線性代數(shù)二次型試題及答案

1、1第六章 二次型、基本概念n 個變量的二次型是它們的二次齊次多項式函數(shù)，一般形式為2 2f(X1,X2,X)=aiixi+2ai2X1X2+2ai3X1X3+2ainX1Xn+ a22X2+2a23X1X3+n22+2ainX1Xn+anXn=aiiXi2aijXXj.i 1i j它可以用矩陣乘積的形式寫出：構(gòu)造對稱矩陣 Aa11n n21a12a?2a1nX1a?nX2f(X1,X2,Xn)aijXiXj(X1,X2,Xn)i 1 j 1an1an2annXn記Xx1,X2,X丁，貝Uf(x1,X2,，x)= XTAX稱對稱陣A為二次型f的矩陣，稱對稱陣A的秩為二次型f的秩注意：一個二次型f

2、的矩陣A必須是對稱矩陣且滿足fXTAX，此時二次齊一次線性函數(shù)X1c11y1C12y2CmynX2C21y1C22y2C2nynxnCn1y1Cn2y2Cnnyn代入 f(X1,x2，,x)得到 y1,y2,- -,y 的二次型 g(y1,y2,y).把上述過程稱為對二次型f(x1,X2, ， 刈作了線性變量替換，如果其中的系數(shù)矩陣廠 C11C12- C1nC=C21C22C2nCn1Cn2 Cnn是可逆矩陣，則稱為可逆線性變量替換下面講的都是可逆線性變量替換.變換式可用矩陣乘積寫出：X CYfXTAX(CY)TA( CY) YT(CTAC)Y記BCTAC，則BTB，從而f YTBY。由B C

3、TAC知，兩個 n 階對稱矩陣 A 與 B 合同且 r(A)=r(B)定理 1 :二次型f XTAX經(jīng)可逆線性變換X CY后，變成新的二次型型的矩陣是唯一的， 即二次型f和它的矩陣 A (A 為對稱陣)是 對應(yīng)的，因此,也把二次型f稱為對稱陣 A 的二次型。實二次型如果二次型的系數(shù)都是實數(shù)，并且變量 X1,X2,Xn的變化范圍也限定為實數(shù)，則稱為實二次型大綱的要求限于實二次型f YTBY，它的矩陣B CTAC且r(A) r(B)定理 2 :兩個二次型可以用可逆線性變量替換互相轉(zhuǎn)化的充分必要條件為它們 的矩陣合同三、正交變換化二次型為標準型稱為二次型的標準型。規(guī)范二次型 形如x12xpxp1x2

4、q的二次型，即平方項的系數(shù)只使f XTAX YT(QTAQ)Y YTY1y2y|ny21, -1 , 0，稱為二次型的規(guī)范型。二、可逆線性變量替換和矩陣的合同關(guān)系對二次型 f(X1,x2,x)引進新的變量 y1,y2,y,并且把 X1,X2,x表示為它們的其中，為 f 的矩陣A的特征值。2一T _一 一1 _一因為 Q 是正交矩陣，則B Q AQ Q AQ,即經(jīng)過二次型變換， 二次型矩 陣不僅合同而且相似。將二次型f用正交變換化為標準形的一般步驟為：標準二次型只含平方項的二次型，即形如fd1X12d2x；dnx；定理 3 :對實二次型XTAX，其中 AA，總有正交變換X QY,2（1）寫出二次

5、型f的矩陣 A（2） 求出 A 的全部相異特征值1,2,m，對每一個特征值求出其線性無關(guān)的特征向量，并利用施密特正交化方法將其正交單位化，將上面兩兩正交的單位向量作為列向量，排成一個 n 階方陣 Q 貝 y Q 為正交陣且Q1AQ QTAQ為對角陣。（3）作正交變換X QY，即可將二次型化為只含平方項的標準型四、配方法（略,見例）.五、慣性定理和慣性指數(shù)定理4：若二次型f XTAX經(jīng)過可逆線性變換化為標準形，則標準型中所含平方項的個數(shù)等于二次型的秩。定理5:一個二次型所化得的標準二次型雖然不是唯一的，但是它們的平方項的系數(shù)中，正的個數(shù)和負的個數(shù)是確定的，把這兩個數(shù)分別稱為原二次型的正慣性指數(shù)和

