中考攻略專題12數(shù)學(xué)思想方法之歸納探討含答案

1、【2013年中考攻略】專題12：數(shù)學(xué)思想方法之歸納探討數(shù)學(xué)中的所謂歸納，是指從許多個別的事物中概括出一般性概念、原則或結(jié)論的思維方法。探索規(guī)律性問題就是根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終”的要求，近年中考數(shù)學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)的考題。歸納規(guī)律題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察

2、、分析、猜想來探索規(guī)律。它體現(xiàn)了“特殊到一般（再到特殊）”的數(shù)學(xué)思想方法，考察了學(xué)生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力。結(jié)合2011和2012年全國各地中考的實例，我們從下面八方面探討歸納規(guī)律性問題的解法：（1）根據(jù)數(shù)的排列或運算規(guī)律歸納；（2）根據(jù)式的排列或運算規(guī)律歸納；（3）根據(jù)圖的變化規(guī)律歸納；（4）根據(jù)尋找的循環(huán)規(guī)律歸納；（5）根據(jù)代數(shù)式拆分規(guī)律歸納；（6）根據(jù)一階遞推規(guī)律歸納；（7）根據(jù)二階遞推規(guī)律歸納；（8）根據(jù)乘方規(guī)律歸納。一、根據(jù)數(shù)的排列或運算規(guī)律歸納：典型例題：例1. （2012廣東肇慶3分）觀察下列一組數(shù)：， ，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這

3、一組數(shù)的第k個數(shù)是 【答案】?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類）。【分析】根據(jù)已知得出數(shù)字分母與分子的變化規(guī)律： 分子是連續(xù)的偶數(shù)，分母是連續(xù)的奇數(shù)，第k個數(shù)分子是2k，分母是2k+1。這一組數(shù)的第k個數(shù)是。例2. （2012福建三明4分）填在下列各圖形中的三個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，a的值是 【答案】900?！究键c】分類歸納（數(shù)字變化類）。【分析】尋找規(guī)律： 上面是1，2 ，3，4，；左下是1，4=22，9=32，16=42，； 右下是：左下數(shù)字減上面數(shù)字差的平方：（11）2，（42）2，（93）2，（164）2，a=（366）2=900。例3. （2012湖北恩施4分）觀察數(shù)表根據(jù)

4、表中數(shù)的排列規(guī)律，則B+D= 【答案】23?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類）?！痉治觥孔屑?xì)觀察每一條虛線或與虛線平行的直線上的數(shù)字從左至右相加等于最上而的一個數(shù)字，1+4+3=B，1+7+D+10+1=34。B=8，D=15。B+D=8+15=23。例4. （2012四川巴中3分）觀察下面一列數(shù)：1，2，3，4，5，6，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第2012個數(shù)是 【答案】2012?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類）?！痉治觥?，2，3，4，5，6，規(guī)律為絕對值是連續(xù)的自然數(shù)，第奇數(shù)個數(shù)是正數(shù)，第偶數(shù)個數(shù)是負(fù)數(shù)， 第2012個數(shù)是：2012。例5. （2012遼寧丹東3分）將一些形狀相同的小五角星如下圖所

5、示的規(guī)律擺放，據(jù)此規(guī)律，第10個圖形有 個五角星. 【答案】120。【考點】分類歸納（圖形的變化類）?！痉治觥繉ふ乙?guī)律：不難發(fā)現(xiàn)， 第1個圖形有3=221個小五角星；第2個圖形有8=321個小五角星；第3個圖形有15=421個小五角星；第n個圖形有（n1）21個小五角星。 第10個圖形有1121=120個小五角星。例6. （2012貴州遵義4分）猜數(shù)字游戲中，小明寫出如下一組數(shù)：，小亮猜想出第六個數(shù)字是，根據(jù)此規(guī)律，第n個數(shù)是 【答案】。【考點】分類歸納（數(shù)字的變化類）?！痉治觥糠?jǐn)?shù)的分子分別是：2 2=4，23=8，24=16，2n。分?jǐn)?shù)的分母分別是：2 2+3=7，23+3=11，24+3

6、=19，2n3。第n個數(shù)是。例7. （2012黑龍江大慶3分）已知l=1，l1=121，l11=12321，則依據(jù)上述規(guī)律，的計算結(jié)果中，從左向右數(shù)第12個數(shù)字是 .【答案】4?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類）。119281【分析】根據(jù)平方后的結(jié)果的規(guī)律，從左向右依次是從1開始的連續(xù)的自然數(shù)再逐漸減小至1，且中間的自然數(shù)與底數(shù)的1的個數(shù)相同，根據(jù)此規(guī)律寫出即可得解：12=1，112=121，1112=12321，所以的第12個數(shù)字是4。例8. （2012湖南益陽10分）觀察圖形，解答問題：（1）按下表已填寫的形式填寫表中的空格：圖圖圖三個角上三個數(shù)的積1×（1）×2=2（3

