電磁場與電磁波試題.

1、1如圖所示，有一線密度的無限大電流薄片置于平面上，周 圍媒質(zhì)為空氣。試求場中各點的磁感應(yīng)強度。解：根據(jù)安培環(huán)路定律,由川'在面電流兩側(cè)作一對稱的環(huán)路。則上二乳寸2.已知同軸電纜的內(nèi)外半徑分別為二和丄，其間媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為且電纜 長度二兀忽略端部效應(yīng)，求電纜單位長度的外自感。解：設(shè)電纜帶有電流則3.在附圖所示媒質(zhì)中，有一載流為的長直導(dǎo)線，導(dǎo)線到媒質(zhì)分界面的距離為; 試求載流導(dǎo)線單位長度受到的作用力解：鏡像電流如+9島5鏡像電流在導(dǎo)線處產(chǎn)生的出值為2眶2h單位長度導(dǎo)線受到的作用力=D一 m x.h+a A+lA-T?嚴(yán)二肝=-1衛(wèi)笛一力的方向使導(dǎo)線遠離媒質(zhì)的交界面D .minX b b+h+

2、4. 圖示空氣中有兩根半徑均為a,其軸線間距離為d丄4的平行長直 圓柱導(dǎo)體，設(shè)它們單位長度上所帶的電荷量分別為+?和.，若忽略端部的 邊緣效應(yīng)，試求(1) 圓柱導(dǎo)體外任意點p的電場強度甘的電位*的表達式；w h ?-h ?以y軸為電位參考點，則5. 圖示球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑叭 L，夕卜導(dǎo)體內(nèi)徑：、：工，其間充有 兩種電介質(zhì)I與T,它們的分界面的半徑為二-二I。已知I與T的相對6. 電常數(shù)分別為_.1 - -_ o求此球形電容器的電容。解£2 = 一 茸(3于6) '4爲(wèi)甲/二管古+膽df+ 4仇5 102 116? 10z 11 ( =) KT )4 磚3 163:.? =

3、 = 25xl0-u W R7.有兩平行放置的線圈，載有相同方向的電流，請定性畫出場中的磁感應(yīng)強度分布(B線)0解：上;線上、下對稱C = -=-xlCTuF U 96. 一平板電容器有兩層介質(zhì)，極板面積為', 一層電介質(zhì)厚度'- - 1 , 電導(dǎo)率=-二J 丁：，相對介電常數(shù)'，另一層電介質(zhì)厚度匸】'一電導(dǎo)率'一二'0相對介電常數(shù)丄：，當(dāng)電容器加有電壓.I.時，求(1) 電介質(zhì)中的電流；(2) 兩電介質(zhì)分界面上積累的電荷；(3) 電容器消耗的功率°解：(1)',r/x = r：* (氓-耳妨)=°耳乙)I=JS= U

4、Y1S 25x 1 O'14 A 蚊+如0 = 8.85x10 C/rz丁¥_4+a升丁F必S解：（1）當(dāng)電介質(zhì)插入到平行板電容器內(nèi)a/2處，則其電容可看成兩個電容器 的并聯(lián)1.已知真空中二均勻平面波的電場強度分別為:求合成波電場強度的瞬時表示式及極化方式。EX3d$(3-解:2一血靜電能量 “ 2C 2fer-l)T+d叫d '(%-1) 'Ex - Ocos(0ct+ 燉)一耶q sirffT+燉)血g2吒(s -l)x+aYL*JC = + G 二 專(歹+ 3-討合成波為右旋圓極化波。a i= 一2時,8.圖示一平行板空氣電容器，其兩極板均為邊長為a的

5、正方形，板間距離為d.兩板分別帶有電荷量I J與 卜，現(xiàn)將厚度為d、相對介電常數(shù)為i,邊3長為a的正方形電介質(zhì)插入平行板電容器內(nèi)至二處，試問該電介質(zhì)要受多大的電場力？方向如何?其方向為a/2增加的方向，且垂直于介質(zhì)端面。9.長直導(dǎo)線中載有電流，其近旁有一矩形線框,尺寸與相互位置如圖所示。設(shè)時，線框與直導(dǎo)=7e線共面一時，線框以均勻角速度繞平行于直導(dǎo)線的對稱軸旋轉(zhuǎn)，求線框中的感應(yīng)電動勢。解：長直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場強度傀 Isb<h*（驢+/-（詔遇血）2參考方向一 0時為順時針方向。10.無源的真空中，已知時變電磁場磁場強度的瞬時矢量為:時刻穿過線框的磁通二也迅魚即a人2r rHezQ.