6、負慣性指數(shù)，這個定理稱為 慣性定理一個二次型所化得的規(guī)范二次型X：xpx21xpq在形式上是唯一的,稱為其規(guī)范形，其中的自然數(shù) p,q 就是原二次型的正，負慣性指數(shù)。性質(zhì) 1:兩個二次型可以用可逆線性變量替換互相轉(zhuǎn)化的充分必要條件為它們的正，負慣性指數(shù)都相等.（即兩個實對稱矩陣合同的充分必要條件為它們的正，負慣性指數(shù)都相等.）性質(zhì) 2:由正交變換法看出，實對稱矩陣A的正（負）慣性指數(shù)就是它的正（負）特征值的個數(shù).六、正定二次型和正定矩陣定義 1：如果當 X1，X2,，X 不全為 0 時，有 f（X1，X2，X）0 ,稱二次型 f（X1，X2，Xi） 稱為正定二次型如果實對稱矩陣 A 所決定的二

7、次型正定，則稱 A 為正定矩陣，于是 A 為正定矩 陣也就是滿足性質(zhì)：當 X 0 時,一定有 XTAX0,且 A 一定是是對稱矩陣。二次型的正定性是在可逆線性變量替換中保持不變的.即實對稱矩陣的正定性在合同變換時保持不變.（2）性質(zhì)與判斷實對稱矩陣A正定 合同于單位矩陣.即存在可逆矩陣Q使QTAQ E，或者存在可逆矩陣P，使得PTEP A對任意可逆矩陣 C,CTAC正定（即合同的矩陣，有相同的正定性）。A的正慣性指數(shù)等于其階數(shù)n.A的特征值都是正數(shù).A 的順序主子式全大于 0.順序主子式：一個 n 階矩陣有 n 個順序主子式，第 r 個（或稱 r 階）順序主子式即A的左上角的 r 階矩陣 A

8、的行列式| A|.判斷正定性的常用方法：順序主子式法，特征值法，定義法.A 0A 不可逆r（A） nAx=0 有非零解0 是 A 的特征值A(chǔ) 的列（行）向量組線性相關(guān)3A是n階可逆矩陣：A 0(是非奇異矩陣)；r(A) n (是滿秩矩陣)A的行(列)向量組線性無關(guān)； 齊次方程組 Ax 0 只有零解； b Rn，Ax b 總有唯一解；A與E等價；A可表示成若干個初等矩陣的乘積;A的特征值全不為 0；A A 是正定矩陣；B可由al,a,，an惟一線性表示P=Xiai+ X2a+XnanAx=B有惟一解 X=(X1,X2,Xn)T, A=(a,a，,an) r(A)=r(AM= nA|M0AX=0

9、只有零解且 0 不是 A 的特征值A(chǔ)B =0A(bi,b2,bs)=0, B=( bi, b2,bs)Abj=0, j=1,2,sbi,b2,bs均為 AX=0 的解(r(A)+r(B) n)若 bjM0 且 A 為 n 階方陣時，bj為對應(yīng)特征值 入=0 的特征向量 A 的列向量組線性相關(guān)，B 的行向量組線性相關(guān)。AB =CA(bi, b2,br)=(Ci, C2,Cr)Abj=Cj,j=1,2，,rbj為 Ax = Cj的解.C1, C2,Cr可由 A 的列向量組a1,a,as線性表示.r(C)=r(AB)0)，其中 A 的特征值之和5(2a 1 j Z + a1 a 21 = (2 ti

10、)(2 Q + 2)(兀一口 一1).所以/HJW J所有的特征值石=億九=&一2人=(? + !x3 Z,所以層=a2 = 0.a-2.f(Xi,X2X)xTAx axf x32x1X22x1x32bx2X3的矩陣 A 的特征向量，求正交變 換化該二次型為標準型。a 1 1解:A 10b，又因為(1,1, 0)T是 A 的特征向量，1 b 1設(shè)所對應(yīng)的特征值為，有A0c從而所求解為：x=Qy=1230k3c，其中 c 為任意常數(shù)。k04.設(shè)二次型f2為公2公3am2ax?a 12X32X1X32x2X3(I)求二次型f的矩陣的所有特征值；(n)若二次型f的規(guī)范形為y；2y2,求a的值