7、）×（4）×（5）=60三個角上三個數(shù)的和1+（1）+2=2（3）+（4）+（5）=12積與和的商2÷2=1，（2）請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出圖中的數(shù)y和圖中的數(shù)x【答案】解：（1）填表如下：圖圖圖三個角上三個數(shù)的積1×（1）×2=2（3）×（4）×（5）=60（2）×（5）×17=170三個角上三個數(shù)的和1+（1）+2=2（3）+（4）+（5）=12（2）+（5）+17=17積與和的商2÷2=1（60）÷（12）=5170÷10=17（2）圖：5×（8）×（9

8、）=360，5+（8）+（9）=1，y=360÷（12）=30。圖：由（1·x·3）÷（1x3）=3，解得x=2?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類）?！痉治觥浚?）根據(jù)圖形和表中已填寫的形式，即可求出表中的空格；（2）根據(jù)圖可知，中間的數(shù)是三個角上的數(shù)字的乘積與和的商，列出方程，即可求出x、y的值。例9. （2012浙江麗水、金華3分）小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律圖1中棋子圍城三角形，其棵數(shù)3，6，9，12，稱為三角形數(shù)類似地，圖2中的4，8，12，16，稱為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是【 】A2010B2012C2014D2016【答

9、案】D?！究键c】分類歸納（圖形的變化類）。【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，三角數(shù)都是3的倍數(shù)，正方形數(shù)都是4的倍數(shù)，所以既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的一定是12的倍數(shù)，然后對各選項計算進(jìn)行判斷即可得解： 2010÷121676，2012÷121678，2014÷1216710，2016÷12168，2016既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)。故選D。例10. （2012貴州畢節(jié)5分）在下圖中，每個圖案均由邊長為1的小正方形按一定的規(guī)律堆疊而成，照此規(guī)律，第10個圖案中共有 個小正方形。【答案】100?！究键c】分類歸納（圖形的變化類）?！痉治觥繉ふ乙?guī)律： 第1個圖案中共有1=12個小

10、正方形；第2個圖案中共有4=22個小正方形；第3個圖案中共有9=32個小正方形；第4個圖案中共有16=42個小正方形；第10個圖案中共有102=100個小正方形。練習(xí)題：1. （2012山東濰坊3分）下圖中每一個小方格的面積為l，則可根據(jù)面積計算得到如下算式：1+3+5+7+(2n1)= .(用n表示，n是正整數(shù))2. （2011江蘇南京2分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：甲、乙、丙、丁首次報出的數(shù)依次為1、2、3、4，接著甲報5、乙報6按此規(guī)律，后一位同學(xué)報出的數(shù)比前一位同學(xué)報出的數(shù)大1，當(dāng)報到的數(shù)是50時，報數(shù)結(jié)束；若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍手一次，在此過

11、程中，甲同學(xué)需要拍手的次數(shù)為 3. （2011遼寧沈陽4分）寧寧同學(xué)設(shè)計了一個計算程序，如下表輸入數(shù)據(jù)12345輸出數(shù)據(jù)a根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系，可得的值是 4. （2011遼寧本溪3分）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，在最后一個空格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字 。5. （2011江蘇揚州3分）如圖，立方體的六個面上標(biāo)著連續(xù)的整數(shù)，若相對的兩個面上所標(biāo)之?dāng)?shù)的和相等，則這六個數(shù)的和為 6. （2011山東菏澤3分）填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)這種規(guī)律，m的值是 7. （2011四川廣元5分）已知一組數(shù)為：1，按此規(guī)律用代數(shù)式表示第n個數(shù)為 8. （2011云南大理、楚雄、文山、保山、麗江、怒江

12、、迪慶、臨滄3分）下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：，那么第個數(shù)是 .9. （2011貴州六盤水4分）有一列數(shù)：，則它的第7個數(shù)是 ;第n個數(shù)是 。10. （2011浙江省3分）如圖，下面是按照一定規(guī)律畫出的“數(shù)形圖”，經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖A2比圖A1多出2個“樹枝”， 圖A3比圖A2多出4個“樹枝”， 圖A4比圖A3多出8個“樹枝”，照此規(guī)律，圖A6比圖A2多出“樹枝”【 】 A.28 B.56 C.60 D. 124二、根據(jù)式的排列或運算規(guī)律歸納：典型例題：例1. （2012江蘇鹽城3分）已知整數(shù)滿足下列條件：, ,依次類推，則的值為【 】 A B C D【答案】B?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化

13、類）【分析】根據(jù)條件求出前幾個數(shù)的值，尋找規(guī)律，分是奇數(shù)和偶數(shù)討論： ， ，當(dāng)是奇數(shù)時，是偶數(shù)時， 。故選B。例2. （2012浙江臺州5分）請你規(guī)定一種適合任意非零實數(shù)a，b的新運算“ab”，使得下列算式成立：12=21=3，（3）（4）=（4）（3）=，（3）5=5（3）=，你規(guī)定的新運算ab= （用a，b的一個代數(shù)式表示）【答案】?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類），新定義。【分析】尋找規(guī)律： ， ，··· 。例3. （2012江蘇泰州3分）根據(jù)排列規(guī)律，在橫線上填上合適的代數(shù)式：， ，【答案】?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類）?！痉治觥繉ふ乙?guī)律，代數(shù)式的系數(shù)