6、2os&5jzy）siii6xl09 A/d試求 b的值；（2）電場強度瞬時矢量犬門，和復(fù)矢量（即相量）* r解：（1）SxlO8）2+ aJcosVt感應(yīng)電動勢d e- df故得rads9 rd.cos(6x 10? t一 5肩斥“+竹3弁肚皿（15切sir6兄xl£-5育亦）V /in 應(yīng)二會9寤匚迫5勾九訕后-供3畀屈8£5砒）亡亦口e11.證明任一沿七傳播的線極化波可分解為兩個振幅相等，旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波的疊加。證明：設(shè)線極化波£rll 片3*2 耳 2Srl二覽0）+場0）其中:壬：和L分別是振幅為二的右旋和左旋圓極化波12. 圖示由兩個半徑

7、分別為I和I的同心導(dǎo)體球殼組成的球形電容器，在球 殼間以半徑：匕為分界面的內(nèi)、外填有兩種不同的介質(zhì)，其介電常數(shù)分別為-：-、/ 和二，試證明此球形電容器的電容 為證明：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體殼外表面所帶的電荷量為Q則R2 <r<R 面積中心，_!P ,- 4,:.1= 281.25-45+81兩導(dǎo)體球殼間的電壓為：J 二 a/28L25?+452+8P = 296.121 A /ip(3)>的平均值2空 2/64)13.已知丁= Q0#碼-2/內(nèi)+2*陀)A/in2 求穿過面積: - < -在5方向的總電流(2) 在上述面積中心處電流密度的模；(3) 在上述面上，的平均值。解：/=

8、j J ds= J/ d_pdz<* = f左=J；5" C.21 - 18a)dy= X12-6(3!- 2s)= 399 AI _ 399£.2 3.8)(32)一IT商羽5 A/d314.兩個互相平行的矩形線圈處在同一平面內(nèi)，尺寸如圖所示，其中' ' L.，1。略去端部效應(yīng)，試求兩線圈間的互感。解：設(shè)線框_帶有電流一，線框的回路方向為順時針。線框1產(chǎn)生的B為線框的法線沿E時監(jiān)二曲k(S+吐鳥)SI 2 疋 6'+q)G+站)隘=°16.無源真空中，已知時變電磁場的磁場強度H ' J 為；H t)-礙& sir(4

9、 jr)cos(/ut-K)+ e3A2 cos(4 x)sir(a?r-JSj A/m15.已知N ：.；：；，今將邊長為二的方形線框放置在坐標(biāo)原點其中：、1為常數(shù)，求位移電流密度兒。解：因為./ -'處，如圖，當(dāng)此線框的法線分別沿；、和C方向時，求框中的感應(yīng)電動勢解：(1)線框的法線沿時由得二二XA= VxHgJ? d7= -aEm ccis田-"（-；）+ 孔 cosfojt-2二Z入衛(wèi)蟲.-Z: x4 sir(4jr)cos(a?f-K)A2 cos(4=-J?cos(4 x) cos(o>t-j9y) + e,4 A2 日ir(4x)sireA妙)-j) si

10、rfiuf- y) A/m 2迤ex. f My)屯.f s)e excyA*A*：y , y=f '、a A '、f =右邊18. 求無限長直線電流的矢量位A和磁感應(yīng)強度B解：直線電流元產(chǎn)生的矢量位為17.利用直角坐標(biāo)系證明i (fG)二n G( f)G2.證明左邊=(fA) = ' ( fAxeX fAy& fAzSz)"fAxx . ：(fAy)ey . "fAzz-：x為:z!Ir(Ax)eL aad!.-：x:x"yWy .ydA = gz積分得+ r2 (Z：z')212_Q(2)電容器的電容及儲存的靜電能量。a

11、1右2(短122解：1) Dr = D2 = QgxS,-I蟲寧-I n (z'-z)、.(z'4 二2IJ2I -2-QS - 0，E2D2S；'X4 :ln(2_Z)+(g_Z)2 +1''2 -(2 z) (2 z)2r212S；oEdd-a)da當(dāng)I：，A: 附加一個常數(shù)矢量C二e/丄I4兀I則 Alnl g 乂 In&衛(wèi)沁4兀r4兀 I4兀rQ Q S ；2 :U2E2aaC1C2G C2；Qa ； (d - a)iEiaiE2QI-ME；Q則由百八A =圣也1 衛(wèi)(d a)Q22 C 2 S%de4兀 r19. 圖示極板面積為S間距為

