【KS5U解析】?jī)?nèi)蒙古通遼市扎魯特旗第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理科）試題 Word版含解析

1、扎魯特旗第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（理）說明：1.本試卷分第卷和第卷兩部分；2.請(qǐng)把答案填寫到答題紙上；3.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，滿分為150分；第卷（選擇題，共60分）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1. 已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用數(shù)軸求交集即可得答案.【詳解】用數(shù)軸表示集合、如圖所示，故選：d 【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2. 復(fù)數(shù)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘法法則計(jì)算【詳解】故選：

2、a【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題3. 已知，則的大小關(guān)系是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】，則，所以.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查指對(duì)數(shù)值大小比較.指數(shù)函數(shù)值大小比較：?；癁橥谆蛲福弥笖?shù)函數(shù)的單調(diào)性，圖象或1,0等中間量進(jìn)行比較對(duì)數(shù)函數(shù)值大小比較：（1）單調(diào)性法：在同底的情況下直接得到大小關(guān)系，若不同底，先化為同底;（2）中間量過渡法：尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個(gè)數(shù)，一般是用“0”，“1”或其他特殊值進(jìn)行“比較傳遞”;（3）圖象法：根據(jù)圖象觀察得出大小關(guān)系4. 1777年，法國(guó)科學(xué)家蒲豐在宴請(qǐng)客人時(shí)，在地上鋪了

3、一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長(zhǎng)度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對(duì)針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計(jì)概率.【詳解】.故選:d.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查利用頻率估計(jì)概率，屬于基礎(chǔ)題.5. 中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年，算籌記數(shù)的方法是：個(gè)位、百

4、位、萬(wàn)位的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出：十位、千位、十萬(wàn)位的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出.如7738可用算籌表示為.1-9這9個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的數(shù)碼表示如圖所示，則829可用算籌表示為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由算籌記數(shù)的方法可知：829中8、2、9分別在百位、十位、個(gè)位上，即依次用縱式、橫式、縱式表示，即可知正確選項(xiàng)【詳解】個(gè)位、百位、萬(wàn)位數(shù)按縱式的數(shù)碼；十位、千位、十萬(wàn)位的數(shù)按橫式的數(shù)碼由題意，知：829可用算籌表示為故選：d【點(diǎn)睛】本題考查了新定義問題，根據(jù)題設(shè)所描述的算籌記數(shù)方法表示一個(gè)給定的數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題6. 已知等差數(shù)列滿足，則中一定為零的項(xiàng)是（ ）a. b. c. d

5、. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量進(jìn)行運(yùn)算【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，故選：c【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量運(yùn)算，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵7. 已知平面平面，則“直線平面，直線平面”是“直線直線”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】d【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】直線平面，直線平面時(shí)，的位置關(guān)系是平行、相交、異面均有可能，不充分，反之，若，它們與之間關(guān)系根本不可確定，故不必要，應(yīng)是既不充分也不必要條件故選：d【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ)本題還考查了空

6、間直線、平面間平行的位置關(guān)系屬于中檔題8. 以一個(gè)正四面體的棱為面對(duì)角線的正方體稱為該正四面體的母體，若一個(gè)正四面體的體積為，那么該正四面體的母體的內(nèi)切球的表面積為（ ）a b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，正方體的體積減去四個(gè)角的三棱錐的體積等于四面體的體積，結(jié)合已知條件列出等式得到棱長(zhǎng)，再求正方體內(nèi)切球的表面積.【詳解】如圖，由題設(shè)知四面體為，其母體為正方體，該四面體可以看成是正方體切去了四個(gè)角（每個(gè)角都是三棱錐，且體積相等）形成，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的體積為，四個(gè)三棱錐的體積為，所以四面體的體積為，得所以，內(nèi)切球的半徑為，球的表面積為.故選：b.【點(diǎn)睛】

