線(xiàn)性方程組的有關(guān)理論

1、線(xiàn)性方程組的有關(guān)理論線(xiàn)性方程組有很多情形，大致可以分為齊次線(xiàn)性方程組和非齊次線(xiàn)性方程組，還可以分為方程變量的個(gè)數(shù)與方程組中方程的個(gè)數(shù)相等和不相等。不論是什么情形，線(xiàn)性方程組，是否存在解及解的個(gè)數(shù)是有限還是無(wú)窮，完全決定于線(xiàn)性方程組系數(shù)矩陣的秩是否等于其增廣矩陣的秩，相等則存在解，否則方程組無(wú)解。如果方程組存在解，并且系數(shù)矩陣的秩等于方程變量的個(gè)數(shù)，那么方程組只有唯一解；如果方程組有解，并且系數(shù)矩陣的秩小于方程變量的個(gè)數(shù)，那么方程組就有無(wú)窮多解。顯然齊次線(xiàn)性方程組至少有零解。在平面中，線(xiàn)性方程組與直線(xiàn)方程緊密相關(guān)；非線(xiàn)性方程組與直線(xiàn)和二次曲線(xiàn)相關(guān)；在三維空間中，線(xiàn)性方程組與直線(xiàn)和平面方程緊密相關(guān)

2、；非線(xiàn)性方程組與曲面方程相關(guān)。圖形計(jì)算器主要是通過(guò)矩陣的形式來(lái)處理方程組。下面我們來(lái)看幾個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題1判斷m為何值時(shí)，方程組有解。(1)；(2)分析：代數(shù)上講，首先要分析的是線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣的秩，或是系數(shù)行列式的值。設(shè)，具體運(yùn)算過(guò)程參見(jiàn)圖例 (圖6圖6從圖中我們當(dāng)時(shí)，線(xiàn)性方程組(1)的系數(shù)矩陣的秩等于2，(1)在此時(shí)有唯一解(圖根據(jù)計(jì)算得到方程組(1)無(wú)解。因此結(jié)論就是當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解。對(duì)于方程(2)的情形：，方程組有唯一解，過(guò)程如下圖例。(圖6圖(圖圖幾何上分析：可以把方程組的兩個(gè)方程分別看成兩條直線(xiàn)，直線(xiàn)相交對(duì)應(yīng)方程組有唯一解；直線(xiàn)平行對(duì)應(yīng)方程組無(wú)解；直線(xiàn)重合對(duì)應(yīng)方程組有無(wú)窮多解。

3、令a=1，m，b=m，-m，那么a、b分別是兩條直線(xiàn)的方向向量。，兩條直線(xiàn)相交，方程組有唯一解。用向量的叉積來(lái)作出判斷。過(guò)程如下圖例。(圖6因此當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解。當(dāng)m=0時(shí)，方程組(1)的兩個(gè)方程，分別是直線(xiàn)方程與無(wú)解方程。時(shí)，m=-1，對(duì)應(yīng)兩條直線(xiàn)平行而不重合，方程組無(wú)解。方程組(2)同理可以分析。問(wèn)題2分析方程組解的結(jié)構(gòu)。分析把系數(shù)矩陣設(shè)為a，把增廣矩陣設(shè)為a1，常數(shù)項(xiàng)列陣設(shè)為b。用APPS6NewMatrix建立新的矩陣或者直接輸入。首先判斷系數(shù)矩陣a的行列式的值。當(dāng)方程組有唯一解。參見(jiàn)圖6。解方程命令按F2中的1，不等號(hào)從2ndCATALOG中找到。(圖6圖6(圖6圖6給出了方程組的唯一解。當(dāng)求增廣矩陣a1的最簡(jiǎn)行階梯矩陣，按2ndMATH44，或者直接輸入rref。(圖6圖6我們得到當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解當(dāng)時(shí)，方程組系數(shù)矩陣a的秩等于2，增廣矩陣a1的秩等于3，所以原方程組無(wú)解。評(píng)價(jià)與反思：從以上兩個(gè)問(wèn)題，我們看到如果方程組的系數(shù)矩陣的階數(shù)越大，就越能顯示圖形計(jì)算器的功能。我們?cè)谶@種情況下，就擺脫了繁瑣的復(fù)雜計(jì)算，轉(zhuǎn)而有精力來(lái)分析更深入的數(shù)學(xué)，有時(shí)間來(lái)學(xué)習(xí)和領(lǐng)會(huì)