九年級下冊人教版數(shù)學(xué)知識點(diǎn)歸納.

1、第二十二單元二次函數(shù)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如y20）的函數(shù)，叫做二ax bx c （ a ，b，c 是常數(shù)， a次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0 ，而 b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2bx c 的結(jié)構(gòu)特征：2. 二次函數(shù) y ax 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)，b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式二次函數(shù)的基本形式2k 的性質(zhì)：y a x ha 的絕對值越大，拋物線的開口越小。a 的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a0h，kxh 時(shí)，

2、 y 隨 x 的增大而增大； xh 時(shí)， y 隨向上X=hx 的增大而減小；x h 時(shí)， y 有最小值 k a0h，kxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。?xh 時(shí)， y 隨向下X=hx 的增大而增大；x h 時(shí)， y 有最大值 k 三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) a2h ，k ；x hk ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) 保持拋物線 y ax2 的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h ，k處，具體平移方法如下：y=ax2向上 (k> 0)【或向下 (k<0) 】平移 |k|個(gè)單位y=ax 2 +k向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 (h>

3、;0)【或左 (h<0)】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k| 個(gè)單位平移 |k|個(gè)單位平移 |k| 個(gè)單位向上 (k >0)【或下 (k <0)】平移 |k|個(gè)單位y=a(x-h)2|k|個(gè)單位y=a (x-h)2 +k向上 (k >0)【或下 (k<0)】平移2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值正右移，負(fù)左移；k 值正上移，負(fù)下移 ”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”方法二： yax2bxc 沿 y 軸平移 :向上（下）平移m 個(gè)單位， yax2bxc 變成yax2bxc m （或 yax 2bxcm ） yax2bxc 沿軸平移：

4、向左（右）平移m 個(gè)單位， yax2bxc 變成ya(xm) 2b( xm)c （或 ya( xm) 2b(x m)c）四、二次函數(shù) y ax2k 與 yax2bxc 的比較h從解析式上看， ya x2k 與 yax2bxc 是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可h2b2b ，k4ac b2以得到前者，即y axb4ac，其中 h2a4 a2a4a五、二次函數(shù) y ax2bxc 圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc 化為頂點(diǎn)式 ya(xh)2k ， 確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖. 一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y 軸的交點(diǎn)0 ，c、以

5、及0 ，c關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)2h ，c、與 x 軸的交點(diǎn) x1 ，0， x2，0 （若與 x 軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與x 軸的交點(diǎn)，與y 軸的交點(diǎn) .六、二次函數(shù)y ax2bxc 的性質(zhì)1. 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為xb，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4acb 22a2 a4a當(dāng) xb時(shí)， y 隨 x 的增大而減小； 當(dāng) xb時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； 當(dāng) xb時(shí)，2a2a2ay 有最小值 4acb24a2. 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開口向下， 對稱軸為 xb，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4acb2當(dāng) xb2a2a4a2a時(shí)， y 隨

6、x 的增大而增大；當(dāng) xb 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小；當(dāng) xb 時(shí)， y 有最大值2a2a24ac b 4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式： y2bxc （ a ， b ， c 為常數(shù)， a0 ）；ax2.頂點(diǎn)式： ya( xh) 2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a0 ）；3.兩根式： ya( xx1 )( xx2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x 軸有交點(diǎn)，即b24ac0 時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這

7、三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù) a二次函數(shù) y ax20 a 決定了拋物線開口的大小bx c中， a 作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a和方向， a 的正負(fù)決定開口方向，a 的大小決定開口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù) b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b 決定了拋物線的對稱軸ab 的符號的判定：對稱軸 xb0 ，在 y 軸的右側(cè)則 ab0 ，概在 y 軸左邊則 ab2a括的說就是“左同右異”3. 常數(shù)項(xiàng) cc 決定了拋物線與y 軸交點(diǎn)的位置總之，只要a ，b，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用

8、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函數(shù) yax2bx c 當(dāng)函數(shù)值 y0 時(shí)的特殊情況 .圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)b24ac0 時(shí)，圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) A x1 ，0 ，B

9、 x2，0( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程 ax2bxc 0 a0 的兩根這兩點(diǎn)間的距離 ABx2x1b24ac . 當(dāng)0a時(shí)，圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)0 時(shí)，圖象與 x 軸沒有交點(diǎn) . 1'當(dāng) a0 時(shí)，圖象落在 x 軸的上方，無論 x 為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 ； 2' 當(dāng) a0 時(shí)，圖象落在 x 軸的下方，無論 x 為任何實(shí)數(shù)，都有 y02. 拋物線 yax2bx c 的圖象與y 軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0 ， c) ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌?/p>

10、要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc 中 a ， b ， c 的符號，或由二次函數(shù)中a ， b ，c 的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).第一單元二次根式1、二次根式式子a (a0) 叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號“”；被開方數(shù) a 必須是非負(fù)數(shù)。2、最簡二次根式若二次根式滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式?；胃綖樽詈喍?/p>

