初中教學(xué)論文淺淡數(shù)學(xué)發(fā)散思維的特征與培養(yǎng)

1、淺淡數(shù)學(xué)發(fā)散思維的特征與培養(yǎng)引言：著名數(shù)學(xué)家馬明先生說過：數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維過程，更確切地說是展示和發(fā)展思維的過程?，F(xiàn)今的教材內(nèi)容，偏重邏輯思維，以常規(guī)的演繹推理的抽象題型培養(yǎng)學(xué)生的三大能力（運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力）。這顯然與今后社會的發(fā)展對開拓創(chuàng)新型人才的需要不相適應(yīng)。因此，教育的側(cè)重點作了如下轉(zhuǎn)變：培養(yǎng)的學(xué)生由知識型轉(zhuǎn)向開放型；變邏輯、集中思維為發(fā)散、直覺思維；變基礎(chǔ)、應(yīng)試教育為能力、應(yīng)變教育。因此，身為教育第一線的教師，就得研究教育的對象，教學(xué)方法和如何調(diào)動教育對象的思維積極性。 關(guān)鍵詞：探索、尋求、總結(jié)摘要：當(dāng)今的教育，在不斷地創(chuàng)新，不斷地改革。作為被教育者學(xué)生，就必須

2、具有創(chuàng)新的思維、發(fā)散的思維。但是目前，相當(dāng)多的學(xué)生在解題是，滿足于一題一解。因而，思路狹窄，方法單一，以致題目稍作變化，就一籌莫展。為了改變這種狀態(tài)，本人選用“一題多問”、“一題多解”、“一題多變”和“一題多思”等形式進(jìn)行解題教學(xué)，從而收到了較好的效果。如下是本人的一點點拙見：一、 數(shù)學(xué)發(fā)散思維的含義和特征。發(fā)散思維（又稱輻射思維）是指對已知數(shù)學(xué)信息進(jìn)行多方向、多角度的思考，從而提出新問題、探索新知識或發(fā)現(xiàn)多種解答和多種結(jié)果的思維方式。它的特點是對已知信息通過轉(zhuǎn)換或改造進(jìn)行擴(kuò)散派生，思路廣闊，尋求變異，以形成各種新視角或新思路。發(fā)散思維在思維方向上具有逆向性、側(cè)向性（或橫向性）和多向性；在思維

3、內(nèi)容上具有變通性和開放性，發(fā)散思維對推廣問題，引伸知識、發(fā)現(xiàn)新方法等具有積極的開拓作用。二、 發(fā)散思維的培養(yǎng)與訓(xùn)練。1、一題多問，創(chuàng)設(shè)情境，深入探索。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生努力做到問題解完，思路不斷，深入探索，總結(jié)經(jīng)驗，讓知識得以深化，達(dá)到正向遷移。怎樣創(chuàng)設(shè)情境？一般可如下幾問： 解此題最關(guān)鍵的步驟是什么？你是怎樣完成這一步的？ 解此題用的是什么方法？其法有無技巧？ 解本題的方法你以前見過否？在解哪道習(xí)題時曾用過？這種方法有無普遍意義？ 本題的結(jié)論能否應(yīng)用或推廣到一般？ 還有無其它解法？本題能否進(jìn)行演變？例題：已知：如圖1在梯形ABCD中，ADBC，過對角線交點O平行于底線BC的直線交兩腰A

4、B，CD于E、F，求證：OE=OF。證法1：（以下各法均為略證）。AEODCBF圖（1）BOEBDA COFCAD ADEFBC OE=OF 這里，僅就其中一問舉例如下：教師：這種證法的思路是什么？關(guān)鍵的一步是什么？學(xué)生：若證明二線段a=b，只需證明即可。最關(guān)鍵的步驟是找到“過渡比例式”。很明顯，一題多問是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，深刻性的好辦法。2、一題多解，開拓思路，啟迪思維。一題多解，即面對一個問題，引導(dǎo)學(xué)生盡量提出多種思路，特別是那些不依常規(guī)，不拘常法的新途徑、新方法，從而把思維展開、擴(kuò)散，讓其盡情馳騁，進(jìn)而使學(xué)生思維的多向性得以發(fā)展。一題多解的方法較多，這里僅舉兩種為例。（1）充分挖掘圖形的