14、為1，3，5，7，9，···，是奇數(shù)排列；代數(shù)式字母的指數(shù)為1，2，3，4，5，···，是自然數(shù)排列。所以在橫線上的代數(shù)式是。例4. （2012湖南株洲3分）一組數(shù)據(jù)為：x，2x2，4x3，8x4，觀察其規(guī)律，推斷第n個數(shù)據(jù)應(yīng)為 【答案】?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類）?！痉治觥繉ふ乙?guī)律：（1）單項式的系數(shù)為1，2，3，4···，即n為奇數(shù)時，系數(shù)為正數(shù)，n為偶數(shù)時，系數(shù)為負(fù)數(shù)，系數(shù)的絕對值為，即系數(shù)為；（2）單項式的指數(shù)為n。第n個數(shù)據(jù)應(yīng)為。例5. （2012湖南衡陽3分）觀察下列等式sin30

15、76;= cos60°=sin45°= cos=45°=sin60°= cos30°=根據(jù)上述規(guī)律，計算sin2a+sin2（90°a）= 【答案】1。【考點】分類歸納（數(shù)字的變化類），互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系?！痉治觥扛鶕?jù)可得出規(guī)律，即sin2a+sin2（90°a）=1，繼而可得出答案由題意得，sin230°+sin2（90°30°）= sin230°+sin260°=；sin245°+sin2（90°45°）= sin245°+si

16、n245°=；sin260°+sin2（90°60°）= sin260°+sin230°=；sin2a+sin2（90°a）=1。例6. （2012四川涼山5分）對于正數(shù)，規(guī)定 ，例如：，則 。【答案】。【考點】分類歸納（數(shù)字的變化類），分式的加減法?！痉治觥繉ふ乙?guī)律：當(dāng)x=1時，f（1）=；當(dāng)x=2時，f（2）=，當(dāng)x=時，f（）= ，f（2）f（）=1；當(dāng)x=3時，f（3）=，當(dāng)x=時，f（）= ，f（3）f（）=1；······當(dāng)x= n時，f（3）=，當(dāng)x=

17、時，f（）= ，f（）f（）=1。當(dāng)x= 2012時，。例7. （2012四川資陽3分）觀察分析下列方程：，；請利用它們所蘊含的規(guī)律，求關(guān)于x的方程（n為正整數(shù)）的根，你的答案是： 【答案】x=n+3或x=n+4?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類），分式方程的解?！痉治觥壳蟮梅质椒匠痰慕?，尋找得規(guī)律：由得，方程的根為：x=1或x=2，由得，方程的根為：x=2或x=3，由得，方程的根為：x=3或x=4，方程的根為：x=a或x=b，可化為。此方程的根為：x3=n或x3=n+1，即x=n+3或x=n+4。例8. （2012遼寧沈陽4分）有一組多項式：ab2，a2b4，a3b6，a4b8，請觀察它們的構(gòu)

18、成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第10個多項式為 .【答案】a10b20?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類），多項式。【分析】第1個多項式為：a1b2×1，第2個多項式為：a2b2×2，第3個多項式為：a3b2×3，第4個多項式為：a4b2×4，第n個多項式為：an（1）n+1b2n。第10個多項式為：a10b20。例9. （2012黑龍江牡丹江3分）觀察下列數(shù)：，按此規(guī)律排列，第十個數(shù)為 【答案】?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類）。【分析】尋找規(guī)律：觀察可知，這個代數(shù)式的第n個數(shù)的符號是，分子是1，分母x的指數(shù)是項數(shù)加1，所以，這個代數(shù)式為，當(dāng)n=10時，這個

19、代數(shù)式為。例10. （2012貴州六盤水4分）如圖是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝最早發(fā)現(xiàn)的，稱為“楊輝三角”它的發(fā)現(xiàn)比西方要早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的！“楊輝三角”中有許多規(guī)律，如它的每一行的數(shù)字正好對應(yīng)了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式中a按次數(shù)從大到小排列的項的系數(shù)。例如，展開式中的系數(shù)1、2、1恰好對應(yīng)圖中第三行的數(shù)字；再如，展開式中的系數(shù)1、3、3、1恰好對應(yīng)圖中第四行的數(shù)字。請認(rèn)真觀察此圖，寫出（a+b）4的展開式，（a+b）4= 【答案】a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。【考點】分類歸納（數(shù)字的變化類），完全平方公式?！痉治觥坑桑╝+b）=

20、a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各項展開式的系數(shù)除首尾兩項都是1外，其余各項系數(shù)都等于（a+b）n1的相鄰兩個系數(shù)的和，由此可得（a+b）4的各項系數(shù)依次為1、4、6、4、1。如圖：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。例11.（2012廣東珠海9分）觀察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，以

