方差分析原理

1、2第六章方差分析第一節(jié)方差分析的基本原理上章介紹了 1個(gè)或兩個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)測(cè)驗(yàn)方法。本章將介紹k(k>3)個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)測(cè)驗(yàn)方法，即方差分析(analysis of varianee)。方差分析就是將總變異剖分為各個(gè)變異來源 的相應(yīng)部分，從而發(fā)現(xiàn)各變異原因在總變異中相對(duì)重要程度的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。其中，扣除方差了各種試驗(yàn)原因所引起的變異后的剩余變異提供了試驗(yàn)誤差的無偏估計(jì)，作為假設(shè)測(cè)驗(yàn)的依 據(jù)。因而，方差分析象上章的t測(cè)驗(yàn)一樣也是通過將試驗(yàn)處理的表面效應(yīng)與其誤差的比較來進(jìn) 行統(tǒng)計(jì)推斷的，只不過這里采用均方來度量試驗(yàn)處理產(chǎn)生的變異和誤差引起的變異而已。分析是科學(xué)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)和分析中的

2、一個(gè)十分重要的工具。本章將在介紹方差分析基本原理和方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步介紹數(shù)學(xué)模型和基本假定。、自由度和平方和的分解方差是平方和除以自由度的商。 要將一個(gè)試驗(yàn)資料的總變異分解為各個(gè)變異來源的相應(yīng)變異，首先必須將總自由度和總平方和分解為各個(gè)變異來源的相應(yīng)部分。因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第一步。下面先從簡(jiǎn)單的類型說起。設(shè)有k組數(shù)據(jù)，每組皆具n個(gè)觀察值,6.1。則該資料共有nk個(gè)觀察值，其數(shù)據(jù)分組如表表6.1 每組具n個(gè)觀察值的k組數(shù)據(jù)的符號(hào)表組別觀察值(yij , i=1,2,，k; j=1, 2，n)總和平均均方1y11y12y1jy1nT1y12S12y21y22-y2jy2nT2y

3、22S2MMMMMMMMiyi1yi2yijyinTiyi2SiMMMMMMMkyk1yk2ykjyknTkYks2T 乏 yij =Zyy在表6.1中，總變異是nk個(gè)觀察值的變異，故其自由度 v=nk -1，而其平方和SST則為: nk_nk(6 1)SS =Z(yij y)2 =Zy2 -C1 1(6 1)中的C稱為矯正數(shù):(6 2)C=(竝工這里,nnk nk可通過總變異的恒等變換來闡明總變異的構(gòu)成。對(duì)于第i組的變異，有_2n _2n _2n _ n - -Syij -y) =11 yj -yVi y)N)十皆®$)( Vi y)+2($ y)二 2 2 = 2(yij yi)

4、 +n (yi y)j 4總變異為第1, 2，k組的變異相加，利用上式總變異(6 1)可以剖分為：knokn2k2SSt =送送® y) =SZ(yij-yi) +n Z(yy)即總平方和SSt=組內(nèi)(誤差)平方和SSe+處理平方和組間變異由k個(gè)yi的變異引起，故其自由度 V =k-1,組間平方和kkfSS =n無(yi -y)=送/n -C11/組內(nèi)變異為各組內(nèi)觀察值與組平均數(shù)的變異，故每組具有自由度n2Z(yij -yi)2 ;而資料共有k組，故組內(nèi)自由度 v=k(n 1),組內(nèi)平方和1(6 3)SStSS為:(6 4)V = n -1和平方和SSe 為:k n2sS3 =ZZ(

5、yij -%) =sst -SS1 1 因此，得到表6.1類型資料的自由度分解式為：(nk -1) =(k -1) +k(n -1)總自由度DFt=組間自由度DFt+組內(nèi)自由度 求得各變異來源的自由度和平方和后，(6-5)(6DFe-6)總的均方mst2=St組間的均方MSt=St2組內(nèi)均方MSe進(jìn)而可得n k -1=遼(弘y)2-SZ(yj - Yi)2ZZ( yj -y)2(67)k(n-1)若假定組間平均數(shù)差異不顯著 (或處理無效)時(shí)，(6 7)中MSt與MSe是b2的兩個(gè)獨(dú)立估 值，均方用 MS表示，也用s2表示，兩者可以互換。其中組內(nèi)均方 MSe也稱誤差均方，它是 由多個(gè)總體或處理所

6、提供的組內(nèi)變異(或誤差)的平均值。例6.1 以A、B、C、D 4種藥劑處理水稻種子，其中A為對(duì)照，每處理各得 4個(gè)苗高觀察值(cm)，其結(jié)果如表6.2，試分解其自由度和平方和。表6.2 水稻不同藥劑處理的苗高(cm)藥劑苗高觀察值總和Ti平均yiA18 21 20 137218B20 24 26 229223C10 15 17 145614D28 27 29 3211629T=336y =21根據(jù)(6 6)進(jìn)行總自由度的剖分：總變異自由度 DF T= (n k-1) = (4 x4)-1 = 15藥劑間自由度 DFt=(k-1) =4-1 =3藥劑內(nèi)自由度 DFe=k( n-1) =4x(4-

7、1) =12根據(jù)(6 3)進(jìn)行總平方和的剖分：T 23362C = = =7056nk 4 x4SS Zyi2 -C =182 +212 +A + 322 -C =602kSSt =-y) -STj2/n-C =(722 +922 +562 +1162)/4 -C =5042 2 2 2SSt =4X(18 -21) +(23 -21) +(14 -21) +(29 -21) =504k n2nk2k2/SSe =ZZ(yij -Vi) =Zyij -ZTi /n =SSt SS =602-504 =981 1 /=182 +212 +202 +132 -722/4 =38=202 +242

