(完整word版)數(shù)分知識總結(jié)及例題

1、數(shù)分近一周知識點總結(jié)本周學(xué)習(xí)了第二章數(shù)列極限。由于在數(shù)學(xué)分析中，變量的取值范圍是限制在實 數(shù)集合內(nèi)，我們本章學(xué)習(xí)的重點便是實數(shù)系的基本性質(zhì)和定理。首先，經(jīng)過嚴(yán)格的證明，引出了具有連續(xù)性的實數(shù)系，而確界存在定理就是R連續(xù)性的表述之一非空有上界的數(shù)集必有上確界，非空有下界的數(shù)集必有下 確界，即非空有界數(shù)集的上（下）確界是唯一的。接著，高中學(xué)習(xí)過的數(shù)列在數(shù)分課上也被進一步深化一一無窮大量、無窮小量、極限等概念的引入，讓我們知道數(shù)列是發(fā)散或收斂的。 數(shù)列極限有唯一性，且收 斂數(shù)列必有界，而有界數(shù)列未必收斂。由此展開的系列推論與性質(zhì)，如夾逼性、 保序性和四則運算定理也為我們數(shù)列運算和學(xué)習(xí)收斂準(zhǔn)則（單調(diào)有

2、界數(shù)列必收 斂）提供了思路和工具。數(shù)學(xué)是良好的工具。應(yīng)用極限，我們研究了兔群增長率變化情況，n、e、Euler 常數(shù)的起源，感受了極限的魅力。接下來學(xué)習(xí)的閉區(qū)間套定理也解決了我們上一 章遇到的問題實數(shù)集是否可列。Bolza no-Weierstrass定理是將收斂準(zhǔn)則條件改動而得到的“稍弱的結(jié)論”，更重要的是它為我們最終證明 Cauchy收斂原理提 供了強有力的支持。而Cauchy原理也說明了實數(shù)系的另一個性質(zhì)一一完備性?；仡櫛菊?，我們會發(fā)現(xiàn)實數(shù)系的完備性等價于實數(shù)系的連續(xù)性，本章學(xué)習(xí)的5個實數(shù)基本定理也是相互等價的。下面我們以5定理互證為例題補充：聚點有界數(shù)列的一個收斂子列的極限稱為該數(shù)列的

3、聚點，又稱稱極限點，因此Bolza no-Weierstrass定理又稱聚點定理。下面我們用聚點定理代替B-W是等效的例題：實數(shù)系完備性基本定理的循環(huán)證明摘 要：循環(huán)論證了實數(shù)系的5個基本定理，并最終形成所有完美的論證環(huán)，體現(xiàn) 了數(shù)學(xué)論證之美.（單調(diào)有界定理）任何單調(diào)有界數(shù)列必定收斂.（閉區(qū)間套定理）設(shè)%,bJ為一閉區(qū)間套：1. an,bn an1,bn1, n 1,2丄，2. lim( bn an)0n則存在唯一一點an,bn, n 1,2丄（ 聚點定理 ） 又稱 Bolzano-WEierstrass 定理 直線上的任一有界無限點集S至少有一個聚點，即在的任意小鄰域內(nèi)都含有S中無限多個點（

4、本身可 以屬于S，也可以不屬于S） 或表述為：有界數(shù)列有至少一個收斂子列。（ 柯西收斂準(zhǔn)則 ） 數(shù)列 an 收斂的充要條件是：0, N N， n、m N恒有|am-an|v （后者又稱為柯西（Cauchy）條件，滿足柯西條件的數(shù)列又稱為 柯西列 ，或基本列 ）（ 確界存在原理 ）非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界 .單調(diào)有界定理對其它定理的證明 一用單調(diào)有界定理證明閉區(qū)間套定理證 由區(qū)間套定義 , an 為遞增有界數(shù)列，依單調(diào)有界定理 , an 有極限且有 ann=1,2, L（1）同理,遞減有界數(shù)列 bn 也有極限 , 并按區(qū)間套的條件有l(wèi)im bn lim an =（2）