21、上每個等式中兩邊數(shù)字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之間具有相同規(guī)律，我們稱這類等式為“數(shù)字對稱等式”（1）根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空，使式子稱為“數(shù)字對稱等式”：52× = ×25；×396=693×（2）設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，且2a+b9，寫出表示“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子（含a、b），并證明例12.（2012廣東佛山10分）規(guī)律是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一初中數(shù)學(xué)中研究的規(guī)律主要有一些特定的規(guī)則、符號(數(shù))及其運算規(guī)律、圖形的數(shù)值特征和位置關(guān)系特征等方面請你解決以下與數(shù)的表示和運算相關(guān)的問題：(1)寫出

22、奇數(shù)a用整數(shù)n表示的式子；(2)寫出有理數(shù)b用整數(shù)m和整數(shù)n表示的式子；(3)函數(shù)的研究中，應(yīng)關(guān)注y隨x變化而變化的數(shù)值規(guī)律(課本里研究函數(shù)圖象的特征實際上也是為了說明函數(shù)的數(shù)值規(guī)律)下面對函數(shù)y=x2的某種數(shù)值變化規(guī)律進(jìn)行初步研究：xi012345.yi01491625.yi+1yi1357911.由表看出，當(dāng)x的取值從0開始每增加1個單位時，y的值依次增加1，3，5.請回答：當(dāng)x的取值從0開始每增加個單位時，y的值變化規(guī)律是什么？當(dāng)x的取值從0開始每增加個單位時，y的值變化規(guī)律是什么？【答案】解：（1）n是任意整數(shù)，則表示任意一個奇數(shù)的式子是：2n+1。（2）有理數(shù)b=（n0）。（3）當(dāng)x

23、的取值從0開始每增加個單位時，列表如下：xi012.yi014.yi+1yi.故當(dāng)x的取值從0開始每增加個單位時，y的值依次增加、 、 。當(dāng)x的取值從0開始每增加個單位時，列表如下：xi0.yi0.yi+1yi.故當(dāng)x的取值從0開始每增加個單位時，y的值依次增加、 、 。【考點】分類歸納（數(shù)字的變化類），二次函數(shù)的性質(zhì)，實數(shù)?！痉治觥浚?）n是任意整數(shù)，偶數(shù)是能被2整除的數(shù)，則偶數(shù)可以表示為2n，因為偶數(shù)與奇數(shù)相差1，所以奇數(shù)可以表示為2n+1。（2）根據(jù)有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，而所有的整數(shù)都可以寫成整數(shù)的形式，據(jù)此可以得到答案。（3）根據(jù)圖表計算出相應(yīng)的數(shù)值后即可看出y隨著x的變化而變化的

24、規(guī)律。練習(xí)題：1. （2011黑龍江大慶3分）已知下列等式：112，12122，1232132，根據(jù)以上等式，猜想：對于正整數(shù)n(n4)，12(n1)n(n1)21 2. （2011廣西貴港2分）若記yf(x)，其中f(1)表示當(dāng)x1時y的值，即f(1)；f()表示當(dāng)x時y的值，即f()；則f(1)f(2)f()f(3)f()f(2011)f()_ 3. （2011廣東湛江4分）若：A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A54=5×4×3×2=120，A64=6×5×4×3=360，觀察前面計算過

25、程，尋找計算規(guī)律計算A73=（直接寫出計算結(jié)果），并比較A103A104（填“”或“”或“=”）4. （2011四川雅安3分）在一列數(shù)中，則 5. （2011四川成都4分）設(shè), 設(shè)，則S= （用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）6. （2011遼寧營口3分）觀察下列數(shù)據(jù)：，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律第n個數(shù)據(jù)是 _(用含n的式子表示)7. （2011云南曲靖3分）將一列整式按某種規(guī)律排成x,2x2,4x3,8x4,16x5則排在第六個位置的整式為 ；8. （2011貴州銅仁4分）觀察一列單項式：， 根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第7個單項式為 ；第個單項式為 9. （2011福建莆田4分）已知函數(shù)，其

26、中表示當(dāng)時對應(yīng)的函數(shù)值，如，則= 。10. （2011湖南益陽8分）觀察下列算式： 1 ×3 22 = 3 4 = 1 2 × 4 32 = 8 9 = 1 3 × 5 42 = 15 16 = 1 （1）請你按以上規(guī)律寫出第4個算式；（2）把這個規(guī)律用含字母的式子表示出來；（3）你認(rèn)為（2）中所寫出的式子一定成立嗎？并說明理由三、根據(jù)圖的變化規(guī)律歸納：典型例題：例1. （2012四川自貢3分）一質(zhì)點P從距原點1個單位的M點處向原點方向跳動，第一次跳動到OM的中點M3處，第二次從M3跳到OM3的中點M2處，第三次從點M2跳到OM2的中點M1處，如此不斷跳動下去，則

27、第n次跳動后，該質(zhì)點到原點O的距離為【 】ABCD【答案】D?！究键c】分類歸納（圖形的變化類），數(shù)軸?！痉治觥縊M=1，第一次跳動到OM的中點M3處時，OM3=OM=。同理第二次從M3點跳動到M2處，即在離原點的（）2處，同理跳動n次后，即跳到了離原點的處。故選D。例2. （2012山東濰坊3分）下圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出3×3個位置相鄰的9個數(shù)(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)若圈出的9個數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為192，則這9個數(shù)的和為【 】A32 B126 C135 D144【答案】D?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類），一元二次方程的應(yīng)

