第四講：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的練習(xí)題答案

1、第一講：數(shù)列的極限函數(shù)的極限與洛必達(dá)法則的練習(xí)題答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分）1 下列極限正確的（ ）A B 不存在C D 解： 選C注：2 下列極限正確的是（ ）A B C D 解： 選A注：3 若，則下列正確的是 （ ）A B C D 解： 選D4若，則 （ ）A3 B C2 D解：選B5設(shè)且存在，則= （ ）A-1 B0 C1 D2解：選C 6當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小，則k=（ ）A B1 C2 D-2解： 選C二 、填空題（每小題4分，共24分）7 解：原式8 解：原式9 解：原式10 解：原式11 解：又 故 原式=112若且,則正整數(shù)= 解： 故三、計(jì)算題（每小題8分，共6

2、4分）13求解： 原式=原式14求解：原式15求解：令，當(dāng)時(shí)，原式16求解：原式注:原式17求 解： 原式18設(shè)且存在，求的值。解：19求解： (1) 拆項(xiàng)，(2) 原式=20求解： 原式 四、證明題（共18分）21當(dāng)時(shí)且,證明證：證畢22當(dāng)時(shí)，證明以下四個(gè)差函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小。（1）（2）（3） （4）證：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，五、綜合題（每小題10分，共20分）23求解： 原式24 已知，求常數(shù)的值。解：（1）原極限存在且（2） 答選做題求解：原式令原式第二講：函數(shù)的連續(xù)性與導(dǎo)數(shù)、微分的概念的練習(xí)題答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24 分）1若為是連續(xù)函數(shù)，且，則( )A -1 B0 C

3、1 D 不存在解： 原式，選B2 要使在點(diǎn)處連續(xù)，應(yīng)給補(bǔ)充定義的數(shù)值是( )A B C D 解： 選A3若，則下列正確的是 （ ）A B C D 解： 選B4設(shè)且在處可導(dǎo)，,則是的 ( )A 可去間斷點(diǎn) B 跳躍間斷點(diǎn)C 無(wú)窮間斷點(diǎn) D 連續(xù)點(diǎn) 解： ，故是的第一類(lèi)可去間斷點(diǎn)。選A5在處 ()A 極限不存在 B極限存在但不連續(xù)C 連續(xù)但不可導(dǎo) D可導(dǎo)但不連續(xù)解：，且在連續(xù)，又不存在，在不可導(dǎo) 選C6設(shè)在可導(dǎo)，則為 （ ）A B C D 解：（1）在連續(xù)，故（2），代入得，選C二、 填空題（每小題4分，共24分）7設(shè)為連續(xù)奇函數(shù)，則= 解：（1）為奇函數(shù)， （2）又在連續(xù) 故8若為可導(dǎo)的偶函數(shù)，

4、則 解：（1）為偶函數(shù)，(2)可導(dǎo)， 故 即9設(shè)是曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)，則 解： （1）（2）故10 若滿(mǎn)足：，且則= 解：11 設(shè)在連續(xù)，且=4，則 解： 原式=12的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為解： 令為間斷點(diǎn)，故有三個(gè)間斷點(diǎn)三 、計(jì)算題（每小題8分，共64分）13 已知在上連續(xù)，求的值 解：在連續(xù) 且故14 討論在連續(xù)性解：（1）在處，且在處連續(xù)（2）在處，在不連續(xù)15 設(shè)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且若在連續(xù)，求常數(shù)A。解：且， 答16 設(shè)在可導(dǎo)，求的值。解：（1）在連續(xù)， 故有（2）在可導(dǎo)，答17設(shè)在可導(dǎo)，求與 解：（1）在連續(xù)，且，故有（2）在可導(dǎo)答：18 討論在是否可導(dǎo)，其中在連續(xù)。解：（1） （2）答： 當(dāng)時(shí)，

