2019-2020年高中數(shù)學聯(lián)賽(陜西預賽)試題含答案

1、2019-2020年高中數(shù)學聯(lián)賽（陜西預賽）試題含答案、選擇題（每小題6分，共48分.給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1、已知集合 M =1,2,3,|,10A是M的子集，且A中各元素的和為8,則滿足條件的子集A共有（）A. 8個B. 7個C. 6個D. 5個2、在平面直角坐標系中，不等式組J_ -v/3x - y - 0（x - J3y + 2之0表示的平面區(qū)域的面積是（y . 0A吏 八.2B. ,3C. 2D. 2x33、設a,b,C是同一平面內(nèi)的三個單位向量，且a_Lb,則（Ca）（cb）的最大值是D. 1A.1、24、從1211,20這20個數(shù)中，任取3個不同的數(shù)，則這3

2、個數(shù)構成等差數(shù)列的概率為1A.一51B.103C.191 D. 385、A,B是拋物線y=3-x2上關于直線x + y = 0對稱的相異兩點，則| AB |等于（A. 3B. 4C. 3 2D.6、如圖，在棱長為則三棱錐M - BCD1的正四面體 ABCD中，G為ABCD的重心,的外接球的表面積為（7、8、A.二3B. 一 二2C.fD.設函數(shù)f (x) =x3+ax2+bx+c ( a,b,c均為非零整數(shù))f (a) =a3,A. -16設非負實數(shù)A. 2一3f（b）=b ,則c的值是（）M是線段AG的中點,北6十/be十/ca的最小值為B. -4C. 4D.16a, b, c 滿足 ab

3、bc ca = a bB. 3C. -3D.22二、填空題（每小題8分，共32分）9、在數(shù)列an中，a4=1,a11=9,且任意連續(xù)三項的和都是15,則a201610、設m,n均為正整數(shù)，且滿足24m=n4,則m的最小值是.11、設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=2x,若又xw1,2,不等式af(x)+g(2x)之0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.設xwR,則函數(shù)f(x)=|2x1|十|3x2|+|4x3|+|5x4|的最小值為第二試、(本題滿分20分)設x,y均為非零實數(shù)，且滿足xsiny cos55xcos ysin 55 9 二=tan20(1)求

4、Y的值；(2)在AABC中，若tanc=y,求sin2A+2cosB的最大值.二、(本題滿分20分)已知直線l:y=J3x+4，動圓O:x2+y2=r2(1<r<2),菱形ABCD的一個內(nèi)角為600,頂點A,B在直線l上，頂點C,D在圓。上，當r變化時，求菱形ABCD的面積S的取值范圍.三、(本題滿分20分)如圖，圓Oi與圓。2相交于P,Q兩點，圓Oi的弦PA與圓。2相切，圓O2的弦PB與圓Oi相切，直線PQ與APAB的外接圓O交于另一點R.求證：PQ=QR.1一.四、(本題滿分30分)設函數(shù)f(x)=lnx+a(1),a=R,且f(x)的最小值為0,x(1 )求a的值；(2 )已

5、知數(shù)列an滿足a1 = 1 ,an 由=f (an)+2(ne N+),Sn=E十區(qū)】十區(qū)】十I。+bn，其中m表示不超過m的最大整數(shù).求Sn.五、（本題滿分30分）設a,b,c為正實數(shù)，且滿足abc=1,對任意整數(shù)n之2,證明:2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽陜西賽區(qū)預賽試題參考答案及評分標準說明：1 .訐閱試卷時，清依播本訐分標一試第一題只議6分扣0分兩襠：第二題只設8分或0分兩格；二試第一、二、三題5分為一個檔次，第四、五題10分為一個檔次。不要再增加“它中間檔次。2 .加臬先生的解笨方法和本弊軍不同.只關思珞合理,步履正，在評點計可拿累本評分標準適當時分移次評分。第一試一、選擇題:本題共8小

6、地，每小題6分，共48分.在每小U給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1 .已知集合1,2,3,1O|,A是"的子集.且d中各元京的和為8,則褥足條件的子集.4共有（）A.8個B.7個U6個D.5個解C元索和為8的子集A行：|8|1,7|,|2,6i,13.51.1.2,51/1,3,41,共6個.B-y<0.2 .在平面直角坐你系中,不等式組X-舟.2,0,表示的平面區(qū)域的面積是（）y>0A亨B.萬C.2D.2JT解：B.不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形的內(nèi)部（包括邊界），火中三個頂點的坐標分別是4（-2,0）、。（0.0）、8（1篇）.易知,分。8的面積=3

7、 .設%人c是同一平面內(nèi)的三個單位向量,且a_Lb.則（c-G（c-b）的最大值是（）A丘B(yǎng)l-"CG-1D.1tt：A.【方法1】因為=1,所以a-b=0.S6r顯.設向量。與。的夾角為乳則（c-a）（e-b）c'-c（a+b）”b«c2-Icl-lablcos=l&.當且僅當二-l,即0時等號成立.故（0）（C-»）的最大值為I后(力法2依題意,不妨設0=(l,O)、b=(O'l)、CN(cW>,si0,則(C-fl)*(c-ft)=(co»#-1)ccs$*»in0(sind-1)=+(co+sin。)=1-