28、用?！痉治觥坑扇諝v表可知，圈出的9個數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的差總為16，又已知最大數(shù)與最小數(shù)的積為192，所以設(shè)最大數(shù)為x，則最小數(shù)為x16。 x（x16）=192，解得x=24或x=8（負(fù)數(shù)舍去）。 最大數(shù)為24，最小數(shù)為8。 圈出的9個數(shù)為8，9，10，15，16，17，22，23，24。和為144。故選D。例3. （2012廣東深圳3分）如圖，已知：MON=30o，點A1、A2、A3 在射線ON上，點B1、B2、B3在射線OM上，A1B1A2. A2B2A3、A3B3A4均為等邊三角形，若OA1=l，則A6B6A7 的邊長為【 】 A6 B12 C32 D64【答案】C?！究键c】分類歸納（

29、圖形的變化類），等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)。【分析】如圖，A1B1A2是等邊三角形， A1B1=A2B1，3=4=12=60°。2=120°。MON=30°，1=180°120°30°=30°。又3=60°，5=180°60°30°=90°。MON=1=30°，OA1=A1B1=1。A2B1=1。A2B2A3、A3B3A4是等邊三角形，11=10=60°，13=60°。4=12=60

30、6;，A1B1A2B2A3B3，B1A2B2A3。1=6=7=30°，5=8=90°。A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。以此類推：A6B6=32B1A2=32，即A6B6A7 的邊長為32。故選C。例4. （2012浙江紹興4分）在一條筆直的公路邊，有一些樹和路燈，每相鄰的兩盞燈之間有3棵樹，相鄰的樹與樹，樹與燈間的距離是10cm，如圖，第一棵樹左邊5cm處有一個路牌，則從此路牌起向右510m550m之間樹與燈的排列順序是【 】ABCD【答案】B?！究键c】分類歸納（圖形的變化類），解

31、一元一次不等式?！痉治觥扛鶕?jù)題意得：第一個燈的里程數(shù)為10米，第二個燈的里程數(shù)為50，第三個燈的里程數(shù)為90米第n個燈的里程數(shù)為10+40（n1）=（40n30）米，由，解得，n=14。當(dāng)n=14時，40n30=530米處是燈，則510米、520米、540米處均是樹。從此路牌起向右510m550m之間樹與燈的排列順序是樹、樹、燈、樹。故選B。例5. （2012浙江紹興4分）如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC中點，第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交與點P1；設(shè)P1D的中點為D1，第2次將紙片折疊，使點A與點D1重合，折痕與AD交于點P2；設(shè)P2D1的中點

32、為D2，第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合，折痕與AD交于點P3；設(shè)Pn1Dn2的中點為Dn1，第n次將紙片折疊，使點A與點Dn1重合，折痕與AD交于點Pn（n2），則AP6的長為【 】ABC D【答案】A。【考點】分類歸納（圖形的變化類），翻折變換（折疊問題）?！痉治觥坑深}意得，AD=BC=，AD1=ADDD1=，AD2=，AD3=，ADn=。故AP1=，AP2=，AP3=APn=。當(dāng)n=14時，AP6=。故選A。例6. （2012湖北荊門3分） 已知：順次連接矩形各邊的中點，得到一個菱形，如圖；再順次連接菱形各邊的中點，得到一個新的矩形，如圖；然后順次連接新的矩形各邊的中點，得到一個新的

33、菱形，如圖；如此反復(fù)操作下去，則第2012個圖形中直角三角形的個數(shù)有【 】A 8048個 B 4024個 C 2012個 D 1066個【答案】B。【考點】分類歸納（圖形的變化類）?！痉治觥繉懗銮皫讉€圖形中的直角三角形的個數(shù)，并找出規(guī)律：第1個圖形，有4個直角三角形，第2個圖形，有4個直角三角形，第3個圖形，有8個直角三角形，第4個圖形，有8個直角三角形，依次類推，當(dāng)n為奇數(shù)時，三角形的個數(shù)是2（n+1），當(dāng)n為偶數(shù)時，三角形的個數(shù)是2n個，所以，第2012個圖形中直角三角形的個數(shù)是2×2012=4024。故選B。例7. （2012山東煙臺3分）一個由小菱形組成的裝飾鏈，斷去了一部分

34、，剩下部分如圖所示，則斷去部分的小菱形的個數(shù)可能是【 】A3B4C5D6【答案】C?！究键c】分類歸納（圖形的變化類）?！痉治觥咳鐖D所示，斷去部分的小菱形的個數(shù)為5：故選C。例8. （2012山東淄博4分）骰子是6個面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6的小立方體，它任意兩對面上所寫的兩個數(shù)字之和為7將這樣相同的幾個骰子按照相接觸的兩個面上的數(shù)字的積為6擺成一個幾何體，這個幾何體的三視圖如圖所示已知圖中所標(biāo)注的是部分面上的數(shù)字，則“”所代表的數(shù)是【 】(A)2(B)4 (C)5(D)6【答案】 B?！究键c】分類歸納（圖形的變化類），幾何體的三視圖?！痉治觥坑扇我鈨蓪γ嫔纤鶎懙膬蓚€數(shù)字之和為7，相

