中國人民大學出版社(第四版)高等數(shù)學一第3章課后習題詳解

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我第3章中值定理與導數(shù)的應用內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容(、)中值定理名稱條件結論羅爾 中值 定理y f(x)：(D 在a,b上連續(xù)；(2)在(a,b)內(nèi)可導；(3) f (a) f(b)%至少存在一點士 (a,b)使得f/0/拉格 朗日 中值 定理y f(x)：(D 在a,b上連續(xù)；(2)在(a,b)內(nèi)可導至少存在一點(a, b)使得/f(b) «(a)f ( ;b a柯西 中值 定理f (x)、g(x): (1)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導；在(a,b)內(nèi)每點處g/(x)0至少存在一點E (a,b)使得f/(9 f(b) f(a) g/( )b a洛必

2、 達 法則基本形式-型與一型未定式 0通分或取倒數(shù)化為 基本形式1) 型：常用通分的手段化為_°型或一型；02) 0 型：常用取倒數(shù)的手段化為 _0型或一型，即：0c000或0,取對數(shù)化為 基本形式1) 00型：取對數(shù)得 00e°1n°,其中 0 ln00-0-1/0或 0 1n 00；1/0/一、，1n12) 1型：取對數(shù)得1e ,其中 1n10-/1/0、或 1n10；1/0/3)型：取對數(shù)得0 e01n /其中0 1n 01/0或 0 1n0 -。1/0課后習題全解習題3-1 1.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件？如滿足，請求出滿足定理的數(shù)值。

3、(1)f (x)2x2 x 3, 1,1.5；(2) f(x)xV3x,0,3 o知識點：羅爾中值定理。思路：根據(jù)羅爾定理的條件和結論，求解方程 f / ( 90 ,得到的根 己便為所求。2解：(1) f(x)2x2 x 3在1,1.5上連續(xù)，在(1,1.5)內(nèi)可導，且 f( 1) x f (1.5) 0,2f(x) 2xx 3在1,1.5上滿足羅爾定理的條件。令f (9 4。1 0得一 1，、E ( 1,1.5)即為所求。4(2) f(x) xj3 x 在0,3上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導，且 f(0)f(3) 0, . f(x) xv3x在0,3上滿足羅爾定理的條件。令f ( 士) 33E

4、一 0 ,得2 2 (0,3)即為所求。27n 2.驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)y 4x3 5x2 x 2在區(qū)間01上的正確性。知識點：拉格朗日中值定理。思路：根據(jù)拉格朗日中值定理的條件和結論，求解方程f (9f(1) f(0) ，若得到的根士 01則1 0可驗證定理的正確性。3232解：.y f (x)、4x 5x x 2 在0,1連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，y 4x 5x x 2在5 一 1312(0,1)，區(qū)間0,1上滿足拉格朗日中值定理的條件。又f(1)2,f (0)2, f (x) 12x2 10x 1,.要使f () 工(1-L(0) 0,只要:1 051312(0,1),使 f (

5、0 f(1) f(0),驗證完畢。1 0 3.已知函數(shù)f(x)x4在區(qū)間1,2上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定理的解：要使f U2)3,只要4E3 15 但，從而 2 14 4(1,2)即為滿足定理4.試證明又函數(shù) y px2 qx r應用拉格朗日中值定理時所求得的點己總是位于區(qū)間的正中間。2證明：不妨設所討論的區(qū)間為a,b,則函數(shù)y px qx r在a,b上連紋，在(a,b)內(nèi)可導，從而有f ( E)f(b) f(a),即 2222、(pb qb r) (pa qa r)35.函數(shù) f (x) x 與 g(x)足定理的數(shù)值&知識點：柯西中值定理。思路：根據(jù)柯西中值定理的條件和

