高等數(shù)學上冊習題講解ppt課件

1、高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學上 復習 高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導題目類型：選擇，填空，計算， 證明，綜合考試注意事項：簽名，時間控制，先易后難，答題規(guī)范?？荚囆问剑洪]卷考試時間：2小時高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導一、極限計算 主要方法：兩個重要極限，無窮小替換， 羅必塔法則，其他方法有理化、定積分定義等），特別注意各種方法的結(jié)合。如無窮小+羅必塔，羅必塔+積分上限函數(shù)等。1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導注意與 01sin lim0 xxx區(qū)別 例1 5151551sinlim51sinlimxxxxnx例

2、例2. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 那么,sintx 因而原式tttsinlim0 1lim0tttsin1高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例3 nnnnnnnn 3331lim31lim33331limennn注意“湊的技巧，想法湊成公式需要的形式。 高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例4 計算 16x5373limxxx解： 16x16x5321lim5373limxxxxx416532253x5321limexxxx453162253x5321limexxxx高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例5： 求下列極限：求下列極限：)sin1(sinlim)

3、 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無窮小有界高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121()1(ln12xxxx12)(lim12sincos0 xxxxx12e高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導常用等價無窮小: xsin;xxtan;

4、xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例1. 求求解解: 原式 高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導231x221x例例2. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時當 x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例 計算 7253-xlim23xx解： 7253-xlim23xx7257257253-xlim2223xxxx

5、23x2183-xlim10 x6593-xlim523xx分子或分母有理化高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或為 )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2內(nèi)可導在與axFxf0)( xF且羅必塔法則羅必塔法則高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例1. 求求.123lim2331xxxxxx解解: 原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必達法則不是未定式不能用洛必達法則 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx高等數(shù)學期末輔導高等

6、數(shù)學期末輔導型. )tan(seclim2xxx解解: 原式原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例2. 求求例例3. 求求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxeln0lim0e1高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例4. 求求.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到xsin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x型00高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導分析分析:203cos1limxxx30 limxx例例5.xxxx1sin1cotli

7、m0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導)sin(2cosxex例例6. 求求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21說明 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例7. 確定常數(shù) a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax時,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.

8、21c高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導 )(0處連續(xù)在點函數(shù)xxf(1) )(0處的極限值處的函數(shù)值等于在該點在點函數(shù)xxf xfxfxx0 0lim)( 0)(lim0 0 xfxfxx0lim0yx是處極限存在的充要條件在點函數(shù)0)(xxf(2) )(0等處的左右極限存在且相在點函數(shù)xxf AxfAxfAxfxx00 lim00 0且二、連續(xù)性分段函數(shù)情形）高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例1 設(shè)0031lnxAxxxxf在x=0處連續(xù),則A=( )解：計算函數(shù)值f(0)A, 計極限值 3)(lim0 xfx所以A=3 高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf,2)c

9、os1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續(xù) , 那么 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例2 -1 2-1 a1- 1)(xbxxxxxf函數(shù)則處連續(xù)在,x 1a=( 0 ), b=2 解：計算函數(shù)值 ，？ af ) 1(計極限值 ？，)(lim1xfx此時，要考察左右極限，0)(lim)01(1？xffx右極限左極限 bxffx2)(lim)01(1？由連續(xù)的定義，可得 a=( 0 ), b=2 高等數(shù)學期末輔導

10、高等數(shù)學期末輔導三、導數(shù)與微分計算、應(yīng)用、證明導數(shù)定義分段點可導性討論，計算）復合函數(shù)求導，隱函數(shù)求導，參數(shù)方程確定函數(shù)求導導數(shù)幾何意義切線法線計算） 單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間，求最大最小值 證明高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導解解: 因為因為例例1. 設(shè)設(shè))(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導)(xf設(shè)0)(,xxf在討論解解:)(lim0 xfx又xfxfx