5、xx且bn， n=1,2, K（3）聯(lián)合（3）即得anbn式.最后證明滿足的anbn的 是唯一的，設(shè)數(shù) 也滿足anbn ， n=1,2, L則由an bn式有|-|bn - an ， n=1,2, L由區(qū)間套的條件得|-| lim( bn an)0 ，故有 =用單調(diào)有界定理證明確界原理證我們不妨證明非空有上界的數(shù)集 S必有上確界1. 欲求一實數(shù)使它是非空數(shù)集S的上確界利用非空有上界的數(shù)集 S ,構(gòu)造一數(shù)列使其極限為我們所要求的實數(shù)選取性質(zhì)P：不小于數(shù)集S中的任一數(shù)的有理數(shù).將具有性質(zhì)P的所有有理數(shù)排成一個數(shù)列 n,并令Xn=max2, K , n,則得單調(diào)遞增有上界的數(shù)列Xn；2. 由單調(diào)有界

6、定理得，limxn,且對任意的自然數(shù)n有n xn;XXo3. 是數(shù)集S的上確界.用反證法.若有數(shù)xo S使xo,取 2 ,由3.一定存在一個有理數(shù)n ,使 n< + ,從而N <Xo ,這與n是數(shù)集S的上界矛盾.所以對一切X S,都有X ,即 是數(shù)集S的上界.任給>0,若 x s,都有X -,則存在有理數(shù) ，使-< < , 即x -<<.這與3.矛盾,所以存在x S ,使x > -.即 是數(shù)集S的最小上界.于是,我們證明了所需結(jié)論.三.用單調(diào)有界定理證明柯西收斂準(zhǔn)則證 ""若an收斂，設(shè)liman an則有對0, N 0，當(dāng)n

7、 N時有丨an a I /2任取m n，則有I am a I /2從而1 an am I I am a I I a. a I即 an是 Cauchy 列""設(shè)an是 Cauchy 列(i)則對0, Ni 0,當(dāng) n-iNi時有 I an1 aN1 I從而 aN1an1aN1取 N2 m , N2 n2, I aN2 an2 I從而 aN2an2 aN2取 Nk nk i, Nk nk, I aNk ank I從而 aNkank aNk即得對 k有ank 1ank，由 的任意性有ank 1 ank(ii) 由Cauchy列的定義，任取0，貝U N，當(dāng)m, n N時有1 an

8、am 如果在an的任意一項之后,總存在最大的項(因S是有界的且取 m N 1貝 aN 1 1 an aN 1 1所以 an 為有界序列由ank an有ank為有界序列由有界單調(diào)收斂定理有 ank 收斂，設(shè) lim ank a0kk(iii) 下證 lim an a0n因為對 0, K，當(dāng)k K時有I ank ao I / 2由an是Cauchy列有當(dāng)n nk時有I an an /2所以 I an ao I I an a% I + I ank ao I所以 an 收斂，且 lim an a0n證畢四. 單調(diào)有界定理證明聚點定理 證 設(shè) S 是以有界無限點集 , 貝在 S 中選取一個由可數(shù)多個互不

9、相同的點組成 的數(shù)列 an , 顯然數(shù)列 a n 是有界的 .下面我們從 an 中抽取一個單調(diào)子列 , 從而由單調(diào)有界定理該子列 收斂, 最后我們證明該子列的極限值 , 就是有界無限點集 S 的聚點 . 分兩 種情況來討論 .an S ,這是可能的).設(shè)ai后的最大項是an,;a后的最大項是an2且顯然an2務(wù)；一般地,ank后的最大項記為ank1 ank ,( k =1,2,). 這樣,就得 到了 an的一個單調(diào)遞減的子數(shù)列 ank ,因為 an 有界,根單調(diào)有界定理 知, ank收斂2) 如果1)不成立.即從某一項后，任何一項都不是最大的(為證明書 寫簡單起見，不妨設(shè)從第一項起，每一項都不