6、結論,1在區(qū)間1,2上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請求出滿f(b一f-a) ,得到的根 己便為所求。 g(b) g(a)解：: f (x)x3 及 g(x) x21在1,2上連續(xù)，在(1,2)內(nèi)可導，且在 (1,2)內(nèi)的每一點處有g (x) 2x0 ,所以滿足柯西中值定理的條件。要使f(2)f(1),只要耳g(2) g(1)14一 (1,2),士即為滿足定理的數(shù)值。96.設f(x)在0,1上連續(xù)，在(01)內(nèi)可導，且f (1) 0。求證:存在 2 (0,1)，使 f ( 9fo知識點：羅爾中值定理的應用。f ( n 人82結論出發(fā)，變形為f , ( 9 E f ( g 0,構造輔助函數(shù)

7、使其導函數(shù)為f/(x)x f(x),然后再利用羅爾中值定理,便得結論。構造輔助函數(shù)也是利用中值定理解決問題時常qb53用的方法。證明：構造輔助函數(shù)F(x) xf(x) , F (x)f (x) xf (x)根據(jù)題意F(x) xf(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且F(1) 1 f(1) 0,F(0) 0 f(0) 0,從而由羅爾中值定理得：存在 士 (0,1),使/ f( nF ( 9 f (1 f ( 0 0 ,即 f 。注：輔助函數(shù)的構造方法一般可通過結論倒推，如：要使 f (x)Ux) ,只要xf (x)1xf (x)-7-7 In f(x) lnx lnxf(x) 0-0 xf

8、 (x)f(x) xxf(x)/ :只要設輔助函數(shù)F(x) xf (x)7.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導函數(shù)，且 f(x1) f(x2)f (x3)、(a xx2 x3 b),證明：在 國內(nèi))內(nèi)至少有一點 L使得f ( 士) 0 0知識點：羅爾中值定理的應用 思路：連續(xù)兩次使用羅爾中值定理。證明：: f (x)在(a,b)內(nèi)具有二階導函數(shù)，：f (x)在x1,x2、x2,x3內(nèi)連續(xù),在(制必)、(x2,x3)內(nèi)可導，又 f(x1)f(x2) f(x3),由羅爾定理，至少有一點& (x1,x2)、 & (x2,x3),使得f(a) 0、f ( ) 0；又f(x)在&am

9、p;, &上連續(xù)，在(&,&)內(nèi)可導，從而由羅爾中值定理，至少有一點士 ( & , &)(x1,x3)，使得f ( 9 0 08.若4次方程a0x4 a1x3 a2x2 a3x a4 0有4個不同的實根，證明：4a0x3 3alx2 2a2x a3 0的所有根皆為實根。知識點：羅爾中值定理的應用。/思路：討論方程根的情況可考慮羅爾中值定理。/證明：令 f(x) a0x4 a1x3a2x2 a3x a4則由題意，f (x)有4個不同的實數(shù)零點，分別設為 x1,x2 ,x3,x4 ,f(x)在Xi,X2、X2,X3、X3,X4上連續(xù)，在(Xi,X2)、(X2

10、,X3)、(X3K4)上可導，又£(刀)f (X2)f (X3) f (X4) 0 ,:由羅爾中值定理,至少有一點 自 (Xi,X2) ' &(X2,X3)、 & (X3,X4)3"2使得f (自)f ( &) f ( &) 0，即萬程4a0X 3a1X2a2X a3 0至少有3個實根，又三次方程最多有3個實根，從而結論成立。工9.證明：方程X5 X 10只有一個正根。知識點：零點定理和羅爾定理的應用。思路：討論某些方程根的唯一性，可利用反證法，結合零點定理和羅爾定理得出結論。零點定理往往用來 討論函數(shù)的零點情況；羅爾定理往往用來討論

11、導函數(shù)的零點情況。5解：令 f(X) X X 1, f(X)在0,1上連續(xù)，且 f (1) 1 0, f (0)1 0,;由零點定理，至少有一點工(0,1),使得f(0(±10；假設X5 X 1 0有兩個正根，分別設為&&),則f(X)在在自，&上連續(xù)，在(&, &)內(nèi)可導，且f ( 1) f ( b)0，從而由羅爾定理，至少有一點E (&,&),使得f ( 9 5 f 1 0 ,這不可能。、方程X5 X 1 0只有一個正根。10.不用求出函數(shù)f(X) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)的導數(shù)，說明方程f (x) 0有幾個