8、+262 +222 -922/4 =20=102 +152 +172 +142 -562/4 =262 2 2 2 2 丿=28 +27 +29 +32 -116 /4=14藥劑藥劑藥劑藥劑內(nèi):內(nèi):內(nèi):SSe=ZZ(yij-yi )2=38 +20 +26 +14 =98誤差平方和也可直接計(jì)算。進(jìn)而可得均方：MSt =sTMStMSe =s2以上藥劑內(nèi)均方s2 =8.17系4種藥劑內(nèi)變異的合并均方值，它是表 估計(jì)；藥劑間均方 st2 =168.00，則是不同藥劑對(duì)苗高效應(yīng)的變異。所以=602/15 =40.13=504/3 =168.00=98/12 =8.176.2資料的試驗(yàn)誤差、F分布與F

9、測(cè)驗(yàn)分別求得其均方sj在一個(gè)平均數(shù)為 卩、方差為CT 2的正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取兩個(gè)獨(dú)立樣本, 和s，將S12和s；的比值定義為F:(6 8)F(v V)2/2=& / S2此F值具有S12的自由度V1和s2的自由度V2。如果在給定的 匕和V2下按上述方法從正態(tài)總體中進(jìn)行一系列抽樣， 就可得到一系列的 F值而作成一個(gè)F分布。統(tǒng)計(jì)理論的研究證明，F(xiàn)分布乃具有平均數(shù) 4f=1和取值區(qū)間為0,8 的一組曲線；而某一特定曲線的形狀則僅決定 于參數(shù)V1和叫。在*1 = 1或*1=2時(shí)，F(xiàn)分布曲線是嚴(yán)重傾斜成反向 J型；當(dāng)V1 > 3時(shí)，曲線轉(zhuǎn) 為偏態(tài)(圖6.1)。F分布下一定區(qū)間的概率可從已

10、制成的統(tǒng) 計(jì)表查出。附表 5系各種v1和十2下右尾概率 a =0.05和a =0.01時(shí)的臨界F值（一尾概率 表）。如查附表 5, w=3,十2=12 時(shí)，F(xiàn)0.05 = 3.49 , F0.01 = 5.95 ,即表示如以 V1 =3（ n1=4）、 V2 = 12（ n2=13）在一正態(tài)總體中進(jìn)行連續(xù)抽樣， 則所得F值大于3.49的概率僅有5%,而大于 5.95的僅有1%。附表5的數(shù)值設(shè)計(jì)是專供測(cè) 驗(yàn)s2的總體方差 切2是否顯著大于s2的總體方 差b；而設(shè)計(jì)的（H0： b； W b；對(duì)Ha : b； > b；）。這時(shí)，F(xiàn) =S12/s；。若所得 F > F 0.05或 F0.0

11、1,則H0發(fā)生的概率小于等于0.05或0.01 ,應(yīng)該在a =0.05或a =0.01水平上否定 H。，接受 的概率大于0.05或0.01，應(yīng)接受H0。F圖6.1 F分布曲線（隨M和口的不同而不同）Ha;若所得 F< Fo.05或F V F0.01，貝U Ho發(fā)生在方差分析的體系中，F(xiàn)測(cè)驗(yàn)可用于檢測(cè)某項(xiàng)變異因素的效應(yīng)或方差是否真實(shí)存在。所以在計(jì)算F值時(shí)，總是將要測(cè)驗(yàn)的那一項(xiàng)變異因素的均方作分子，而以另一項(xiàng)變異（例如試驗(yàn)誤差項(xiàng)）的均方作分母。這個(gè)問題與方差分析的模型和各項(xiàng)變異來源的期望均方有關(guān)，詳情見后。在此測(cè)驗(yàn)中，如果作分子的均方小于作分母的均方，則F<1 ;此時(shí)不必查F表即可確定

12、P>0.05，應(yīng)接受H0。2 2 2F測(cè)驗(yàn)需具備：（1）變數(shù)y遵循正態(tài)分布N （卩,CT）,（2） S1和S2彼此獨(dú)立兩個(gè)條件。當(dāng) 資料不符合這些條件時(shí)，需作適當(dāng)轉(zhuǎn)換，參見本章第六節(jié)。例6.2測(cè)定東方紅3號(hào)小麥的蛋白質(zhì)含量 10次，得均方sf =1.621 ;測(cè)定農(nóng)大139小麥的蛋白質(zhì)含量5次，得均方S； =0.135。試測(cè)驗(yàn)東方紅3號(hào)小麥蛋白質(zhì)含量的變異是否比農(nóng) 大139為大。假設(shè)H0：東方紅小麥總體蛋白質(zhì)含量的變異和農(nóng)大139 一樣，即H0： cr12=cr；,對(duì)Ha: crf2> 2。顯著水平取 a =0.05 , V1=9, V2=4 時(shí)，F(xiàn)0.05=6.00。測(cè)驗(yàn)計(jì)算：F

13、 =1.621/0.135 =12.01 此 F > F0.05，即 P< 0.05。139。以上這種比較兩個(gè)事物變異大小的例子，在農(nóng)業(yè)研究中是常常遇到的。例如比較雜種 代和F1代的變異大小，比較兩種處理的草坪凍害程度等等，這些比較皆可應(yīng)用 必須以大均方作分子而計(jì)算F值。例6.3 在例6.1算得藥劑間均方St2 = 168.00，藥劑內(nèi)均方s2=8.17 ,V2 = 12。試測(cè)驗(yàn)藥劑間變異是否顯著大于藥劑內(nèi)變異？ 假設(shè) H0： cr；=cr2對(duì) Ha: 寸 > 云，顯著水平取 a =0.05 , F0.05 = 3.49。測(cè)驗(yàn)計(jì)算：F =168.00/8.1 7 =20.56