12、d的平行板空氣電容器內(nèi)，平行地放入一塊面積 為S、厚度為a、介電常數(shù)為；的介質(zhì)板。設(shè)左右兩極板上的電荷量分別為Q與-Q。若忽略端部的邊緣效應(yīng)，試求(1) 此電容器內(nèi)電位移與電場強度的分布;20. 在自由空間傳播的均勻平面波的電場強度復(fù)矢量為 _4 _j20_4(20 元2)E=ax 10 e" ay 10 e 2 (v/m)求(1)平面波的傳播方向；(2) 頻率；(3) 波的極化方式；(4) 磁場強度；(5) 電磁波的平均坡印廷矢量Sav。解：(1)平面波的傳播方向為+z方向(2) 頻率為 f 二k03 109Hz2兀(3) 波的極化方式因為Exm二Eym =10° X=0

13、 -2 2故為左旋圓極化.(4) 磁場強度H =、：, Fz E =丄血 ax1o* j£z $10冷/2宀 ：% 0二丄慝10-4-jax104)e-j20：z0(5) 平均功率坡印廷矢量Sav J ReE H* J Re(ax10* jay10冷e 2 2丄&10鼻-jFx10冷ej20：z0亠止2 .曲£a2 ii z0 0AA-2 10說2 120 二= 0.265 10“az(W/m2)21. 利用直角坐標(biāo)，證明' ( fA)二f-A A飛f 證明：左邊八(fA) J ( fAx& fAy fAej= 2fxJx ：(fAy)ey . f(

14、fAz)ex:y: zf ：（Ax）ex. A：（f）e< （Ay）ey A r（f）e exx exdycy：（Az）eZ Afzczz dzI汽AMAr（f）e:z:x廠get . f ：（Ay）ey . dxdy所以2 2i - A_d S= （ex2yz ez2xLezd xd y = 8S0 0故有1 A d = 8 = Nx Ad ScS23.同軸線內(nèi)外半徑分別為a和b，填充的介質(zhì)=0,具有漏電現(xiàn)象，同軸線外=右邊22.求矢量A二&x eyx2 Szy2z沿xy平面上的一個邊長為2的正方形回路 的線積分，此正方形的兩邊分別與x軸和y軸相重合。再求i A對此回路所包 圍

15、的曲面積分，驗證斯托克斯定理。解:2 2 2 2AJdI = Jxdx_ Jxdx+ J22dy _ J0d y =8exey:y2 xezcz2y z二 ex2yz ez2x加電壓U，求(1) 漏電介質(zhì)內(nèi)的,；(2) 漏電介質(zhì)內(nèi)的E、J ；(3)單位長度上的漏電電導(dǎo)解：(1)電位所滿足的拉普拉斯方程為1 d d ：（ r dr dr）=0由邊界條件r =a二U ;r丈，=0所得解為：()=斗1 n注ra電場強度變量為E(r)-erd U er,dr rlnba則漏電媒質(zhì)的電流密度為J = E(r)=rlnb穿過線框的磁通量c “a* = J B.dScYU(3)單位長度的漏電流為I0 =2二

16、r.b r InaI2n7單位長度的漏電導(dǎo)為U- bInaIn b24.如圖 所示，長直導(dǎo)線中載有電流i=|mcos®t， 矩形導(dǎo)線框位于其bdr-0bI m cos t c aIn2 二cd*z =dtJ0bIm - sin 1 c aIn線框中的感應(yīng)電動勢c近旁，其兩邊與直線平行并且共面，求導(dǎo)線框中的感應(yīng)電動勢解：載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場強度的大小為參考方向為順時針方向。25.空氣中傳播的均勻平面波電場為E=£E0eT“，已知電磁波沿z軸傳播, 頻率為f。求!(1)磁場H ； (2)波長；能流密度S和平均能流密度Sav ；1 2 1 W =- ；0E2 %H2 2能量密度W2

17、6.平行板電容器的長、寬分別為a和b，極板間距離為d。電容器的一半厚度解：(1) H =丄& eXE0ej（0L d/2）用介電常數(shù)為；的電介質(zhì)填充，（1）板上外加電壓u0，求板上的自由電荷面密度、束縛電荷；（2）若已知板上的自由電荷總量為q，求此時極板間電壓和束縛電荷;（3）求電容器的電容量。解: （1）設(shè)介質(zhì)中的電場為E=e zE,空氣中的電場為E o二ezEo。由q = D0，有又由于E 牛 Eo”U由以上兩式解得Sav= -Re(E H*)二2 22；oU。C o)d匚2U。0（ ；o）dQ 2；0；Uab C 亠：0）d故下極板的自由電荷面密度為得到二下2 0 U 0（；o）

