圓錐曲線基礎(chǔ)知識與典型例題_圖文

1、圓錐曲線 |+|MF 2|=6,則M 點的軌跡(D線段則動點的軌跡方程是( (D0(1251622=+y y x 例 1. D 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題(第八章圓錐曲線答案 例 2. B 例 3. C 先考慮 M+m=2a，然后用驗證法. 例 4. B 提示：e= 4 ,P 點到左準(zhǔn)線的距離為 2.5，它到左焦點的距離是 2， 2a=10, P 點到右焦 5 解得 PF1 = n + 2 + n , PF2 = n + 2 - n 而 F1F2 = 2 n + 1 由勾股定理得 SV PF F = 1 PF1 × PF2 = 1 2 點評考查雙曲線定義和方程思想. 1 2 點的距離是

2、8，P 點到右焦點的距離與到左焦點的距離之比是 4 : 1; 1 6. 2a 例 5. B | PF1 | = | PF2 | = 2c = | PF1 | + | PF2 | = ， 2c = e = = sin15° sin 75° 1 sin15° + sin 75° sin15° + cos15° 2a 2 sin 60° 3 例 6. C 提示：橢圓 3x24y2=48 中，a=4, c=2, e= 1 , 設(shè)橢圓上的 P 點到右準(zhǔn)線的距離為 d，則 2 | PF | 1 = , |AP|2|PF|=|AP|d,

3、當(dāng) AP 平行于 x 軸且 P 點在 A 點與右準(zhǔn)線之間時，|AP| 2 d d 為一直線段，距離最小，此時 P 點縱坐標(biāo)等于 3 ，P 點坐標(biāo)是(2 3 , 例 7. (3, ± 4 或(-3, ± 4 例 8. (1 3 x2 y2 x2 y2 x2 y2 + = 1或 + = 1; + = 1; (2 25 16 16 25 6 3 x2 x2 y2 x2 x2 y2 2 2 + y = 1或 + y = 1或 + = 1; + = 1. (3 (4 9 4 9 81 4 16 | PF1 | + | PF2 | 2 = a2 = 4 例 9. | PF1 | 

4、15; | PF2 | ( 2 x2 y2 例 10. 解:設(shè)橢圓方程為 2 + 2 =1,(a>b>0 a b b2 b2 PQx 軸時，F(xiàn)(-c,0，|FP|= ，又|FQ|=|FP|且 OPOQ，|OF|=|FP|,即 c= ac=a2-c2, a a 5 -1 3 e2+e-1=0,e= 與題設(shè) e= 不符,所以 PQ 不垂直 x 軸. 2 2 4 1 3 PQy=k(x+c,P(x1,y1,Q(x2,y2,e= ,a2= c2,b2= c2, 3 3 2 所以橢圓方程可化為:3x2+12y2-4c2=0,將 PQ 方程代入， 得(3+12k2x2+24k2cx+12k2c

5、2-4c2=0,x1+x2= 由|PQ|= x2 y2 1 - = 1( x < -2 例 18. 2 4 12 2 2 2 1 x y (-3 (2 3 2 - = l ( 0, 例 19.設(shè)雙曲線方程為 - =l l = , 4 9 16 9 16 2 2 2 2 æ1 6- k > 0 ö x y x y - =1 ; 設(shè) 雙 曲 線 方 程 為 - =1 ç 雙曲線方程為 ÷ 9 4 16 - k 4 + k è4+ k > 0 ø 4 2 2 x2 y 2 (3 2 2 =1 - = 1 ,解之得 k=4,

6、 雙曲線方程為 - 12 8 16 - k 4 + k x2 y 2 x2 y2 評注：與雙曲線 2 - 2 = 1 共漸近線的雙曲線方程為 2 - 2 = l ( 0，當(dāng) >0 時，焦 a b a b x2 y 2 點 在 x 軸 上 ； 當(dāng) <0 時 ， 焦 點 在 y 軸 上 。 與 雙 曲 線 2 - 2 = 1 共 焦 點 的 雙 曲 線 為 a b 2 2 x y - 2 = 1 (a2+k>0，b2-k>0。比較上述兩種解法可知，引入適當(dāng)?shù)膮?shù)可以提高解 2 a +k b -k 例 17. 題質(zhì)量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準(zhǔn)確地理解解析幾

7、何的基本思想. 例 20. 解題思路分析： - 24k 2 c 12k 2 c 2 - 4c 2 , x x = 1 2 3 + 12k 2 3 + 12k 2 20 24k 2 c 2 4(12k 2 c 2 - 4c 2 20 2 得 1+ k · ( = - 9 9 3 + 12k 2 3 + 12k 2 y y OPOQ, 1 · 2 = -1 即 x1x2+y1y2=0,(1+k2x1x2+k2c(x1+x2+c2k2=0 x2 x1 4 4 2 2 2 把 x1 + x2 ， x1 x2 代入，解得 k = ，把 k = 代入解得 c =3 11 11 2 x

