函數(shù)恒成立存在性及有解問題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案函數(shù)恒成立存在性問題知識點(diǎn)梳理1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：afx 恒成立afx max ； afx 恒成立afxmin2、能成立問題的轉(zhuǎn)化：afx 能成立afx min ； afx 能成立afx max3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：afx 在 M上恰成立a f xafx 在 M 上恒成立的解集為 Mafx 在 CR M 上恒成立另一轉(zhuǎn)化方法： 若 x D , f ( x)A在 D上恰成立，等價(jià)于 f ( x) 在 D上的最小值f min ( x)A ，若 x D , f (x) B在 D上恰成立，則等價(jià)于f ( x) 在 D 上的最大值f max ( x) B .4、設(shè)函數(shù)f x 、 g x ，

2、對任意的 x1a , b ，存在 x2c , d ，使得 f x1g x2 ，則 f min xg min x5、設(shè)函數(shù)f x 、 g x ，對任意的x1 a , b ，存在 x2c , d ，使得f x1g x2 ，則 f max xgmax x6、設(shè)函數(shù)f x 、 g x ，存在 x1a , b ，存在 x2c , d ，使得 f x1g x2，則 f max xg min x7、設(shè)函數(shù)f x 、 g x ，存在 x1a , b ，存在 x2c , d ，使得 f x1g x2，則 f min xg maxx8、若不等式fxg x 在區(qū)間 D 上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D 上函數(shù) yfx 和

3、圖象在函數(shù)yg x圖象上方；9、若不等式fxg x 在區(qū)間 D 上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D 上函數(shù) yfx 和圖象在函數(shù)yg x圖象下方；例題講解：題型一、常見方法1、已知函數(shù)f()x221，ag ( x)，其中 a0 ， x 0xaxxa 的取值范圍；1）對任意 x1,2 ，都有 f ( x)g( x) 恒成立，求實(shí)數(shù)2）對任意 x11,2, x22,4 ，都有 f ( x1 )g( x2 ) 恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；2、設(shè)函數(shù) h( x)ax b ，對任意 a 1,2 ，都有 h( x)10 在 x 1,1 恒成立，求實(shí)數(shù)b 的取值范圍x241x3 、已知兩函數(shù) f (x)x2 ，

4、g( x)m ，對任意 x10,2 ，存在 x21,2 ，使得 f (x1)g x2 ，則實(shí)2數(shù) m的取值范圍為精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案題型二、主參換位法( 已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù))1、對于滿足p2 的所有實(shí)數(shù) p, 求使不等式 x2px1p2x 恒成立的 x 的取值范圍。2、已知函數(shù) f ( x) ln( exa)( a為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集 R 上的奇函數(shù)，函數(shù) g xf (x )sin x 是區(qū)間1,1 上的減函數(shù)，( ) 求 a 的值； ( ) 若 g( x) t 2t 1在 x1,1 上恒成立，求 t 的取值范圍；題型三、分離參數(shù)法（欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出

5、來）1、當(dāng) x1,2 時(shí)，不等式x2mx40 恒成立，則 m 的取值范圍是.題型四、數(shù)形結(jié)合（恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點(diǎn)、根的分布法）1、若對任意xR , 不等式 | x |ax 恒成立，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 _2、已知函數(shù)fxx22kx2 ，在 x1恒有 fxk ，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍。題型五、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間 D上存在實(shí)數(shù) x 使不等式 fxA 成立 , 則等價(jià)于在區(qū)間D 上 fxmaxA ；若在區(qū)間 D上存在實(shí)數(shù) x 使不等式 fxB 成立 , 則等價(jià)于在區(qū)間D 上的 fx minB .1、存在實(shí)數(shù) x ，使得不等式 x 3 x 1a23a 有解

6、，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 _。2、已知函數(shù) f xln x1 ax22x a 0 存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a 的取值范圍2精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，恰當(dāng)使用，等價(jià)轉(zhuǎn)化，切不可混為一體。不等式 fxM 對 xI 時(shí)恒成立不等式 fxM 對 xI 時(shí)有解不等式 fxM 對 xI 時(shí)恒成立不等式 fxM 對 xI 時(shí)有解fmax ( x) M?， xI 。即 fx 的上界小于或等于M ；fmin ( x)M ?， x I 。 或 fx 的下界小于或等于M ；fmin ( x) M?， xI 。即 fx 的下界大于或等于M

