【KS5U解析】四川省內(nèi)江市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、內(nèi)江市2019-2020學(xué)年度第一學(xué)期高二期末檢測(cè)題數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題： 1.已知某班有學(xué)生48人，為了解該班學(xué)生視力情況，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本已知3號(hào)，15號(hào)，39號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中另外一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是（ ）a. 26b. 27c. 28d. 29【答案】b【解析】【分析】由系統(tǒng)抽樣可知抽取一個(gè)容量為4的樣本時(shí),將48人按順序平均分為4組,由已知編號(hào)可得所求的學(xué)生來(lái)自第三組,設(shè)其編號(hào)為,則,進(jìn)而求解即可【詳解】由系統(tǒng)抽樣可知,抽取一個(gè)容量為4的樣本時(shí),將48人分為4組,第一組編號(hào)為1號(hào)至12號(hào)；第二組編號(hào)為13號(hào)至24號(hào)；第三組編號(hào)為25號(hào)至

2、36號(hào)；第四組編號(hào)為37號(hào)至48號(hào),故所求的學(xué)生來(lái)自第三組,設(shè)其編號(hào)為,則,所以,故選:b【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的編號(hào),屬于基礎(chǔ)題2.設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，則等于（ ）a. b. 10c. d. 38【答案】b【解析】【分析】利用空間中兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系可求的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式可求.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，故，故，故選b.【點(diǎn)睛】本題考查空間中關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，此類問(wèn)題屬于基礎(chǔ)題.3.直線和的位置關(guān)系是（ ）a. 平行b. 相交但不垂直c. 垂直d. 不能確定【答案】b【解析】【分析】根據(jù)兩直線的方程求出各自的斜率，然后斜率的關(guān)系進(jìn)行判斷

3、即可.【詳解】由，因此該直線的斜率為：.由，因此該直線的斜率為：，因?yàn)椋赃@兩條直線相交但不垂直.故選：b【點(diǎn)睛】本題考查了判斷兩條直線的位置關(guān)系，考查了由直線一般式求直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題.4.如圖是某高三學(xué)生進(jìn)入高中三年來(lái)的數(shù)學(xué)考試成績(jī)莖葉圖，第1次到第14次的考試成績(jī)依次記為，下圖是統(tǒng)計(jì)莖葉圖中成績(jī)?cè)谝欢ǚ秶鷥?nèi)考試次數(shù)的一個(gè)算法流程圖，那么輸出的結(jié)果是（ ） a. 9b. 8c. 7d. 6【答案】a【解析】【分析】由程序框圖可知其輸出結(jié)果為成績(jī)不小于90的次數(shù),進(jìn)而利用莖葉圖的數(shù)據(jù)求解即可【詳解】由程序框圖可知其輸出結(jié)果為成績(jī)不小于90的次數(shù),則可由莖葉圖得到符合條件的次數(shù)為9,故選

4、:a【點(diǎn)睛】本題考查讀懂程序框圖的功能,考查莖葉圖的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題5.方程所表示的直線與圓的位置關(guān)系是（ ）a. 相離b. 相切c. 相交d. 不能確定【答案】c【解析】【分析】整理直線方程可得,則直線恒過(guò),可判斷在圓內(nèi),即可判斷直線與圓的位置關(guān)系【詳解】由題,直線為,即,當(dāng)時(shí),即直線恒過(guò),因?yàn)?所以在圓內(nèi),則過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線一定與圓相交,故選:c【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷,考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的應(yīng)用6.關(guān)于直線m、n及平面、，下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）若，則 若，則若，則 若，則a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】b【解析】【分析】：根據(jù)線面的位置關(guān)系和線線關(guān)系進(jìn)行判斷即可