8、&sin(8+學).故”in(e孑)=-l時c-a)(c")取得最大值，最大值為1立4.從1.2.,20這20個敗中.任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構成等是數(shù)列的假率為()A.yB得C-嗚解：D.從這20個數(shù)中任取3個數(shù),不同的以法共有弓=1140種.若取出的3個數(shù)aAc成等差數(shù)列.則。*c=%,所以%c同為奇數(shù),或同為偶數(shù).且%c確定后.6做之而定故所求假率為ps白5.4/是拋物線尸3-上關于直線”八0對稱的相異兩點,則1481等于()A.3B.4C3&D.4W：G【方法1】因為點火8關于宜級”尸。對你，所以L=l.設直線,48的方程為y=-6,代人3-,得2一二。.

9、由4=»1-4(5-3)0,得6畢.4設4(，九)、8(。,力),A8的中點為的(凝,為)，則&與X«-y.從而&*6=6又點M(在直線、八0上，所以-；.6-；=0.即6=1將6=1代人,得/"-2=0,解得/=-2,/=1.所以4(-2.-1)網(wǎng)1,2).故認例=3幾【方法2因為點關于亶線z*y0對稱,所以可設4(a»)、8(-4t-a).又點兒打在瓶物成上,所以亡丁解叫或1;I-a»3(-6)lb,一I：os2.不妨設4(-2,-1)/(1,2),則從m=3幾A6 .如圖I,在校長為I的iE四面體人成出中.G為48。的重心

10、，"是/'我段4c的中點.則三核譙,M-5C0的外接球的表面枳為()/MA兒"B寺C.D.誓IB：B.如圖1,連結EC.因為G為正ABCD的重心.所以4G«L平面8CD.從2016笫 2 黃(共 8 寅而AC在KMGB中,48=1=京x§二則AC=，A爐-BC'=弋.干是.，"G4c=亞在m-WGff中,M8=/MG2”/=§.從而,MC=MB=冬所以ME2MC2=1'=8C所以A/W1MC.m.MCLMD9MDL.MB.所以三校餓M-BCD的外接球的宜涇等于以MBJfCJtD為技的正力體的時角戰(zhàn)長設三校馀W-

11、flCD的外接球半徑為七則2R=QMB專故外接球的表血稅S=4萬*=ir.7 .設函數(shù)/任“"&«均為非零整數(shù)).若/(0)=J=6,則c的值是()A.-16B.-4G4D.16解：D.設g(«)=/(*)-p二"?+k+c.則由/(")=。'/(5),得g(")=g(6)=0.所以。、6為方程g(x)=0的兩個根，則。+6口曲=W消去6.得-六1=-(a2*l)(a-l)-三f因為c為整數(shù),所以a+1=£1.即。=0(含去)或。=-2.故c=16,8 .設非負實數(shù)a、6、c滿足必+60+<»

12、=。+6+<:>0,則7/+/衛(wèi)+，£的最小值為()A.2B.3C#D.26解八不妨設由均值不等式.得Yab+-/be7)n("+6)Yob(6+c)-/be*(c4-a)>fca(cJab+aJbe>6>/M(q+6)Tai(fe-¥c)y/bc-(c*a)-/caN2/ab-/ab2Ybcy/ic+2Teay/ca«2(aA+ca)當IL僅當。=0且a=6時，等號成立.乂"3*6c+B=a+6+e>0,所以-/abYbc+-/ca2.由c=0va=b.ab6c+e=a+6+c,得。=6=2tc=0.故當a

13、、6、c中有購個為2,一個為0時.依A*Q取得敢小值為X二、填空題：本題共4小題，短小JS8分，共32分將答案填在題中的橫段上.9 .在數(shù)列a；中,。4=1.a”=9,且任意連續(xù)三項的和都是15,則36=斛：5.依陽急，對任意nwN.a.+a.1*ae<2«aa>l*4-嚴I5.所以a.1=Q.從而,"!»a43I=Oii=90q=15-al-a2=5.故。場二e»o>=5.10 .設m/均為正整數(shù)，口滔足24m=廠則m的最小值是.解：54.由H4=24m=2,x3xmJ9m的設小值為2X3=54.11 .設，“)/小)分別是定義在R上

14、的奇函和偶函數(shù),且Ax)，G02,若對”*1.2】不式次x)+g(2x)。0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.解：18.因為所以/I-X)&(-X)=2：即-4“)*f(x)=2由、Wg(x)二號二,MGM號二由研D，6(2«)30.得a(2'-2”)令W,則由xsl,2,得“借茅，旦2力+2也=，+2.所以由得對“號爭他成立.因為函數(shù)f在怎掌上單調遞增,所以當，時.Q吟).噂所以"這口|J"'-gOoIX設xwR,則函數(shù)/(%)=-IIM3%-2I+I4X-3I+15”-41的最小值為.12a4/(1)=2lx-yl+3lz-于I+4lx-不