7、；fmax ( x) M ， xI . 。 或 fx 的上界大于或等于M ；課后作業(yè)：1、設(shè) a 1，若對于任意的x a,2 a ，都有 ya, a2 滿足方程 log a xlog a y 3，這時(shí) a 的取值集合為 （）（ A） a |1 a2（ B） a | a 2（ C） a | 2a3（ D） 2,3xy02、若任意滿足xy50 的實(shí)數(shù) x , y ，不等式 a( x2y2 )( x y) 2 恒成立，則實(shí)數(shù)a 的最大值是 _ .y303、不等式 sin 2 x4sin x1a 0 有解，則 a 的取值范圍是4、不等式 axx4x在 x0,3 內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。5、已知

8、兩函數(shù)f x7x 228xc ， g x2x 34x240 x 。（ 1）對任意 x3,3 ，都有 fxg x) 成立，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；（ 2）存在 x3,3，使 fxgx成立，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；（ 3）對任意 x1 , x23,3 ，都有 fx1g x2，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；（ 4）存在 x1 , x23,3 ，都有 fx1gx2 ，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；6、設(shè)函數(shù)f ( x)1 x3 2ax2 3a2x b (0 a 1, b R) .3（）求函數(shù)fx 的單調(diào)區(qū)間和極值；（）若對任意的x a1, a2, 不等式fxa 成立，求 a 的取值范圍。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案7、已

9、知 A、 B、 C 是直線 上的三點(diǎn)，向量 y 2f 1 OB ln x1OC0.OA， OB，OC滿足： OA（ 1）求函數(shù) y f(x)的表達(dá)式；（ 2）若 x 0，證明： f(x)2x x 2；（ 3）若不等式 1 x 2f x 2m 2 2bm3 時(shí)， x1, 1 及 b1 ,1 都恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍2q2 ln x ，且 f e qep8、設(shè) f x px2 （ e 為自然對數(shù)的底數(shù)）xe(I) 求 p 與 q 的關(guān)系；(II)若 f x在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；(III)設(shè) g x2ex 0 ，使得 f x 0g x 0 成立 ,求實(shí)數(shù) p的取值范圍 .，若在

10、 1, e 上至少存在一點(diǎn)x精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案函數(shù)專題 4：恒成立問題參考答案：題型一、常見方法1、分析： 1）思路、等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f (x)g(x)0恒成立，在通過分離變量，創(chuàng)設(shè)新函數(shù)求最值解決2 ）思路、對在不同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)簡解：（ 1 ）由 x22ax 1a0x( x)x 3x 求導(dǎo)， ( x)2x42x21(2x 2取值范圍是 0a23f (x) 和 g( x) 分別求最值，即只需滿足( )( )fminx gmax x 即可ax3xx3x的最小值大于a 即可對2x 2成立，只需滿足(x)21212xx10，故 ( x) 在 x 1,2min (x)(1)21) 2是增函數(shù)，所以

11、 a 的32、分析：思路、解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個(gè)參數(shù)，再處理另一個(gè)參數(shù)以本題為例，實(shí)質(zhì)還是通過函數(shù)求最值解決方法 1：化歸最值，方法 2：變量分離，()10hmax(x)10；h xb10( ax) 或 ax 2(10 b)x ；x方法 3：變更主元，(a)1axb100 ， a1,2x2簡解：方法 1: 對 h( x)g ( x)xbaxb 求導(dǎo)， h(x) 1a(xa)(x a)，xx2x2由此可知， h( x) 在 1,1 上的最大值為 h( 1 ) 與 h(1) 中的較大者44h( 1)104a1b 10b394a，對于任意 a 1 ,2 ，得 b 的取值范圍是 b7444h(

12、1)101ab10b9 a24x3 、解析：對任意x10,2，存在 x21,2，使得 f ( x1 )g x21m 在 1,2 上的最小值等價(jià)于g( x)21m 不大于 f ( x)x 2 在0,2上的最小值0，既1m0， m1444題型二、主參換位法(已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù))1、解：不等式即x1 px22x10 , 設(shè) fpx1 px22x1 ，則 fp在 -2,2上恒大于 0，故有：f2 0x24x 3 0x 3或 x 1x1或 x3f 2 0x21 0x 1或 x12、 ( ) 分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：及 t顯然可將視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在略解：