14、計(jì)算得F=20.56表示處理項(xiàng)的均方為誤差項(xiàng)均方的20.56倍。查附表5F0.05=3.49 , F0.01 =5.95，實(shí)得 F > F0.01 > F0.05。F2F測(cè)驗(yàn)，但都具自由度Vi=3,=3, V2=12 時(shí)推斷：否定H0,接受Ha,即東方紅3號(hào)小麥蛋白質(zhì)含量的變異大于農(nóng)大推斷：否定H0： bt2 = b；，接受Ha： 62 >b訂即藥劑間變異顯著地大于藥劑內(nèi)變異，不同藥劑對(duì)水稻苗高是具有不同效應(yīng)的。以上通過例6.1說明了對(duì)一組處理的重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)對(duì)總平方和與總自由度的分解估計(jì) 出處理間均方和處理內(nèi)均方（誤差均方），并通過F =MSt/MSe測(cè)驗(yàn)處理間所表示出的差

15、異是 否真實(shí)（比誤差大），這一方法即為方差分析法。這里所測(cè)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是H0 W或£ =4b =% =4d對(duì)Ha :屛或£、4b、卩C和Ad間存在差異（不一定 £、和 4d間均不等，可能部分不等）。例6.1和例6.3的分析結(jié)果可以歸納在一起，列出方差分析 表，如表6.3所示。表6.3水稻藥劑處理苗高方差分析表變異來源DFSSMSF顯著F值藥劑處理間3504168.0020.56 八Fo.O5(3,12) =3.49藥劑處理內(nèi)（誤差）12988.17Fo.O1(3,12) =5.95總15602第二節(jié)多重比較上節(jié)對(duì)一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過平方和與自由度的分解，將所估計(jì)的處理

16、均方與誤差均方作比 較，由F測(cè)驗(yàn)推論處理間有顯著差異，對(duì)有些試驗(yàn)來說方差分析已算告一段落，但對(duì)有些試 驗(yàn)來說，其目的不僅在于了解一組處理間總體上有無實(shí)質(zhì)性差異，更在于了解哪些處理間存在真實(shí)差異，故需進(jìn)一步做處理平均數(shù)間的比較。一個(gè)試驗(yàn)中k個(gè)處理平均數(shù)間可能有k（k-1）/2個(gè)比較，因而這種比較是復(fù)式比較亦稱為多重比較（multiple comparisons）。通過方差分析后進(jìn)行平均數(shù)間的多重比較，不同于處理間兩兩單獨(dú)比較。因?yàn)椋?）誤差由多個(gè)處理內(nèi)的變異合并估計(jì)，自由度增大了，因而比較的精確度也增大了；（2）由于F測(cè)驗(yàn)顯著，證實(shí)處理間總體上有真實(shí)差異后再做兩兩平均數(shù)的比較，不大會(huì)像單獨(dú)比較時(shí)

17、那樣將個(gè)別偶然性的差異誤判為真實(shí)差異。這種在F測(cè)驗(yàn)基礎(chǔ)上再做的平均數(shù)間多重比較稱為Fisher氏保護(hù)下的多重比較（Fisher 'p rotected multi pie comp ariso ns ）。顯然在無F測(cè)驗(yàn)保護(hù)時(shí)，4個(gè)處理做兩兩比較，每一比較的顯著水平 a =0.05 , 4個(gè)處理間有6個(gè)比較，若處理間總體上無差異，每一比較誤判 為有差異的概率為 0.05，貝y 6個(gè)比較中至少有1個(gè)被誤判的概率為 a '=1 0.95 6 =0.2649。 若處理數(shù)k=10,則a '= 1 -0.95 45 =0.9006，因而盡管單個(gè)比較的顯著水平為0.05，但從試驗(yàn)總體

18、上a（至少有1個(gè)誤判的概率）是很大的，這說明通過F測(cè)驗(yàn)作保護(hù)是非常必要的。多重比較有多種方法，本節(jié)將介紹常用的三種：最小顯著差數(shù)法、復(fù)極差法（q法）和Duncan氏新復(fù)極差法。、最小顯著差數(shù)法最小顯著差數(shù)法（least significant differenee，簡(jiǎn)稱LSD法），LSD法實(shí)質(zhì)上是第五章的t測(cè)驗(yàn)。其程序是：在處理間的F測(cè)驗(yàn)為顯著的前提下，計(jì)算出顯著水平為a的最小顯著差數(shù)LSDa；任何兩個(gè)平均數(shù)的差數(shù)（Vi -Vj），如其絕對(duì)值LSDa，即為在a水平上差異顯著；反之，則為在a水平上差異不顯著。這種方法又稱為 F測(cè)驗(yàn)保護(hù)下的最小顯著差數(shù)法（Fisher'Protected

19、LSD，或 FPLSD）。已知:t=匸亠,j=1, 2,A, k; i Hj） syi _yj若tl A t。, Vi -yj即為在a水平上顯著。因此，最小顯著差數(shù)為：-9)，因此（6 9）中的LSDa=t4idj（6當(dāng)兩樣本的容量n相等時(shí),Sy =J2Se/n在方差分析中，上式的 S2有了更精確的數(shù)值 MSe （因?yàn)榇俗杂啥仍龃螅?0)(6Sy,占為：Syz =J2MSe/n例6.4 試以LSD法測(cè)驗(yàn)表6.2資料各種藥劑處理的苗高平均數(shù)間的差異顯著性。(2x8.17CCC,、Syi 衛(wèi)=J4 =2.02( cm)4, V = 12 時(shí)，t0.05=2.179 , t0.01=3.055LSD

20、0.05=2.179 X 2.02 =4.40( cm) ; LSD0.01=3.055 X 2.02 =6.17( cm)由（例 6.3）計(jì)算得 F=20.56 為顯著，MSe=8.17，DFe=12,由附表 故然后將各種藥劑處理的苗高與對(duì)照苗高相比，差數(shù)大于4.40 cm為差異顯著；大于6.17 cm為差異極顯著。由表6.2可知：藥劑D與A、D與C、以及B與C處理平均數(shù)差數(shù)分別為11、15和9,大于6.17，說明在0.01水平上差異顯著；藥劑 D與B、B與A處理平均數(shù)差數(shù)分 別為6和5，大于4.40，說明在0.05水平上差異顯著；藥劑 A與C處理平均數(shù)差數(shù)為 4，小 于4.40，差異不顯著