12、實根， 并指出它們所在的區(qū)間。知識點：羅爾中值定理的應用。思路：討論導函數(shù)的零點，可考慮利用羅爾中值定理。/解： f(x) (x 1)(x 2)(X 3)(x 4)在1,2、2,3、3,4上連續(xù),在(1,2)、(2,3)、(3,4)內(nèi)可導，且 f (1) f (2) f (3)f(4) 0,:由羅爾中值定理，至少有一點&(1,2)、五(2,3)、 & (3,4),使得f ( & ) f ( &) f ( &) 0，即方程f (x) 0至少有三個實根，又方程f (x)0為三次方程，至多有三個實根，f (x) 0有 3 個實根，分別為 &(1,2)、

13、 & (2,3)、 & (3,4)。11.證明下列不等式:(D arctana arctanb a b ；(3)設 x 0,證明 ln(1 x) x ；知識點：利用拉格朗日中值定理。(2)當 x 1 時，exex ；,11當x 0時、ln(1 ) x 1 x思路：用拉格朗日中值定理證明不等式的過程:尋找函數(shù)yf (x),通過式子f ( 9f(b) f(a)b a(或f(b) f(a) f ( Q(b a)證明的不等式。證明：(1)令f(x) arctan x,. f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理，得arctana arctanb f (Q(b a

14、) |y-|b a ba。(2)令 f(x) ex (x 1), . f(x)在1,x上連續(xù)，在(1,x)內(nèi)可導，:由拉格朗日中值定理，得 ex ee，x 1),xx1 E x,ee e (x 1) e(x 1) ex e,從而當 x 1 時，e ex。(3)令 f(x) ln(1 x) (x 0), . f(x)在0,x上連續(xù)，在(0,x)內(nèi)可導，1'.由拉格朗日中值定理，得ln(1 x) ln(1 x) ln(1 0) f ( Q(x 0) x,1 E102 x,x x,即 x 0, ln(1 x) x。1 E(4)令 f (x) ln x (x 0) , f (x)在x,1 x上

15、連續(xù)，在(x,1 x)內(nèi)可導， /11:由拉格朗日中值定理，得7n(1 -) ln(1 x) lnx f ( Q(1 0) 一， xE“ ，1111x E 1 x,即當 x 0時，ln(1 -)。士 1 xx /1 x一_ _. 2x ,12.證明等式：2arctanx arcsin2-Xx 1).1 x知識點：f (x) 0 f (x) C ( C為常數(shù))(x) 0思路：證明一個函數(shù)表達式 f (x)恒等于一個常數(shù)，只要證 f證明：令 f(x) 2arctanx arcsin2x-2 (x 1)'1 x冗；當x 1時，有f(x)匕22(1 x2) 2x 2x1 (J,21 x22(1

16、 x )11 x222 2x2(1x2)21 x22arctanx arcsin-1)x2x2x0,Tt(X1)成立。13.證明：若函數(shù)f (x)在(-)內(nèi)滿足關系式f(1)f (x)知識點：f (x) 0f(x)思路：因為f (x)e Xf (X)1 ,所以當設F(x)證明：構造輔助函數(shù)F(x)e xf (x)f (x),且 f (0)xf(x)時,只要證F (x) 0即可貝U F (x) e xf (x)xF(x) e f(x) Ce xf (x)F(0)0;當 x 1 時，有 2arctan1 arcsinlf (x)exo14.設函數(shù)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)有二階導數(shù),

17、且有f(a) f(b) 0,f(c) 0(a試證在(a,b)內(nèi)至少存在一點 J使f ( 士) 0。各層導函數(shù)改變量和自變量改變量的符號，得出結論。:由拉格朗日中值定理，至少有一點(c,b),知識點：拉格朗日中值定理的應用。思路：關于導函數(shù)f (n)( 9在一點處符號的判斷，根據(jù)已知條件和拉格朗日中值定理的結論，逐層分析(c,b) 內(nèi)可導,證明： f (x)在a,c、c,b上連續(xù)，在(a,c)、使得 f(&) f(c) f(b) c b又f (x)在&, &上連續(xù)，在(& , &)內(nèi)可導，從而至少有一點 七(自,&),f(b) A,試證明f/(x)