5、性質(zhì)，廣泛聯(lián)想，平行類比。譬如，對例題的圖形進(jìn)行剖析，可得下圖：（圖2）ADCBFEADBC0ADOEBAAOBCEBh2 ECBOFh1 AFDCAOCBFODADh2圖（）經(jīng)過學(xué)生的細(xì)心觀察和教師的點拔，發(fā)現(xiàn)表示例題的中心，圖形是由上、下、左、右六個符合定理的基本圖形組合而成的。從而，學(xué)生很快又獲得10余種證法，下面僅舉4種供參考。證法：如圖所示。ABCAEO DCBDFOOE=OF ADBC證法3：如圖中心圖所示，設(shè)的 高分別為，由相似三角形的性質(zhì)得：兩式相除= =1OE=OF證法4：應(yīng)用相似三角形的另一性質(zhì)，可得 SAEO=SDFO ADBCSABC=SDCBEO·h1=FO

6、·h1OE=OF證法：容易證得SA=SDEO·（h1h2） FO·（h1h2）OE=OF由上面五種證法可以看出：運(yùn)用在同一學(xué)科內(nèi)的平行類比，廣泛聯(lián)想，不僅拓廣了思路，而且又可獲得解題技巧，增強(qiáng)能力，從而，也培養(yǎng)了學(xué)生思維的縱向波動性。（）綜合運(yùn)用所學(xué)的教學(xué)知識，垂直類比，融會貫通利用不同學(xué)科的密切聯(lián)系，本文例題還可獲得下面兩種（限于學(xué)生的知識面）代數(shù)法。證法：如圖中心圖所示，設(shè) 可得方程組：兩式相加即同理可得OE=OF。證法：再設(shè)，則易得：兩式相除 ，即OE=OF又如：已知，如圖，梯形ABCD中，ADBC,DE=EC,EFAB于點F.求證：梯形=AB·E

7、F.證法：如圖，過E作MNBA交BC于N，交AD延長線于M， DE=EC，ADBC1=2又DEN=CENDEMCEN梯形ABCD= AB·EF圖證法2：如圖4-32，過D作DHAB交BC于H，交WF于G，過C作CMGFDEF交DG于M，則EGMCE圖CHBM 證法3：如圖4-33，作EGBC交AB于G，連結(jié)EA、EBOEBCFAD圖 DA證法4：如圖4-34，連結(jié)EA并延長交BC的延長線于G，作GMEF交AB于M，圖GBCMEF 證法5：如圖4-35，延長E F到F,使EF=EF,過點F作ABAB,交BC的延長線于點A,交AD的延長線與點B.BDA則四邊形AB為平行四邊形，F(xiàn)ACEF

8、圖5B不難看出，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行一題多解，不僅使題目中的條件和結(jié)論簡單化，而且還會使學(xué)生對問題的認(rèn)識更深入、更全面。尤其是對于那些添加輔助線的難題來說，更是別開生路。從而也培養(yǎng)了學(xué)生思維的橫向波動性。、一題多解，尋求變導(dǎo)，舉一反三。一題多變有三種形式，即：演變條件、演變結(jié)論、演變圖形，三者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。一般地，可對學(xué)生進(jìn)行以下幾個方面的訓(xùn)練。 題目的條件和圖形不變，結(jié)論演變； 題目的結(jié)論不變，條件和圖形演變 倒果為因，把結(jié)論和某一條件對換 將條件，結(jié)論和圖形逐步演變。此外，還可以把一道證明題經(jīng)過“改頭換面”變?yōu)橛嬎泐}、是非題、填空題、討論題或選擇題等。例如：在學(xué)生完成本文例題的證明