21、。二、q法LSD法的t測(cè)驗(yàn)是根據(jù)兩個(gè)樣本平均數(shù)差數(shù)（k=2）的抽樣分布提出的，但是一組處理（k>2）是同時(shí)抽取k個(gè)樣本的結(jié)果。抽樣理論指出k=2時(shí)與k>2，例如k=10時(shí)其隨機(jī)極差是不同的，隨著k的增大而增大，因而用 k=2時(shí)的t測(cè)驗(yàn)有可能夸大了 k=10時(shí)最大與最小兩個(gè) 樣本平均數(shù)差數(shù)的顯著性。基于極差的抽樣分布理論Student-Newman-Keul提出了 q測(cè)驗(yàn)或稱復(fù)極差測(cè)驗(yàn)，有時(shí)又稱 SNK測(cè)驗(yàn)或NK測(cè)驗(yàn)。q測(cè)驗(yàn)方法是將一組 k個(gè)平均數(shù)由大到小排列后， 根據(jù)所比較的兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)是 幾個(gè)平均數(shù)間的極差分別確定最小顯著極差LSR值的。q測(cè)驗(yàn)因是根據(jù)極差抽樣分布原理的，

22、其各個(gè)比較都可保證同一個(gè) a顯著水平。其尺度值構(gòu)成為：(6 11)LSRj =qa df, pSESE=jMSe/ n（6 12）式中2< pw k, p是所有比較的平均數(shù)按大到小順序排列所計(jì)算出的兩極差范圍內(nèi)所包含的平 均數(shù)個(gè)數(shù)（稱為秩次距），SE為平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤， 可見在每一顯著水平下該法有k-1個(gè)尺度值。平均數(shù)比較時(shí)，尺度值隨秩次距的不同而異。例6.5 試對(duì)表6.2資料的各平均數(shù)作q測(cè)驗(yàn)。由6.1資料得：SE =jMSe / n = J8.17/4 =1.4292 "43查附表7 q值表，當(dāng)DF = 12時(shí)，p=2, 3, 4的值，并由(6 11)計(jì)算出尺度值LSR, 列

23、于表6.4。Pqo.o5qo.o1LSR0.05lSrd.0123.084.324.406.1833.775.045.397.2144.205.506.017.87表6.4 表6.2資料LSRa值的計(jì)算(q測(cè)驗(yàn))由此可得到:由表6.2可知,當(dāng)p=2 時(shí),p=3 時(shí),p=4 時(shí),VD=29cm, Vb =23cm, ya = 18cm , yc =14cm。Vd - Vb =6(cm)Va =5( cm)yc =4( cm) yA=11(cm)Yc =9(cm)Vc =15( cm)Vb-Va-Vd-yB-Vd-5 %水平上顯著;5 %水平上顯著; 不顯著。1 %水平上顯著;1 %水平上顯著。1

24、 %水平上顯著。三、新復(fù)極差法不同秩次距P下的最小顯著極差變幅比較大，(shortest significant ranges ,為此，D. B. Duncan(1955)SSR)。該法與q法相似，從表6.4可以發(fā)現(xiàn)，提出了新復(fù)極差法，又稱最短顯著極差法其區(qū)別在于計(jì)算最小顯著極差LSRa時(shí)不是查q表而是查SSR表，所得最小顯著極差值隨著k增大通常比q測(cè)驗(yàn)時(shí)的減小。查得 SSR, P后，有LS = SE SSR, p(6 13)此時(shí)，在不同秩次距 P下，平均數(shù)間比較的顯著水平按兩兩比較是a ,但按P個(gè)秩次距則為保護(hù)水平 a ' =1-(1 _a) Pd。例6.6 試對(duì)表6.2資料的各平均

25、數(shù)作新復(fù)極差測(cè)驗(yàn)。已知 Yd =29cm, Vb =23cm, Va =18cm, Vc =14cm, MSe=8.17 , SE=1.43(cm) 查附表8,得SSRt值，由(6 13)算得在p=2, 3, 4時(shí)的LS甩值(表6.5)，即為測(cè)驗(yàn)不 同P時(shí)的平均數(shù)間極差顯著性的尺度值。表6.5 表6.2資料LSR值的計(jì)算(新復(fù)極差測(cè)驗(yàn))PSSF0.05SSFF).01LSRo.o5LSR0.0123.084.324.406.1833.234.554.626.5143.334.684.766.69當(dāng)p=2時(shí)，yD- yB=6( cm)5 %水平顯著；yB- y A=5( cm)5 %水平顯著；y

26、A- yC=4( cm)不顯著。當(dāng)p=3 時(shí)，yD- yA=11(cm)1 %水平上顯著;yB - yc=9(cm)1 %水平上顯著。當(dāng)p=4 時(shí)，Yd - yC =15( cm)1 %水平上顯著。結(jié)論：表6.2資料的4個(gè)處理的苗高，除處理A與C差異不顯著外，其余處理間均達(dá)顯 著差異，本例結(jié)果與上面介紹的q測(cè)驗(yàn)法相同，但q法的LSR要比新復(fù)極差法的LSR大。四、多重比較結(jié)果的表示方法各平均數(shù)經(jīng)多重比較后，應(yīng)以簡(jiǎn)潔明了的形式將結(jié)果表示出來。常用的表示方法有:（一）列梯形表法將全部平均數(shù)從大到小順次排列，然后算出各平均數(shù)間的差數(shù)。凡達(dá)到a =0.05水平的差“* ”號(hào)，凡未達(dá)到a =0.056.6