10、是最大項).于是，取aq=ai, 因an1不是最大項，所以必存在另一項an2 >an1 ( n2>nJ.又因為a“2也不是最 大項,所以又有an3>an2 ( n3>n2), 這樣一直下去,就得到an的一 個單調(diào)遞增的子列 ank且有上界 單調(diào)有界定理知, ank收斂。總之不論 an屬于情形1 )還是情形2 )都可作出 an的一個單調(diào)收 斂的子列.設(shè)lim ank=a,今證a是S的聚點.對 >0,存在自然數(shù)K ,使得時 kkk>K 時，a -< ank < a + ,若這時 ank 單調(diào)遞減，ank1 < a+ ( k>K) 且 an

11、k 1a , ank 1S即a的領(lǐng)域內(nèi)含有S中異于a的點，故a是的S聚點.單調(diào)遞增時，類似可證區(qū)間套定理對其它定理的證明一.用區(qū)間套定理證明數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則證 必要性設(shè)lim an = A.由數(shù)列極限定義，對任給的 >0,存在N >0,當(dāng)m,n>N時有丨am-A|<an -A|<,2 2因而丨 am- an | I am-A|+ I an -A|V + =.2 2 充分性按假設(shè),對任給的>0,存在N >0,使得對一切n N有1 an-3n |,即在區(qū)間a”-, 3n + 內(nèi)含有an中幾乎所有的項（這里及以下，為敘述簡單起見，我們用“ an 中幾乎所有

12、的項”表示“ an 中除有限項外的所有項”）據(jù)此，令1aNi+ 2內(nèi)含有an中11-,則存在2,在區(qū)間a-12 2幾乎所有的項記這個區(qū)間為!,1 11再令=尹則存在N2（>N1），在區(qū)間»戸，和書內(nèi)含有g(shù)中幾乎所有的項記2 = aN212 , a”2 +21,它也含有 an 中幾乎所有的項，且滿足繼續(xù)依次令 =g,L ,1,L，照以上方法得一閉區(qū)間列 n, n,2 2其中每個區(qū)間都含有 an 中幾乎所有的項，且滿足n n 1, nJ n=1,2, L0 (n),即n , n 是區(qū)間套，由區(qū)間套定理，存在唯一的一個數(shù)n, n( n=1,2, L ).現(xiàn)在證明 就是數(shù)列 an 的極

13、限.事實上，對任給的 >0 ,存在N >0 ,使得當(dāng)n>N時有n, n U(;).因此在U（）內(nèi)含有 an 中除有限項外的所有項，這就證得lim an =x用區(qū)間套定理證明聚點定理因S為有界點集，故存在M 0,使得S M,M,記1, i= M,M.現(xiàn)將1, 1等分為兩個子區(qū)間，因S為無限點集，故兩個子區(qū)間至少有一個含有中S無窮多個點，記此子區(qū)間為2 ,2 ，則1,12,2,且12 - 2 = ( 1 - 1 ) = M.2再將2, 2等分為兩個子區(qū)間，則其中至少有一個子區(qū)間含有 S中無窮多個點，取出這樣的一個子區(qū)間，記為3,3,則2,23,3 ,且將此等分子區(qū)間的手續(xù)無限地進

14、行下去，得到一個區(qū)間列 n, n ,它滿足n, n n 1, n 1,門=1,2, L ,2n0 (n),即 n, n是區(qū)間套，且其中每一個閉區(qū)間都含有S中無窮多個點.由區(qū)間套定理，存在唯一的一點 n , n , n =1,2,L .于是對任給的>0,存在N>0,當(dāng)n>N時有n, n U(;).從而U(;)內(nèi)含有S中無窮多個點， 為S的一個聚點.三.用區(qū)間套定理證明確界原理證 僅證明非空有上界的數(shù)集S必有上確界1. 要找一數(shù)，使其是數(shù)集S上的上確界. 是S的上確界就要滿足上確界定義中的兩個條件：大于 的數(shù)不在S中，的任何領(lǐng)域內(nèi)有S中的點.這兩條即為性質(zhì)p.如果 在閉區(qū)a, b