5、；：根據(jù)線面平行的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；：根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理進(jìn)行判斷即可；：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可.【詳解】：因?yàn)?，所以直線m與平面沒(méi)有交點(diǎn)，而，所以直線m與直線n沒(méi)有交點(diǎn)，故兩直線的位置關(guān)系是平行或異面，故本命題不正確；：因?yàn)?，所以直線m、n和平面沒(méi)有交點(diǎn)，故兩條直線可以相交、平行、異面，故本命題不正確；：因?yàn)?，所以存在一個(gè)過(guò)直線m的平面與相交，設(shè)交線為，因此有，又因?yàn)?，所以，由面面垂直的判定定理可得，故本命題正確；：因?yàn)椋灾挥挟?dāng)m與的交線垂直時(shí)，才能得到，故本命題不正確，因此只有一個(gè)命題正確.故選：b【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)定理、面面垂直的性質(zhì)定

6、理，考查了線線位置關(guān)系的判斷，考查了推理論證能力.7.已知為線性區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，若恒成立，則c的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由可以變形為，在可行解域內(nèi)求出目標(biāo)函數(shù)的最大值，進(jìn)而可以求出c的取值范圍.【詳解】，設(shè).在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出不等式組表示的可行解域，如下圖所示：在可行解域內(nèi)平行直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，該直線在縱軸上截距最小，所以，所以要想恒成立，只需：.故選：a【點(diǎn)睛】本題考查了利用線性規(guī)劃解決不等式恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8.已知點(diǎn)到直線的距離等于1，則實(shí)數(shù)m等于（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式求解即

7、可【詳解】由題,點(diǎn)到直線的距離為:,解得,故選:d【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題9.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如.（注：如果一個(gè)大于1的整數(shù)除1和自身外無(wú)其他正因數(shù)，則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù).）在不超過(guò)11的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，其和小于等于10的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先列出不超過(guò)11的素?cái)?shù),再列舉出隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)的情況,進(jìn)而找到和小于等于10的情況,即可求解【詳解】不超過(guò)11的素?cái)?shù)有:2,3,5,7,11,共有5個(gè),隨機(jī)選取2個(gè)不同的

8、數(shù)可能為:,共有10種情況,其中和小于等于10的有:,共有5種情況,則概率為,故選:a【點(diǎn)睛】本題考查列舉法求古典概型的概率,屬于基礎(chǔ)題10.若圓心坐標(biāo)為的圓，被直線截得的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓的方程是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由弦長(zhǎng)為,利用點(diǎn)到直線距離求得,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,設(shè)圓的半徑為,圓心到直線距離為,則,所以弦長(zhǎng)為,則,所以圓的方程為,故選:c【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程,考查弦長(zhǎng)的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想11.已知正三棱錐的外接球是球o，正三棱錐底邊，側(cè)棱，點(diǎn)e在線段上，且，過(guò)點(diǎn)e作球o的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答

9、案】c【解析】【分析】設(shè)的內(nèi)心為，設(shè)球的半徑為，利用正三棱錐的性質(zhì)和正三角形的性質(zhì)可以求出該三棱錐的高的長(zhǎng)，再利用勾股定理，可以求出球的半徑的值，點(diǎn)e作球o的截面，當(dāng)截面與垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面的面積最大，即可求解.【詳解】設(shè)的內(nèi)心為，設(shè)球的半徑為，如下圖所示：連接.，在中，.因?yàn)?，所以，由余弦定理可知：，?dāng)截面與垂直時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面圓的半徑為：，此時(shí)截面的面積為，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面的面積最大，此時(shí)面積為.截面圓面積的取值范圍是.故選：c【點(diǎn)睛】本題考查了正三棱錐外接球問(wèn)題，考查了球截面的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12.在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知是以點(diǎn)c為圓心的圓

10、上的一點(diǎn)，折疊該圓兩次使點(diǎn)a分別與圓上不相同的兩點(diǎn)（異于點(diǎn)a）重合，兩次的折痕方程分別為和，若圓上存在點(diǎn)p使得，其中點(diǎn)，則t的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線、的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而求出圓的圓心及半徑，根據(jù)圓的參數(shù)方程，設(shè)出p點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式化簡(jiǎn)，最后利用輔助角公式和正弦型函數(shù)的最值求出t的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，則有：，所以，同理點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：， 設(shè)圓的方程為：，所以有：，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為1，故點(diǎn)p的坐標(biāo)為：.，（其中），因?yàn)?，所以t的取值范圍是.故選：d【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程求法，考查了點(diǎn)