15、I+51%-了I=2(x'"1+3(+xl)*4lx-12l(x-y)-(«-y)l*3l(*-y)-(x-y)l4142=2I-tz-l31-I=1.，/AJ當且僅當(4-/)("-專)他(“/)(”-今0逐-90.即、4時,等號成立.故第二試一、(本題滿分20分)xsiny4-ycoe設人丁均為非零實數(shù)旦滿足一三5；=tan.ir,.it/uxcc*y»in2016年全H片中“多U震陜者霧久憒賽E超參劣答*第4 «(«««)(1)求十的值;(2)在MAC中，若tanC=j求sin2A*2cosB的最大值

16、.tun晟工解：(1)由已知得5xa9it二Mn.I-工tan20tantan。Q令5Mtan凡則-=tan,BPUn(*y)=n1-tan仇an-y-所以G手=A/得，即子XAsZ).故工=Un8=tan(A">。)=麗。=1.10分x44(2)由(1)得UmCL因為0<C<凡所以。=今.從而/券，則乂,亨-2B.15分442所以sinZ44-2co6fi=sin(竽-28)*2c88=-c<m28+2co6»n-2con'fl4-2cosBI=-2(cob8-)2去故當=+,即"二孕時,sin24取得最大值為"I&qu

17、ot;.20分二、(本題滿分20分)已知直線1：八屆+4,動圓0：/+尸=八1<了<2).菱形48C0的一個內(nèi)角為60。,頂點人月在直紋/上，頂點C、D在圜。上.當，變化時，求菱形ABCD的面積S的取值范圍.解：因為菱形ABCD有一個內(nèi)角為60。,所以dACD或MCD為等邊三角，不妨設AACD為等邊三角形，如圖2所示.因為圓心0到宜線I的足離為2>r,所以直線/與圓0初離.5分設直線CD的萬卷為y6,則貪戕/與CO的距離為d-寫生.又圓心0到直線CD的距離為孚，所以ICD=2"T號)”7577：由d=/ICDI.得亨？圖210分化簡得川-26+4=3，.因為1<

18、;r<2,所以3<6'-26*4<12解得-2<6<1.或I<r<4.又S=2Ssg=2x亨IC0l'=2x亨x(%產(chǎn)/=f(6_4)'.15分因為函數(shù)S=/（6-4）?在（-2.1）和（1.4）上分別單兩遞減，所以菱形ABC。的面枳S的取他范也為（0./而弘冬5,6萬）20分三、（本題滿分20分）M3如圖3,財6與惻。？相交于八Q兩點.倒。1的弦E4與IR1?！肯嗲?，馴。？的蘢/山與圓儀相切在尊盟£APA8的外接BJ0交于另一點R.求證:PQuQR.證法I:如圖3,連結分別交PQ、PO于點MJV,則OtO1±

19、;。.且M為PQ的中點.連結Pd、PO】、OO、OO2、OQ、OR,5因為/少與圓。？相切.所以/乂LP。”又PA為冽0,與胭0的公共弦，所以PA±0,0.所以P0J/0。10分同理,POiO】O.所以四邊形PO.OO,為平行四邊形.從而,N為PO的中點.乂M為PQ的中點,所以MNOQ,即aO1Oe15分因為。,O,«LPQ,所以0QLPQ,即儀，摩.又OP=OR,故Q為PR的中點，件PQ=QR.20分證法2：如圖4,連結*、8Q、AR、8R.因為PA與圓02相切，P3與101。，相切，所以乙APQ=48Q.乙/MQ=K8PQ.5分所以A/MQsWQ.所以督,留'即

20、"0=4Q8Q.10分又乙AQR=LAPQ+乙PAQ=LAPQ+LBPQ=XAPB、乙QRA=LPRA乙尸8A,所以（M/fsAR48.同理,AQR0S4RW.15分所以AM/?saqm.明4所暝器嚼，即故/V2=Q*,即PQ=QR.20分四、（本題滿分30分）設函數(shù)/（X）wR,且“）的最小值為0.（D求0的值;（2）已知數(shù)列滿足"nl,。.,，/3.）+2（nwN.）.設S.=%-aj,其中析表示不超過實數(shù)m的最大整數(shù).求S.2016年全H高中數(shù)學取賽族內(nèi)真區(qū)假寥鼠0專§答*不6天（再8頁）解:/=+-亍=寧."0.當aWO時，(幻>0,明/(

21、外在(0.8)上年調遞增,無蛀小值,不合題總.當"0時若0<“<",則八")<O;x>a.WJ/(x)>0.所以函數(shù)/(、)在(OR上單調遞城,在(%8)上單調遞增所以/(*).=<>)=池-"，1.設g(")=lna-al(a>0)則g()=-1=aa若0<。<1.則屋(a)>0;若。>1,則，(G<0.所以函數(shù)g(a)在(0.1)上取間遞功.在(I.8)上單調遞減.所以g(a)Wg(l)=0.當11僅當。=1時,等號成立.故當0=1時/(%)取得最小低0.I。分(2)由(I)知4")=1皿*,-1.所以。.|=/(4)+2=ln