復旦數(shù)學分析期末試題

1、(裝訂線內不要答題復旦大學技術科學類2016-2017學年第一學期數(shù)學分析B微分學階段性考試試卷專業(yè) 學號 姓名 成績題號1-1 1-2 1-3 2-1 2-2 2-3 2-4 3-1-1 3-1-2得分題號3-2 3-3 3-4 3-5-13-5-23-6 3-7 3-8得分題號4-1 4-2 5-1 5-2 總分 得分一、嚴格表述題(每題3分,共3題 ,共9分注:需給出具體內容,但無需證明1.敘述:函數(shù)連續(xù)性的Cauchy收斂原理/振幅刻畫與區(qū)間上一致連續(xù)性的定義。2.敘述:可由極限保號性決定的分析結論:Fermat引理、判定極值類別的充分與必要性結論3.敘述:閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質,

2、分內部無可導性與內部有可導性二部分。二、判斷簡答題(判斷下列命題是否正確,如果正確的,請回答“是”,并給予證明;如果錯誤的,請回答“否”,并舉反例。(每題3分,共4題,共12分1. 存在極限(0sin sin lim 1sin x x x =;如果(10,sin sin 1,1,1/sin n n x n f x x x xn =-,則仍有(0lim 1x f x =。 注:二個部分都要判定并說明。2. 函數(shù)2cos x x 在(0,1上一致連續(xù),在1,+也上一致連續(xù)。 注:二個部分都要判定并說明。(裝訂線內不要答題3. 定義于區(qū)間a,b上的單調函數(shù)(f x,在任意點一定存在單側極限(f x&

3、#177;±。4. 設(0f x C B x,且在去心鄰域(0B x上可導。若有(limx xdfx Adx= ,則有(f x在x點可導,且導數(shù)為A。三 計算題及證明題(每題7分,共8題,共56分1. 設(11,011,02x x x e f x x -=,研究:(f x 在0點的連續(xù)性;(f x 在0點的可導性。2. 計算:(1111lim x a x x x a x +-注:式中a 的取值范圍可結合分析判定(裝訂線內不要答題3. 計算:11111lim1nnnn n+-+ +4. 推導:反雙曲正旋函數(shù)(sinh lnar x x=+在零點的高階多項式逼近。注:獲得一般階數(shù)的表達式

4、5. Darboux 定理(導數(shù)的介值性定理:設(f x 在,a b 上可導, 證明:如有(''0f a f b +-<,(*,x a b ,滿足*(0df x dx= 證明:對任意('',f a f b +-,此處不失一般性設(''f a f b +-<,則有(,x a b ,滿足(df x dx=。6. 設(f x 在(000,B x x x =-+上具有n 階導數(shù),且有0(0k kd f x dx =,1,1k n =- ,而0(0n n d f x dx?？紤]有限增量公式:(0001!p p p d f f x h f x x

5、 h h h p dx +=+,式中1p n <。證明:(10lim 1n n p p h h -=。(裝訂線內不要答題7. 利用導數(shù)研究(1(1x xf x a=+,x+ 的單調性,式中0a>。8. 基于凹凸性,證明:不等式(121211212n nxx xn x x xnx x xx x xn+,12,nx x x+需說明等號成立的條件。四(10分Bernoulli-LHospital 法則與Stolez 定理的內在相似性 證明:設(f x ,g(x 在(0B x 上可導,0x ,設有(00lim li 00m x x x x f x g x = ,且(0'lim 'x x f x l g x = ,則有:(0lim x x f x l g x = 。 證明:設n x 為無窮小量且單調趨于零,n y 為無窮小量,如有11lim n n n nn y y l x x +-=- ,則有:lim n n ny l x =(裝訂線內不要答題五(12分定性研究