35、接觸的兩個面上的數(shù)字的積為6，結(jié)合左視圖知，幾何體下面5個小立方體的左邊的數(shù)字是1，右邊的數(shù)字是6；結(jié)合主視圖知，幾何體右下方的小立方體前面的數(shù)字是3，反面的數(shù)字是4；根據(jù)相接觸的兩個面上的數(shù)字的積為6，幾何體右下方的小立方體上面的數(shù)字只能是2（如圖）。 根據(jù)相接觸的兩個面上的數(shù)字的積為6，幾何體右上方的小立方體下面的數(shù)字是3；根據(jù)任意兩對面上所寫的兩個數(shù)字之和為7，幾何體右上方的小立方體上面的數(shù)字是4。 俯視圖上“”所代表的數(shù)是4。故選B。例9. （2012浙江紹興5分）如圖，矩形OABC的兩條邊在坐標(biāo)軸上，OA=1，OC=2，現(xiàn)將此矩形向右平移，每次平移1個單位，若第1次平移得到的矩形的邊

36、與反比例函數(shù)圖象有兩個交點，它們的縱坐標(biāo)之差的絕對值為0.6，則第n次（n1）平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標(biāo)之差的絕對值為 （用含n的代數(shù)式表示）【答案】或?！究键c】分類歸納（圖形的變化類），反比例函數(shù)綜合題，反比例函數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥吭O(shè)反比例函數(shù)解析式為，則與BC，AB平移后的對應(yīng)邊相交時，則由兩交點縱坐標(biāo)之差的絕對值為0.6和反比例函數(shù)關(guān)于對稱的性質(zhì)，得與AB平移后的對應(yīng)邊相交的交點的坐標(biāo)為（2，1.4），代入，得，解得。反比例函數(shù)解析式為。則第n次（n1）平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標(biāo)之差

37、的絕對值為：。與OC，AB平移后的對應(yīng)邊相交時，由得。反比例函數(shù)解析式為。則第n次（n1）平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標(biāo)之差的絕對值為：。綜上所述，第n次（n1）平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標(biāo)之差的絕對值為或。例10. （2012江蘇南京2分）在平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定把一個三角形先沿x軸翻折，再向右平移兩個單位稱為一次變換，如圖，已知等邊三角形ABC的頂點B、C的坐標(biāo)分別是，（1，1），（3，1），把三角形ABC經(jīng)過連續(xù)9次這樣的變換得到三角形ABC，則點A的對應(yīng)點A的坐標(biāo)是 【答案】（16，）?！究键c】分類歸納（圖形的變化類），翻折變換（折疊問

38、題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥肯扔葾BC是等邊三角形，點B、C的坐標(biāo)分別是（1，1）、（3，1），求得點A的坐標(biāo)；再尋找規(guī)律，求出點A的對應(yīng)點A的坐標(biāo)： 如圖，作BC的中垂線交BC于點D，則 ABC是等邊三角形，點B、C的坐標(biāo)分別是（1，1）、（3，1）， BD=1，。A（2，）。 根據(jù)題意，可得規(guī)律：第n次變換后的點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)：當(dāng)n為奇數(shù)時為（2n2，），當(dāng)n為偶數(shù)時為（2n2， ）。 把ABC經(jīng)過連續(xù)9次這樣的變換得到ABC，則點A的對應(yīng)點A的坐標(biāo)是：（16，）。例11.（2012江蘇無錫2分）如圖的平面直角坐標(biāo)系中有一個正六邊

39、形ABCDEF，其中CD的坐標(biāo)分別為（1，0）和（2，0）若在無滑動的情況下，將這個六邊形沿著x軸向右滾動，則在滾動過程中，這個六邊形的頂點ABCDE、F中，會過點（45，2）的是點 【答案】B?！究键c】分類歸納（圖形的變化類），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正多邊形和圓，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?！痉治觥坑烧呅蜛BCDEF中CD的坐標(biāo)分別為（1，0）和（2，0），得正六邊形邊長為1，周長為6。 正六邊形滾動一周等于6。如圖所示。當(dāng)正六邊形ABCDEF滾動到位置1，2，3，4，5，6，7時，頂點ABCDE、F的縱坐標(biāo)為2。位置1時，點A的橫坐標(biāo)也為2。又（452）÷6=71，恰好滾動7周多一個，即與位置2頂

40、點的縱坐標(biāo)相同，此點是點B。會過點（45，2）的是點B。練習(xí)題：1. （2012湖北隨州4分）平面內(nèi)不同的兩點確定一條直線，不同的三點最多確定三條直線，若平面內(nèi)的不同的n個點最多可確定15條直線，則n的值為 .2. （2012四川達(dá)州3分）將邊長分別為1、2、3、419、20的正方形置于直角坐標(biāo)系第一象限，如圖中方式疊放，則按圖示規(guī)律排列的所有陰影部分的面積之和為 . 3. （2012四川內(nèi)江6分）已知反比例函數(shù)的圖象，當(dāng)x取1，2，3，n時，對應(yīng)在反比例圖象上的點分別為M1，M2，M3，Mn，則= 4. （2012四川樂山3分）如圖，ACD是ABC的外角，ABC的平分線與ACD的平分線交于點