15、 間中，則閉區(qū)間應(yīng)有性質(zhì)a,b:任何小a于的數(shù)不在S中,a,b中至少含有S中的一個點，該性質(zhì)即為P*.取S的上 界為b,且b S,取a S,則閉區(qū)間有性質(zhì)p*;2. 將閉區(qū)間a,b等分為兩個閉區(qū)間,則至少有一個閉區(qū)間ai,b也有性、一 *質(zhì)P.如此繼續(xù)得一閉區(qū)間列，滿足a, b ai, bi K an , bnL ；1lim( bn a.) = lim n(b a) =0xx 23. 由閉區(qū)間套定理得屬于所有的閉區(qū)間an, bn,n=1,2, L ,并且每個閉區(qū)間an, bn有性質(zhì)P* ;4. 因為 anbn, n=1,2, L ,且 lim( bn an) =0,故xlim an =lim

16、bn=,xx由于對 x S ,有x bn,從而x lim bn =;又對 >0,總存在N ,x使得 -< a”，故存在x°SI aN , bN ,于是x°a” > -.因而=supS.四用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界定理證 設(shè) Xn是單調(diào)有界數(shù)列，不妨設(shè)其為單調(diào)遞增且有上界bi ,現(xiàn)在來構(gòu)造以個閉區(qū)間套在 Xn中任取一項記作ai,這時印<b于是，以印，b為端點的閉區(qū)間ai, b內(nèi)一定含有數(shù)列冷中的無限多項，將區(qū)間ai, bi二等分，得閉區(qū) 間ai, a, a, bi.2 2由于xn單調(diào)遞增，故乳心1和 , b中只有一個包含Xn2 2的無限多項，記該區(qū)間為a

17、?, b2.再將a2, b2二等分，在所得區(qū)間中只有 一個包含 xn的無限多項，記該區(qū)間為氏皿,如此繼續(xù)，得一閉區(qū)間列：ai, bi， a2, b2，a., bn，滿足an 1, bn 1 an, bn,( n =1,2,);lim(bn an)=0n故 an,bnn 1是一個閉區(qū)間套，由閉區(qū)間套定理，存在唯一實數(shù) 使得an, bn( n =1,2,).現(xiàn)在證明因lim Xn=.因 lim(bn an) =0,故對nnn > N 時，I bn - an I <>0存在自然數(shù)N ,當(dāng)另外，由于an , bn 包含遞增數(shù)列 Xn的無限多項，所以必存在N ,當(dāng) n>N 時,有

18、anbn ,取 N =maxN , N ,當(dāng) n> N 時有I Xn-| <bn- an <,此即 lim Xn =.n柯西收斂準(zhǔn)則對其它定理的證明一. 用柯西數(shù)列的收斂準(zhǔn)則證明確界原理證 設(shè)為S非空有上界數(shù)集.由實數(shù)的阿基米德性，對任何正數(shù)，存在整數(shù)k ,使得 =k 為S的上界，而 -=(k -1) 不是S的上界，即存在1 S,使得 1 >( k -1).分別取 =-,n =1,2, K ,則對每一個正整數(shù)n,存在相應(yīng)的n ,使得nn為S的上界,而n- 1不是S的上界,故存在1 S ,使得n11> n-.n(1)又對正整數(shù)m ,m是S的上界,故有m1.結(jié)合式得n