18、在f(&) f(4)15.設 f(x)在a,b上可微，且 f (a) 0, f(b) 0, f (a) (a,b)內(nèi)至少有兩個零點知識點：極限的保號性、介值定理、微分中值定理。思路：要證明在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)導函數(shù)至少存在兩個零點，只要證該函數(shù)在a,b上有三個零點，即可以利用羅爾中值定理，得出結論。證明：.f (a) lim f(x)f 0 ，由極限的保號性知，x a x ab-af (x) f (a) 一(a,百)(不妨設 1)，對于 x (a,百)，均有 一-0,2 x a特別地，xi (a,百)，使得"x1)f(a)0,：得 f(xj f(a) A；x1 a同理，由f

19、 (b) 0,得x2(b,今)(昂 ba),使得()也0，2x2 b從而得 f(x2) f (b) A；又丁 f (x)在x1,x2上連續(xù)，：由介值定理知，至少有一點七(x1,x2)使得f(E) A;f(x)在a,小2，b上連續(xù)，在(a, 9、(士內(nèi)可導，且f (a) f( Q f(b) A,:由羅爾中值定理知，至少有一點& (a,。、 & (E，b，使得f ( &)f ( &) 0 ,結論成立。16.設f (x)在閉區(qū)間a,b上滿足f (x) 0,試證明存在唯一的 c,a c b,使得f (c)f(b) f(a)b a知識點：微分中值定理或函數(shù)單調(diào)性的應用 思

20、路：證明唯一性的題目或考慮利用反證法；或正面論述。此題用反證法和羅爾中值定理，或利用函數(shù)的單調(diào)性得出結論。證明：存在性。f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，：由拉格朗日中值定理知，至少有一點c (a,b),使得f (c)f(b) f(a)b a唯一性的證明如下:方法一：利用反證法。假設另外存在一點d (a,b),使得f (d)f(b) f(a)b a又 f (x)在c,d(或d,c)上連續(xù)，在(c,d)(或(d,c)內(nèi)可導,:由羅爾中值定理知，至少存在一點七(c,d)(a,b)(或士 (d,c)(a,b),使得f(9 0,這與f (x)在閉區(qū)間a,b上滿足f (x) 0矛盾。從而結論

21、成立。、方法二：,f(x)在閉區(qū)間a,b上滿足f (x) 0 , f (x)在a,b單調(diào)遞增,從而存在存在唯一的 c (a,b),使得f (c) ff O結論成立。 b a17.設函數(shù)y f (x)在x 0的某個鄰域內(nèi)具有n階導數(shù)，且f (0) f (0)川 f(n 1)(0)0,試用柯西中值定理證明:f(x)nxf (n) ( 9 )(09 1)。n!知識點：柯西中值定理。思路：對 f (x)、g(x)xn在0,x上連續(xù)使用n次柯西中值定理便可得結論。證明： f(x)、g(x)xn及其各階導數(shù)在0,x上連續(xù)，在(0,x)上可導，且在(0,x)每一點處，g(n1)(x) n!x 0,又 f(0

22、) f (0) IIIf (n 1)(0) 0,;連續(xù)使用n次柯西中值定理得，f(x)f(x) f(0)f ( 1)f(&)f(0)m f(n1)(一) f(n1)(0)xn xn g(0)n in1ng(0)n!h g(n 1)(0)f (n)( A )-(00 1),從而結論成立。n!習題3-2 1.用洛必達法則求下列極限:x x e e (1) limx 0 sin x(2)limx asin x sin ax-aln sinx lim2;x 2 (9)21 ln(1 -)(4) limxx arc cot x(5)ln tan 7xln tan 2x lxm1x3 1 ln x