5、在連續(xù)，當(dāng)時(shí)，在不連續(xù)19 求的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)類(lèi)型 解：（1） 間斷點(diǎn)：（2） 在處：是的第一類(lèi)間斷點(diǎn)。（3） 在處：為的第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn)。20 設(shè)指出的間斷點(diǎn)，并判斷間斷點(diǎn)的類(lèi)型。解：（1）為間斷點(diǎn)，可能是間斷點(diǎn)。（2）在處：是的第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn)（3）在處：是的第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn)四、 綜合題（每小題10分，共20分）21 求的間斷點(diǎn)，并判別間斷點(diǎn)的類(lèi)型。解： （1）間斷點(diǎn)：（2）在處：是的第一類(lèi)可去間斷點(diǎn)（3）在處：是的第一類(lèi)可去間斷點(diǎn)（4）在處：是的第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn)22已知，在可導(dǎo)，求之值解：（1）在連續(xù)，故（2）在可導(dǎo)故有（3）在連續(xù)，即（4）在可導(dǎo)：故有由（3）（4）解得答：五、證

6、明題（每小題9分，共18分）23 證明在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)實(shí)根。證：（1）在連續(xù)，且由零點(diǎn)定理知，=0在上至少有一個(gè)實(shí)根。（2）在連續(xù),且由零點(diǎn)定理知，=0在上至少有一個(gè)實(shí)根（3）綜上所述，=0在上至少有兩個(gè)實(shí)根 24 設(shè)，證明（1）當(dāng)時(shí)在連續(xù)，當(dāng)時(shí)，在可導(dǎo) 解：（1）當(dāng)時(shí)，在連續(xù)(2)當(dāng)時(shí)，在可導(dǎo)總之，當(dāng)時(shí)，在連續(xù)當(dāng)時(shí)，在可導(dǎo)選做題設(shè)對(duì)于任意的，函數(shù)滿(mǎn)足且證明證：（1）令， ，即(2) 證畢第三講：導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算方法的練習(xí)題答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分）1設(shè)則( )A 1 B 3 C -1 D -3解：（1）(2) 選C2設(shè) ,則 （ ）A B C D 解： 令選B注：本題用導(dǎo)數(shù)

7、定義計(jì)算更方便！3設(shè)，則= ( )A B C D 解： 選A4設(shè)由方程所確定，則曲線(xiàn)在點(diǎn)（0，1）的切線(xiàn)斜率= ( )A 2 B -2 C D - 解：選B5 設(shè)為可導(dǎo)偶函數(shù)，且，則 （ ） A 0 B 1 C -1 D 2 解：（1）（2）得（3） 選A6設(shè)在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且,則 ( )A 1 B -1 C 2 D -2解：(2)原式選B二、填空題（每小題4分，共24分）7若，則 解：（1）(2) 8設(shè)，則= 解：(1)（2）9 直線(xiàn)與軸平行，且與曲線(xiàn)相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)是 解：故有切點(diǎn)坐標(biāo)10由方程確定，則 解：當(dāng)時(shí)，得，11設(shè)，則 解：12設(shè)，則 = 解：三、計(jì)算題（每小題8分，共64分）13

8、 設(shè)，求。解： (1)（3）14設(shè)，求及。解：(1) 15方程確定，求解：(1)=0（2） 當(dāng)時(shí)，（3） ，16設(shè) ，求 解：（1）(2)17 設(shè)，確定，求。解：（1）(2)18 設(shè)，求 解：（1）變形，（2） 19 設(shè)由方程所確定，其中F可導(dǎo)，且，求解：（1）（2）當(dāng)時(shí)，（3） 20已知，求解：（1）四、證明題（本題8分）21證明拋物線(xiàn)任一點(diǎn)處的切線(xiàn)所截兩坐標(biāo)軸的截距之和等于。證：（1）求切線(xiàn)方程：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，故有切線(xiàn)方程：（2）求截距：令，解得令，解得（3）證明兩截距之和為（即）+證畢五、綜合題（每小題10分，共30分）22若曲線(xiàn)與在點(diǎn)相切，求常數(shù)。解：（1）求兩曲線(xiàn)的斜率在上，在上，2