27、。數(shù)在右上角標(biāo)一個(gè)“* ”號(hào)，凡達(dá)到a =0.01水平的差數(shù)在右上角標(biāo)兩個(gè) 水平的差數(shù)則不予標(biāo)記。若以列梯形表法表示，則成表處理平均數(shù)（yi）差異y -14Yi -18yi -23D2915*11*6*B239*5*A184C14表6.6 表6.2資料的差異顯著性（新復(fù)極差測(cè)驗(yàn))該法十分直觀，但占篇幅較大，特別是處理平均數(shù)較多時(shí)。因此，在科技論文中少見。（二）劃線法以第將平均數(shù)按大小順序排列，差異不顯著的平均數(shù)用橫線連接起來， 這種方法稱劃線法。下面就是表6.2法）。1個(gè)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)與以后各平均數(shù)比較，在平均數(shù)下方把依次以第2,，k-1個(gè)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)按上述方法進(jìn)行。資料用劃線法標(biāo)出0.01水平

28、下平均數(shù)差異顯著性結(jié)果（q29cm(D)23cm(B)18cm(A)14cm(C)該法直觀、簡(jiǎn)單方便，所占篇幅也較少。（三）標(biāo)記字母法：首先將全部平均數(shù)從大到小依次排列。然后在最大的平均數(shù)上標(biāo)上字母a;并將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)相比，凡相差不顯著的，都標(biāo)上字母a,直至某一個(gè)與之相差顯著的平均數(shù)則標(biāo)以字母b（向下過程），再以該標(biāo)有b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與上方各個(gè)比它大的平均數(shù)比，凡不 顯著的也一律標(biāo)以字母 b（向上過程）；再以該標(biāo)有b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)， 與以下各未標(biāo)記的Co平均數(shù)比，凡不顯著的繼續(xù)標(biāo)以字母 b,直至某一個(gè)與之相差顯著的平均數(shù)則標(biāo)以字母 如此重復(fù)進(jìn)行下去，直至最小的一個(gè)平均數(shù)有了標(biāo)記

29、字母且與以上平均數(shù)進(jìn)行了比較為止。這樣各平均數(shù)間，凡有一個(gè)相同標(biāo)記字母的即為差異不顯著，凡沒有相同標(biāo)記字母的即為差異顯著。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往還需區(qū)分a =0.05水平上顯著和a =0.01水平上顯著。這時(shí)可以小寫 字母表示a =0.05顯著水平，大寫字母表示 a =0.01顯著水平。該法在科技論文中常常出現(xiàn)。例6.7試對(duì)例6.6測(cè)驗(yàn)結(jié)果作出字母標(biāo)記。在表6.7上先將各平均數(shù)按大小順序排列，并在yD行上標(biāo)a。由于與Vb呈顯著差異，6.7 o故Vb上標(biāo)b。然后以Vb為標(biāo)準(zhǔn)與Ya相比呈顯著差異，故標(biāo) C。以Va為標(biāo)準(zhǔn)與Vc比，無顯著 差異，仍標(biāo)C。同理，可進(jìn)行4個(gè)y在1 %水平上的顯著性測(cè)驗(yàn)，結(jié)果列

30、于表表6.7 表6.2資料的差異顯著性（新復(fù)極差測(cè)驗(yàn)）處 理苗高平均數(shù)（cm）差異顯著性0.050.01D29aAB23bABA18cBCC14cC由表6.7就可清楚地看出，該試驗(yàn)除 A與C處理無顯著差異外，D與B及A、C處理間 差異顯著性達(dá)到 a =0.05水平。處理 B與A、D與B、A與C無極顯著差異；D與A、C，B 與C呈極顯著差異。多重比較方法很多，可閱讀其它參考書籍，以上列舉的是常用的方法。五、多重比較方法的選擇以上介紹三種多重比較方法。方法越多便存在選用何種更好的問題。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)家的意見每種方法都有依據(jù)，也都有不足。這里提供幾點(diǎn)原則供選用時(shí)參考：（1）試驗(yàn)事先確定比較的標(biāo)準(zhǔn)，凡與對(duì)

31、照相比較，或與預(yù)定要比較的對(duì)象比較，一般可選用最小顯著差數(shù)法；（2）根據(jù)否定一個(gè)正確的 Ho和接受一個(gè)不正確的 H0的相對(duì)重要性來決定。按上述同一資料（表6.2 資料）的測(cè)驗(yàn)計(jì)算，可以看到當(dāng) k=2時(shí)，LSD法，SSR和q測(cè)驗(yàn)的顯著尺度都完全相同，并且 SS%=qa而q =t血，又由于=1,甩弋，所以q與F的關(guān)系是q。k> 3時(shí)，三種FPLSD法進(jìn)行多重比較，不必采方法的顯著尺度不相同，LSD法最低，SSR法次之，q法最高。故LSD測(cè)驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)犯第 一類錯(cuò)誤的概率最大，q測(cè)驗(yàn)最小，而SSR測(cè)驗(yàn)介于兩者之間，因此，對(duì)于試驗(yàn)結(jié)論事關(guān)重大 或有嚴(yán)格要求的， 宜用q測(cè)驗(yàn)，q測(cè)驗(yàn)可以不經(jīng)過 F

32、測(cè)驗(yàn)；一般試驗(yàn)可采用 SSR測(cè)驗(yàn)；也有統(tǒng) 計(jì)學(xué)家近期認(rèn)為最小顯著差數(shù)法已由F測(cè)驗(yàn)保護(hù)，可以采用用復(fù)雜的極差法測(cè)驗(yàn)。綜上所述，方差分析的基本步驟是：（1）將資料總變異的自由度和平方和分解為各變異原 因的自由度和平方和，并進(jìn)而算得其均方；（2）計(jì)算均方比，作出 F測(cè)驗(yàn)，以明了各變異因素的重要程度；（3）對(duì)各平均數(shù)進(jìn)行多重比較。第三節(jié)方差分析的線性模型與期望均方、方差分析的線性數(shù)學(xué)模型方差分析是建立在一定的線性可加模型基礎(chǔ)上的。所謂線性可加模型是指總體每一個(gè)變量可以按其變異的原因分解成若干個(gè)線性組成部分，它是方差分析的理論依據(jù)。表6.1數(shù)據(jù)的線性模型可表示為：yij=卩 + 山 +別（6 14）上式