41、A1，A1BC的平分線與A1CD的平分線交于點A2，An1BC的平分線與An1CD的平分線交于點An設(shè)A=則：（1）A1= ；（2）An= 5. （2012四川瀘州3分）如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1,M2,M3,Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,，BnBn+1的中點，B1C1M1的面積為S1，B2C2M2的面積為S2，BnCnMn的面積為Sn，則Sn= 。(用含n的式子表示)6. （2012遼寧鞍山3分）如圖，在ABC中，ACB=90°，A=60°，AC=a，作斜邊AB邊中線CD，得到第一個三角形ACD；DEBC于點E，作RtBDE斜邊

42、DB上中線EF，得到第二個三角形DEF；依此作下去則第n個三角形的面積等于 7. （2012遼寧阜新3分）如圖，ABC的周長是32，以它的三邊中點為頂點組成第2個三角形，再以第2個三角形的三邊中點為頂點組成的第3個三角形，則第n個三角形的周長為 8. （2012遼寧本溪3分）如圖，下圖是一組由菱形和矩形組成的有規(guī)律的圖案，第1個圖中菱形的面積為S（S為常數(shù)），第2個圖中陰影部分是由連接菱形各邊中點得到的矩形和再連接矩形各邊中點得到的菱形產(chǎn)生的，依此類推，則第n個圖中陰影部分的面積可以用含n的代數(shù)式表示為 _。（n2，且n是正整數(shù)）9. （2012遼寧錦州3分）如圖，正方形A1B1B2C1，A2

43、B2B3C2，A3B3B4C3,AnBnBn+1Cn，按如圖所示放置，使點A1、A2、A3、A4、An在射線OA上，點B1、B2、B3、B4、Bn在射線OB上.若AOB=45°，OB1 =1，圖中陰影部分三角形的面積由小到大依次記作S1,S2，S3，Sn,則Sn= .10. （2012遼寧鐵嶺3分）如圖，點E、F、G、H分別為菱形A1B1C1D1各邊的中點，連接A1F、B1G、C1H、D1E得四邊形A2B2C2D2，以此類推得四邊形A3B3C3D3，若菱形A1B1C1D1的面積為S，則四邊形AnBnCnDn的面積為 .四、根據(jù)尋找的循環(huán)規(guī)律歸納：典型例題：例1. （2012四川自貢4

44、分）若是不等于1的實數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)為，現(xiàn)已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，依次類推，則= 【答案】?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類），倒數(shù)。【分析】， x2=，x3=，x4=。差倒數(shù)為3個循環(huán)的數(shù)。2012=670×3+2，x2012=x2=。例2. （2012內(nèi)蒙古赤峰3分）將分?jǐn)?shù)化為小數(shù)是，則小數(shù)點后第2012位上的數(shù)是 【答案】5?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類）?！痉治觥坑^察，得出規(guī)律：6個數(shù)為一循環(huán)，若余數(shù)為1，則末位數(shù)字為8；若余數(shù)為2，則末位數(shù)字為5；若余數(shù)為3，則末位數(shù)安為7；若余數(shù)為4，則末位數(shù)字為1；若余數(shù)為5，則末位數(shù)字

45、為4；若余數(shù)為0，則末位數(shù)字為2?；癁樾?shù)是，2012÷6=3352。小數(shù)點后面第2012位上的數(shù)字是：5。例3. （2012江蘇南通3分）如圖，在ABC中，ACB90º，B30º，AC1，AC在直線l上將ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到位置，可得到點P1，此時AP12；將位置的三角形繞點P1順時針旋轉(zhuǎn)到位置，可得到點P2，此時AP22；將位置的三角形繞點P2順時針旋轉(zhuǎn)到位置，可得到點P3，此時AP33；，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直到得到點P2012為止，則AP2012【 】A2011671 B2012671 C2013671 D2014671【答案】B?！究键c】分類歸納（圖形

46、的變化類），旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥繉ふ乙?guī)律，發(fā)現(xiàn)將RtABC繞點A，P1，P2，···順時針旋轉(zhuǎn)，每旋轉(zhuǎn)一次， APi（i=1,2,3,···）的長度依次增加2， ，1，且三次一循環(huán)，按此規(guī)律即可求解： RtABC中，ACB=90°，B=30°，AC=1，AB=2，BC=。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將RtABC繞點A，P1，P2，···順時針旋轉(zhuǎn)，每旋轉(zhuǎn)一次， APi（i=1,2,3,···）的長度依次增加2， ，1，且三次一循環(huán)。