11、關(guān)于線對(duì)稱點(diǎn)的求法，考查了平面向量坐標(biāo)運(yùn)算公式，考查了輔助角的應(yīng)用，考查了正弦型函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題： 13.已知的平均數(shù)為a，則的平均數(shù)是_.【答案】【解析】【分析】由題可得,再利用平均數(shù)的定義求解即可詳解】由題,所以,則的平均數(shù)為:,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題14.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數(shù)書(shū)九章中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為，用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)時(shí)的值為_(kāi).【答案】859【解析】【分析】先將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為的形式,然后逐步計(jì)算至的值,即可得到答案【詳

12、解】根據(jù)秦九韶算法把多項(xiàng)式改寫(xiě)為如下形式:,所以,故答案為:859【點(diǎn)睛】本題考查利用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值,屬于基礎(chǔ)題15.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射，其反射光線所在直線與圓相切，則反射光線所在的直線方程為_(kāi).【答案】或【解析】【分析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,即反射光線過(guò)點(diǎn),分別討論反射光線的斜率存在與不存在的情況,進(jìn)而求解即可【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,（1）設(shè)反射光線的斜率為,則反射光線的方程為,即,因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切,所以圓心到反射光線的距離,即,解得,所以反射光線的方程為:；（2）當(dāng)不存在時(shí),反射光線為,此時(shí),也與圓相切,故答案為: 或【點(diǎn)睛】本題考查直線在光學(xué)中的應(yīng)用,考查圓的切線

13、方程16.如圖所示，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)e是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面交棱于點(diǎn)，給出下列命題： 四棱錐的體積恒為定值；存在點(diǎn)，使得平面； 對(duì)于棱上任意一點(diǎn)，在棱上均有相應(yīng)的點(diǎn)，使得平面；存在唯一的點(diǎn)，使得截面四邊形的周長(zhǎng)取得最小值.其中真命題的是_（填寫(xiě)所有正確答案的序號(hào)）【答案】【解析】【分析】對(duì),將四棱錐分成兩部分與分析即可對(duì),根據(jù)線面垂直的判定,注意用到再利用線面垂直與線線垂直的判定即可.對(duì),舉出反例即可.對(duì),四邊形周長(zhǎng),展開(kāi)長(zhǎng)方體分析最值即可.【詳解】對(duì),又三棱錐底面不變,且因?yàn)榈酌?故到底面的距離即上的高長(zhǎng)度不變.故三棱錐體積一定,即四棱錐的體積恒為定值,正確.對(duì),因?yàn)?且長(zhǎng)方體,故四邊形為正

14、方形,故.要平面則只需,又,故只需面.又平面,故只需即可.因?yàn)?故當(dāng) 時(shí)存在點(diǎn),使得,即平面.故正確.對(duì),當(dāng)在時(shí)總有與平面相交,故錯(cuò)誤.對(duì),四邊形的周長(zhǎng),分析即可.將矩形沿著展開(kāi)使得在延長(zhǎng)線上時(shí),此時(shí)的位置設(shè)為,則線段與的交點(diǎn)即為使得截面四邊形的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)的唯一點(diǎn).故正確.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的垂直平行判定等,在證明垂直等問(wèn)題時(shí)需要用到線線線面垂直的性質(zhì)和判定等,對(duì)空間想象能力以及立體幾何證明有一定的要求,屬于難題.三、解答題： 17.已知直線.（1）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)到直線l距離最大時(shí)，求直線l的方程.【答案】（1）或（2）【解析】

15、【分析】（1）先求出直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距，根據(jù)題意，列出方程，解方程即可；（2）根據(jù)直線點(diǎn)斜式方程可以確定直線恒過(guò)的定點(diǎn)，然后根據(jù)直線l與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線l距離最大，最后求出的值，進(jìn)而求出直線的方程.詳解】（1）直線，取，取，即，解得或，故直線方程為或（2）變換得到，故過(guò)定點(diǎn)當(dāng)直線l與垂直時(shí)，距離最大.，故，解得，故所求直線方程為【點(diǎn)睛】本題考查了直線的截距的定義，考查了直線過(guò)定點(diǎn)的判斷，考查了已知點(diǎn)到直線的距離的最大值求參數(shù)問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18.某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：.（1）求圖中a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這1