33、中，卩為總體平均數(shù)，Ti為試驗(yàn)處理效應(yīng)，£ij為隨機(jī)誤差具有分布 N（0 , b2）。 （6 14）說明，象表6.1類型的資料，其每一觀測(cè)值都由總體平均數(shù)4、處理效應(yīng)Ti和隨機(jī)誤差gjj三個(gè)部分相加而成。在以樣本符號(hào)表示時(shí)，樣本的線性組成為：(6 15)yij=y + ti + eij其中,y是卩的無偏估計(jì)量，ti是Ti的無偏估計(jì)量，se =Seij /（ n -1）為其所屬亞總體誤差方i y /差bi22 2 .O! =6 =A =b的無偏估計(jì)量。當(dāng)測(cè)驗(yàn)H0: A1=A2=A=Ak時(shí)，假定出二巴二人二和二卩和f =cr2, s； =Zeij2/n -1）可看作是總體CT2的無偏估計(jì)

34、量。因而各亞總體 S：k n/合并的SeZeij才K n -1）也是b的無偏估計(jì)量。i ij 1/,故k個(gè)樣本的平方和是對(duì)于ti部分，每一樣本的平方和是nti2 = n（yi -y）2 k 2k22n£ti = n£（yi -y）,而處理間方差St為：i iy2 n Zti n S(yi-y)St =k -1k1因?yàn)閠i =Ti +ei,故St2 =宜估計(jì)了 n 遷i i ik-1(k -1 n 丿k-1(6 16)，或警?；?qū)憺?(6-17)這一部分，因試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷牟煌兴鶇^(qū)別。、期望均方在線性可加模型中，關(guān)于 £部分的假定，由于對(duì) Ti有不同的解釋產(chǎn)生了固定模

35、型（I ）和隨機(jī)模型（n）。從理論上講，固定模型是指各個(gè)處理的平均效應(yīng)Tih -）是固定的一個(gè)常量，且滿足Zii =0（或£ ni =0），但常數(shù)未知；隨機(jī)模型是指各個(gè)處理效應(yīng) Ti不是一個(gè)常量，而是從平 均數(shù)為零、方差為 疇的正態(tài)總體中得到的一個(gè)隨機(jī)變量，即TiN（0, CT ；）。研究中，前者主要是研究并估計(jì)處理效應(yīng)；后者主要是研究并估計(jì)總體變異即方差。例如，若要了解幾個(gè)水稻新品種產(chǎn)量或幾種密度、幾種肥料、幾種農(nóng)藥的效應(yīng)等，那么研究對(duì)象是處理本身，處理效 應(yīng)T為固定的處理效應(yīng)，就是固定模型。換言之，固定模型僅在于供試處理范圍內(nèi)了解處理 間的不同效應(yīng)。如果目的是要對(duì)這些處理所屬的總

36、體作出推論，例如研究江淮地區(qū)大豆地方品種的遺傳變異，從該地區(qū)大量地方品種中隨機(jī)抽取一部分品種作為代表進(jìn)行試驗(yàn)，以便通過這部分供試品種的試驗(yàn)結(jié)果推論該地區(qū)大豆地方品種的總體情況，這種處理效應(yīng)便是隨機(jī)模型的處理效應(yīng)。在隨機(jī)模型中，因?yàn)楦魈幚韮H是所屬總體的隨機(jī)變量，故總體方差CT；是重要的研究對(duì)象。由上可知，固定模型和隨機(jī)模型，在試驗(yàn)設(shè)計(jì)思想和統(tǒng)計(jì)推斷上是有明顯不同的。固定模型中所得的結(jié)論僅在于推斷關(guān)于特定的處理；而隨機(jī)模型中試驗(yàn)結(jié)論則將用于推斷處理的總 體。此外，在期望均方和 F測(cè)驗(yàn)方面，固定模型和隨機(jī)模型也是有明顯不同的，后面的內(nèi)容 將予以說明。（一） 固定模型（fixed model ）例6.

37、8 以5個(gè)水稻品種作大區(qū)比較試驗(yàn)，每品種作 3次取樣，測(cè)定其產(chǎn)量，所得數(shù)據(jù) 為單向分組資料。本試驗(yàn)需明確各品種的效應(yīng)， 故為固定模型，其方差分析和期望均方的參數(shù) 估計(jì)列于表6.8 。表6.8 5個(gè)水稻品種產(chǎn)量的方差分析和期望均方表變異來源DFSSMS期望均方（EMS）:固定模型品 種 間487.621.90cr2+nK：2品種內(nèi)（試驗(yàn)誤差）1024.02.402Cy T2固定模型中t屬于固定效應(yīng)，其限制條件為 送Ti =0, （6 77）中為固定效應(yīng)的方差,k 1用號(hào)2表示之，因而表 6.8的品種間均方估計(jì)了 b2 + nTC；。本例中品種內(nèi) MS估計(jì)了 CT2，因而C?2 =2.40 ;品種

