初中幾何輔助線技巧秘籍.

1、初中幾何輔助線技巧大全一 初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相

2、似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓形半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。注意點輔助線，是虛線，畫圖

3、注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。二 由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)： a、對稱性； b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下， 出現(xiàn)了直角或

4、是垂直等條件時，一般考慮作垂線； 其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線EA（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與ODC猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能FB圖1-1掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。 下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖 1-1 ，AOC=BOC，如取 OE=OF，并連接 DE、DF，則有 OED OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。A例1如圖 1-2 ，AB/CD， BE平分 BCD，ECE平分 BCD，點 E 在 AD上，求證：BC=A

5、B+CD。BFDC圖1-2分析：此題中就涉及到角平分線， 可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形， 即利用解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形， 同時此題也是證明線段的和差倍分問題， 在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明， 延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。 但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段BC上截取 BF=AB，再證明 CF=CD，從而達到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。 此題的證明也可以延長BE

6、與 CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2已知：如圖 1-3 ，AB=2AC， BAD=CAD，DA=DB，求證 DCAC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。ACEDB圖 1-3例3已知：如圖 1-4 ，在 ABC中， C=2 B,AD 平分 BAC，求證： AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線， 在證明A中還要用到構(gòu)造全等三角形， 此題還是證明線段的和差倍分問題。 用到的是截取法來證明的， 在長的E線段上截取短的線段， 來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？CBD練習(xí)圖 1-41已知在 ABC中， AD平分 BAC， B

7、=2C，求證： AB+BD=AC2已知：在 ABC中， CAB=2B，AE平分 CAB交 BC于 E，AB=2AC，求證： AE=2CE3已知：在 ABC中， ABAC,AD為 BAC的平分線， M為 AD上任一點。求證： BM-CMAB-AC4已知： D是 ABC的 BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、DC。求證： BD+CDAB+AC。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。A例1 如圖 2-1 ，已知 ABAD, BAC= FAC,CD=BC。求證： ADC+B=180分析：可由 C 向 BAD的兩

8、邊作垂線。近而證 ADCDEF與 B 之和為平角。BC圖 2-1例2 如圖 2-2 ，在 ABC中， A=90，AB=AC， ABD= CBD。求證： BC=AB+ADA分析：過 D 作 DEBC于 E，則 AD=DE=CE，則構(gòu)造出D全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。BCE圖2-2例3 已知如圖 2-3 ， ABC的角平分線BM、CN相交于點 P。求證： BAC的平分線也經(jīng)過點 P。A分析：連接 AP，證 AP平分 BAC即可，也就是證 P 到 AB、AC的距離相等。NMDFBPC練習(xí)：圖 2-31如圖 2-4 AOP=BOP=15 ， PC/O

9、A，PDOBA，C如果 PC=4，則 PD=（）PAOD圖2-4A4B3C2D12已知在 ABC中， C=90， AD平分 CAB，CD=1.5,DB=2.5. 求 AC。3已知：如圖 2-5,BAC=CAD,ABAD，CEAB，1AAE=2 （ AB+AD）. 求證： D+ B=180。D4. 已知：如圖 2-6, 在正方形 ABCD中， E 為 CD 的中點，ECBF為 BC上的點， FAE=DAE。求證： AF=AD+CF。5 已知：如圖 2-7 ，在 Rt ABC中， ACB=90 E 平分 CAB交 CD于 F，過 F 作 FH/AB 交 BC于 H。求證圖 2-5,CDAB，垂足為

10、 D，A CF=BH。ADEB圖2-6FCCEFHADB圖 2-7（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1 ， BAD=DAC，ABAC,CDAD于 D，H 是 BC中點。1（AB-AC）A求證： DH=2分析：延長 CD交 AB于點 E，則可得全等三角形。問題可證。DCEBH圖示 3-1F例2 已知：如圖 3-2 ， AB=AC

11、， BAC=90 ，AD為 A BC的平分線， CEBE.求證： BD=2CE。AEDBC圖3-2分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線， 可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例 3已知：如圖 3-3 在 ABC中， AD、AE分別 BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點 B 作 BFAD，交 AD的延長線于 F，連結(jié) FC并延長A交AE于M。M求證： AM=ME。BDCE分析：由 AD、AE 是 BAC內(nèi)外角平分線，可得EAFN圖3-3 AF，從而有 BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4 ，在 ABC中， AD 平分 BAC， AD=AB，CM

