高一數(shù)學必修一函數(shù)知識點總結

1、二、函數(shù)的有關概念1.函數(shù)的概念：設 A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合 A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應，那么就稱f : AtB為從集合A到集合 B的一個函數(shù).記作：y=f(x) , x A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍 A叫做函數(shù)的定義域； 與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| x A 叫做函數(shù)的值域.1 .定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3) 對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4) 指數(shù)、

2、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6) 指數(shù)為零底不可以等于零，(7) 實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義相同函數(shù)的判斷方法：表達式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關)；定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)2 .值域：先考慮其定義域(1) 觀察法配方法(3) 代換法3.函數(shù)圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x) , (x A)中的x為橫坐標，函數(shù)值 y為縱坐標的點P(x , y)的集合C,叫做函數(shù) y=f(x),(x A)的圖象.

3、C上每一點的坐標(x , y)均滿足函數(shù) 關系y=f(x)，反過來，以滿足 y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對 x、y為坐標的點(x , y)，均在C上. 畫法A、描點法：B、圖象變換法常用變換方法有三種1) 平移變換2) 伸縮變換3) 對稱變換4 .區(qū)間的概念(1) 區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間(2 )無窮區(qū)間(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.5. 映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素 y與之對應，那么就稱對應 f: AB為從集合A到集 合B的一個映射。記作"f (對應關系)：A (原象)r B

4、 (象)”對于映射f : atB來說，則應滿足：(1) 集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3) 不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6. 分段函數(shù)(1) 在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。(2) 各部分的自變量的取值情況.(3) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集. 補充：復合函數(shù)如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),則 y=fg(x)=F(x)(x A) 稱為 f、g 的復合函數(shù)。二函數(shù)的性質(zhì)1. 函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1) 增函數(shù)設函數(shù)y=f(

5、x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量 xi, X2，當 Xi<X2時，都有f(x i)<f(x 2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū) 間-如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值Xi, X2,當Xi<X2時，都有f(x 1) >f(x 2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；(2) 圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升

6、的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的(3) .函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法： 任取 X1, X2 D,且 X1<X2； 作差 f(x 1) f(x 2)； 變形(通常是因式分解和配方)； 定號(即判斷差f(x 1) f(x 2)的正負)； 下結論(指出函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).(B) 圖象法(從圖象上看升降)(C) 復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構成它的函數(shù) u=g(x) , y=f(u)的單調(diào)性密切相關，其規(guī)律： "同增 異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.8函數(shù)的奇偶性(整體性

7、質(zhì))(1) 偶函數(shù)一般地，對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個X,都有f( x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù).(2) .奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個X ,都有f( x)= f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).(3) 具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關于 y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；(可確定f( x)與f(x)的關系；(作出相應結論：若 f( x) = f(x)f(x) 或 f( x) + f(x) = 0 ，則 f(x)或f( x) f(x) = 0，貝y f(x)是偶

8、函數(shù)；若f(是奇函數(shù).注意：函數(shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關于原 點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)若對稱，(1)再根據(jù)定義判定；(2)由f(-x)或f(x) /f(-x)= ± 1來判定；(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定9、函數(shù)的解析表達式(1) .函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們 之間的對應法則，(2)1)2)3)4)10.x)=± f(x)= 0二是要求出函數(shù)的定義域求函數(shù)的解析式的主要方法有： 湊配法 待定系數(shù)法 換元法 消參法函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)利用二次函

9、數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)利用圖象求函數(shù)的最大(小)值如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間 最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a， b上單調(diào)遞減，在區(qū)間 最小值f(b);例題：1.求下列函數(shù)的定義域：b , c上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在b，c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有x=b處有.x2 -2x -15y 二x 3 -32.設函數(shù)f(x)的定義域為0,1，則函數(shù)3. 若函數(shù)f (x -1)的定義域為-2,Jx 2(x 乞-1)4. 函數(shù)一、 2，若f (x) =Qx (1 <x <2)2x(x _2)5. 求下列函數(shù)的值域：2 y =x

10、 2x -3 (x 三R)yT：)2f (x2)的定義域為3，則函數(shù)f(2x_1)的定義域是-H-*f(x) =3，貝u x = y =x2 2x -3 x 1,2利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值:yx2 4x 56.已知函數(shù)f(x-1) =X2 -4x，求函數(shù)f(x), f(2x 1)的解析式7.已知函數(shù) f(x)滿足 2f(x) f( -x3x 4，則 f (x) =8.設f(*是R上的奇函數(shù)，且當x迂0,掃c)時，f(X)=X(1+MX)，則當xE(-oa,0)時f(x) =f(x)在R上的解析式為9. 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y =x2 2x 3 y - . -x2 2x 3 y