23、xe etan x xx-sin x(8) XCOt”(9)1, .2 x2lim x ex 01(10)lim x(ex x 51);(11)lim (1x 0 x(12)lim (x 1x-1);ln x(13)lim (1 xa x-)x x(14)limx 0sin xx ；(15)xim01 tan xx(16)x.e limx 0ln(1x-arctan x(17)lxm0(1/1sin x)x; (18)limx 011(ln -) ;(19)lim (x v1 x )x;(20)知識點：洛必達法則。1 H2 lim (ntan-) nn思路：注意洛必達法則的適用范圍。該法則解決

24、的是未定型的極限問題，基本形式為:式，對于這種形式可連續(xù)使用洛必達法則；對于0型與一型未定0型與0型的未定式，可通過通分或者取倒數(shù)的形式化為基本形式；對于 00型、1型與 0型的未定式，可通過取對數(shù)等手段化為未定式；止匕外，還可以結合等價無窮小替換、兩個重要的極限、換元等手段使問題簡化。解:(1)limx 0sin xx x.e e lim0 cosx(2)limx asin x sin alimx acosxcosa ；cosx(3)lnsin x lim7x 2(兀 2x)2limA4(2x 力cosx limx 24(2x 自lim兀 x2sinx(4)limx 1 ln(1 -) xa

25、rc cot xlimx(5)ln tan 7xlim x 0 ln tan 2xlimx(6)limx 1x3 1 ln x(7)tan xlimx 0 x sin xx(x 1)11 x2i2 _7 sec 7xtan 7x-20 2sec 2xtan 2x3x limx 12sec x 1lim x 0 1 cosxlimxlimx1 x2x(x 1)7cos2 2x1;tan 2x2 _0 tan7x 2cos 7x2 tan x sec x lim x 0 sin x1;2 lim3x 0 cos x(8)limxcot2xx 0lim xx 0 tan2xlim 一 x 0 2se

26、c2x12 x2(9)lim x exx 0limx (1,e70 1/ 2xlim1ek（或解為:2lim x0exlimulim ulim e0x1x(10) lim x1x(ex1)limx1)1limxlimx1ex1;（或解為：.當時,1ex1x(ex1)limx1/ xlimx1/ x1/ x1)1)lim1)xx(ex 1)limx.elim 2xx (12)lim( x 1 x（或解為:(13)(14)ln x)xln x x lim 1 (x1) ln xlimlnlxm1ln xln x 2xln x x 1u limx 1 (x 1)ln xx1lim(u 1)ln(u

27、1) u u 0 u ln( u 1).ln(u 1) 1lim -)u 0 2u 2lim(1a、xlim xln(1xea) xln(1 limxe-) xlimx 0sin x xelim sin xln x：0limexln xcscxexlim：0xcot xcscx(15"產(chǎn) lim lim ex 0 x 0ln x cotx(16)limex ln(1 x)x 0 x arctanxlimx 01)ulimu 0lim ex 0(utan xsin x1)ln( u 1) u2u1."x.sin2 xlim xlimx 0 csc2 xx 0 x0lim el

28、im e e 1 ；x 0x 011 x2lim(1x 02 x xx )(xe e 1) (x 1) x2(17)lxm0/ x x(xe e 1)xxe 12xlim (1x 01sin x)xJln( 1 sin x) lim cosxlim lim exx 0lim exx 001 sin x(18)lim(lnx 0-)x xlim0ln In xlim：o1( ln x1x21 -) xx lim ：0 lnxlim_L01/x 1 ；(19)lim (xx11 x2)xlimln(x1 x2)limx1 x1 x2J1 x2limxe(20)令 f(x)(xtan1)xxlimx

29、1 x2 (xtan-)x1xtin0(tant1)產(chǎn)lim et 0lntant lntt2lim et 0,2 ,tsec t tant_ 22t tantlim et 0,2 .tsec t2t3tantt sin tcost lim 32 t 0 2t cos t e1 . _tsin2tlim 2-0 2t3lim 1 et 0cos2t (1 6t2cosx)x222t2 lim r et 0 6t1e3 limn1 (n tan-) n1e3x sin x 2.驗證極限lim存在，但不能用洛必達法則求出。知識點：洛必達法則。思路：求導后極限如果不存在，不能說明原式極限不存在，只能