18、dU _ （ ； p）dQ2 ；0 ； ab上極板的自由電荷面密度為二上-pEo_ 2 ；。（；o）d"二 co）Qab電介質(zhì)中的極化強度電容器的電容為P =（；一 E=2 ；o（ ； - ；o）Uoez（；p）dC =_Q = 2；o abU C o）d故下表面上的束縛電荷面密度為二 p下-eLP2；。（ ； - ；0）U。（；o）d上表面上的束縛電荷面密度為2 ；o（ ； - ；o）Uo（；o）d由26.頻率為100MHz的正弦均勻平面波在各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿（'Z ）方向傳播，介質(zhì)的特性參數(shù)為；r = 4、丄= 1，= 0。設(shè)電場沿X方向，即匚二ExEx ;當(dāng)t=

19、0，-m時，電場等于其振幅值810V/m 。試求(1) H(z,t)和E(z,t)；(2) 波的傳播速度；(3) 平均波印廷矢量。解：以余弦形式寫出電場強度表示式E(z,t) =&Ex(z,t)=&EmCOS(，t -kz - xe)把數(shù)據(jù)代入Em =10V/m4 :rad / m3(2)波的傳播速度= 1.5 108m/s(3)平均坡印廷矢量為Sav = 1 ReE H *2,10!z60 二-8W/m2120:xE 二 kz = i 二二一rad3 864 二 二z )V / mE( z, tex104cos( 108t36，1.a4兀兀sy10，cos(2 二 108tz

20、 )y ；36 1484:=ey 10 cos(2二 101 z )A/my60 二3660:27.在由r=5、z=0和z=4圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量A=err_ ez2z驗證散度定理。解：在圓柱坐標(biāo)系中1'i_A = (rr2)亠(2z) = 3廠 2r c rcz所以4 2兀5'Lad = dz d (3r 2)rd r 二 1200二T000了 AdS = f (er+ ez2z)er dSr + e©d S©+ezd Sz)W S42 二52 二二52 5d dz 2 4rdrd =1200二0 00 0故有吐 di =1200兀=HAJd STs2

21、8.求（1）矢量A =exx eyxy ez24x y z的散度；（2）求；l_A對中心 在原點的一個單位立方體的積分；（3）求A對此立方體表面的積分，驗證散度定 理。解：（1）吐A =四：（24x2y2z3）二 2x 2x2y 72x2y2z2excycz（2） ' UA對中心在原點的一個單位立方體的積 分為故有1 2 1 2 1 2 |_A d 二(2x 2x2y 72x2y2z2)d xd ydz 二一_12'2_1224（3） A對此立方體表面的積分7 AJd s =12 12 1 12 12 11 J(5)2dydz- J J e-)2dydzJ2 J2 2_J 2

22、J2212 12+ f f 2x 2212 122 1 2 2 1 2()d xdz i i 2x () d xdz24 2 _1 2212 1222 , 1、3亠！ I 24x y (7) 二221241'La d.I24= 1A d S12 1222I 3d xdy I I 24x y () d xdy斗2斗2229.計算矢量r對一個球心在原點、半徑為a的球表面的積分，并求；Lr對球體積的積分。_2兀 兀r_erdS 二 d? aa2sin vd v - 4. a3S00又在球坐標(biāo)系中' Lr12(r2r)=3r er所以所以ex;xxe y汙2 xezcz2y z=ex2

23、yz ez2x2 2i i (ex2yz ez2xezd xd y = 80 0故有2 兀 Jia' |_rd = 3r2sin vdrdvd =4二a3j0 0 030.求矢量A =exX VyX? Pz/z沿Xy平面上的一個邊長為2的正方形回路 的線積分，此正方形的兩邊分別與x軸和y軸相重合。再求' A對此回路所包 圍的曲面積分，驗證斯托克斯定理。解：2222J Ad I = Jxdx_Jxdx + J22dy_J0d y=8C0000又31.證明（1） ；i_R 二 3 ； （ 2 ）、 R = 0 ； （ 3）V （ Ar） = A。其中 R = exX 汀ezz，a為