11、。0, y20, y3k( k 為任意常數(shù))知識點，特別是第三部分比較新穎。二次型的矩陣A 為:0 得 a=0A-a0-1A-a/.-n01 10由于|砸_傘0 A-a1!0/.-a10 k-a1-11Z-fl + 1-11A 1-1 1ji -d + 1這里A可求出其特征值為2,解(2EA)x0,得特征向量為:11,1,0 ,20,0,1解(0EA)x0,得特征向量為:31, 1,0由于1,23已經(jīng)正交，直接將1,2,3單位化，得：1121,1,0,20,0,1 ,3丄1. 21,0可化原二次型為標準形：2y|.(Ill )由f (x1,x2,x3)=2y22y；0,得y1若1a0,則220

12、,31，不符題意若20，即a2，則120,330,符合若30，即a1，則110,230,不符題意綜上所述， 故a2123，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy ,f -IL2 2n)若規(guī)范形為yiy2，說明有兩個特征值為正，一個為 o。則5.已知向量(1,1, 0)T是二次型6a1 111a 1即10 b11,11b 1001b0a110 11即1。a0則A1 01。1b 0b11 11計算 A的特征多項式EA(1)(23)，則 A的特征值為11,3V3, 其基礎(chǔ)解系為(1, 1,1.3)T(1, 1,1. 3)T。因為、已經(jīng)正交，所以只需要把它們單位化。1 b 120 3b 1 b01 b 0

13、Il irn iriiii1、212、6 23162 丄 313.6 2.316 2_；31 3P為正交矩陣，作正交變換6 2 一 3x py，得TTTx Ax (py) A(py) y (pT2Ap) y=yi3y23 y3。6已紂次曲而方丹衛(wèi)+i 十。十2血十二比=丄訶以毎過匸空變換業(yè)為楠閒粹佝為稈幷+4嚴=4.求口丄的佰和廬空新陣P解:_1 b _0 0 o矩陣衛(wèi)二b a 1B =0 1 04ttL1 1 10 0 4掙征値二1的特征向二卩.一特征值A(chǔ) = O的特征向童為糾二億0、-1)丁二特征值占=4的特征向盤為 =(1,1/單位化gi同I三、關(guān)于正定的判斷因為 3 個向量已經(jīng)正交，只

14、需要將其1.判斷 3 元二次型f x-i5x2x34x1x24x2x3的正定性1 2 0解：八，用順序主子式判斷大于0,所以是正定的。A 2520 2 12.當_ 時，實二次型f (x!, x2, x3) x；x；5x32tx!x22x34x2x3是正定的解：A1t1t1212 ,51 tt 11 t21 t/25t 4t且t124t 5t20,1 25所以，當 4t 0時，二次型是正定的53.設(shè) n 階實對稱矩陣 A 特征值分別為 1,240 5t 00,所以|t | 1,n,則當 t 時,tEA是正定的7解：tE A的特征值為t 1,t 2, ,t n.若tEA是正定的，則t 10,t20

15、, ,t n 00 0=1 L 1 | CI| flj Tn0.10 1所乩i 1 + | -1）Z 7：込H 0時*對j任意的不全為零的XjXr 斗一侑f X1,X2Xn0因為r A2,所以特征值為0,-2，-21kA E的特征值為 l,l-2k,1 2k 0 k -2已知上述二次型正定，則a 的取值為解：f（X!,X2,X3）,當X!,X2,X3不全為 0 時，二次型正定。% ax22X30，2X23X30，X!3x2ax30若X1,X2,X3同時全為 0，即齊次線性方程組只有 0 解，此時A 0,a1即a 1時，三個平方項不全為 0，二次型正定。2#2 2 2其中勺 = 上）為實數(shù)*試何

