時(shí)，AF+CF最小，即此時(shí)MN+NG最小， 菱形,158 邊長(zhǎng)為 1, ZABC=60c , ABC為等邊三角形,AC=AB=1,即如斗NG的最小值為32（3）不變，理由是：延長(zhǎng)"，交。于H : /CFH= /FCE+NFEC, ZAFH= ZE4E+ZFEA,，ZAFC= NFCE+ NFEC+ NE4E+ NFEA, 點(diǎn)F在菱形.138對(duì)角線BD上，根據(jù)菱形的對(duì)稱性可得:ZAFD= NCFD= yZAFC.9：AF=CF=EF.：./AEF=NEAF, NFEC=/FCE,：.ZAFD= ZE4E+ZABF= NE4E-

46、/CEF,：.4ABF= 4CEF.V ZABC=60° ,A ZABF=ZCEF=3Q° ,為定值.12. （2020廣元）如圖，公路MN為東西走向，在點(diǎn)M北偏東36.5°方向上，距離5千米處是學(xué)校K：在 點(diǎn)M北偏東45°方向上距離&歷千米處是學(xué)校3.（參考數(shù)據(jù):sm36.50 =06 cos36.5° =0.8, tan36.5a =0.75）.（1）求學(xué)校義，8兩點(diǎn)之間的距離：（2）要在公路旁修建一個(gè)體育館C,使得.4, 8兩所學(xué)校到體育館C的距離之和最短，求這個(gè)最短距 離.北【答案】見解析?！痉治觥浚?）過(guò)點(diǎn)a作CD初M BE上

47、MN,在RtAJCM中求出CM, HC,在RtZkA四E中求出ME.繼而得出3。的長(zhǎng)度，在RtAlftD中利用勾股定理可得出四的長(zhǎng)度.(2)作點(diǎn)8關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)G,連接HG交MN于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸即為站點(diǎn)，求出4G的長(zhǎng)度即可.【解析】（1）過(guò)點(diǎn)4作BE工MN,如圖:在 RtAJCM 中，ZCM4 = 36.5° , JM=5h，r A飛 in36.50 =9=0.6，CA = 3 AfC=軟? .在 RtZXMSE 中，NNMB=4N , MB= 6歷km, - AQo BE v'2sm45 =荻=丁':.BE=6, ME=6癡,：.1D=CD - CA=ME - CA

48、= 3hn, BD=BE - DE=BE - CM=2km,在RtAz!5。中，鋁=V1弘w.（2）作點(diǎn)8關(guān)于MV的對(duì)稱點(diǎn)G,連接HG交MN于點(diǎn)R連接尸8,點(diǎn)尸即為站點(diǎn),Iltlht PAPB=PA-rPG=AG.即乂，8兩所學(xué)校到體育館C的距離之和最短為XG長(zhǎng)在 RtZUDG 中，JZ）=3, DG=DE+EG=DE+BE=4+6 = 1 0, N.£DG=9（T , ：.AG= AD2 + DG2 = f32 + 102 = y/109hn.答：最短距離為VH%以13. (2020武城如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線，=f+8-2交x軸于4 8兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C, 且。4=2。=

49、8。8.點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn).（1）求此拋物線的表達(dá)式：（2）若PC出 求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；（3）連接AC,求用C面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).【答案】見解析?！痉治觥浚?）拋物線y=/+bx-2,則 c=-2,故。C=2,而。d=2OC=8O5,則。乂=-4, 08= 1 確定點(diǎn)乂、B、。的坐標(biāo)：即可求解：7（2）拋物線的對(duì)稱軸為當(dāng)尸。乂8時(shí)，點(diǎn)尸、。的縱坐標(biāo)相同，即可求解；（3） R。的而枳S=St0jwc=即可求解.【解析】（1）拋物線y=a/+6x-2,則c= - 2,故。=2,而 OA=2OC=SOB.則 04 - 4, 0B=故點(diǎn)乂、B、C 的坐標(biāo)分別為（-4, 0）、（J,

50、 0）、（0, -2）；則y=a （x+4） （xi-） =a （x2+x *2） =。/+隊(duì)-2,故=1,故拋物線的表達(dá)式為：尸:+夕-2；7（2）拋物線的對(duì)稱軸為x=-g【答案】見解析?！痉治觥浚?）將點(diǎn)H、3的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解:V23 2+ 27 2 z<x 在6=X7W 4 -3+ 2 1,3/IX 在2（3） AC=CQ. AC=AO.。=乂0三種情況，分別求解即可.t解析】（1）將點(diǎn)d、8的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得解得： = ；'故拋物線的表達(dá)式為：尸-9+#+4；（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)。（0, 4）,由點(diǎn)3、。的坐標(biāo)得，直線3C的表達(dá)式為：y=-x+4； 設(shè)點(diǎn) Af0）,則點(diǎn)尸（?，- %?2+排+4）,點(diǎn)。- m+4）t:.PQ=點(diǎn)