培優(yōu)專題4_用十字相乘法把二次三項式分解因式(含答案)

1、5、用十字相乘法把二次三項式分解因式【知識精讀】對于首項系數(shù)是1的二次三項式的十字相乘法，重點是運用公式2x +(a+ b)x +ab=(x + a)(x + b )進行因式分解。掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的 兩個數(shù)，即把常數(shù)項分解成兩個數(shù)的積，且其和等于一次項系數(shù)。對于二次三項ax2 +bx + c(a、b、c都是整數(shù)，且aO)來說，如果存在四個整數(shù)a1，C1， a?，c2滿足a1a a， qc? =c，并且a1c2+a2C1=b，那么二次三項式2 2ax+bx+c即 azX+(玄沱？+82 )x可以分解為(a+ &Ja2X+C2)。這里要確定四個常數(shù)a1, c1，a2，c2，

2、分析和嘗試都要比首項系數(shù)是1的類型復(fù)雜，因此一般要借 助畫十字交叉線的辦法來確定。下面我們一起來學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解。【分類解析】1.在方程、不等式中的應(yīng)用例1.已知：x2 -11x +24 A 0，求x的取值范圍。分析：本題為二次不等式，可以應(yīng)用因式分解化二次為一次，即可求解。解：寫 x2 -11x+240”".(X -3 x -8)>'OX 3>0 lx3v0x8>0 lX-8<0”X A8 或 X < 3例2.如果X4 -X3 +mX2 -2mx-2能分解成兩個整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的 值，并把這個多項式分解因式。分析：應(yīng)當把x

3、4分成x2 x2，而對于常數(shù)項-2，可能分解成(-1)X2，或者分解成 (-2)X1，由此分為兩種情況進行討論。解：(1)設(shè)原式分解為(X2+ax-1i(x2+bx+2 )，其中a、b為整數(shù)，去括號，得:X4 +(a S3 U2 +(2a -bk -2將它與原式的各項系數(shù)進行對比，得:a+b=1, m=1, 2ab=2m解得：a=-1, b=0, m=1此時，原式=(X2 +2j(x2 -x-1)(2)設(shè)原式分解為(X2 +cx-2j(x2 +dx+1),其中c、d為整數(shù)，去括號，得:x4 +(c +d Jx3 _ x2 + (c - 2d y -2將它與原式的各項系數(shù)進行對比，得:C +d=

4、_1, m = 1, c2d=2m解得:c=0，d=1, m = 1此時,2 2原式=(X -2j(x -x+1)2.在幾何學(xué)中的應(yīng)用例.已知：長方形的長、寬為X、y,周長為16cm，且滿足2X - y -X2+2xy-y +2= 0 ,求長方形的面積。分析:解：要求長方形的面積，需借助題目中的條件求出長方形的長和寬。2 2xyx +2xy-y +2=0”(x2”(X -y)2 -(X -y )-2 =0(X -y -2 Ix -y +1) = 0/. x-y-2 = 0 或 x-y+1 = 0 又 x+y =82-2xy+ y )-(x -y )-2 =0、2*L/"SCx-y+1

5、 = 0:x + y=8=35ly =3 ly=4.5解得：|X"5或jX63長方形的面積為 15cm2或一 cm243、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用2 2例.證明：若4x-y是7的倍數(shù)，其中x, y都是整數(shù)，則8x + 10xy-3y是49的倍數(shù)。分析：要證明原式是49的倍數(shù)，必將原式分解成 49與一個整數(shù)的乘積的形式。2 2證明一：8x +10xy-3y = (2x + 3y )(4x - y)2(2x + 3y ) = 4x +6y = 4x - y +7y/ 4x - y是7的倍數(shù)，7y也是7的倍數(shù)(y是整數(shù)) 2(2x +3y )是7的倍數(shù)而2與7互質(zhì)，因此，2x+3y是7的倍數(shù)，

6、所以8x2 +10xy-3y2是49的倍數(shù)。證明二： 4xy是7的倍數(shù)，設(shè)4x y =7m( m是整數(shù)) 則 y =4x-7m2 2又 8x +10xy-3y = (2x+3y J4x - y )”(2x +12x 21m j(4x -4x +7m )= 7m(14x -21m) = 49m(2x 3m) x, m是整數(shù)， m(2x -3m )也是整數(shù)2 2所以，8x + 10xy-3y是49的倍數(shù)。4、中考點撥例1.把4x4y2 5x2y2 -9y2分解因式的結(jié)果是解:4x4y2 -5x2y2 -9y2=y2(4x4 -5x2 -9)= y2(4x2 -9 Kx2 +1 )2 2=y(X +