38、間 MS估計(jì)了 CT2 + n瓷2因而 + ni?2=21.9，應(yīng)2 珂21.90 2.40）/3 =6.50。固定模型的F測(cè)驗(yàn)St2合2 + ni?2F 七=Se0若埼=0，則F值等于1。所以固定模型是測(cè)驗(yàn)假設(shè)H0： Ti =0（i=1 , 2,，k）對(duì)Ha: £工0,即測(cè)驗(yàn)H0：氣=卩2 =A =4k。因而，一般比較處理效應(yīng)的試驗(yàn)都應(yīng)當(dāng)采用固定模型。（二） 隨機(jī)模型（random model ）例6.9研究秈粳稻雜交F5代系間單株干草重的遺傳變異，隨機(jī)抽取76個(gè)系進(jìn)行試驗(yàn),每系隨機(jī)取2個(gè)樣品測(cè)定干草重（g/株）。因這76個(gè)系是隨機(jī)抽取的樣本，要從這些樣本來估 計(jì)F5代系間單株干草

39、重的遺傳變異，故這是隨機(jī)模型。其單向分組分析結(jié)果見表6.9。表6.9秈粳雜種F5代干草重的方差分析和期望均方變異來源DFMS期望均方（EMS）:隨機(jī)模型系 統(tǒng)間7572.792 2c +系統(tǒng)內(nèi)（試驗(yàn)誤差）7617.772c為隨機(jī)效應(yīng)的方差， k -1CT2，因而（？2 =17.77 ;-17.77）/2=27.51。因而表6.9的系統(tǒng)間均方估計(jì)了CT2系統(tǒng)間MS估計(jì)了 b2 + nb；因而& 隨機(jī)模型的F測(cè)驗(yàn)隨機(jī)模型中飛是從總體隨機(jī)抽出的，服從N（0 , CT；） , （6 ,17）中乙+ ncr；。本例中系統(tǒng)內(nèi) MS估計(jì)了2 2+ n&t=72.79 ,浮T =72.79S；

40、t?2 +nc?；F-IHa： b2=0。顯然，這是測(cè) 測(cè)驗(yàn)顯著則表示處理間的變 說明CT；是存在的。 暉=25.71測(cè)度了系統(tǒng) 凸2代表了環(huán)境條件所致的變異（記s2 少若假設(shè)CT； =0，貝U F=1。因而，隨機(jī)模型的假設(shè)為H0： CT2=0對(duì)驗(yàn)處理效應(yīng)的變異度（方差），而不是測(cè)驗(yàn)處理效應(yīng)本身。如果 F 異是顯著的。本例 F =72.79/17.7 7=4.09 > F0.05,，因而可求出遺傳型變異占表型變異的份量，這就是間變異。本例中，??；（或記為應(yīng)g）代表了系間遺傳型的變異； 作5；）。白g +0；代表了系間的表型變異 數(shù)量遺傳中常用的遺傳率h2，即：(6 18)這是隨機(jī)模型方差

41、分析在數(shù)量遺傳學(xué)中的應(yīng)用。在本例可求得：27 51h2 = =0.6076 或 60.76%27.51 +17.77即秈粳雜種F5家系間的表型變異中有 60.76 %歸屬于遺傳原因的變異。當(dāng)試驗(yàn)因素在2個(gè)或2個(gè)以上時(shí)，可以在固定模型和隨機(jī)模型的基礎(chǔ)上產(chǎn)生第三種模型：混合模型（記作模型川）。混合模型乃既包括有固定模型的試驗(yàn)因素， 又包括有隨機(jī)模型的試驗(yàn)因素的模型。這類模型凡隨機(jī)因素仍用CT 2表示，固定模型用K2表示。混合模型中的期望均方組成因包括有不同的成份，應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)木竭M(jìn)行F測(cè)驗(yàn)，第13章將作介紹。第四節(jié) 單向分組資料的方差分析如表6.1及6.2所示。所用的試驗(yàn)設(shè)單向分組資料是指觀察值僅

42、按一個(gè)方向分組的資料, 計(jì)為完全隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)。、組內(nèi)觀察值數(shù)目相等的單向分組資料的方差分析這是在k組處理中，每處理皆含有 n個(gè)供試單位的資料如表6.1。在作方差分析時(shí)，其任一觀察值的線性模型皆由（6 14）表示，方差分析如表6.10 。表6.10組內(nèi)觀察值數(shù)目相等的單向分組資料的方差分析變異 來源自由度DF平方和SS均方MSF-期望均方ems固定模型隨機(jī)模型處理間k-12nS（yi -y）MStMSt/MSe2 2CT2 2b +ncyj誤差k（n-1）ZZWj -yj2MSe2C72C7總變異nk-1SWj y）2例6.10作一水稻施肥的盆栽試驗(yàn)，設(shè)5個(gè)處理，A和B系分別施用兩種不同工藝流程

43、的氨水，C施碳酸氫銨，D施尿素，E不施氮肥。每處理 4盆（施肥處理的施肥量每盆皆為 折合純氮1.2克），共5X 4=20盆，隨機(jī)放置于同一網(wǎng)室中，其稻谷產(chǎn)量（克/盆）列于表6.11 ,試測(cè)驗(yàn)各處理平均數(shù)的差異顯著性。（1）分析步驟：）自由度和平方和的分解表6.11 水稻施肥盆栽試驗(yàn)的產(chǎn)量結(jié)果處理觀察值（yij）（克/盆）TViA （氨水1）2430282610827.0B （氨水2）272421269824.5C （碳酸氫銨）3128253011428.5D （尿素）3233332812631.5E （不施）212216218020.052626.3總變異自由度 DFt= nk-1 =5X 4

44、-1=19處理間自由度 DFt=k-1=5-1 =4誤差（處理內(nèi)）自由度DFe=k（ n-1） =5 X （4-1） =15矯正數(shù) C =T2/nk =5262/（5 I） =13833.8 SSt =2：y2 -C =242 +302 +A + 212 -C =402.2 SS =ZTi7n C =（1082 +982 +A +802） /4 C =301.2 SS =402.2 -301.2 =101.0F測(cè)驗(yàn)將上述結(jié)果錄入表 6.12 ,假設(shè)H。：=AbA =4e , Ha: A、4B、卩e不全相等。為了測(cè)驗(yàn)H。，計(jì)算處理間均方對(duì)誤差均方的比率，算得F =75.3/6.73 =11.19