11、根式的方法和步驟：（ 1）如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡。（ 2）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式， 先將他們分解因數(shù)或因式， 然后把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來。3、同類二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。4、二次根式的性質(zhì)（1） (a )2a(a0)a(a0)（ 2）a2aa(a0)（ 3）abab (a0,b0)（ 4）aa (a0,b0)bb5、二次根式混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號

12、） 。第二單元一元二次方程一、一元二次方程1、一元二次方程含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式ax 2bxc0(a0) ，它的特征是：等式左邊十一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x 的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中 ax 2 叫做二次項(xiàng)， a 叫做二次項(xiàng)系數(shù)； bx 叫做一次項(xiàng)， b 叫做一次項(xiàng)系數(shù)； c 叫做常數(shù)項(xiàng)。二、一元二次方程的解法1、直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如(xa)2b 的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，xa 是 b 的平方根，當(dāng) b0 時(shí)， xab ， xa

13、b ，當(dāng) b<0 時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。2、配方法配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a 22abb2(ab) 2 ，把 公式中的 a 看做 未知 數(shù) x ，并 用 x代替，則有x22bxb2( xb) 2 。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程 ax2bxc 0(a 0) 的求根公式：b b24ac24ac 0)x(b2a4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

14、三、一元二次方程根的判別式根的判別式一 元 二 次 方 程 ax2bx c 0(a 0) 中 ， b24ac 叫 做 一 元 二 次 方 程ax2bx c 0(a 0) 的根的判別式，通常用“”來表示，即b24ac當(dāng) >0 時(shí)，一元二次方程有2 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) =0 時(shí)，一元二次方程有2 個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；當(dāng) <0 時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程ax2bxc0(a0) 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1， x2 ，那么x1x2b ，ax1 x2c 。也就是說，對于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程a的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根

15、之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。第三單元旋轉(zhuǎn)一、旋轉(zhuǎn)1 、定義把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn) O 轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，其中 O 叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。2、性質(zhì)（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。（2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。二、中心對稱1 、定義把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心。2、性質(zhì)（1）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等形。（2）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直

16、線上）且相等。3、判定如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱。4、中心對稱圖形把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)店就是它的對稱中心?？键c(diǎn)五、坐標(biāo)系中對稱點(diǎn)的特征（3 分）1 、關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)的符號相反，即點(diǎn)P（x，y ）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為 P（ -x ， -y ）2、關(guān)于 x 軸對稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于 x 軸對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中， x 相等， y 的符號相反，即點(diǎn)P（ x，y）關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為 P（ x，-y ）3、

17、關(guān)于 y 軸對稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于 y 軸對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中， y 相等， x 的符號相反，即點(diǎn)P（ x，y）關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)為 P（ -x ， y）第四單元圓一、圓的相關(guān)概念1 、圓的定義在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段 OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A 隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓， 固定的端點(diǎn) O叫做圓心，線段 OA叫做半徑。2、圓的幾何表示以點(diǎn) O為圓心的圓記作“ O”，讀作“圓 O” 二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義（ 1）弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。 （如圖中的 AB）（2）直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。 （如途中的 CD）直徑等于半徑的2 倍。（3）半圓圓的任意一條直徑的

18、兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧， 每一條弧都叫做半圓。（4）弧、優(yōu)弧、劣弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。弧用符號“”表示，以A，B 為端點(diǎn)的弧記作“”，讀作“圓弧 AB”或“弧AB”。大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母表示） ；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€(gè)字母表示）三、垂徑定理及其推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。推論 1：（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括

19、為：過圓心垂直于弦直徑平分弦知二推三平分弦所對的優(yōu)弧平分弦所對的劣弧四、圓的對稱性1、圓的軸對稱性圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。2 、圓的中心對稱性圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1 、圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距從圓心到弦的距離叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。六、圓周角定理及其推論1 、圓周角

20、頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論 1：同弧或等弧所對的圓周角相等； 同圓或等圓中， 相等的圓周角所對的弧也相等。推論 2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角； 90°的圓周角所對的弦是直徑。推論 3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半， 那么這個(gè)三角形是直角三角形。七、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè) O的半徑是 r ，點(diǎn) P 到圓心 O的距離為 d，則有：d<r點(diǎn) P在O內(nèi)；d=r點(diǎn) P在O上；d>r點(diǎn) P在O外。八、過三點(diǎn)的圓1 、過三點(diǎn)的圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。2、三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三

21、個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外心三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心。4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點(diǎn)共圓的判定條件）圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)。九、反證法先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理，引出矛盾，判定所做的假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。十、直線與圓的位置關(guān)系直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：（1）相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；（2）相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。如果

22、O的半徑為 r ，圓心 O到直線 l 的距離為 d, 那么：直線 l 與 O相交d<r ；直線 l 與 O相切d=r ；直線 l 與 O相離d>r ；十一、切線的判定和性質(zhì)1 、切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。2、切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。十二、切線長定理1 、切線長在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長。2、切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。十三、三角形的內(nèi)切圓1 、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。十四、圓和圓的位置關(guān)系1 、圓和圓的位置關(guān)系如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那