12、AD 交 AD1延長線于 M。求證： AM= （AB+AC）2分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以 AD為軸作對稱變換，作 AB1D 關(guān)于 AD的對稱 AED，然后只需證DM= EC，另外21由求證的結(jié)果AM= （AB+AC），即 2AM=AB+AC，也可2AEF嘗試作 ACM關(guān)于 CM的對稱 FCM，然后只需證 DF=C BDnCF 即可。圖 3-4M練習(xí)：1已知：在 ABC中， AB=5， AC=3， D 是 BC中點， AE 是 BAC的平分線，且 CEAE于 E，連接 DE，求 DE。2已知 BE、BF 分別是 ABC的 ABC的內(nèi)角與外角的平分線， AFBF于 F，AE BE于

13、 E，連接 EF分別交 AB、AC于 M、 N，求證 MN=1 BC2（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時， 常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1 和圖 4-2 所示。CAHDIFEBCGAB圖 4-2圖 4-1例 4 如圖， ABAC, 1=2，求證： ABACBDCD。CA1D2B例 5 如圖， BCBA，BD平分 ABC，且 AD=CD，求證： A+C=180。ABDC例 6 如圖， ABCD， AE、DE分別平分 BAD各 ADE，求證： AD=AB+

14、CD。DCEAB練習(xí)：1. 已知，如圖， C=2A，AC=2BC。求證： ABC是直角三角形。ACB2已知：如圖， AB=2AC， 1=2，DA=DB，求證： DCACA1 2CBD3已知 CE、AD是 ABC的角平分線， B=60，求證： AC=AE+CDAEBDC4已知：如圖在 ABC中， A=90，AB=AC，BD是 ABC的平分線，求證：BC=AB+ADADBC三 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一

15、條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式， 通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、已知如圖 1-1：D、E 為 ABC 內(nèi)兩點 ,求證 :AB+ACBD+DE+CE.證明：（法一）A將 DE 兩邊延長分別交 AB、AC 于 M、N，在AMN 中， AM+ANMD+DE+NE; （1）MDE N在BD

16、M 中， MB+MDBD ；（2）B圖11C在CEN 中， CN+NECE ；（ 3）由（ 1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+ECA（法二：圖 1-2）GF延長 BD 交 AC 于 F，廷長 CE 交 BF 于 G，在ABFDE和GFC 和GDE 中有：B圖12CAB+AFBD+DG+GF （三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FCGE+CE （同上）（2）ADG+GEDE （同上）（3）GED由（ 1）+（2）+（3）得：BFC圖21AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+

17、DE+EC 。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊， 構(gòu)造三角形， 使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖 2-1：已知 D 為 ABC 內(nèi)的任一點，求證：BDC BAC。分析： 因為 BDC 與 BAC 不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使 BDC 處于在外角的位置， BAC 處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長 BD 交 AC 于點 E ，這時BDC 是EDC 的外角，BDC DEC ，同理DEC BAC ，BDC BAC證法二：連接 AD ，并廷長交 B

18、C 于 F，這時BDF 是ABD 的外角，BDF BAD ，同理，CDF CAD ，BDF+CDF BAD+ CAD ，即：BDC BAC 。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：A例如：如圖 3-1：已知 AD 為 ABC 的中線，且 1=N 2,3= 4,求證： BE+CFEF 。分析：要證BE+CFEF，可利用三角形三邊關(guān)系定EF1234理證明，須把 BE，CF，EF 移到同一個三角形中，而由BC已知 1=2，D圖3 13=4，可

19、在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF 移到同個三角形中。證明：在 DN 上截取 DN=DB ，連接 NE ，NF ，則 DN=DC ，在DBE 和NDE 中：DN=DB （輔助線作法）1=2（已知）ED=ED （公共邊）DBE NDE （ SAS ）BE=NE （全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得： CF=NF在EFN 中 EN+FNEF （三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CFEF 。注意：當證題有角平分線時， 常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、 截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1 ：在 ABC中，

20、 ABAC， 1=2，P為 AD上任一點求證： AB-ACPB-PC。分析： 要證： AB-ACPB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在 AB上截取 AN等于 AC，得 AB-AC=BN，再連接 PN，則 PC=PN，又在 PNB中，PB-PNPB-PC。證明：（截長法）在 AB上截取 AN=AC連接 PN,在 APN和 APC中AN=AC（輔助線作法） 1=2（已知）AP=AP（公共邊） APN APC（SAS）, PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）在 BPN中，有 PB-PNBN（三角形兩邊之差小于第三邊