30、說洛必達法則失效。洛必達法則不能解決所有的未定型極限問題。.x sinx解： lim若使用洛必達法則，得lim xsinx lim (1 )x xx sin x limx10 1,1 cosxx sinx六六.極限lim存在;1 lim cosx ,x而lim cosx不存在，所以不能用洛必達法則求出。x3.若f(x)有二階導數(shù)，證明 f (x) limh 0f(x h) 2 f (x) f(x h)h2知識點：導數(shù)定義和洛必達法則。思路：使用洛必達法則，對極限中的函數(shù)上下求關于h的導數(shù)，然后利用導數(shù)定義得結論證明：. lim f(X h)邛 f(x h) lim f(x h) f(x h)

31、h 0hh 02h f (x h) f (x) f (x) f (x h)2h1 f (x h) f (x) 1 f (x h) f (x)工/十一-lim- -lim- f (x), 結論成乂。2h 0 h2h 0h(1 x)1x 1x x 04.討論函數(shù)f(x)/ e ， 在點x 0處的連續(xù)性。/32x 0知識點：函數(shù)在一點連續(xù)的概念。思路：討論分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性，要利用函數(shù)在一點處左、右連續(xù)的概念解：lim f (x)x 0lim31xx 0 e11| (1 x)"lim - ln-x 0 x eelim ex 0ln(1 x) x2xlimx 0 2x e_ lim

32、_e2x 0 1 x e 2 f (0) , f (x)在 x 0處右連續(xù);又 lim f (x) e x 0f(0) , . f(x)在x 0處左連續(xù);r(1 x)1x1 1x x 0從而可知，f(x) e , 在點x 0處連續(xù)e 12x 0e ,5.設g(x)在x 0處二階可導，且 g(0)0。試確定a的值使f (x)在x 0處可導，并求f (0),其中 f (x)g(x) -x , x 0xa , x 0知識點：連續(xù)和可導的關系、洛必達法則思路：討論分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性、可導性，一般考慮利用定義。解：要使f(x)在x 0處可導，則必有f (x)在x 0處連續(xù),又 g(x)在 x 0

33、處 g(0) 0, 'ag(x) lim/J)則 丁g(x) g (0)/limg (0);x 0 x 0由導數(shù)定義，f (0) lim f(x一3 x 0 x 0g(x)lim xx 0 xg(0)limg(x) g(0)x 0 2x內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容()泰勒 公式泰勒中值定理：如果/ f (x)在含有x0的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有n 1階的導數(shù)，則對任一x (a,b),有 f(x)f(xo) f/(xo)(x xo) f (xo)(x x°)2/2!f ")(xo)/、n - / 、,人-q j(x xo)Rn(x),此公式稱為n階泰勒公式； n!f 8 1

34、)( )n 1其中Rn (x) (x xo)"" 1( 介于xo于x之間)，稱為拉格朗日型余項；或(n 1)!Rn(x) o(x xo)n,稱為皮亞諾型余項。n階麥克勞林公式：f(x) f(o) f/(o)x 粵x2Ax。Rn(x)2!n!f (n 1),、其中 Rn(x) fxn1 91)或 Rn(x)O(xn)。(n 1)!,一,丫x2xn, n、常用的初等函數(shù)的麥克勞林公式：1) ex 1 x o(xn)2!n!352n 1c、 xx八n / 2n 2、2)sin x x( 1)o(x )3!5!(2n 1)!2462n6. xxxn _x_/ 2n 1、3) COS

35、x 1 ( 1) 0(x)2!4!6!(2n)!23n 1 x xxxxnn xn n 1 x4)ln(1 x) x( 1)彳 o(x )2X3n 15) 1 x xx o(x )1 x八、小 、m dm(m 1) 2m(m 1) (m n 1) n. n.6)(1 x) 1 mxxx o(x )2!n!習題3-3知識點：泰勒公式。 1.按(x 1)的嘉展開多項式f(x)思路：直接展開法。求f (x)按(x Xo)的嘉展開的n階泰勒公式，則依次求f (x)直到n 1階的導數(shù)在x x0處的值，然后帶代入公式即可。3.解：f (x) 4x 6x,f (1) 10 ; f(x)一 2 一 -一12x