9、）求之值：依題意，兩曲線(xiàn)在點(diǎn)相切，又點(diǎn)在曲線(xiàn)上23設(shè)單調(diào)，且二階可導(dǎo)，求及解：（1）（2）=24設(shè)，求解：（1） 選做題1設(shè)可導(dǎo)，且，求解：（1）(2)（3）2設(shè)有任意階導(dǎo)數(shù)，且，求解：3設(shè)可導(dǎo)且，證明解：（1）當(dāng)時(shí)（2）當(dāng)時(shí)：（3）綜上所述： 第四講：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的練習(xí)題答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分）1、已知，則有 （B）A一個(gè)實(shí)根 B兩個(gè)實(shí)根 C 三個(gè)實(shí)根 D無(wú)實(shí)根 解：（1）在滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件故有（）綜上所述，少有兩個(gè)實(shí)根，至多有兩個(gè)根，故選 2下列函數(shù)在所給區(qū)間滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件的是 （D）ABCD解：，滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件故選 D3設(shè)曲線(xiàn)，則其拐點(diǎn)坐標(biāo)為（C）A0

10、B（0，1）C（0，0）D1解：令得當(dāng)時(shí)，故（0，0）為曲線(xiàn)的拐點(diǎn) C4若內(nèi)必有（C）ABCD解：凹弧如示意圖，故有5設(shè) 在取得極值。則為（）A BC D解： 得得答案選6下列命題中正確的是-（B）A 為極值點(diǎn)，則必有B 若在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且 為 的極值點(diǎn)，則必有C 若在（）有極大值也有極小值則極大值必大于極小值。D 若則點(diǎn)必有的極值點(diǎn)。解：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，故有=0 選B二、填空題（每小題4分，共24分）7設(shè)可導(dǎo)，且的極小值。則解：原式=8的單調(diào)增加區(qū)間為解：（1）定義域（2）當(dāng)0<x<e 時(shí)。 故的單調(diào)增區(qū)間為（0，e）9的極小值是解：（1）（2）令，駐點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)x1

11、+_+單調(diào)增單調(diào)減極小單調(diào)增（3）極小值10的最大值為 1 解：（1）是的不可導(dǎo)點(diǎn)。（2）（3）最大值為11曲線(xiàn)的水平漸進(jìn)線(xiàn)為解：直線(xiàn)是曲線(xiàn)的一條水平漸進(jìn)線(xiàn)12函數(shù)在1，2滿(mǎn)足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的解：（1）=（2） 三、計(jì)算題（每小題8分，共64分） 13.已知在區(qū)間滿(mǎn)足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，求解： ，14求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。解：（）駐點(diǎn)，的不可導(dǎo)點(diǎn)（2）x-10+-+極大極?。?）極大值 ，極小值， 在單調(diào)減在單調(diào)增15 求由方程所確定 的極值。解：（1）求駐點(diǎn)：令駐點(diǎn)（2）判別極值點(diǎn)當(dāng)時(shí) 代入上式2+0+0+0+=為極大值點(diǎn)，（3）極大值16求在區(qū)間，4上的最大值，最小值。解：（ 1

12、）令， 為不可導(dǎo)點(diǎn) （2）（3）比較上述函數(shù)的大小最小值為 ，最大值為 0 17求曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。解：（1）定義域（-，+）（2） 令得； 不存在的點(diǎn)為（3）列表（-，00（0，-1）1（1，+）+凹拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹答：拐點(diǎn)（0，）及（1，）；，為凹區(qū)間，（0，1）為凸區(qū)間。18求曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)與垂直漸近線(xiàn)。解：（1）是曲線(xiàn)的一條水平漸近線(xiàn)。（2）是曲線(xiàn)的另一條水平漸近線(xiàn)（3）為曲線(xiàn)的一條垂直漸近線(xiàn)19判別函數(shù)在的單調(diào)性。解：（1）（）令且（3）在單調(diào)減。20設(shè)確定單調(diào)的區(qū)間。解：（1）故有為駐點(diǎn) （2）當(dāng)時(shí)，時(shí)， （3）除外，在單調(diào)增加。四、綜合題（每小題10分，共分）21 已知函數(shù)的圖