13、由 ( ) 知： f ( x) x ， g ( x)x sin x ， g ( x)恒成立，1， g( x) max g( 1)sin1 ，只需, 關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。, 1 內(nèi)關(guān)于 的一次函數(shù)大于等于 0 恒成立的問題。 ( )在11， 上單調(diào)遞減，g ( x)cos x0cosx 在1，1 上sin1 t 2t 1 ，(t 1)t 2sin110 （其中1）恒成2s i n 1 1 0 ( ）1t1 0t1立，由上述結(jié)論：可令f( t 1)tt 1 t 2sin1 1 0，t 2tsin1 0， 而, 則t 2 t s i n 1 0t 1 。y恒成立，y|

14、 x |y | x |精彩文檔yaxy axx實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案題型三、分離參數(shù)法（欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來）1、當(dāng) x1,2 時(shí)，不等式 x2mx40 恒成立，則 m 的取值范圍是 .解析 : 當(dāng) x(1,2) 時(shí)，由 x2mx40 得 mx24 . m5 .x題型四、數(shù)形結(jié)合（恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點(diǎn)、根的分布法）1、解析：對x R , 不等式 | x | ax 恒成立、則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知1 a 1 ，即 1 a 1 。2 、分析：為了使fxk 在 x1,恒成立，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)F xfxk ，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間1,時(shí)恒大于等于0 的問題，再利用二次函數(shù)的

15、圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問題得到圓滿解決。解：令 F xf x k x22kx 2k ，則 F x當(dāng)圖象與 x 軸無交點(diǎn)滿足0 ，即當(dāng)圖象與 x 軸有交點(diǎn)，且在x1,0對 x1,恒成立，而F x 是開口向上的拋物線。4k222k0，解得 2k 1 。時(shí) F x0 ，則由二次函數(shù)根與系數(shù)的分布知識及圖象可得：0F 10解得 3k2，故由知3 k 1 。2k12小結(jié)：若二次函數(shù) yax2bx c a 0 大于0 恒成立，則有a 0 ，同理，若二次函數(shù)y ax2bx c a 0 小于 00a0恒成立，則有。若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識0求解。題型五、

16、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間 D上存在實(shí)數(shù)x 使不等式fxA 成立 , 則等價(jià)于在區(qū)間D 上 fx maxA ；若在區(qū)間 D上存在實(shí)數(shù)x 使不等式fxB 成立 , 則等價(jià)于在區(qū)間D 上的 fx minB .1、解：設(shè) fxx3x1 ，由 fxa23a 有解，a 23af xmin，又 x 3x1x3x14 ， a 2 3 a4 ，解得 a4或 a1 。2、解：因?yàn)楹瘮?shù) f x存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f 'x1axax22x1x2x012120,有解 . 即 ax0,能成立 ,設(shè) ux.x2x2x2x121uminx1. 于是 , a1,由 u x11得 ,x2xx1

17、,00,由題設(shè) a 0 , 所以 a 的取值范圍是課后作業(yè)：1 、 B。解析：由方程log a x log a y3可得 ya3，對于任意的xa,2 a ，可得 a2a3a2 ，依題意得x2xaa2a 2 。2a2a225a12y32、 答案：a(x 2y2 ) ( xy)xy ，由線性規(guī)劃可得1。解析：由不等式2 可得。13yxx23、解：原不等式有解a sin 2 x4sin x1 sin x231sin x22 ，所以 a2。21 有解，而 sin x 23min精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4、解：畫出兩個(gè)凼數(shù)yax 和 yx4x在 x0,3yyax上的圖象如圖知當(dāng)x3 時(shí) y3 ， a33當(dāng)

18、a3 ， x0,3時(shí)總有 axx 4x所以 a303x32 x33x23x3,35 、解析：（ 1 ）設(shè) h xg xfx12x c ，問題轉(zhuǎn)化為時(shí)， h x0恒成立，故 hminx0 。令h x6 x26x 126 x1x20 ，得 x1或 2 。由導(dǎo)數(shù)知識，可知h x在 3,1單調(diào)遞增，在1,2單調(diào)遞減，在2,3單調(diào)遞增，且 h3c45h x 極大值h1 c 7h x極小值h 2c20，h 3cnimh3c45 ，9 ， h x由 c 45 0 ，得 c 45 。（ 2）據(jù)題意：存在x3,3 ，使 fxgx 成立，即為：h xg x fx 0 在 x3,3有解，故 hmax x0 ，由（