11、 = x2 -6 x -110. 判斷函數(shù)y - _x3 1的單調(diào)性并證明你的結論1f( ) =f(x)x11. 設函數(shù)f(x) =L_2L判斷它的奇偶性并且求證:1 x2第三章基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)(一) 指數(shù)與指數(shù)幕的運算1 根式的概念：一般地，如果x" =a，那么x叫做a的n次方根，其中n >1，且n N負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是 0,記作n 0 = 0。當n是奇數(shù)時，；an = a，當n是偶數(shù)時，n. an =|a|="):-a (acO)2 分數(shù)指數(shù)幕正數(shù)的分數(shù)指數(shù)幕的意義，規(guī)定：mm 1 1 *an = %'am(a >0,m,

12、n N ,n a1) , a n = = , (a >0,m, n N , n > 1)a下0的正分數(shù)指數(shù)幕等于 0, 0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義3 實數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)rrr七(1) a a a(a 0,r,s R)；r srs(2) (a ) =a(a 0,r,s R)；(3) (a 0,r,s R) (二) 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) y=ax(a 0,且a = 1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量,數(shù)的定義域為R.注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1 2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)值域y>0值域y>0在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減非奇

13、非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點(0, 1)函數(shù)圖象都過定點(0, 1)注意：禾U用函數(shù)的單調(diào)性，結合圖象還可以看出：(1 )在 a, b上，f(x)二ax(a O且 a")值域是f(a),f (b)或f(b),f (a)；(2) 若x = 0，則f (x) = 1 ； f (x)取遍所有正數(shù)當且僅當 x R ；(3) 對于指數(shù)函數(shù)f(x)二ax(a .0且a/)，總有f(1) = a ；二、對數(shù)函數(shù)(一)對數(shù)1 對數(shù)的概念：一般地，如果ax=N (aA0,a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作:x =loga N ( a 底數(shù)，N 真數(shù)，loga N 對數(shù)式)說明：注意底數(shù)

14、的限制a 0 ,且a "； ax = N log a N 二 x ； 注意對數(shù)的書寫格式.一兩個重要對數(shù)： 常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)lg N ； 自然對數(shù)：以無理數(shù) e =2.71828 為底的對數(shù)的對數(shù)ln N .指數(shù)式與對數(shù)式的互化冪值真數(shù)ab = N = loga N = b底數(shù)指數(shù)對數(shù)（二）對數(shù)的運算性質(zhì)如果a0 ,且a =1 , M 0 , N 0 ,那么: loga（M N）二 loga M + loga N ; log a M = loga M - loga N ；N logaMn 二 n loga M （n R）.注意：換底公式log a b = I。®c

15、 b（ a 0 ,且 a=1 ； c 0，且 c=1 ； b 0）.logc a利用換底公式推導下面的結論n nI（1） log am b log a b ; （2） loga b 二 mlog b a（二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) y =logax（a .0,且a = 1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù)的定義域是（0, +m）.注意： 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：y=2log2x,X都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).5二 logy對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制:2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):(a 0 ,且 a = 1).（三）幕函數(shù)1、 幕函數(shù)定義：一般地，形如

16、y = x（a R）的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中 :-為常數(shù).2、幕函數(shù)性質(zhì)歸納.（1） 所有的幕函數(shù)在（0, +8）都有定義并且圖象都過點（1, 1）;（2） 0時，幕函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間0, ：）上是增函數(shù).特別地，當1時, 幕函數(shù)的圖象下凸；當 0 ：1時，幕函數(shù)的圖象上凸；（3） ：0時，幕函數(shù)的圖象在區(qū)間 （0,匸：）上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當x從右邊趨向原點 時，圖象在y軸右方無限地逼近 y軸正半軸，當x趨于時，圖象在x軸上方無限地逼近 x軸 正半軸.例題：1.已知a>0, aHo，函數(shù)y=ax與y=log a（-x）的圖象只能是（）2. 計算： log32 二 ； 2

17、4 109 23 =; 25；叫27 2叫2=；log 27 64 O.O64.(_7)0(G)3： 16-750.01；=83. 函數(shù)y=log 1 (2x2-3x+1)的遞減區(qū)間為24. 若函數(shù)f (x) =logax(0 <a <1)在區(qū)間a, 2a上的最大值是最小值的 3倍，則a=5. 已知f(x)=logat(a：>a護)，(。求f(x)的定義域(2)求使f(x)>0的X的取值范圍1 X第三章函數(shù)的應用一、方程的根與函數(shù)的零點1、 函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y二f (x)(x D)，把使f (x) = 0成立的實數(shù) x叫做函數(shù) y = f(x)(x D)的零點。2、 函數(shù)零點的意義：函數(shù)y二f (X)的零點就是方程f(x) =0實數(shù)根，亦即函數(shù) y二f (X)的圖象與X軸交點的橫坐標。即：方程f (x) 0有實數(shù)根=函數(shù)y = f (x)的圖象與x軸有交點=函數(shù)y = f (x)有零點.3、函數(shù)零點的求法： (代數(shù)法)求方程