24、一常矢量。解：（1）可Lr_ &+色+空=3excycz(2)Vx r =exeyezw=0xyy設(shè)E = Er E2ex ey - ez232、2 ；0AR = AxXAyyAzZ(AR)二縱厶 Rx Ayy AzZ) e&g Ayy AzZ) excy解：無限長直線電流11產(chǎn)生的磁場為33.兩平行無限長直線電流11和12，相距為d，求每根導(dǎo)線單位長度受到的安培 力F m。ez(AxX Ayy AzZ) :z%lilF m21二 exAx eyAy e zAz 二 A32.兩點電荷q =8C位于z軸上z=4處，q2 = 4C位于y軸上y = 4處, 求(4,0,0)處的電場強

25、度。解：電荷qi在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為E1r 一2 ex4 - ez44殆°r-J 一陽 0 (4 72)3電荷q2在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為q2r - r；1ex4 ey4E 2 -4陰陰(4血)3故(4,0,0)處的電場為直線電流12每單位長度受到的安培力為1Fmi2 二丨2ez Bidz= -ei20式中e12是由電流11指向電流12的單位矢量。同理可得，直線電流11每單位長度受到的安培力為"0丨1丨22二 d34. 一個半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為Q，當(dāng)球體以均勻角速度繞一個直徑旋 轉(zhuǎn)，求球心處的磁感應(yīng)強度B。解：球面上的電荷面密度為Q24 二 a2當(dāng)球體

26、以均勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)時，球面上位置矢量r二era點處的電流 面密度為J s 二 j v 二- co r - e' ea=e asin ： - e Q sin -4兀a將球面劃分為無數(shù)個寬度為dl二ad=的細圓環(huán)，貝y球面上任一個寬度為 dl二ad細圓環(huán)的電流為d I 二 Jsdl Qsinv4兀細圓環(huán)的半徑為b=asin日，圓環(huán)平面到球心的距離d=acos日，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場公式，則該細圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為d 口_巴b2dl_卩聲Qa2sin'dTdz2(b2 d2)32 壬8 二(a2s in2, a2cos)32故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為B

27、= ez35.半徑為a的球體中充滿密度'(r)的體電荷，已知電位移分布為 3 A 2r ArDr = a5 Aa4(r 乞 a)(r - a)% Qsin3 d弋一其中A為常數(shù)，試求電荷密度'(r) 解由 HD八：，有，(r)|_D 二 4-d(r2Dr)r d r故在r ： a區(qū)域1 d'(r)二；0 2r2(r3 Ar2) = ；0(5r2 4Ar)r d r在r a區(qū)域54AaJ = o r解： ：訂二、|_P二-3P0匚 P（X = 2 ） = nLP x± 2 = ex_lP x=L 2 = ? F0匚 P（X = - 2）= nLP| x=_L 2

28、 = e x-P x=_L 2 二? P0同理36. 個半徑為a薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量 為Q為的體電荷，球殼上又另充有電荷量Q。已知球內(nèi)部的電場為E =er（ra）4，設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計算：（1）球內(nèi)的電荷分布；（2）球殼外 表面的電荷面密度。解：（1）由高斯定理的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為r dr32 -r（r 4） =6 ；0 飛 aa吋y歩“。（y 知"歩“心£EPq"2 po=0（2）球體內(nèi)的總電量Q為a r322Q =: d =6 -q 4 4心 r d r = 4 - - °aT0a球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表

29、面上感應(yīng)電荷-Q，而且在球殼外表面上還要感應(yīng)電荷Q，所以球殼外表面上的總電荷為2Q，故球殼外表面上的電荷面密度為qP= JPpdt +<TPdS = _3P0L3 + 6L2T38. 一半徑為R0的介質(zhì)球，介電常數(shù)為；r；0，其內(nèi)均勻分布自由電荷'，證明中心點的電位為可得到DJd S= qS2Q- 24二 a37. 中心位于原點，邊長為L的電介質(zhì)立方體的極化強度矢量為P 二 Po（exx eyy qz）。（1）計算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度；（2）證明總的束縛電荷為零。文案大全24兀r 亠4二r2U(r :R)34二r2D2= 4 R (rR)3即Di，E_R 二上3；r ；