19、1）知 hmaxxc 70 ，于是得 c7 。（ 3）它與（ 1）問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別，對任意x1 , x23,3，都有 f x1 gx2成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，x1 ， x2 的取值在3,3 上具有任意性， 要使不等式恒成立的充要條件是：fmax ( x) gmin (x ),?x3,3? 。 fx7x22c28, x3,3f x max f3 147 c ， gx6x 28x402 3x 10 x 2， gx0 在區(qū)間3,3上只有一個(gè)解 x2 。 gx ming248， 147c48 ，即 c195.（ 4）存在 x1 , x23,3，都有 fx1g

20、x2，等價(jià)于fminx1gmax x2，由 (3)得 f minx1 f 2c28 ，gmaxx2g3102 ， c28102c130點(diǎn)評：本題的三個(gè)小題，表面形式非常相似，究其本質(zhì)卻大相徑庭，應(yīng)認(rèn)真審題，深入思考，多加訓(xùn)練，準(zhǔn)確使用其成立的充要條件。6、解：（） f( x)x 24ax3a2（1 分）令 f( x)0, 得 f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a ）令 f( x)0, 得 f ( x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為（，a）和（ 3a， + ） （ 4 分）當(dāng) x=a 時(shí)， f ( x)極小值 =3a3;4b當(dāng) x=3a 時(shí)， f (x) 極小值 =b.（ 6 分）（）由 | f (x)

21、 | a，得 a x2+4ax 3a2 a. （ 7 分） 0<a<1， a+1>2a.( )2432在1,2 上是減函數(shù) .（9 分）fxxaxaaa f( x)maxf(a1)2a 1.f (x) minf ( a2)4a4.于是，對任意 x a1,a2 ，不等式恒成立，等價(jià)于aa4a1.4,解得 4a1.又 0a1, 4a1.2a557、解： (1) ln(x OA y 2f /(1)OB 1)OC 0， OA y 2f /(1)OB ln(x 1)OC由于 A、 B、 C 三點(diǎn)共線即 y 2f /(1) ln(x 1) 12 分 y f(x) ln(x 1) 1 2f

22、 /(1)11f /(x) x 1，得 f /(1)2，故 f(x) ln(x 1)2x12(x 2) 2xx2（ 2）令 g(x) f(x) x 2，由 g/(x)x 1(x 2)2 (x 1)(x 2)2 x 0， g/(x) 0， g(x) 在 (0 ， ) 上是增函數(shù) 故 g(x) g(0) 02x即 f(x) x 24 分6 分8 分精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1（ 3）原不等式等價(jià)于 2x2 f(x2) m2 2bm 3112xx3 x令 h(x) 2x2 f(x2) 2x2 ln(1 x2) ，由 h/(x) x1 x2 1 x210 分當(dāng) x 1， 1 時(shí)， h(x)max 0， m2

23、2bm 3 0Q(1) m2 2m 30令 Q(b) m2 2bm3，則 Q( 1) m2 2m3 0得 m 3 或 m 312 分8、解： (I)fepeqqeppqe10 而 e10，所以 p q由題意得2ln e2eeeep2ln x ， f xp2 px22xp4(II)由 (I)知f xp分pxpx2xx2xx2令 h x2xp ，要使 f x在其定義域 (0,+)內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需h(x)在 (0,+) 內(nèi)滿足： h(x) 0 或 h(x) 0恒成立 .5 分 當(dāng) p0 時(shí)， px20 ,2x 0hx0 ，所以 fx在 (0,+) 內(nèi)為單調(diào)遞減，故p0 ； 當(dāng) p0時(shí)， h xpx

24、22xp ，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x10 ，p hminxh1p10 ，即 p 1 時(shí)， h(x) 0， fx0 ，1 ，只需 pppp f (x)在 (0,+) 內(nèi)為單調(diào)遞增，故p 1 適合題意 .綜上可得， p1 或 p 0pp212另解： (II)由 (I)知 f (x) = pxx 2ln x f(x) = p +x 2 x = p (1 +x 2) x要使 f(x)在其定義域 (0,+) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)， 只需 f (x)在 (0,+)內(nèi)滿足： f (x) 0或 f (x) 0 恒成立 .122由 f (x) 0p (1 + x 2) x 0p 1x +x2p (1 )max ， x > 0x +x2221 1 = 1 ，且 x = 1時(shí)等號成立，故 (1 )max = 1x +x2 x· xx + x p 1122x2x由 f(x) 0p (1 +x 2 ) x 0p x 2