7、本題是關(guān)于正方體的切割體的體積問題，明確四面體是由正方體切去四個(gè)角上的三棱錐形成是關(guān)鍵.9. 在中，內(nèi)角、所對(duì)的邊分別是，且，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由題意可知，再根據(jù)正弦定理，可得，可得，由此即可求出角，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】在中， 所以，所以，由正弦定理可知，又，所以，又，所以，所以.故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10. 函數(shù)的圖象大致是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由函數(shù)值的正負(fù)和可排除三個(gè)選項(xiàng)，得出正確選項(xiàng)【詳解】由函數(shù)解析式得，排除c，又，排除a、b，只有d滿足故選：d【點(diǎn)睛】本題考

8、查由函數(shù)解析式先把函數(shù)圖象，可根據(jù)解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值趨勢(shì)排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得出正確答案11. 已知雙曲線：的漸近線方程為，直線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則（ ）a. 1b. c. d. 2【答案】a【解析】【分析】由漸近線方程得的關(guān)系，然后求出焦點(diǎn)坐標(biāo)（用表示），代入已知直線方程可求得【詳解】由題意，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又一個(gè)焦點(diǎn)過直線，故選：a【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查漸近線方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題12. 在銳角三角形中，角，所對(duì)的邊分別為，且，面積的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】用余弦定理和正弦定理化邊為角求得，可求得

9、的范圍，然后把三角形面積表示為角的函數(shù)，由三角函數(shù)性質(zhì)可得【詳解】，由余弦定理得，由正弦定理得，即，又，三角形為銳角三角形，即，由正弦定理得，故選：a【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積，考查余弦定理、正弦定理，考查兩角和與差的正弦公式，正切函數(shù)的性質(zhì)，所用公式較多，解題時(shí)需根據(jù)題意先用恰當(dāng)?shù)墓竭\(yùn)算求解本題屬于中檔題第卷（非選擇題，共90分）二、填空題（每空5分，共20分）13. 已知平面向量與的夾角為，則_.【答案】1【解析】【分析】求出，由數(shù)量積定義求出數(shù)量積【詳解】由題意，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，掌握數(shù)量積的定義是解題關(guān)鍵還考查了模的坐標(biāo)運(yùn)算本題屬于基礎(chǔ)題14. 記是正項(xiàng)等

10、比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則公比_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式列方程即可求出公比.【詳解】，,所以，所以，解得或，由正項(xiàng)等比數(shù)列知，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式，等比數(shù)列的公比，屬于基礎(chǔ)題.15. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為，則當(dāng)時(shí)，_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】將代入解方程組可得、值.【詳解】【點(diǎn)睛】實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，利用所學(xué)的知識(shí)將陌生的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的性質(zhì)，是解決這類問題的突破口16.

11、 已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_【答案】【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，則又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與解析式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義【知識(shí)拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式”有如下結(jié)論：若函數(shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為；若為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為三、解答題（共70分）17. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線.（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).【答案】（1）；（2）最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為

12、【解析】【分析】（1）根據(jù)消去參數(shù)，曲線參數(shù)方程化為普通方程；曲線極坐標(biāo)方程展開，代入，即可求出直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，的最小值為點(diǎn)到直線距離的最小值，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合輔助角公式，轉(zhuǎn)化為求余弦型函數(shù)的最小值，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）由（為參數(shù)），得的普通方程為；由，得，即，又由，得曲線；（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，因?yàn)槭侵本€，所以的最小值，即為到的距離的最小值，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化，利用圓的參數(shù)方程求點(diǎn)到直線距離的最值，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.18. 在直角坐標(biāo)系中

13、，曲線：（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)，分別是曲線，上的點(diǎn)（不同于原點(diǎn)），且，求面積的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）用消元法可把參數(shù)方程化為普通方程，由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，把都用表示，求出三角形面積，利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、正弦函數(shù)性質(zhì)可得最大值【詳解】解：本題考查圓的極坐標(biāo).（1）：消去得到：，：，等式兩邊同乘可得，將且代入化簡(jiǎn)得：.（2）設(shè)，由曲線，的極坐標(biāo)方程為可得，且，當(dāng)即時(shí)取得等號(hào).故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐

14、標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查極坐標(biāo)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題19. 為培養(yǎng)學(xué)生在高中階段的數(shù)學(xué)能力，某校將舉行數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽.已知該競(jìng)賽共有60名學(xué)生參加，他們成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計(jì)這60名參賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；（2）為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將60分以下的成績(jī)定為不合格.60分以上（含60分）的成績(jī)定為合格，某評(píng)估專家決定利用分層抽樣的方法從這60名學(xué)生中選取10人，然后從這10人中抽取4人參加座談會(huì)，記為抽取的4人中，成績(jī)不合格的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）已知這60名學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽成績(jī)服從正態(tài)分布，其中可用樣本平均數(shù)近似代替，可用樣本方差近似代替（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)

15、值作代表），若成績(jī)?cè)?6分以上的學(xué)生均能得到獎(jiǎng)勵(lì)，本次數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽滿分為100分，估計(jì)此次競(jìng)賽受到獎(jiǎng)勵(lì)的人數(shù)（結(jié)果根據(jù)四舍五人保留整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）中位數(shù)為65；（2）分布列見解析；期望為；（3）.【解析】【分析】（1）由圖中的數(shù)據(jù)可判斷中位數(shù)在60分到80分之間，若設(shè)中位數(shù)為，則，從而可求得中位數(shù)；（2）結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10人中合格的人數(shù)為6人，不合格的人數(shù)為4人，則的可能取值為0，1，2，3，4，求出各自的概率，從而可得的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）由已知求出，從而可得，再利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可求得結(jié)果【詳解】（1）設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以這6

16、0名參賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為65.（2）結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10人中合格的人數(shù)為，不合格的人數(shù)為.由題意可知的可能取值為0，1，2，3，4.則，.所以的分布列為01234所以的數(shù)學(xué)期望.（3）由題意可得，則，由服從正態(tài)分布，得，則，所以此次競(jìng)賽受到獎(jiǎng)勵(lì)的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】此題考查頻率分布直方圖、分層抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列、正態(tài)分布等知識(shí)，考查分析問題的能力和計(jì)算能力，屬于中檔題20. 在如圖所示的多面體中，底面abcd是菱形，bad=120°，de/ /cf/bg，cf平面abcd，ag/ef，且cf=2bg.（1）證明：平面；（2）若菱形的邊長(zhǎng)是2，求直

17、線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明四邊形為平行四邊形連接交于，連接，交于，連接，證明即可證明平面（2）解法一、證明與平面所成的角就是在中，求解與平面所成角的正弦即可解法二、以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線、為、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，然后利用向量的數(shù)量積求解直線與平面所成角的正弦值即可【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所?又，所以平面平面.因?yàn)?，由夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等知，所以四邊形是平行四邊形.連接交于，連接，交于，連接，如圖所示，易知，且，故四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面，即平面.（2）方法一（幾

18、何法）：因?yàn)槠矫?，平面，?因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?又平面，平面，且，所以平面.由（1）知，所以平面，又平面，所以平面平面.因?yàn)槠矫嫫矫妫c(diǎn)平面，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在上，故與平面所成的角就是.易知，所以在中，所以直線與平面所成角的正弦值為.方法二（向量法）：由（1）易知，.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則有，所以，.設(shè)平面的法向量為，由，得，令，解得，所以為平面的一個(gè)法向量.于是.故直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行于垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力21. 已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)

19、原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且滿足（1）求拋物線的方程；（2）若是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值.【答案】（1）；（2）8【解析】【分析】（1）本小題先設(shè)直線方程，再聯(lián)立方程化簡(jiǎn)整理得到待定系數(shù)為、的關(guān)于的一元二次方程，最后根據(jù)題意建立方程求即可解題.（2）本小題先設(shè)點(diǎn)，再根據(jù)題意表示出只含待定系數(shù)為的，最后根據(jù)基本不等式求最值即可.【詳解】（1）由題意，設(shè)拋物線的方程為()，則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得，消去得，所以， 因?yàn)?，所以故拋物線的方程為. （2）設(shè)（），易知點(diǎn)、的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)均不相同.不妨設(shè).易得直線的方程為化簡(jiǎn)得