剛體的轉動慣量專題

1、剛體的轉動慣量專題1. 剛體的轉動慣量的三要素剛體對某軸的轉動慣量， 是描述剛體在繞該軸的轉動過程中 轉動慣性的物理量 . 有轉動慣量的定義式 I miri2 可看出，剛體的轉 動慣量是與以下三個因素有關的 .1 與剛體的質量有關 . 例如半徑相同的兩個圓柱體，而 它們的質量不同， 顯然， 對于相應的轉軸， 質量大的轉動慣量也 較大.2 在質量一定的情況下，與質量的分布有關 . 例如，質 量相同、 半徑也相同的圓盤與圓環(huán)， 二者的質量分布不同， 圓環(huán) 的質量集中分布在邊緣， 而圓盤的質量分布在整個圓面上， 所以， 圓環(huán)的轉動慣量較大 .3還與給定轉軸的位置有關，即同一剛體對于不同的轉 軸，其轉

2、動慣量的大小也是不等的 . 例如，同一細長桿，對通過 其質心且垂直于桿的轉軸和通過其一端且垂直于桿的轉軸， 二者 的轉動慣量不相同， 且后者較大 . 這是由于轉軸的位置不同， 從 而也就影響了轉動慣量的大小 .剛體的轉動慣量的三要素：I剛體的總質量、I剛體的質量分布 情況、轉軸的位置2. 轉動慣量的普遍公式(1) 轉動慣量的定義式| 可知，對于形狀規(guī)那么、質量均勻分布的連續(xù)剛體，其對特殊軸的 轉動慣量的計算可借助于定積分這是，可設想將剛體分成許多 小線元、面元、體元.dm dxdm dSdm dV于是I r2dm r2 dxl1dm dS2 21 dm dV一般說來，這是個三重的體積分，但對于

3、有一定對稱性的物體, 積分的重數可以減少，甚至不需要積分.2剛體對某軸的轉動慣量剛體對z軸的轉動慣量2 2 2 2Iz r z dm x y dm2b剛體對x軸的轉動慣量I x r2 x2 dmy2 z2 dm剛體對y軸的轉動慣量2 2 2 2Iy r y dm x z dm仿照剛體對某軸的轉動慣量來定義剛體對于某點的轉動慣量：剛體中各質點的質量各自與其至某 參考點的距離的平方 的乘積，所得總和稱為剛體對該點的轉動慣量3剛體對某點的轉動慣量剛體對坐標原點。的轉動慣量可表示為2 2 2Io x y z dmlBIl I !« Hltia I 1Io c lx I y I z2 即，質點

4、系剛體對于坐標原點的轉動慣量或極轉動慣量 等于它對于三個坐標軸的轉動慣量之和的一半 .3. 剛體的平行軸定理許泰乃爾定理即，剛體對于任何一軸的轉動慣量， 等于剛體對于通過它的質心 并與該軸平行的轉動慣量， 加上剛體的質量與兩軸間距離平方的 乘積.注意：平行軸定理與剛體對質心軸的轉動慣量緊密聯系在一起， 應用此定理的參考點是剛體對質心軸的轉動慣量 .根據平行軸定理，可得到如下關系：(1)剛體繞通過質心的軸的轉動慣量小于繞另一平行軸的轉動慣量，二者之差為 md2 .(2 )設有兩條平行軸PP與QQ'均不通過質心C.如果PP'比QQ,靠近C，貝U剛體繞PP'軸的轉動慣量小于繞

5、QQ'軸的轉動慣量如圖7.52a所示.圖7.52平行軸定理的應用a在不同圓上；b同一圓上(3)如果有一簇與質心c的距離相等的平行軸，那么，剛體 繞這些軸的轉動慣量均相等(如圖 7.52(b)所示).4. 剛體的垂直軸定理(正交軸定理、薄片定理)設想剛體為平面薄片，即厚度可以略去不計，因而剛體為平 面圖形.即，平面圖形對于圖形的兩條正交軸的轉動慣量之和，等于這個 圖形對過二軸交點且垂直于圖形平面的那條轉軸的轉動慣量. 注意：正交軸定理對于有限厚度的板不成立5. 轉動慣量的疊加原理實際上，有些物體是由幾種形狀不同的剛體的組合.它對于某軸的轉動慣量，可視為各局部對于同一轉軸的轉動慣量之和，

6、因而，I Il I2 I3 L7a /即，由幾個局部組成的剛體對某軸的轉動慣量， 等于各局部對同軸的轉動慣量之和 . 此即轉動慣量的疊加原理. 疊加原理是根據加法的組合定那么， 把屬于各局部的項分別相 加，然后求和而得 .同理，設有一物體挖去假設干局部，那么剩余局部的轉動慣量， 等于原物體的轉動慣量，減去挖去局部的轉動慣量 .例題1在質量為m，半徑為R的勻質圓盤上挖出半徑為r的兩 個圓孔，圓孔中心在半徑R的中點，求剩余局部對過大圓盤中心 且與盤面垂直的軸線的轉動慣量 .圖7.53轉動慣量的疊加原理的應用解大圓盤對過圓盤中心。且與盤面垂直的軸線以下簡稱 O 軸的轉動慣量為1晌2.由于對稱放置，兩