21、） BP-PCPM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊) AB-ACPB-PC。例 1如圖， AC平分 BAD，CEAB，且 B+D=180，求證： AE=AD+BE。ADECB例 2 如圖，在四邊形 ABCD中， AC平分 BAD，CEAB于 E，AD+AB=2AE，求證： ADC+B=180oDCAEB例 3 已知：如圖，等腰三角形ABC中， AB=AC，A=108， BD平分 ABC。求證： BC=AB+DC。ADBC例 4 如圖，已知 RtABC中， ACB=90， AD是 CAB的平分線， DMAB1于 M，且 AM=MB。求證： CD=2 DB。AMCDB1如圖， ABCD，AE、 D

22、E分別平分 BAD各 ADE，求證： AD=AB+CD。DCEAB2. 如圖， ABC中， BAC=90， AB=AC，AE 是過 A 的一條直線，且 B，C在 AE的異側(cè)，BD AE于 D，CEAE于 E。求證： BD=DE+CE四 由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì) （直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖 1，AD是ABC的中

23、線，則 S ABDACDSABC（因為與=S=ABDACD是等底同高的）。例 1如圖 2，ABC中， AD是中線，延長AD到 E，使 DE=AD，DF是的中線。已知ABC的面積為 2，求：CDF的面積。解：因為 AD是ABC的中線，所以 S ACD=S ABC=2=1，又因 CD是E 的中線，故 S CDE=S ACD=1，DCEAC因 DF是 CDE的中線，所以 S CDF= S CDE= 1= 。 CDF的面積為 。（二）、由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線例 2如圖 3，在四邊形 ABCD中，AB=CD，E、F 分別是 BC、AD的中點， BA、CD的延長線分別交 EF的延長線 G、 H。求

24、證： BGE= CHE。證明：連結(jié) BD，并取 BD的中點為 M，連結(jié) ME、MF，ME是BCD的中位線，MECD， MEF=CHE，MF是ABD的中位線，MFAB， MFE=BGE，AB=CD， ME=MF， MEF=MFE，從而 BGE=CHE。（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例 3圖 4，已知 ABC中，AB=5，AC=3，連 BC上的中線 AD=2，求 BC的長。解：延長 AD到 E，使 DE=AD，則 AE=2AD=22=4。在 ACD和 EBD中， AD=ED， ADC=EDB， CD=BD， ACDEBD， AC=BE，從而 BE=AC=3。在ABE中，因22222AE+BE=4 +

25、3 =25=AB，故 E=90，BD=，故BC=2BD=2。例 4如圖 5，已知 ABC中， AD是 BAC的平分線， AD又是 BC邊上的中線。求證： ABC是等腰三角形。證明：延長 AD到 E，使 DE=AD。仿例 3 可證：BEDCAD，故 EB=AC， E=2，又 1=2， 1=E，AB=EB，從而 AB=AC，即 ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例 5如圖 6，已知梯形 ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證： AC=BD。證明：取 AB的中點 E，連結(jié) DE、CE，則 DE、CE分別為 Rt ABD，Rt ABC斜邊 AB上的中線，故 DE=CE= A

26、B，因此 CDE= DCE。AB/DC， CDE= 1， DCE= 2， 1=2，在 ADE和 BCE中，DE=CE， 1= 2， AE=BE， ADEBCE， AD=BC，從而梯形 ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例 6如圖 7， ABC是等腰直角三角形， BAC=90， BD平分 ABC交 AC 于點 D，CE垂直于 BD，交 BD的延長線于點 E。求證： BD=2CE。證明：延長 BA，CE交于點 F，在BEF和BEC中， 1=2，BE=BE， BEF=BEC=90， BEFBEC， EF=EC，從而 CF=2CE。又 1+F=3+

27、F=90，故 1=3。在 ABD和 ACF中， 1=3，AB=AC， BAD=CAF= 90， ABDACF， BD=CF， BD=2CE。注：此例中 BE是等腰 BCF的底邊 CF的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段 ，再將端點連結(jié)， 便可得到全等三角形。例一：如圖 4-1 ：AD為 ABC的中線，且 1=2，3=4，求證： BE+CFEF。證明：廷長 ED至 M，使 DM=DE，連接 CM，MF。A在 BDE和 CDM中，F(xiàn)EBD=CD（中點定義）12341=5（對頂角相等）CBDED=MD（輔助線作法） BDE CDM

28、（SAS）又1= 2， 3=4（已知）圖4 1M1+2+ 3+4=180（ 平角的定義 ） 3+2=90即： EDF=90 FDM= EDF=90在 EDF和 MDF中ED=MD（輔助線作法）EDF=FDM（已證）DF=DF（公共邊） EDF MDF（SAS）EF=MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）在 CMF中， CF+CMMF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CFEF上題也可加倍 FD，證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段， 構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖 5-1 ：AD為 ABC的中線，求證： AB+AC2AD。分析：要證 AB+AC2AD，