16、00名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均數(shù)與中位數(shù).【答案】（1）（2）平均數(shù)為73，中位數(shù)為：.【解析】【分析】（1）由頻率和為1求解即可；（2）以各區(qū)間中點(diǎn)值代表各組的取值,進(jìn)而求得平均數(shù)；求出從左邊開(kāi)始小矩形的面積的和為0.5對(duì)應(yīng)的橫軸的值即為中位數(shù)【詳解】（1）由頻率分布直方圖知,解得（2）估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分為:由（1）,設(shè)中位數(shù)為,則解得,故估計(jì)中位數(shù)為：.【點(diǎn)睛】本題考查頻率的性質(zhì),考查利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù),考查數(shù)據(jù)處理能力19.如圖，把長(zhǎng)為6，寬為3的矩形折成正三棱柱，三棱柱的高度為3，矩形的對(duì)角線和三棱柱的側(cè)棱、的交點(diǎn)記為. （1）在三棱柱中，若過(guò)三點(diǎn)做一平面，求

17、截得的幾何體的表面積；（2）求三棱柱中異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由操作可知，該正三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，正三棱柱的高為3.所求幾何體的表面積為各面的面積之和，利用表面積公式求解即可；（2）延長(zhǎng)到h，使，連結(jié)，可以證明出，所以異面直線與所成的角即為（或其補(bǔ)角），利用余弦定理求值即可.【詳解】（1）由操作可知，該正三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，正三棱柱的高為3.所求幾何體的表面積為各面的面積之和.又又在三角形中，故 （2）延長(zhǎng)到h，使，連結(jié)，所以有平行四邊形的性質(zhì)可知，所以異面直線與所成的角即為（或其補(bǔ)角）在中，由余弦定值得【點(diǎn)睛】本題考查了

18、異面直線所成的角，考查了空間幾何體的表面積的求法，考查了余弦定理的應(yīng)用.20.某公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車(chē)輛投放，在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站，為了研究車(chē)輛發(fā)車(chē)間隔時(shí)間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時(shí)間x/分101112131415等候人數(shù)y/人232526292831調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下：先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實(shí)際等候人數(shù)y的差，若差值的絕對(duì)值都不超過(guò)1，則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.（1）從這6組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)，求剩下的2組數(shù)據(jù)的間

19、隔時(shí)間相鄰的概率；（2）若選取的是中間4組數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程，并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.【答案】（1） （2），此方程是“恰當(dāng)回歸方程”.【解析】【分析】（1）先列出剩下2組數(shù)據(jù)的基本事件,再找到相鄰的情況,進(jìn)而求解即可；（2）利用最小二乘法由公式求得線性回歸方程,再代入剩余兩組的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)即可【詳解】（1）設(shè)“從這6組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)后,剩下的2組數(shù)據(jù)相鄰”為事件a,記這六組數(shù)據(jù)分別為1,2,3,4,5,6,剩下的2組數(shù)據(jù)的基本事件有,共15種,其中相鄰的有,共5種,所以（2）中間4組數(shù)據(jù)是:間隔時(shí)間（分鐘）11121314等候人數(shù)（人）25262928因?yàn)?所以,所以,所以,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；所以求出的線性回歸方程是“恰當(dāng)回歸方程”【點(diǎn)睛】本題考查列舉法求古典概型的概率,考查最小二乘法求線性回歸方程,考查線性回歸方程的實(shí)際應(yīng)用21.如圖，在四棱錐中中，是正三角形.（1）求證：；（2）求與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合正三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理可以證明出，再利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）點(diǎn)e是的中點(diǎn)，連接，根據(jù)（1）中的線面垂直，可以得到面面垂直，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可以證明出平面，這樣可以得到與平面所成角，通過(guò)銳角三