9、之后，通過增置條件，可變?yōu)椋涸O(shè)AD=a，BC=b，試求EF的長。這時，大多數(shù)學(xué)生都能敏捷、迅速的聯(lián)想到“證法6”，竟相舉手發(fā)言，答曰：學(xué)生，輕松愉快；教師，欣然鼓勵。接著，教師又在學(xué)生稍為平靜的思維湖面上投下一顆石子：若將此題改變題型或把結(jié)論進(jìn)行演變，還可獲得哪些新題目呢？學(xué)生個個積極思考，“求證：?！庇械恼f：“求證：”教師指出：后者形式的結(jié)論，表示線段的方法要一致。學(xué)生又立刻活躍起來，僅用十幾分鐘的時間，就獲得了變異結(jié)論的累累碩果。整得如下表：減少條件增加條件例題求EF的長延伸結(jié)論求證：類比聯(lián)想證法聯(lián)想此表中“”表示正向思維，“”表示逆向思維。CFBEDqrAp9 / 9文檔可自由編輯打印F

10、EBCDh2h1oPDFECBbaoS2S1CBDDFQPOCB本來，問題到此可結(jié)束，但教師：若將例題中的EF在梯形內(nèi)平移（如圖上），EG和HF是什么關(guān)系？若去掉EFBC而給出情況又怎樣？若再將EF平移到梯形外（如圖下），過兩腰延長線的交點，被兩條對角線的延長線截得二線段PE、PF又是什么關(guān)系呢？寥寥數(shù)語，又將學(xué)生引入“憤”、“悱”境地。緊接著，教師又提示：如果將梯形變?yōu)橐话愕膱A內(nèi)接四邊形（如圖左下），兩條對角線交點O恰為弦EF的中點，那么這條弦EF被另外兩弦AB、CD所截得的兩條線段OP和OQ是否還相等呢？真是一波未平，一波又起。教師：同學(xué)們看，圓內(nèi)的圖形多么象一只美麗的蝴蝶呀！因此，這個命

11、題名為“蝴蝶定理”。不過這個問題有待于學(xué)習(xí)圓內(nèi)成比例線段定理之后再研究吧。留下一個懸念，激發(fā)了好奇心與強(qiáng)烈的求知欲。為了更充分地利用這一題、一圖所展示的有用信息，教師又給出了圖中演變而來的各圖所代表的題目（限于篇幅，恕不列舉），布置課后進(jìn)行演變討論。由于學(xué)生對“一題多變”頗感興趣，經(jīng)過積極思維，充分研究，再通過歸納、梳理，又獲得二十幾個新題目，并且都得到了證明，其中“過任意梯形對角線交點且平行于底的直線被兩腰截得的二線段相等”是一個很重要的定理，而且還有很多的用處。足見，象這樣一題多變，由一道題變成一組題，而它們的解法又大致相同，達(dá)到了“多題一解”、“化難顯易、以少勝多”的目的，又可使學(xué)生擺脫

12、“題?！敝?，收到了舉一反三、觸類旁通的效果，并能培養(yǎng)學(xué)生的連動思維能力。、一題多思，探索發(fā)現(xiàn)，總結(jié)規(guī)律解題之余，教師還要及時指導(dǎo)學(xué)生對所獲得的有用信息作一番認(rèn)真剖析、探索，進(jìn)行一題多思的總結(jié)。解題后，一般可進(jìn)行如下幾方面的思考： 本題共有多少種解法？哪種解法最佳？這些解法中有無解題技巧？ 這些解法中有幾種思路？各種解法之間的區(qū)別與聯(lián)系是什么？哪種解法具有更廣泛的意義？ 這些解法中有無新方法？新方法的特點是什么？ 從本題的解法中能否總結(jié)出一條規(guī)律？這條規(guī)律是否具有一般性？能否加以推廣？ 本題可獲得多少種變化？能否組成一類題，一組題？這一類題，一組題的關(guān)系如何？其共同解法是什么？很顯然，如果教師能夠堅持不懈地引導(dǎo)學(xué)生在解題后，進(jìn)行一題多思，就能養(yǎng)成習(xí)慣，形成解題能力。數(shù)學(xué)家G利亞說過：問題是數(shù)學(xué)的心臟。這就是說，解題是數(shù)學(xué)教學(xué)