29、由圖想到： AB+BDAD,AC+CDAD，所以有 AB+AC+BD +CDAD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多 BD+CD，故不能直接證出此題，而由 2AD想到要構(gòu)造 2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去證明：延長 AD至 E，使 DE=AD，連接 BE，CEAAD為 ABC的中線（已知）BD=CD（中線定義）在 ACD和 EBD中DBBD=CD（已證）1=2（對頂角相等）AD=ED（輔助線作法）E圖51 ACD EBD（SAS）BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）在 ABE中有： AB+BEAE（三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC2AD。練習(xí)：1 如圖， AB=6，AC

30、=8，D為 BC 的中點，求 AD的取值范圍。A68BD2如圖， AB=CD，E 為 BC的中點， BAC=BCA，求證： AD=2AE。ABECCCD3如圖， AB=AC，AD=AE，M為 BE中點， BAC=DAE=90。求證： AM DC。ADBMCDDEDD4，已知 ABC，AD是 BC邊上的中線，分別以AB邊、 AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2 ，求證 EF=2AD。EFABDC5已知：如圖 AD為 ABC的中線， AE=EF，求證：圖52ABF=ACEFBDC五 全等三角形輔助線找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能

31、全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折” 2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某

32、一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折” ，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長， 是之與特定線段相等， 再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時， 常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答（一）、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中， AB

33、=5，AC=3，則中線 AD的取值范圍是 _.ABDC2：如圖， ABC中， E、F 分別在 AB、AC上， DEDF，D 是中點，試比較BE+CF與 EF的大小 .AEFBDC3：如圖， ABC中， BD=DC=AC，E 是 DC的中點，求證： AD平分 BAE.ABDEC中考應(yīng)用（09 崇文二模）以ABC 的兩邊 AB、AC為腰分別向外作等腰 RtABD 和等腰 RtACE，BADCAE 90 , 連接，、分別是BC、DE的中點探究：DEMNAM與 DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當ABC 為直角三角形時， AM與 DE的位置關(guān)系是，線段 AM與 DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖中的等腰

34、RtABD 繞點 A 沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0 AD+AE.ABDEC（四）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分線AD,CE相交于點 O，求證： OE=ODAEOBCD2：（06 鄭州市中考題）如圖， ABC中，AD平分 BAC，DG BC且平分 BC，DEAB于 E，DFAC于 F. （ 1）說明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、 BE的長 .AEGBCFD中考應(yīng)用（06 北京中考）如圖， OP是 MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P 所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖

35、，在 ABC中， ACB是直角， B=60，AD、CE分別是 BAC、 BCA的平分線， AD、CE相交于點 F。請你判斷并寫出 FE 與 FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而 (1) 中的其它條件不變，請問，你在 (1) 中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說B明MB理由。EEFDFDOPACC圖NA圖圖(第 23題圖)（五）、旋轉(zhuǎn)1：正方形 ABCD中， E 為 BC上的一點， F 為 CD上的一點， BE+DF=EF，求 EAF的度數(shù) .ADFBEC2：D 為等腰 Rt ABC 斜邊 AB的中點，DM DN,DM,DN分別交 BC,CA于

36、點 E,F。（1）當MDN 繞點 D轉(zhuǎn)動時，求證 DE=DF。B（2）若 AB=2，求四邊形 DECF的面積。AEMCAFN3. 如圖，ABC 是邊長為 3 的等邊三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC1200 ，以 D 為頂點做一個 600 角，使其兩邊分別交AB 于點 M，交 AC于AMNBC點 N，連接 MN，則 AMN 的周長為D；中考應(yīng)用（07 佳木斯）已知四邊形 ABCD 中， AB AD ， BC CD ， AB BC ， ABC 120 ， MBN 60 ， MBN 繞 B 點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AD， DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn) 當 MBN 繞 B 點旋轉(zhuǎn)到 AECF 時（如圖 1），易證 AE CFEF 當 MBN 繞 B 點旋轉(zhuǎn)到 AECF 時，在圖 2和圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE， CF ， EF 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明AAABE MBE MBCFDCFDF CDNNNEM（圖 1）（圖 2）（圖 3）（西城 09 年一模）已知 :PA= 2 ,PB=4, 以 AB為一邊作正方形 ABCD,使 P、D兩點落在直線 AB的兩