36、 6, f (1) 18；f (x) 24x, f (1)24； f(4) (x)24；f(4) (1) 24；f (5)(x) 0；將以上結果代入泰勒公式，得f(x) f(1)1!1)5x2!1)2啜(x 1)351)8 10(x 1)29(x 1)234(x 1)3(x1)4 。2.求函數(shù)f(x)jx 按(x4)的寨展開的帶有拉格朗日型余項的三階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：同1。解：f (x)f (x)132f (x) -x 83256f(4)(x)15一 x16將以上結果代入泰勒公式，得f(x) f(4)3(x1!4)衛(wèi)(x 2!4)2(4) 3!(x4)3 U4!12 (x 4)

37、4i(x4)24)37 (x2(x 4)444) , ( E介于x與4之間)。3.把 f (x)0點展開到含x4項，并求f(0)。知識點：麥克勞林公式。思路：1間接展開法。f(x)為有理分式時通常利用已知的結論 1 xxn o(xn)o解:1 x x2 f(x) rw2x2 x x1 x x2 2x：21 x x2x(11x)F2x(1 x)(1 x3o(x3)1 2x 2x2 2x4 o(x又由泰勒公式知x3前的系數(shù)4)；f (0) 一0 ,從而 f (0) 0。3!4.求函數(shù)f(x)lnx按(x 2)的寨展開的帶有皮亞諾型余項的n階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：直接展開法，解法同1;或

38、者間接展開法， f (x)為對數(shù)函數(shù)時，通常利用已知的結論23. x xln(1 x) x 23(1)nn 1、o(x )。方法一：(直接展開)f (x)1f (2) x112；f(x) -f 2.1f (x)3，f (2)-x4將以上結果代入泰勒公式，得ln x f (2)f (2)1!(x 2)f (2)n!(x2)no(x(1)n11n 2n(x方法f (x) ln2)3,f(n) (x)9x2!2)n)In 2(1)2)22)n o(x2)n)。ln(2 xn1(n 1)!f(n)(2)xf (2)3!(x 2)巴4!2)1 3(x 22)22) In 2 ln(1曾)ln21)1 (

39、n 1)!2n(x13 23(x2)4 III2)31( 32；(x 2)33 231)n11(-n(1)n1n 2n5.求函數(shù)f (x)1一按(x x知識點：泰勒公式。思路：直接展開法，解法同n o(*n)(x 2)no(xln21)的嘉展開的帶有拉格朗日型余項的2(x 2)1 ,x 2a( 丁/(x 2)n階泰勒公式。1；或者間接展開法，f(x)為有理分式時通常利用已知的結論(in)F-2 x方法一 ：f (x)1. ,、2.-2, f ( 1)1； f (x) -3, f ( 1)xx2; f (x)f ( 1)6 ,f (x) ( 1)n£, f (n)( 1) ( 1)n

40、xn 1( 1)n 1將以上結果代入泰勒公式，得1f(1) »x 1) 9(x 1)2 9(x 1)3x1!2!3!+ (x 1)n n!f (n 1)( Q(n1)!(x1)n231 (x 1) (x 1) (x 1)(x 1)n ( 22 (x 1)n1Y介于 x與 1 之間)。11 (x 1)1 (x1)(x1)2(x1)3(x1)n上(x=n 2 (x1)n11(x 1)(x1)2(x1)3(x 1)nK(x 1)n1(E介于x與 1之間)x6.求函數(shù)y xe的帶有皮亞諾型余項的n階麥克勞林展開式。知識點：麥克勞林公式。x思路：直接展開法，解法同1；間接展開法。f (x)中含

