常見分布的期望和方差

1、常見分布的期望和方差分布類型概率密度函數(shù)期望方差0-1 分布 B (1 , P)Ppq二項分布B (n, P)Pi PX iUp iqn i (q 1p ),(i1,2,., n)npnpq泊松分布P(入)iPiP X i =e(i0,123.)i!入入均勻分布U ( a,b)f(x)宀或f(x)厶等 b ara b2(b a)212正態(tài)分布N (,2)1f(X)e(x,0)2指數(shù)分布E (入)、e X,x 0f(x) c c 0,x01122 22分布，2(n)X1,X2,.Xn相互獨立，且 都服從 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)2Y222X1X 2 . X nn2nt分布，t(n)2XX : N

2、(0,1) Y : x2(n)t -5=JY n0n , c、 n 2(n 2)7、兩個獨立隨機(jī)變量之和的概率密度:fz(Z)fx(x) fY(z x)dxfY(y)fx(z y)dy 其中 Z = X + 丫1、正態(tài)分布的計算：F(x)P(X X)(-)。2、隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度:3、分布函數(shù)F (x, y)、概率與數(shù)理統(tǒng)計重點摘要X是服從某種分布的隨機(jī)變量，求丫 f(X)的概率密度：fY(y)fx(x)h(y)f (u,v)dudv具有以下基本性質(zhì):是變量x，y的非降函數(shù);0 F(x, y) 1，對于任意固定的 x, y 有：F( , y) F(x, )0;F(x, y)關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)

3、于y右連續(xù);對于任意的(xi, yi), (X2, y2),X1 X2,y1 y2，有下述不等式成立:F(X2,y2)F(Xi,y2)F(X2,yi)F(x, yi)0h(y)。 (參見P6672)14、一個重要的分布函數(shù)：F(x, y)-x(一 arctan)( arctan2)的概率密度為：f (x, y)32F(x, y)x y2 2 2(x 4)( y 9)5、二維隨機(jī)變量的邊緣分布:fx(X)f (x,y)dyfY(y)f (x, y)dxFx(x)XF(x,)f (u, y)dyduFY(y)yF( ,y)f (x, v)dxdv邊緣概率密度:邊緣分布函數(shù):若 F(x, y) FX

4、(x)FY(y)則稱隨機(jī)變量 X,二維正態(tài)分布的邊緣分布為一維正態(tài)分布。6、隨機(jī)變量的獨立性:Y相互獨立。簡稱 X與丫獨立。8、兩個獨立正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布，即Z aX bY : N(a 1 b 2,a2 1 b2 2。9、期望的性質(zhì):(3)、E(X Y) E(X) E(Y) ；( 4)、若 X，Y 相互獨立，則 E(XY) E(X)E( Y)。10、方差：D(X) E(X2) (E(X)2。不相關(guān)，則 D(X Y) D(X) D(Y)，否則 D(X Y)D(X)D(Y) 2Cov(X,Y),D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X, Y)11、協(xié)方差：Cov(X,Y)

5、E(X E(X)(Y E(Y)，若X , Y獨立，則Cov(X, Y) 0,此時稱：X與丫不相關(guān)。12、相關(guān)系數(shù)： XYCov(X,Y) Cov(X, Y)(X) (Y) Jd(X)7d幣，XY1，當(dāng)且僅當(dāng)X與丫存在線性關(guān)系時XY1，且 XY1,1,當(dāng) b0; 當(dāng) bvO。13、k階原點矩：VkkE(X ) , k階中心矩:k E(XkE(X)。14、切比雪夫不等式:P X E(X)E(X)1。貝努利大數(shù)定律:15、獨立同分布序列的切比雪夫大數(shù)定律:Xi12，所以 lim P1 n因p一Xin i 1nn 0n i 116、獨立同分布序列的中心極限定理:(1)、當(dāng)n充分大時，獨立同分布的隨機(jī)變

6、量之和Xi的分布近似于正態(tài)分布N(n,n2)。(2)、對于 X1,X2,.Xn 的平均值 X Xi , n i 1有 E(X)，D(X)D(Xi)，即獨立同分布的隨機(jī)變量的均值當(dāng)n充分大時,近似服從正態(tài)分布 N( )。n、由上可知：lim P a Znn17、棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理：設(shè)b (b)(a) P a Zn b (b)(a)。m是n次獨立重復(fù)試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)，P是事件A發(fā)生的概率，則對任意 X,(1)、當(dāng)n充分大時,lim Pnm近似服從正態(tài)分布,m npvnpq(X)，其中 q 1 P。N(np npq)。18、參數(shù)的矩估計和似然估計:19、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計:N(p単)。n(2)、當(dāng)n充分大時, m近似服從正態(tài)分布, n(參見P200)所估參數(shù)條件估計函數(shù)置信區(qū)間已知u 乂麻X u 廠，X u 廠一 V n一 V n未知t x麻 sX t (n 1) S，X t (n 1) I-Vn-Vn未知2 (n 1)s2_ (n 1)s2(n 1)s2 2(n 1)，2 (n 1)1 22 21 2未知t (X y) ( 12) 1 叩2SwV n1 n2其中 2 (n,1)s2 (n21)s2m門21- /1 1 (X y) t (n1 n