47、2012÷3=6702，AP2012=670（3+ ）+2+ =2012+671 。故選B。例4. （2012福建莆田4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(1，1)，B(1，1)，C(1，2)，D(1，2)把一條長為2012個單位長度且沒有彈性的細(xì)線(線的粗細(xì)忽略不計)的一端固定在點A處，并按ABCDA一的規(guī)律緊繞在四邊形ABCD的邊上，則細(xì)線另一端所在位置的點的坐標(biāo)是【 】 A(1，1) B(1，1) C(1，2) D(1，2)【答案】B?！究键c】分類歸納（圖形的變化類），點的坐標(biāo)?！痉治觥扛鶕?jù)點的坐標(biāo)求出四邊形ABCD的周長，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個單位長度，從而確定答案

48、： A（1，1），B（1，1），C（1，2），D（1，2），AB=1（1）=2，BC=1（2）=3，CD=1（1）=2，DA=1（2）=3。繞四邊形ABCD一周的細(xì)線長度為2323=10，2012÷10=2012，細(xì)線另一端在繞四邊形第202圈的第2個單位長度的位置，即點B的位置。所求點的坐標(biāo)為（1，1）。故選B。例5. （2012湖南永州3分）如圖，一枚棋子放在七角棋盤的第0號角，現(xiàn)依逆時針方向移動這枚棋子，其各步依次移動1，2，3，n個角，如第一步從0號角移動到第1號角，第二步從第1號角移動到第3號角，第三步從第3號角移動到第6號角，若這枚棋子不停地移動下去，則這枚棋子永遠(yuǎn)不能到

49、達(dá)的角的個數(shù)是【 】A0 B1 C2 D3例6. （2012山東濟(jì)南3分）如圖，矩形BCDE的各邊分別平行于x軸或y軸，物體甲和物體乙分別由點A（2，0）同時出發(fā)，沿矩形BCDE的邊作環(huán)繞運動，物體甲按逆時針方向以1個單位/秒勻速運動，物體乙按順時針方向以2個單位/秒勻速運動，則兩個物體運動后的第2012次相遇地點的坐標(biāo)是【 】A（2，0）B（1，1）C（2，1）D（1，1）例7. （2012山東聊城3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點O為圓心的同心圓的半徑由內(nèi)向外依次為1，2，3，4，同心圓與直線y=x和y=x分別交于A1，A2，A3，A4，則點A30的坐標(biāo)是【 】A（30，30） B（8，8

50、）C（4，4）D（4，4）【答案】C?！究键c】分類歸納（圖形的變化類），一次函數(shù)綜合題，解直角三角形。【分析】A1，A2，A3，A4四點一個周期，而30÷4=7余2，A30在直線y=x上，且在第二象限。即射線OA30與x軸的夾角是45°，如圖OA=8，AOB=45°，在直角坐標(biāo)系中，以原點O為圓心的同心圓的半徑由內(nèi)向外依次為1，2，3，4，OA30=8。A30的橫坐標(biāo)是8sin45°=4，縱坐標(biāo)是4，即A30的坐標(biāo)是（4，4）。故選C。例8. （2012廣東梅州3分）如圖，連接在一起的兩個正方形的邊長都為1cm，一個微型機(jī)器人由點A開始按ABCDEFCG

51、A的順序沿正方形的邊循環(huán)移動第一次到達(dá)G點時移動了 cm；當(dāng)微型機(jī)器人移動了2012cm時，它停在 點【答案】7；E。【考點】分類歸納（圖形的變化類）?！痉治觥坑蓤D可知，從A開始，第一次移動到G點，共經(jīng)過AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七條邊，所以共移動了7cm；機(jī)器人移動一圈是8cm，而2012÷8=2514， 移動2012cm，是第251圈后再走4cm正好到達(dá)E點。例9. （2012廣東河源4分）如圖，連接在一起的兩個正方形的邊長都為1cm，一個微型機(jī)器人由點A開始按ABCDEFCGA的順序沿正方形的邊循環(huán)移動第一次到達(dá)點G時，微型機(jī)器人移動了 cm；當(dāng)微型機(jī)器人移動了2

52、012cm時，它停在 點【答案】7；E。【考點】分類歸納（圖形的變化類）。【分析】由圖可知，從A開始，第一次移動到G點，共經(jīng)過AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七條邊，所以共移動了7cm；機(jī)器人移動一圈是8cm，而2012÷8=2514， 移動2012cm，是第251圈后再走4cm正好到達(dá)E點。例10. （2012湖北鄂州3分）已知，如圖，OBC中是直角三角形，OB與x軸正半軸重合，OBC=90°，且OB=1，BC=，將OBC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴(kuò)大為原來的m倍，使OB1=OC，得到OB1C1，將OB1C1繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴(kuò)大為原來的m倍，使OB2=OC1，得到OB2C2，如此繼續(xù)下去，得到OB2012C2012，則m= 。點C2012的坐標(biāo)是 ?！敬鸢浮?；（22011，22011）?！究键c】分類歸納（圖形的變化類），坐標(biāo)與圖形的旋轉(zhuǎn)變化，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】在OBC中，OB=1，BC=，tanCOB=。COB=60°，OC=2。OB1=mOB，OB1=OC，mOB=OC，即m=2。每一次的旋轉(zhuǎn)角是60°，旋轉(zhuǎn)6次一個周期（如圖）。2012÷6=3352