7、1 )(2x+3)(2x-3)說明：多項式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，繼續(xù)分解徹底。例2.因式分解：6x2-7x-5 =2解: 6x2-7x-5=(2x +1j(3x-5)說明：分解系數(shù)時一定要注意符號，否則由于不慎將造成錯誤。5、題型展示2 2例1.若x -y +mx+ 5y6能分解為兩個一次因式的積，則m的值為()A. 1 B.-1C. ±1D. 2-8 -2 2解: x -y + mx+5y-6 = (X + y x y)+ mx+5y 6-6可分解成（-2）x3或（）x2，因此,存在兩種情況:3-3由（1）可得:X 2m = 1由（1）可得： 故選擇C。說明：對

8、二元二次多項式分解因式時，要先觀察其二次項能否分解成兩個一次式乘積, 再通過待定系數(shù)法確定其系數(shù)，這是一種常用的方法。2例2.已知：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿足 （a-c） =4（b-alc-b）。求證：a-b =b-c2證明：(a-c) =4b -ajc-b)2”(a-c) -4(b-a j(c-b)=O2 2 2”a -2ac +c -4bc +4ac-4ab +4b =0”(a + cf -4b(a +c)+4b2 =02/. (a +c-2b) =0”a + c-2b =0說明：抓住已知條件，應(yīng)用因式分解使命題得證。例3.若x3+5x2+7x+a有一因式x+1。求a，并將原式因式分

9、解。32解：丁 x +5x +7x+a有一因式 x+132當 x+1=0,即卩 x=-1 時，x+5x + 7x+a=0 a = 3X3 +5x2 +7x +3=x3 x2 +4x2 +4x +3x +32=x(X+1 )+4x(x+1 )+3(x+1)= (x+1 Jx2 +4x+3)= (x+l )(x+l )(x+3)= (x+1 弘+3)說明：由條件知，X = -1時多項式的值為零，代入求得a,再利用原式有一個因式是X +1，分解時盡量出現(xiàn) X + 1，從而分解徹底?！緦崙?zhàn)模擬】分解因式:1.(1) a2b2 +16ab + 39/C、 Al- 2nA 2n卡(2) 15x+7x y

10、-4y2 2 2(3) (X2 +3x) -22(x2 +3x)+722.2 2 2在多項式 x+1, X+2, x+3, X +2X-3, X +2x-1, x +2x+3，哪些是多項式（X24222 + 2x) -10(x2 +2x) +9 的因式?33.已知多項式2x2-x-13x + k有一個因式，求k的值，并把原式分解因式。24.分解因式：3x2+ 5xy-2y +x + 9y-42 25.已知：x + y=05，x+3y=1.2，求 3x+12xy+9y 的值?！驹囶}答案】1.解:原式2=(ab) +16ab + 39 =(ab+ 3jab+ 13)2.(x23.解:解:原式原式=

11、(3x= (x2nn 彳1 I- n-y )(5x2+ 3x -4)(x解：寫(X2 +2x) -10(x2 +2x)+ 4嚴）+ 3x -18) = (x + 4)(x-1 Jx + 6IX-3)=如2 +2x( -9収 +2x( -1= (x2 +2x+ 3Ix2 +2x Tx2 +2x+ 1)(x2 +2x-1)2 2 2= (x2 +2x+3)(x+3)(x-1)(x+1) (x2 +2x-1)2 2其中 x+1, x+3, x +2x+3, x +2X-1 是多項式422+ 2x) -10X2 +2x) +9 的因式。說明：先正確分解，再判斷。解:設(shè)2x3-X2 -13x + k =

12、(2x+1Ix2+ax+b)貝y 2x3 -x2 -13x + k =2x3 +(2a +1 ；x2 +(a + 2b Jx +b'2a+1 =-1/. y+ 2b = -13 b =ka = -1解得：= 6k = 6/. k =-6且2x3 - x2 -13x-6=(2x-1；(x2 -x-6) = (2x-1)(x-3)(x + 2)說明：待定系數(shù)法是處理多項式問題的一個重要辦法，所給多項式是三次式， 已知有一個一次因式，則另一個因式為二次式，由多項式乘法法則可知其二次項系數(shù)為1。4.解：簡析：由于項數(shù)多，直接分解的難度較大，可利用待定系數(shù)法。設(shè) 3x + 5xy-2y +x+9y-4= (3x- y + mjx +2y +n)= 3x2 +5xy-2y2 +(m + 3n + (2m-n)y+mn比較同類項系