16、：廿站.巾“朋疋釗種飪件時*二楓些6.X +曲？=0解：由已知可得，對于任意的x1, x2xn，有x2+ 口、碼= 一f X1,X2Xn0,其中等號僅當以下等式同時為0 時成立，再1+陽“二0,此方程組僅有 0 解的充要條件是其系數(shù)行列式不為0，5 +毎舟=0-（1）求 A 的特征值. （2）當實數(shù) k 滿足什么條件時kA E正定？解:A22A 0AA 200,224設(shè) A 是 3 階實對稱矩陣，滿足A2A 0，并且 r(A)=2.1礙o01週0 0 0耳005.仁捲必氏）（花ax?2X3）2（2x23X3)2化3x2ax3)287. 已知 A 是 n 階可逆矩陣，證明ATA是對稱、正定矩陣。

17、T TTT證明：ATAATA，所以ATA是對稱矩陣。若ATA正定，則ATA=ATEA，所以ATA與E合同合同矩陣有相同的正負慣性指數(shù)，所以ATA是正定矩陣。（2）因為 A 是可逆矩陣，所以A 0，Ax 0，當A 0時，只有 0 解。所以Ax 0X0，xTATA x AxTAx Ax Ax 0所以ATA正定。8. 設(shè) A 為 m 階實對稱矩陣且正定，B 為m n實矩陣，BT為 B 的轉(zhuǎn)置矩陣，試證：BTAB為正定矩陣的充分必要條件是r B n。證明：必要性，設(shè)BTAB為正定矩陣，對任意的實 n 維列向量x 0，xTBTAB x 0 BxTA Bx 0 Bx 0，即Bx 0只有 0 解，r B n

18、充分性，BTABTBTATB BTAB，BTAB為實對稱矩陣，r B n，所以Bx 0只有0解，對任意x 0, Bx 0,又因為A為正對稱矩陣，所以Bx 0, BxTA Bx 0 , BxTA Bx xTBTAB x 0, x 0 ,所以BTAB為正定矩陣。9設(shè)A為m n實矩陣，E為n階單位矩陣，已知矩陣B E ATA ,試證：當0時，矩陣B為正定矩陣。證明：BT( E ATA)TE ATA B ,所以A為n階實對稱矩陣 對于任意的實n維向量x, xTBx xTE ATA x xTx xTATAxXTX AxTAx，當x 0時，XTX 0 , AxTAx 0 ,當0時，任意的x 0,有“BxX

19、TxAxTAx 0 ,所以B為正定矩陣。矩陣的合同、相似、等價都有自反性，對稱性，傳遞性。矩陣A與B等價記作：A%BA經(jīng)過有限次初等變換化為B ,即A與B是同型矩陣r(A) r(B)存在可逆矩陣P與Q使得A PBQA與B合同，記為AB存在n階可逆陣P使得卩丁AP B , I卩A與B都是方陣xTAx與xTBx的正、負慣性指數(shù)相等.r(A) r(B)合同的矩陣一定等價，但等價的矩陣不一定合同矩陣A與B相似，記作AsB,存在 n 階可逆矩陣 P 使 P1AP B,即 A 與 B 都是方陣r(A) r(B)相似的矩陣一定等價，但等價的矩陣不一定相似。8相似的實對稱矩陣一定合同，但合同的對稱矩陣不一定相

20、似。因為實對稱矩陣的正(負)慣性指數(shù)就是它的正(負)特征值的個數(shù)，相似的矩陣 有相同的特征值，所以相似的實對稱矩陣有相同的正，負慣性指數(shù)，所以相似的實對稱矩陣一定合同。對任意實對稱矩陣 A 都存在正交矩陣 P,使P1APPTAP,即任意實 對稱矩陣都和對角陣即相似又合同。若矩陣不是實對稱矩陣，相似的矩陣不一定合同，合同的矩陣也不一定相似。相似的矩陣一定有相等的特征值，但是特征值相等的矩陣不一定等價。特征值相同的實對稱矩陣 A 和 B定相似，因為實對稱矩陣都能相 似對角化，特征值相同的實對稱矩陣相似于同一個對角陣，根據(jù)相似的 傳遞性，A 和B定相似。特征值相同的普通矩陣 A 和 B 可能相似，也可能不相似。若 A 和 B 都能相似對角化，一定相似。若一個能對角化，一個不能對角化，