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文檔簡介

1、內(nèi)容：1. 勒維-齊維塔記號2. 基本矢量運算公式3. 亥姆霍茲定理的兩種表述形式1. 勒維-齊維塔記號定義勒維-齊維塔（）記號為：+1是的偶排列-1是的奇排列0中有兩個指標(biāo)相同l 勒維-齊維塔記號的一個重要等式： 2. 基本矢量運算公式2.1 兩矢量叉乘的矩陣表示用、和分別表示直角坐標(biāo)系、和軸的單位向量，則可知有如下關(guān)系成立 因此即有 2.2 三個矢量間的混合積和雙重矢量積利用標(biāo)量積和矢量積的定義，可以證明兩個很有用的公式：三個矢量的混合積 雙重矢量積 上述兩公式的證明如下：l 混合積公式的證明由行列式可以看出混合積對、和具有輪換對稱性，即有： l 雙重矢量積公式的證明即有： 上式證明中用到

2、了勒維-齊維塔記號的性質(zhì)式。2.3 算符的線性運算性質(zhì)對任意的數(shù)量場、以及矢量場、，根據(jù)算符的定義以及矢量的標(biāo)量積和矢量積的分配律，容易驗證算符具有如下線性運算性質(zhì)： 式中、為任意常數(shù)。例題：求兩個矢量場、的矢量積的散度，即求解 考慮到算符的求導(dǎo)作用式中表示不被作微分運算，同理（以后此種記號都作這樣的理解）。根據(jù)矢量公式作調(diào)整得到 交換、的順序，由式可以推出 于是 推導(dǎo)過程說明在式中的項是過渡性的。之所以這么說是因為在這一步中僅考慮了矢量運算法則，而沒有顧及到矢量要被作微分運算（即只能出現(xiàn)在的后面）。但是這一步對于得到最終的結(jié)果還是必要的，因此在進(jìn)行具體運算時也需要把它寫出來。不過它不能直接以

3、相等的關(guān)系出現(xiàn)在運算過程中，所以在推導(dǎo)過程中我們用記號“”把它與其它項區(qū)別開來，以表示“過渡性”的含義。還要指出的是在式、式的最后結(jié)果中，我們把、的下標(biāo)都去掉了，這是因為、僅僅是用以表示、不被哈密頓算符作用的一種“記法”，現(xiàn)在既然、都已經(jīng)挪到的前面去了，所以再在、的下面放個就沒有意義了。3 亥姆霍茲定理的兩種表述形式l 亥姆霍茲定理 表述形式之一：在空間有限區(qū)域內(nèi)的任意一個矢量場，由它的散度、旋度以及邊界條件（即限定體積的閉合面上的矢量場分布）唯一確定。l 亥姆霍茲定理 表述形式之二：對于空間有限區(qū)域內(nèi)的任意一個矢量場，若已知它的散度、旋度和邊界條件，則可以唯一地確定該矢量場，并可以將之表示成一個無旋場（）和一個無源場（）之和。即 其中 上面兩式中，是場點到源點的距離。代表已知的通量源密度，代表已知的旋渦源密度。“”和“”分別表示對求散度和旋度。函數(shù)是給定的。如果矢量場在無限遠(yuǎn)處以足夠快的速度減弱至零，則式和式中的體積分可以擴(kuò)展到整個無限大空間，并且

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