7、個小圓盤對。軸的轉動慣量相等，設為I'，圓盤質量的面密度nR2,根據平行軸定理，有2 41 222 R mr 12I' nr n2mr2 22R2設挖去兩個小圓盤后，剩余局部對。軸的轉動慣量為I''mR22mr2-m R2 r222r4R26. 轉動慣量的標度變換法轉動慣量的標.度.變.換.法.是計算轉動慣量的一種簡便的方法 由于在幾何上具有相似性的均勻物體，它們對相應轉軸的轉動慣 量的表達式也具有相似性， 在根據轉動慣量的平行軸定理、 疊加 原理等，確定彼此關系， 比擬系數， 從而獲得物體對該軸的轉動 慣量 . 故這種方法可以不用積分即能求得某些特殊形狀的物體

8、 的轉動慣量 .IC.例題 2 求均勻立方體繞通過面心的中心軸的轉動慣量O'O圖7.54標度變換法用于計算立方體對通過面心的中心軸的轉動慣量解令立方體的總質量為m，邊長為l，設均勻立方體繞通過面心的中心軸的轉動慣量為IC kml2其中，系數k是無量綱的量.因為一切立方體在幾何上都是相似的，它們應該具有同樣的k.中心軸到棱邊的距離為根據平行軸定理，立方體繞棱邊的轉動慣量為ID kml2 m l k 1 ml22 2現將立方體等分為8個小立方體，每個小立方體的質量為 書，邊 長為2，繞棱邊的轉動慣量為Id'ml2328個立方體繞棱邊的轉動慣量之和應等于大立方體繞中心軸的Ic 8Id

9、轉動慣量，即比擬系數，得丄k丄322于是，求得所以，Ic丄ml下面介紹利用定積分法計算質量均勻分布、 圖形具有對稱性的剛體對于一些特殊的轉軸的轉動慣量勻質細桿例題3質量為m、長為l的勻質細桿，繞其質心且垂直于桿 的軸旋轉，桿的轉動慣量是多少？解設桿的線密度為，那么ml.選擇如下圖的坐標軸，桿 的質心位于原點，取一個長度為dx、與質心的距離為x的微元，那么!dxO；xx圖7.55勻質細桿對質心軸的轉動慣量dlx2dm x2 dxl/221312:=IOx dx l ml e1/2 12 1根據平行軸定理，桿對通過其一端且垂直于桿的軸的轉動慣量為2 -l1 .21 .21 諾I I。m一 ml-

10、ml- ml21243當然用定積分也可得相同的結果10 x2dxml勻質正方形薄板例題4求質量為m、邊長為a的勻質正方形薄板對其邊為軸 的轉動慣量解勻質薄板可視為細長條的組合根據疊加原理可得對 一邊的轉動慣量y1aaOdxx圖7.56勻質正方形薄板對一邊為軸的轉動慣量 -I1 2 1 2 -mia ma33同理，可得1 2 1 2 -mia - ma 33或利用定積分，其中，蘿為面密度.對z軸的轉動慣量對質心軸的轉動慣量IzadxIx1 2ma3Iy 2ma2322 2 1 2 1 2 ma ma - ma326對以對角線為軸的轉動慣量1ly' 2 IC2 2x y dxdya a 2

11、dy x dx0 0a a0dx0ydy2 2ma31 1 2 1 2 -ma ma 2 6 12當然，對z軸的轉動慣量也可用二重積分計算得到勻質矩形薄板例題5求質量為m、長和寬分別為a和b的勻質矩形薄板對其邊為軸的轉動慣量解方法同上，不難得到a圖7.57勻質矩形薄板對一邊為軸的轉動慣量lx 1 mb2,ly 1 ma233由垂直軸定理，可以進一步求得矩形薄板對通過頂點且垂直于板平面的軸的轉動慣量如圖7.57 為1 1 2 2Iz lx I y -ma by 3當然，對z軸的轉動慣量也可用二重積分計算得到Iz22b a 2a b 2144122X y dxdy0dy 0xdx odx.ydy

12、3 a b m a b矩形薄板對通過質心且垂直于板平面的軸的轉動慣量為 J <! I I I !<! I I I I I !JBI I I ! J JBI I I ! J » I I I BJH I il |2.,12.2 va2 b212.2I ' - m a b m m a b3212OiO O2b/2b/2圖7.58勻質矩形薄板對過中心且垂直于板面的軸的轉動慣量另解：從量綱上考慮，所求的轉動慣量可表示為a I I: ii I ili | n" ! 11!|O c1ma2 c2mab Qmb2i其中，c i 1,2,3為待定系數.將a和b轉置后，IO