30、0 3 ；r ；o(r :R0、Lp 晉宀）r dr r在r =R的球面上，束縛電荷面密度為Kp = nLP "二 er_P r=R(2)由于D二；。EP，所以K""2rD2=害，£2=9=3r査 3%r(r - R0；I_D= ；J、E _P = 3 _|dPz即故中心點的電位為-dUdr0 3 l PR 3 "Or由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度為匸 J Ld = i Lp 二s；K2(一 ；o)r39. 一個半徑為R的介質(zhì)球，介電常數(shù)為；，球內(nèi)的極化強度P K r ,其 中K為一常數(shù)。（1）計算束縛電荷體密度和面密度；（2）計算自由電荷

31、密度;（3）計算球內(nèi)、外的電場和電位分布?？偟淖杂呻姾闪縬 = . 'd -4； 4 r2dr 口 o r4： ； RK（3）介質(zhì)球內(nèi)、外的電場強度分別為IrLXrLlj(厶 r06 ；r ；03 ；02 ；r 3 p解：（1）介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷體密度為文案大全-0RK4二;°r2 er ；o( ； 一 ；。)r2 (r R)介質(zhì)球內(nèi)、外的電位分別為R:1 = EbdI 二 EprE2drrrRdrR %（戰(zhàn)一 £0）rK:一 ；olnRoOoOfRK 二Ezdr2 dr：（ ）r2rr 00 1dr（心R）；RK；o（； - ；°）r（r -R）40.如

32、圖所示為一長方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為U0，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解：根據(jù)題意, (0, y)= (a,y) =0 (x,0)=0 (x,b)二U。根據(jù)條件和，電位(x, y)的通解應(yīng)取為由條件，有"x, y）AnSinh（衛(wèi) y）sin（衛(wèi) X）nTaaoCU 0 八 AnSinh（nm山）sin（兩邊同乘以sin(n二x.a，并從0到a對x積分，得到An也sin（亡）dxasinh（ n二 b a） 0 a故得到槽內(nèi)的電位分布2Uo(1cos nn)n二 sinh( n二b a)4Uo« n兀sinh( n兀

33、bfa)(x,y)=4U0 '二 n 土3,5,屮,n =1,3,5,|1|n =2,4,6,丨1|即'dx, y)二U0yb ； 2(x, y)是兩個電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時的 電位，其邊界條件為 (x,0) = (x,b) = 0 2(x,y) =0 (x 宀)Uod:2(0,y)(0, y)- 1(0, y)二u。U°半y(0乞y乞d)(d 乞 y< b)根據(jù)條件和，可設(shè)2(x, y)的通解為(x,y) 一 Ans in ()e bnTb41.兩平行無限大導(dǎo)體平面，距離為b，其間有一極薄的導(dǎo)體片由y = d到 y二b(：:z 。上板和薄片保持電位

34、U。，下板保持零電位，求板間電位 的解。設(shè)在薄片平面上，從y = 0到y(tǒng) = d，電位線性變化，(0, y) =U0y：d。yU01bo Jx4.2由條件有U 啓申y' An sin( y)= nTb0 U 0 -y _ y d b.u°U0 -二 yb(0乞y乞d)(d 乞 y< b)兩邊同乘以sin(ny. t)，并從0到b對y積分，得到解：應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為(x, y)二 1(x,y)2(x, y)其中，1(x, y)為不存在薄片的平行無限大導(dǎo)體平面間(電壓為U0)的電位,An二學(xué)耐弓仙吟刑+學(xué)故得到-00 q，位于 z 二 - h(x,y)Uobn.

35、dyJLs叫)sin(d兀 心nb42.如題（a ）圖所示，在z ：0的下半空間是介電常數(shù)為；的介質(zhì)，上半空間為 空氣，距離介質(zhì)平面距為h處有一點電荷q。求（1） z 0和z 0的兩個半空 間內(nèi)的電位；（2）介質(zhì)表面上的極化電荷密度，并證明表面上極化電荷總電量等 于鏡像電荷qIz q題 4.24 圖（a）解：（1）在點電荷q的電場作用下，介質(zhì)分界面上出現(xiàn)極化電荷，利用鏡像電 荷替代介質(zhì)分界面上的極化電荷。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷分布為（如題圖（b）、（c、所示）-0q0 q，位于 z 二 h上半空間內(nèi)的電位由點電荷q和鏡像電荷q共同產(chǎn)生，即4朧 0R 4s 0R"_ q 1_ ； -