19、- m< -；同理n有 n- m<1.從而得|mm - n|<max(丄,丄).m n于是,對任給的 >0 ,存在N >0 ,使得當(dāng)m, n >N時有|<由柯西收斂準(zhǔn)則,數(shù)列 n收斂.記lim nX現(xiàn)在證明就是S的上確界.首先,對任何aS和正整數(shù)n有a n,由(2)式得a,即是S的一個上確界.其次,對任何 >0 ,1由0( n )及 n式,對充分大的n同時有1V>n 2 , n 2又因n- 1不是S的上界,故存在S,使得 >n1.結(jié)合上式得n這說明為S的上確界.同理可證：若S為非空有下界數(shù)集，則必存在下確界. .用柯西收斂準(zhǔn)則證明聚點

20、定理證1.取a為S的下界,對任意固定的自然數(shù)n，存在自然數(shù)kkn ,使 Xn = a+ n滿足:(Xn，)至多為有限點集;Si(Xn)為無限點集.341.對任意的自然數(shù)n , m ,XnXnXm,則S I (XnS I (Xm,)這與1),2)矛盾.從而Xn - Xm|1 1max ,n m因此Xn滿足柯西收斂準(zhǔn)則;由柯西收斂準(zhǔn)則得，=lim Xn；X對 >0,由于lim( Xn丄)=,所以存在no使得xnXn。,Xn。-丄(no+ ),從SI(Xn°,)S I (n。7有2)得S I (,）是無限點集；又S1 (，) S I (Xn0,),由1)得S I (,）至多是有限點集

21、.因此S I（-，+），是無限點集，即 是S的聚點用柯西收斂準(zhǔn)則證明閉區(qū)間套定理不妨設(shè) an，bn是一列閉區(qū)間，滿足如下兩個條件：1）an 1,6an,bn,n 1,2,L , 2）設(shè) lim（g 務(wù)）0 .則n0 am an bn an 0（n）,所以數(shù)列a*是一基本數(shù)列.從而由柯西收斂準(zhǔn)則得：liman lim bn lim（bn an an）lim（bnan） lim an.nnnnn由于數(shù)列an單調(diào)增加，數(shù)列bn單調(diào)減少,可知是屬于所有閉區(qū)間an,bn（n 1,2丄）的唯一實數(shù),從而區(qū)間套定理得證.下面證明閉區(qū)間套的公 共點是唯一的若 （）也屬于所有的閉區(qū)間an，bn,則0 I I b

22、n an,當(dāng)n 時,Hm（ bn a.）0 ,這與閉區(qū)間套的條件矛盾,即區(qū)間套的公共點是唯一的.用柯西收斂準(zhǔn)則證明單調(diào)有界定理設(shè)an為一遞增且有上界M的數(shù)列用反證法（借助柯西準(zhǔn)則）可以證明：倘若an無極限，則可找到一個子列anj以為廣義極限，從而與an有上界相矛盾現(xiàn)在來構(gòu)造這樣的ank.對于單調(diào)數(shù)列an，柯西條件可改述為：“0, N N + ,當(dāng)n N時，滿足|an aN |” 這是因為它同時保證了對一切 n m N，恒有1 an am 1 1an aN 1倘若an不收斂，由上述柯西條件的否定陳述：0 0,對一切N N ,n N，使| a* aN | an a”0.依次取Ni 1, niNi,

23、使a*l ai0；N2ni, n?N2,使an2a.0；L LNk nk i, nkNk,使ai0.把它們相加，得到ankaik 0 -故當(dāng)k 匹旦 時，可使ank M ,矛盾.所以單調(diào)有界數(shù)列an必定有極限.0確界原理對其它定理的證明一. 用確界原理證明柯西收斂準(zhǔn)則 證必要性是常規(guī)證法，故從略.只證充分性.1 構(gòu)造非空有界數(shù)集S,因為欲證明數(shù)列 Xn收斂，故數(shù)集S必須含有數(shù)列 Xn中的無限多個數(shù)，為此，令s= X (-, X) I Xn是空集或有限點集；2 .由于滿足柯西收斂準(zhǔn)則充分條件的數(shù)列是有界的，故知數(shù)列 Xn的下界a S,上界b也是S的上界.所以S是非空有上界的數(shù)集.由確界原理數(shù)集S