13、 gmb2 qmba Qma* a ti ii ! ! “但I。不會因為a和b轉置而發(fā)生變化，比擬系數，有C| c2那么7.54 ！ UB Bail ! £ < I > B IO Gm a2 b2c2mba利用勻質矩形板可等分為兩個小勻質矩形板的特點，如圖 所示，有IO11 O2CiC22b 一4 b- 4 m-2 m22bb2bGm acma 一m -224g11Ci,c2c24162比擬系數，有得，因而，2 m a、b和c的勻質長方勻質長方體例題6求質量為m、長、寬和高分別為體對其棱邊為軸的轉動慣量P圖7.59勻質長方體對其棱邊為軸的轉動慣量解由疊加原理，不難得到以棱

14、邊c為軸的轉動慣量Iz2-mi a3b22 ma3b2同理可得，以棱邊a為軸的轉動慣量lx1mi b2 c21 m b2 c233以棱邊b為軸的轉動慣量, 1 2 2 1 2 2 I y - mi a c m a c33當然，對z軸的轉動慣量也可用三重積分計算得到c b a 2c a b 2dz dy x m a cdxdz dx y2dy0 0 0 0 0 0-a3bc - ab3c33121,2ma mb33122m a b3對x軸的轉動慣量也可用三重積分計算得到I xy2 z2 dxdydza c b 2abc?dx dz y dy dx dy z dz0 0 0 0 0 01m b c

15、3對x軸的轉動慣量也可用三重積分計算得到Iyx2 z2dxdydzc b a 2abc?dz dy x dx dx dy z dz0 0 0 0 0 0根據平行軸定理，對通過長方體面心為軸的轉動慣量 2I pp'a b 122122122Iz mma b -ma b ma b3412如果將上述長方體換成邊長為a的立方體，那么繞其棱邊的轉動慣量均相等，且I 2ma23對通過正方體面心為軸的轉動慣量1 pp'1ma26余此類推.對于特殊剛體,勻質細圓環(huán)例題7求質量為m、半徑為R的勻質細圓環(huán)對通過中心并與 環(huán)面垂直的軸的轉動慣量.圖7.60勻質細圓環(huán)對通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉動慣

16、量解細圓環(huán)的質量可以認為全局部布在半徑為 r的圓周上，即 在距離中心小于或大于R的各處，質量均為零，所以轉動慣量為2 2 2計 z m R R m, mR ir=" s 卄 s ii花 R2dm mR又由垂直軸定理，可以得到其對直徑為轉軸的轉動慣量為Id ImR22再利用平行軸定理，可得細圓環(huán)對其任意切線為轉軸的轉動慣量為jit -mR2 mR2- mR2|2 2 、x圖7.61勻質細圓環(huán)對任意切線為軸的轉動慣量m 2泯其中，為細圓環(huán)的線密度，那么dm Rd細圓環(huán)對切線的轉動慣量R Rcoso32 nR31 2cosoRdcos2dR3 2 n+ n3n R3 imR2勻質中空薄圓盤

17、例題8求質量為m、半徑為&、外半徑為R2的勻質中空薄圓 盤對通過中心并與盤面垂直的軸的轉動慣量圖7.62勻質中空薄圓盤對通過中心并與盤面垂直的軸的轉動慣量解勻質中空薄圓盤可視為無限多個同心的細圓環(huán)的組合,所以，根據疊加原理可以得到該中空薄圓盤對通過中心且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量中空薄圓盤的質量為2 2m n R2 R-i其中，為中空薄圓盤的面密度，那么dm 2 ndr中空薄圓盤對通過中心且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量Iaa j & u J R22r 2 ndrdrr4r4Io R2 n12121 -m 2R2R2R2R2R2R1RiR；Ri2當然，中空薄圓盤對通過中心且垂直于盤

18、面的轉軸的轉動慣 量也可用二重積分計算得到IO r2 rdrd2%d"r'dr 2 n r'dr - m R| R2orR2勻質薄圓盤例題9求質量為m、半徑為R的勻質薄圓盤對通過中心并與 環(huán)面垂直的軸的轉動慣量.圖7.63勻質薄圓盤對通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉動慣量解勻質薄圓盤可視為無限多個同心的細圓環(huán)的組合，所以, 根據疊加原理可以得到該厚圓環(huán)對通過中心且垂直于環(huán)面的轉軸的轉動慣量薄圓盤的質量為mnR2其中，為薄圓盤的面密度，那么dm 2 ndr薄圓盤對通過中心且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量I。 Rr2 2 ndr 2 n 打紹 1 n R4 1 mR20 0 2 2當然，薄圓盤對通過中心且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量也 可用二重積分計算得到.c2 nRcRc1c,2.3 小3 .I _2IO r rdrdd r dr 2 n r dr -mR。o oo2可見，薄圓盤是中空圓盤的特例同樣，根據垂直軸定理，得其對