11、)0()(lim0例例2.所以 )(xf0 x在處連續(xù). 即)(xf0 x在處可導 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x處的連續(xù)性及可導性. xxxx120sinlim0)0( f高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例3 處的，在點求曲線) 1- 1 ( 6-4 22 yxyx切線方程。解： 6-422 yxyx兩邊對x求導得： 028yyyxyx-算出 xyxyy28，斜率 311 yxyk所以切線方程為 1)-3(1xy高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例4. 求求)0(sinxxyx的導數(shù) . 解解: 兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù) , 化為隱式化

12、為隱式xxylnsinln兩邊對 x 求導yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導.0sin21522xdydyyx導數(shù)所確定的隱函數(shù)的二階求由方程例解解求求導導得得方方程程兩兩邊邊對對 xdxdy 1注意注意 y = y (x)0cos21 dxdyy解得解得ydxdycos22 上式兩邊在對上式兩邊在對 x 求導，得求導，得dxdyydyddxyd )cos22(222)cos2(sin2ydxdyy 3)cos2(sin4yy 注意：注意：.cossinyxdyd xdydydydxdyd sinsinxdydy cos高

13、等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例6 6解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導數(shù)表示的函數(shù)的二階導數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd tdxdtdtd1)tan( ttatsincos3sec22 tatsin3sec4 )(tantdxd dxdttdtd )tan(高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例7.7.設(shè)由方程設(shè)由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數(shù), )(xyy 求.dd22xy解解: :方程組兩邊對方程組兩邊對 t t 求導求導, ,得得txddt 2

14、txddyttycos12dd故xydd)cos1)(1(ytt22 ttyddycostydd0) 1(2ttyddtxdd高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導22ddxy)(ddddxyttxdd )()cos1)(1(ddyttt) 1(2t yttysin) 1()cos1 (23)cos1 () 1(2yttydd yttysin) 1(2)cos1 (2233)cos1 () 1(2yt高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例8.8.設(shè)設(shè), )(arctansin1sinxxxfeey其中)(xf可微 ,.dy求解解:yd)d(sinsinxxee)d(sinsinxxee)d(arcta

15、n)(arctan11xxf )d(sinsinsinxeexx)d(cossinxxxeee)d(11)(arctan1112xxxfxexexxd) sin(cossinxfxxd)(arctan1112xxee cos高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例9 9 求曲線求曲線 的拐點及凹凸區(qū)間。的拐點及凹凸區(qū)間。43341yxx解解: :(,)D 321212,yxx 236 ().3yx x 0,y 1220,.3xx令令得：得：x(,0)2( ,)32(0, )3023( )fx( )f x 凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點(0,1)2 11(

16、,)3 270022(,0,0,).33凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例10. 求拋物線求拋物線21xy在(0,1) 內(nèi)的一條切線, 使它與兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解解: 設(shè)拋物線上切點為設(shè)拋物線上切點為)1 ,(2xxM則該點處的切線方程為)(2)1 (2xXxxY它與 x , y 軸的交點分別為, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面積)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導)(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS且為最小點 .

17、 故所求切線為34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一駐點33x11MBAyx, 1 , 0)(33上的唯一極小點在是因此xSx 高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例11. 設(shè)非負函數(shù)設(shè)非負函數(shù)上滿足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲線)(xfy 與直線1x及坐標軸所圍圖形(1) 求函數(shù); )(xf(2) a 為何值時, 所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體解解: (1)時，當0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面積為 2 ,體積最小 ? 即xCxaxf223)(故得高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導又10d)(2xxfxxCxad2321022C

18、aaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋轉(zhuǎn)體體積Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a為唯一極小點,因而5a時 V 取最小值 .xoy1xoy1高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導四、不定積分與定積分 計算：直接積分法、第一換元法、第二換元法三角代換，倒代換，最小公倍代換）、分部積分法 積分上限函數(shù)求導復合函數(shù)情形） 應(yīng)用：面積不同坐標系）、旋轉(zhuǎn)體體積、弧長 對稱性應(yīng)用：奇函數(shù)、偶函數(shù) 無窮限廣義積分高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例1. 求求.d124xxx解解: 原式原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(22222