45、，查F表當(dāng)v 1=4,V2 = 15時(shí)，F(xiàn)0.01=4.89，現(xiàn)實(shí)得F = 11.19 > F0.01，故否定H0，推斷這個(gè)試驗(yàn)的處理平均數(shù)間是 有極顯著差異的。表6.12 表6.11資料的方差分析變異來源DFSSmsFF 0.01F 0.01處理間4301.275.3011.19 *3.064.89處理內(nèi)（試驗(yàn)誤差）15101.06.73總變異19402.2（3）各處理平均數(shù)的比較算得單個(gè)平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤SE 6.73/4 =1.297根據(jù)V = 15，查SSR表得p=2, 3，4，5時(shí)的SSF0.05與SSR©值，將SSR值分別乘以SE 值，即得SRa值，列于表6.13。進(jìn)而

46、進(jìn)行多重比較（表 6.14）。LSRa值計(jì)算表 6.13多重比較時(shí)的PSSR.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.014.173.905.4133.164.374.105.6743.254.504.225.8453.314.584.295.94表 6.14施肥效果的顯著性（SSR測(cè)驗(yàn)）處理平均產(chǎn)量差異顯著性（克/盆）5%1%尿素31.5aA碳酸氫銨28.5abAB氨水127.0beAB氨水224.0eBC不施20.0dC推斷：根據(jù)表6.14多重比較結(jié)果可知， 施用氮肥（A、B、C和D）與不施氮肥有顯著差異， 且施用尿素、碳酸氫銨、氨水1與不施氮肥均有極顯著差異；尿素與碳酸氫銨、

47、碳酸氫銨與氨 水1、氨水1與氨水2處理間均無顯著差異。、組內(nèi)觀察值數(shù)目不等的單向分組資料的方差分析若k個(gè)處理中的觀察值數(shù)目不等，分別為n1, n2,，nk,在方差分析時(shí)有關(guān)公式因ni不相同而需作相應(yīng)改變。主要區(qū)別點(diǎn)如下：（1）自由度和平方和的分解總變異自由度處理間自由度誤差自由度DFt =送 ni -1DFt =k -1DFZ rij k(6 19)（2）多重比較平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為:Sst =2(y-y)2 =2y2 -Ckssni (Vi y)2 =2Ti2/ni Cizik mSS, =5：S(yij yj2 =SSr -SSt(6 20)(6GL 1/MSe 丄 MSe、 jlMSe/ 1

48、 丄 1、SE 2（+ ）=（+） V2 nAne ¥ 2 nA ne上式的nA和ne系兩個(gè)相比較的平均數(shù)的樣本容量。但亦可先算得各（2>i）2 -送n,2門0 =（罰 i）（k1）(6 21)m的平均數(shù)no。-22)然后有:SE=jMSe/noSy,衛(wèi)=J2MSe/no例6.11某病蟲測(cè)報(bào)站，調(diào)查四種不同類型的水稻田百叢蟲口密度列于表 6.15，試問不同類型稻田的蟲口密度有否顯著差異?(6(6-23)-24)28塊，每塊田所得稻縱卷葉螟的號(hào)表6.15不同類型稻田縱卷葉螟的蟲口密度編12345678 iyi"iI1213141515161710214.577n1410

49、111314117312.176m921011121312118010.008IV1211109810127210.297T=327 y =11.68送山=28該資料送ni =7+6+8+7=28 故總變異自由度 DFt= 2 ni-1 =28-1 =27稻田類型間自由度 DFt=k-1 =4-1 =3誤差自由度 DFe= 2 ni-k=28-4 =24求得：2C =(327) /28 =3818.89SSt =122 中132 +A +122 C =4045.00 -3818.89 =226.11SSt =1022 /7 +732 /6 +802 /8 +722 /7 -C =96.13SS

50、e SS, -SSt =129.98列入方差分析表6.16。表6.16 表6.15資料的方差分析變異來源DFSSMSFF0.01稻田類型間396.1332.045.91 *4.72誤差24129.985.42總變異27226.11表6.16所得F = 5.91 > F0.01，因而應(yīng)否定 H0：片=卩2 =卩3二巴，即4塊麥田的蟲口密度 間有極顯著差異。F測(cè)驗(yàn)顯著，再作平均數(shù)間的比較。 需進(jìn)一步計(jì)算n0，并求得SE（ LSR測(cè)驗(yàn)）或（LSD測(cè)驗(yàn)）。如在此可有：no28x2SE =J5.42/10=0.736 （頭）s -1.込-ij -y2x5.42T.。41 （頭）嚴(yán)2 "

51、2 +62 +82 +72）=10.46 10三、組內(nèi)又分亞組的單向分組資料的方差分析如果每組又分若干個(gè)亞組，而每個(gè)亞組內(nèi)又有若干個(gè)觀察值，則為組內(nèi)分或稱系統(tǒng)分組資料。 系統(tǒng)分組并不限于組內(nèi)僅分亞組，如此一環(huán)套一環(huán)地分下去。這種試驗(yàn)稱為巢式試驗(yàn)（n ested如對(duì)數(shù)塊土地取土樣分析，每塊地取了若 或調(diào)查某種果樹病害，隨機(jī)取若干株，每皆為系統(tǒng)分組資料。以下亞組內(nèi)還可分小單向分組資料， 亞組的單向分組資料， 組，小組內(nèi)還可分小亞組， exp erime nt）。在農(nóng)業(yè)試驗(yàn)上系統(tǒng)分組資料是常見的。 干樣點(diǎn)，而每一樣點(diǎn)的土樣又作了數(shù)次分析的資料， 株取不同部位枝條，每枝條取若干葉片查其各葉片病斑數(shù)的資料等， 討論二級(jí)分組每組觀察值數(shù)目相等的系統(tǒng)