36、 014二；0 i ：r2 (zh)2； 9r2 (z h)2下半空間內(nèi)的電位由點電荷q和鏡像電荷q共同產(chǎn)生，即q 12( ；0) . r2 (z-h)2（2）由于分界面上無自由電荷分布，故極化電荷面密度為<S = n（R-P2I z=0 二 ；0（Eiz - E2z） z=0極化電荷總電量為亠）.'zz=02-%)hq2二(； ；0)(r2 h2)32cd4 二：pdS 二：P2二 rdr =S0(r)hqr1f 2丄廠2、3 2十 0 o(r +h)drC - ；o)q43. 一個半徑為R的導(dǎo)體球帶有電荷量為Q ,在球體外距離球心為D處有一個點電荷q。 求點電荷q與導(dǎo)體球之間

37、的靜電力； 證明當(dāng)q與Q同號，且Q RD3 R2 rrq (D2 -R2)2 D成立時，F(xiàn)表現(xiàn)為吸引力解：(1)導(dǎo)體球上除帶有電荷量Q之外，點電荷q還要在導(dǎo)體球上感應(yīng)出等量 異號的兩種不同電荷。根據(jù)鏡像法，像電荷q和q的大小和位置分別為(如題圖所示)R2D導(dǎo)體球自身所帶的電荷Q則與位于球心的點電荷Q等效。故點電荷q受到的靜電 力為F - Fqq Fq=q FQ)q_ qq+q(D + q“)4二；0(D - d )24二；0D2=Q+(RD)qRq 2 24戀0DD_D_(R'D)2(2)當(dāng)q與Q同號，且F表現(xiàn)為吸引力，即F ：0時，則應(yīng)有Q (R D)qRqDD*D(RD)2 子由此

38、可得出QRD3 _ Rq (D2 - R2)2 DIz廠1 一廠0卩2 =卩xJoI=eI Im故得到ImJ0 CA(1)I0在磁介質(zhì)的表面上，磁化電流面密度為H")H 2(HJr杪H1（P2）H2（P2）題5.9圖44. 如題所示圖，無限長直線電流I垂直于磁導(dǎo)率分別為叫和"2的兩種磁介質(zhì) 的分界面，試求（1）兩種磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強度B1和B2 ； （2）磁化電流分布。 解：（1）由安培環(huán)路定理，可得H 二 e 所以得到Bi = % HB 2 - H（2）磁介質(zhì)在的磁化強度則磁化電流體密度MM “ ez(o)I1d(rOr d r"在r =0處，B2具有奇異性，所

39、以在磁介質(zhì)中r = 0處存在磁化線電流Im以z軸為中心、r為半徑作一個圓形回路C,由安培環(huán)路定理，有JIe (7。)1J mS = M ? ez z=0r2兀卩 o r45. 如題圖所示，一環(huán)形螺線管的平均半徑ro =15cm,其圓形截面的半徑a = 2cm鉄芯的相對磁導(dǎo)率'r -1400，環(huán)上繞N =10°0匝線圈，通過電流 I =0.7A。（1）計算螺旋管的電感；（2）在鉄芯上開一個10二0.1cm的空氣隙，再計算電感。（假設(shè)開口后鉄芯LL的r不變）（3）求空氣隙和鉄芯內(nèi)的磁場能量的比值。解：（1）由于r0，可認(rèn)為圓形截面上的磁場是均勻的，且等于截面的中 心處的磁場。由安

40、培環(huán)路定律，可得螺線管內(nèi)的磁場為NI2-0所以螺線管內(nèi)的磁鏈為NSB-與螺線管鉸鏈的磁鏈為r-%Jra2N2|SI。（2二 r°-l。）弓-NSlHJa2N2|2ro故螺線管的電感為故螺線管的電感為L =II題5.12圖叩。（25-1。）I2ro-7221400 4二 100.0210002915= 2.346 H（2）當(dāng)鐵芯上開有小空氣隙時，由于可隙很小，可忽略邊緣效應(yīng)，則在空氣隙與 鉄芯的分界面上，磁場只有法向分量。根據(jù)邊界條件，有B0 =B，但空氣 隙中的磁場強度H 0與鐵芯中的磁場強度H "不同。根據(jù)安培環(huán)路定律，有H0I0 H 丄2二r° 一1°

41、;） =NI又由于B0 = %H0、B丄0 7H .及Bo =ba = b，于是可得l0（2二5 -I0）4二2 10” 1400 0.022 100021400 0.0012 二 0.150.001（3）空氣隙中的磁場能量為1 2%才0“0鉄芯中的磁場能量為1Wm ?%屮2$（2二0-1°）Wm0Wm%2 r0 一 l01400 0.00120.15-0.001= 0.944 H= 1.48746. 一根半徑為a的長圓柱形介質(zhì)棒放入均勻磁場B = ezB0中與z軸平行。設(shè)棒以角速度繞軸作等速旋轉(zhuǎn)，求介質(zhì)內(nèi)的極化強度、體積內(nèi)和表面上單位長度的 極化電荷。解：介質(zhì)棒內(nèi)距軸線距離為r處的