13、形上有一拐點(diǎn)（2，4），在拐點(diǎn)處曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率為，而且該函數(shù)滿(mǎn)足，求此函數(shù)解（1）已知；（2）求常數(shù)，（3）求：， 由（4）求函數(shù)y:答：所求函數(shù)y=22 利用導(dǎo)數(shù)描繪的圖形解：（1）定義域，非奇非偶函數(shù)（2）求駐點(diǎn)和的點(diǎn)，令，駐點(diǎn)，令，得（3）列表x1(1,2)2+_+y極大拐點(diǎn)極大值，拐點(diǎn)（4）漸近線(xiàn)與函數(shù)變化趨勢(shì)是曲線(xiàn)的一條水平漸進(jìn)線(xiàn)，（5）描點(diǎn)作圖當(dāng)時(shí)五、證明題（每小題9分，共18分）23 設(shè)存在且單調(diào)增加，證明當(dāng)時(shí)單調(diào)增加證明：1）令當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加故有單調(diào)增加24 設(shè)證明，證明：1）構(gòu)造輔助函數(shù)：（2）且由羅爾定理知 選做題證明方程：恰有一實(shí)根，其中常數(shù)，且證明：（1）令單調(diào)增且(4

14、)綜上所述：有且僅有一個(gè)實(shí)根第六講:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題的練習(xí)題答案一、證明不等式1當(dāng)時(shí),證明成立.證：(1)變形:,這是對(duì)數(shù)函數(shù)的增量形式令(2)在應(yīng)用拉格朗日中值定理: (3)故有 證畢！ 2證明:成立證：(1)構(gòu)造輔助函數(shù),令 (2)在應(yīng)用拉格朗日定理:(3) 對(duì)于 的情形,同理可證. 證畢3證明:當(dāng)時(shí),有成立.證：(1) 構(gòu)造輔助函數(shù)：令(2) 在應(yīng)用拉格朗日中值定理, (3) 是單調(diào)增函數(shù)，故有,證畢4當(dāng)時(shí),證明成立.證：(1)令(2) 在單調(diào)減少(3) 在單調(diào)減少,且故當(dāng)時(shí), 證畢5當(dāng)時(shí),證明成立.證：(1)變形,令(2)令且從而在單調(diào)減少(3)且=0即有成立6當(dāng)時(shí),證明

15、成立.證：(1)變形，令(2)(一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)不易判定,借助)=單調(diào)增，且單調(diào)增加(3)在單調(diào)增,且,故有證畢7當(dāng)時(shí),證明:成立.解：(1)令 (2)令,駐點(diǎn)(3) ，為極小值點(diǎn).由單峰原理,是最小值點(diǎn)最小值故有,即證畢8設(shè),證明成立.證：(1)令(2)駐點(diǎn)(3)(4)比較上述函數(shù)值的大小:故有,即證畢9證明:當(dāng)時(shí),有.證：(1)令(2),在單調(diào)增加 (3) 由,得從而有 證畢二、證明方程根的個(gè)數(shù)10證明:當(dāng)時(shí),方程僅有一個(gè)實(shí)根. 證：(1)令單調(diào)增,故最多有一個(gè)實(shí)根(2)是一元五次方程至少有一個(gè)實(shí)根(3)綜上所述:有且只有一個(gè)實(shí)根. 證畢11證明方程只有一個(gè)正根.證(1) 單調(diào)增故最多有一實(shí)根

16、(2)在連續(xù)且由零點(diǎn)定理知:至少有一個(gè)正根.（3）綜上所述:只有一個(gè)正根12證明方程:有且僅有兩個(gè)實(shí)根.解：(1)令在連續(xù)且由零點(diǎn)定理知:在至少有一個(gè)實(shí)根同理:=0在至少有一實(shí)根總之, =0在至少有兩個(gè)實(shí)根(2) =0是一元二次方程,最多有兩個(gè)實(shí)根()綜上所述：=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根13設(shè)常數(shù)證明方程,在內(nèi)有且僅有兩個(gè)正根.證：(1)令 (x>0)(2) ;令駐點(diǎn)<0,為極大值點(diǎn).由單峰原理:是最大值點(diǎn)最大值且, 故與軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn) (如示意圖) 即在有且只有兩個(gè)實(shí)根.三、 應(yīng)用題（每小題10分，共50分）14已知曲線(xiàn).（1）求曲線(xiàn)在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.（2）求曲線(xiàn)的切線(xiàn)被