24、有上確界 =supS;3 對 >0, (-,) I Xn是無限點集,否則,就與 =supS .矛盾.因(-,+ ) I Xn至多含有Xn的有限多個點.故(-,+ )含有 Xn的無限多個點.設(shè)Xnk( - , + ),k= 1,2, K ,且m < n2 < K .取N1 =maxN, n1,則當(dāng) n>N1 時，總存在 nk> N1 使Xn| Xn- Xu | + | X%|<2因此 lim xn=.二. 用確界原理證明閉區(qū)間套定理證存在唯一的實數(shù)使得 an,bn( n =1,2,)令S= Xn顯然S非空且有上界(任一 bn都是其上界)據(jù)確界原理,S有上確界.

25、設(shè)sup S =現(xiàn)在證明 屬于每個閉區(qū)間an , bn ( n =1,2，)顯然 an ( n =1,2,)，所以只需證明對一切自然數(shù)n ,都有 bn.實事上, 對一切自然數(shù)n , bn都是S的上界，而上確界是上界中的最小者，因此必 有 bn,故證明了存在一實數(shù) 使得 an,bn( n =1,2,).三. 用確界原理證明聚點定理證設(shè)S為有界無限點集。構(gòu)造數(shù)集 E xE中大于x的點有無窮多個.易見數(shù)集E非空有上界，由確界原理，E有上確界.設(shè) supE.則對 0 , 由 不是E的上界， E中大于的點有無窮多個；由 是E的上界， E中大于 的點僅有有限個于是,在(，)內(nèi)有E的無窮多個點，即 是E的一

26、個聚點四. 用確界原理證明單調(diào)有界定理證設(shè)Xn單調(diào)上升，即X, X2 X3 L Xn L有上界，即M，使得Xn M .考慮集合E Xn n N,它非空，有界，推出它有上確界，記為a supxn .我 n N n 們驗證a lim Xn.n0,由上確界的性質(zhì)，N，使得aXn ,當(dāng)nN時,由序列單調(diào)上升得a Xn Xn ,再由上確界定義，Xn a a ,有aXn a ,即Xn a，也就是說 lim Xn a supx .nn N n同理可證若Xn單調(diào)下降,有下界，也存在極限，且lim Xn inf Xn.nnnN若集合E無上界，記作sup E;若集合E無下界,記作inf E ,這樣一來,由于單調(diào)上

27、升(下降)有上界(下界)的序列X,必有極限supx (inf Xn)的 nx N n n N定理現(xiàn)在有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)了 且對單調(diào)上升(下降)序列xn,總有.lim xn supx (inf xn)nx N n n N證閉.聚點定理對其它定理的證明一.用聚點定理證明區(qū)間套定理證設(shè)S= anUbn.則S是有界無限點集由聚點定理得數(shù)集S聚點1若存在一個 aN , 使 bn>aN> ( n=1,2, L ).再取 =一(aN -),由an 2+ )內(nèi)至多有S中的有限多個點這與 是聚點矛盾，于是得到an( n=1,2, L ).的單調(diào)性，當(dāng)n>N時，an >aN > + .這樣,(同理可證，(n=1,2, L ).因此，有 | an,bn.n 1唯一性的證明從略.二. 用聚點定理證明柯西收斂準(zhǔn)則證設(shè)xn是一列 柯西列，則知xn是有界的若Xn中只有有限 多個項不相同，那么必有一項譬如“出現(xiàn)無限多次，這時就得到Xn的一個 收斂的子列Xnk.又因為Xn是柯西列，故對>0,存在自然數(shù)N,當(dāng)n >m > N 時I Xn - Xm | <.特別地，當(dāng)n>N, k>N時由于nk>