42、感應(yīng)電場為E = v B =e r ezB0 = err - B0故介質(zhì)棒內(nèi)的極化強度為P = X e pE 二 er （ ；r -）；0r ' B0 二 （ ； - p ），B°極化電荷體密度為直流電壓時的電場分布可視為相同（準(zhǔn)靜態(tài)電場），即_ U o sincotE =耳r In （b a）故電容器兩極板間的位移電流密度為J廠衛(wèi)乂八UoCOS 't；tr ln (b a)2二 i ； U0 cos00 r In (ba)errd dz訂-P - _丄 (rP) _' ( ； - ；o)r2 Bor crr cr-2（； - ；。廠 Bo極化電荷面密度為S

43、= P n 二er（E-®）wB。er = = Q - ®）aco B。則介質(zhì)體積內(nèi)和表面上同單位長度的極化電荷分別為QP =旳21 訂 - -2二a2（ ； - ；0），B02QPS =2二 a 1 ；P =2二a （ - ；0） Bo47. 一圓柱形電容器，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b,長為丨。設(shè)外加電壓 為UoSin't，試計算電容器極板間的總位移電流，證明它等于電容器的傳導(dǎo)電流。 解： 當(dāng)外加電壓的頻率不是很高時，圓柱形電容器兩極板間的電場分布與外加2 ； lU 0 cos = C U 0 cos t ln （b a）2陽丨C式中， ln（ b a）是長

44、為I的圓柱形電容器的電容。流過電容器的傳導(dǎo)電流為-J I Iicy C'URt可見id948. 已知在空氣中E PONin0二珅6 dO t-）：z，求日和 -（提示將E代入直角坐標(biāo)中的波方程，可求得：o ）解：電場E應(yīng)滿足波動方程；2 E.:t2-0將已知的E= GyEy代入方程，得2 2:Ey : Ey 一_ 2 1 .X:Z；H;:tE ViEy: Ey-ex yezy0: z : x1-ex0.1 ： sin 10二 xsin(6二 109t- : z)-0ez0.1 10二 cos10二 xcos(6二 109t- ： z)式中將上式對時間t積分,-2 :'Ey-2x

45、-O.1(10)2sin10二xcos(6二 109t - : z)"eT =0.1sin10二x2cos(& 109t- z) :z.Fe% ；0=0卩0 ；0sin10二x-(6二 109)2cos(6二 109tz)故得-(10 二)2 - I2 % ；0(6 二 109)2 =0則日 一 r詡 wsrvez二 cos10二 xsin(6二 109t-： z)_49=-ex2.3 10 sin 10二 xcos(6二 10t-54.41z).4-ez1.33 10 cos10二 xsin(6二 10 t - 54.41z)A/m49. 在自由空間中，已知電場E（乙滬ey

46、10si門創(chuàng)-卩勿肝，試求磁場強 度H （乙t） o解：以余弦為基準(zhǔn)，重新寫出已知的電場表示式:二二 300 =54.41rad/mE(z,t)3口兀二 ey10 cos( t - - z )V/m這是一個沿+z方向傳播的均勻平面波的電場，其初相角為-90。與之相伴的磁場 為1E = 0H (ez) =120二eycos( t : z) ( ez)3兀二 ex40cos( -t ： z) V/m由_ _ ' rad/m得波長，和頻率f分別為13=一ez ey103 cos| .t -0 .二 0.21m1H (z,t)二一ez E (z,t)010120 :COS i， t - - z -L2-ex2 65sin( t - - z) A/mVp3 1080.21Hz = 1.43 109 Hz99-2二 f = 2二 1.43 10 rad/s=9 10 rad/s1A/m50. 均勻平面波的磁場強度H的振幅為3二，以相位常數(shù)30rad/m在空氣則磁場和電場分別為中沿七方向傳播。當(dāng)t=0和z=0時，若H的取向為$，試寫出E和H的表示式,H - -ey丄 cos(9 109t 30z)A/my 3兀9E 二 ex40cos(9 10 t 30z)V/m并求出波的頻率和波長解：以余弦為基準(zhǔn)，按題意先寫出磁