41、有e時，通常利用已知結論2nx / xx , n、e 1 x o(x ) o2!n!xx(n)/ x萬法一：y (x 1)e , y (0) 1; y (x 2)e , y (0) 2； ,y (x n)e ,y(n)(0) n ，將以上結果代入麥克勞林公式，得/xexf(0)f (0) f (0) 2 f (0) 3 f (0) n , n、x x xx o(x )1!2!3!n!2!(n 1)!o(xn)。方法二：xexx(1 X2!o(xn1) X32 xx 2!(n 1)!n、o(x )。(n 1)!Xn 1 x 7.驗證當1 ix 一時,2按公式0.01 ,并求Je的近似值，使誤差小

42、于 0.01 。知識點：泰勒公式的應用。x261 x,所產(chǎn)生的誤差小于思路：利用泰勒公式估計誤差，就是估計拉格朗日余項的范圍。解：|R3(x)e 4x 4!8.用泰勒公式取n 5,知識點：泰勒公式的應用。1e24-x4!2 14! 24求ln12的近似值,0.01；癡 192并估計其誤差。11-0.646 。8 48解：設f (x)ln(1x),則 f(x)f(0)f (0)x1!f (0)x2!IIIf(5)(0) 5x5!2 x x -2,從而ln1.2f (0.2)0.20.220.230.2402- 0.1823 ;其5誤差為：R5(x)166x 6(1 a60.260.0000107

43、。 9.利用函數(shù)的泰勒展開式求下列極限:(1) lim (Vx3 3x vx2 x); x(2)11mo1 1x2_2_1 x2知識點：泰勒展開式的應用。,x2 、 .2(cosx e ) sin x思路：間接展開法。利用已知的結論將函數(shù)展開到適當?shù)男问剑缓罄脴O限的運算性質(zhì)得到結果。13 3> 2'z3 o解：(1)lim (vx 3x x x x) lim x(1/2) xxx11 2x(1 -)2x1 31xlimx(13X2o(x2)(1)x1 1-(-1)2 210(-2)Xlim (x 298X。(1)X1 2x(121 1X2,1 X21 1X2 (1 X2)2(

44、2)lim 22 lim 22x 0 (cosx ex )sinxx 0 (cosx ex )x1lim -X 01)一)X4 0(X4)2(1，o(x2) (1X2o(x2)x21 4X8寶0(x4)0(X4)1122一X10.設 x 0,證明：x 2ln(1 x) o知識點：泰勒公式。思路：用泰勒公式證明不等式是常用的一種方法。特別是不等式的一邊為某個函數(shù)，另一邊為其寨級數(shù)展開的一部分時，可考慮用泰勒公式。解：ln(1 x)3X3(1930,從而ln(1 x)3X3(1932X，結論成立。2(也可用§函數(shù)單調(diào)性的判定定理證明之)11.證明函數(shù) “*)是門次多項式的充要條件是 f(

45、n1)(x)0。知識點：麥克勞林公式。思路：將f (X)按照麥克勞林公式形式展開，根據(jù)已知條件，得結論。解：必要性。易知，若 f(x)是n次多項式，則有f(n1)(x)充分性。: f(n " (x)0, f (x)的n階麥克勞林公式為:f(x)f(0) f (0)xf (0)x22!f (0)x3f(n)(0)xn3!n!f (n 1)n 1(E)x(n 1)!f(0)f (0)xf (0)x22!一3f (0)x3!f (n)(0)xnn!即f (x)是n次多項式，結論成立12.若 f(x)在a,b上有 n 階導數(shù)，且 f (a) f (b) f (b) f (b) |f(n1)(b) 0證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點 2使f (n)(。0(a 工b)久 知識點：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。思路：證明f(n) ( )0(a 士 b),可連續(xù)使用拉格朗日中值定理，驗證 f(n 1)( x)在a,b上滿足羅爾中值定理；或者利用泰勒中值定理，根據(jù) f(x)在xb處的泰勒展開式及已知條件得結論。方法一：二 f (x)在a,b上可導，且 f(a) f (b),:由羅爾中值定理知，在(a,b)內(nèi)至少存在一點 & ,使得f ( &) 0 ；、f (x)在&,ba,b上可導，且 f (b) 0,:由羅爾中值定理知，在(&,b)(a,b)內(nèi)至