19、1dd) 1(xxxxCxxxarctan313高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例2. 求求.darctanxeexx解解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1 (222xxeearctanxCex)1 (ln221高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例3 xdxx2arccos2110解：解： xdxx2arccos2110 )(arccos10arccos2xdx )arccos2(1021arccos2xdxcx arccos21010ln21caaxdaxx ln1例例4xdxxxlnln1解：解： xdxxxln

20、ln1xdxxxd)ln1()ln( )ln(ln1xxdxxcxx |ln|ln高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導22)(1d1axxa例例5. 求求.d22xax解解:22dxax,axu 令那么xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan)(ax高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例6. 求求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan類似高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導Caxaxaln21例例7. 求求.d22axx解

21、解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例8. 求求. )0(d22axxa解解: 令令, ),(,sin22ttax那么taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例9. 求求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),

22、(,tan22ttax那么22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例10. 求求. )0(d22aaxx解解:,時當ax 令, ),0(,sec2ttax那么22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導,時當

23、ax令,ux,au 則于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，時ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例11. 求求.1d632xxxeeex解解: 令令,6xet 那么,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tCt arctan3Ceeexxxx636arctan3) 1ln() 1ln(323高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例12. 求求.d222axxx解解: 令令

24、,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導思考與練習思考與練習1. 下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2( )2(d)3(7xxx令21xt令xet1令xt1高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例13 xdxx arctan2arctan2xdxxdxxxarctan22arctan22dxxxxx2221212arctandxxxxx222111212arctandxxxx22111212arctancxxxxarctan21arctan22cxxxxarctan212

25、1arctan22高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例14 14 求積求積分分cos.xexdx 解解cosxexdx cosxxde coc ()sosxxdxeex cossinxxexexdx sincosxxeexxd sincos(n )sixxxxexxede cossincosxxxexexexdx cosxexdx (sincos ).2xexxC注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例15 15 求積分求積分.xedx 第二換元法第二換元法+分部積分法分部積分法解解tx 設(shè)設(shè)xxed 2tdet t 2tdtet 2tetd 2xt 2dxtdt )2(t

26、tet det 22ttteeC2(1)tteC2(1)xxeC高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例16：求：求 22223cos)sin( xdxxx解：解： 22223cos)sin( xdxxx 2223cos xdxx 2222cossin xdxx0對對稱稱性性 2022cossin2 xdxx 2022sin21 xdx 2024cos121 xdx2044sin41 xx 8 高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例17 計算廣義積分計算廣義積分 1 211dxx解解 1 211dxx 1 211limaadxx 1 arctanlimaax )arctan1(arctanlimaa

27、 )2(4 43 高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導Dxyxy所圍成的平面圖形為及拋物線設(shè)兩條例 .1822的面積？求D1) (體積？軸一周所生成旋轉(zhuǎn)體的繞求xD)2(解： 31) 1 (102dxxxA面積 103 )2(10410222dxxxdxxxVx體積22 xyxyxy 或10高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導五、微分方程 一階：變量可分，線性非齊次常數(shù)變易法） 二階：常系數(shù)非齊次通解高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導思考與練習思考與練習 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分離變量分

28、離變量(2) 方程變形為方程變形為yxysincos2Cxysin22tanln高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例1. 解方程解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法求特解. 令,) 1()(2xxuy那么) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導: 這里12)(xxP, 25) 1()( xxQ. 解解 由通解公式得 非齊次線性方程yP(x)yQ(

29、x)的通解為 即 ) 1(32) 1(232Cxxy. )()()(CdxexQeydxxPdxxP. ) 1(122512Cdxexeydxxdxx ) 1() 1() 1(2252Cdxxxx) 1(32) 1(232Cxx) 1() 1() 1(2252Cdxxxx) 1(32) 1(232Cxx, 高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 此題此題特征方程為,0652 rr其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xxeCeCY3221設(shè)非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2高等數(shù)學期末輔導高等數(shù)學期末輔導 解解 例3 求微分方程yyxcos2x的一個特解 因為f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinxxcos2x i2i不是特征方程的根 所以所給方程的特解應(yīng)設(shè)為齊次方程yy0的特征方程為r210 把它代入所給方程 得 y*(axb)cos2x(cxd)sin2x (3ax3b4c)c