17、兩坐標(biāo)軸所截線(xiàn)段的最短長(zhǎng)度.解：(1)求切線(xiàn)方程:切點(diǎn)切線(xiàn)方程:即(2)令令(3)令(4)最小值15在半徑為R的半徑內(nèi)作一個(gè)圓柱體,求最大體積時(shí)的底半徑與高.解：(1)畫(huà)出示意圖 (2)依題意,設(shè)所求圓柱體體積為V(3)求駐點(diǎn),令,駐點(diǎn)（4）求最值點(diǎn):,為最大值點(diǎn)答:當(dāng),時(shí),所得圓柱體體積最大16某客輪每小時(shí)消耗燃料的費(fèi)用速度的立方正比,若該客輪從甲城到已城沿江逆流而上,設(shè)水流速度為每小時(shí)公里,求客輪最經(jīng)濟(jì)的速度?解：(1)列出函數(shù)關(guān)系式:設(shè)從甲城沿江到乙城的路程為.消耗總費(fèi)用為.依題意:,其中是甲城到乙城所需要的時(shí)間(2)求駐點(diǎn): 令,駐點(diǎn)(3)求最值:由實(shí)際問(wèn)題的意義知道:最小值存在,且駐

18、點(diǎn)唯一,當(dāng)時(shí),客輪消耗燃料總費(fèi)用最省.17欲做一個(gè)容積是3000的無(wú)蓋圓柱形的蓄水池,已知池底單位面積造價(jià)為池壁單位面積的3倍,問(wèn)蓄水池的尺寸怎樣設(shè)計(jì),才能使總造價(jià)最低?解：(1)列出函數(shù)關(guān)系式:設(shè)池底半徑為,池高為,池壁單位面積造價(jià)為元,總造價(jià)為,依題意:(2) 求駐點(diǎn):令,駐點(diǎn)(3) 求最值:,當(dāng)時(shí),總造價(jià)最省.(4) 當(dāng)時(shí),答:當(dāng)時(shí),總造價(jià)最低.18從一塊半徑為R的圓鐵片上挖去一個(gè)扇形,把留下的中心角為取多大時(shí),做成的漏斗的容積最大? 解：(1)列出函數(shù)關(guān)系式:設(shè)漏斗體積為V依題意:, ,(2) 求駐點(diǎn)令=0.,駐點(diǎn)又(3) 求最值由實(shí)際問(wèn)題意義知道:漏斗最大容積存在,且駐點(diǎn)唯一,當(dāng)時(shí),

19、漏斗的容積最大.第六講:不定積分的概念與換元積分法的練習(xí)題答案一、單項(xiàng)選擇題(每小題4分,共24分)1設(shè)是在上的一個(gè)原函數(shù),且為奇函數(shù),則是 ( )A 偶函數(shù) B 奇函數(shù)C 非奇非偶函數(shù) D不能確定解:可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)必為偶函數(shù).必為偶函數(shù).選A2已知的一個(gè)原函數(shù)為,的一個(gè)原函數(shù)為,則的一個(gè)原函數(shù)為 ( )A B C D 解:(1),(2) 選B3設(shè)為連續(xù)導(dǎo)函數(shù),則下列命題正確的是 ( )A B C D 解:選A 4設(shè)且 ,則=( )A B C D 解：(1) (2)且得,選A5設(shè)是的一個(gè)原函數(shù),則 ( )A BC D 解：(1)原式=(2)(3) 原式= 選D6設(shè),則=( )A B C D 解：(1)(2)(3)原式= 選C二、填空題7若是的一個(gè)原函數(shù),則 = 解：(1)(2) 8設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為 ,則 解：故 9若,則= 解： 原式=10 解：原式=或11若,則 解：原式=12若,則 解：三、計(jì)算題13 解:原式=14 解:原式=15 解:原式= 16 解:原式=17 解:原式=18 解:令原式=19解:令原式=20 解