8、a2=4,b2=1，則所求橢圓方程為 +y2=1. 4 例 11. B 例 12. C 例 13. D 例 14. C 例 15. C 例 16. A 假設(shè) PF , 1 > PF 2 ,由雙曲線定義 PF 1 - PF2 = 2 n 且 PF 1 + PF2 = 2 n + 2 第 11 頁 ì y = kx + 2 - k ï 法一： 顯然 AB 斜率存在設(shè) AB： y-2=k(x-1 由 í 得： (2-k2x2-2k(2-kx-k2+4k-6=0 y2 2 =1 ïx - î 2 x + x k (2 - k 當(dāng)>0 時，

9、設(shè)A （x1,y1） ， B （x2,y2） 則 l = 1 2 = k=1， 滿足>0 直線 AB： y=x+1 2 2 - k2 ì 2 y12 x - =1 ï ï 1 1 2 法二：設(shè) A（x1,y1） ，B（x2,y2）則 í 兩式相減得：(x1-x2(x1+x2= (y1-y2(y1+y2 2 2 ï x 2 - y2 = 1 2 ï î 2 y2 2 ´1 y1 - y2 2( x1 + x2 2 = 1 AB：y=x+1 代入 x - = 1得：>0 x1x2 k AB = = 2 2

10、x1 - x2 y1 + y2 評注：法一為韋達定理法，法二稱為點差法，當(dāng)涉及到弦的中點時，常用這兩種途徑處理。 在利用點差法時，必須檢驗條件>0 是否成立。 （2）此類探索性命題通?？隙M足條件的結(jié)論存在，然后求出該結(jié)論，并檢驗是否滿足所有 條件.本題應(yīng)著重分析圓的幾何性質(zhì)，以定圓心和定半徑這兩定為中心 設(shè) A、B、C、D 共圓于OM，因 AB 為弦，故 M 在 AB 垂直平分線即 CD 上；又 CD 為弦， 故圓心 M 為 CD 中點。因此只需證 CD 中點 M 滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD| ì y = x +1 ï 由í 得：A（-1，0

11、） ，B（3，4）又 CD 方程：y=-x+3 y2 2 =1 ïx - î 2 第 12 頁 ì y = -x + 3 ï 由í 得：x2+6x-11=0 設(shè) C（x3,y3） ，D（x4,y4） ，CD 中點 M（x0,y0） y2 2 x - = 1 ï î 2 x + x4 = -3, y0 = - x0 + 3 = 6 M（-3，6） 則 x0 = 3 2 1 |CD|= 2 10 又|MA|=|MB|= 2 10 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 2 A、B、C、D 在以 CD 中點，M（-3，6）為圓心，

12、 2 10 為半徑的圓上 評注：充分分析平面圖形的幾何性質(zhì)可以使解題思路更清晰，在復(fù)習(xí)中必須引起足夠重視. p 例 21. B( = -2, p = -4即x 2 = 2 py = -8 y 例 22. B 2 例 23. B(過 P 可作拋物線的切線兩條，還有一條與 x 軸平行的直線也滿足要求。 例 24. C 作為選擇題可采用特殊值法,取過焦點，且垂直于 對稱軸的直線與拋物線相交所形成線段分別為 p,q， 注:1.解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般方法是聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程， 必須討論二次項系數(shù)和判別式，利用韋達定理尋找兩根之和與兩根之積之間的關(guān)系求解 有時借助圖形的幾何性質(zhì)

13、更為簡潔 此題設(shè)直線方程為 x=ky+2p； 因為直線過 x 軸上是點 Q(2p， 0，通常可以這樣設(shè)，可避免對直線的斜率是否存在討論2凡涉及弦的中點及中點弦問題， 利用平方差法；涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達定理，設(shè)而不求簡化運算3在引入點參數(shù) (本題中以 AB 弦的兩個端點的坐標(biāo)作為主參數(shù)時，應(yīng)盡量減少參數(shù)的個數(shù)，以便減少運算 量由 OAOB 得 x1x2+y1y2=O 這個關(guān)系對于解決此類問題十分有用4列出目標(biāo)函數(shù)， |OH|= k 4 + 5k 2 + 4 P，運用函數(shù)思想解決解析幾何中的最值問題是解決此類問題的基本思 路，也可利用基本不等式 a2+b22ab 當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時“=”

14、成立求解 例 31. B 例 32. D 例 33. C 例 37. y 8x |MC|=|MD|= 例 34. A 例 35. B 例 36. 9x+16y=0 (橢圓內(nèi)部分 則 p=q=|FK| 而 | FK |= 1 , 2a x2 y 2 + =1 例 38. 25 9 例 39. 解析：SAFB=2SAOF，當(dāng)點 A 位于短軸頂點處面積最大.答案：D 例 40. D41. B 42. B 數(shù)形結(jié)合估算出 D 例 43. D 例 26. 1 1 2 2 + = = = 4a 1 p q p ( 2a 例 25. 解析：運用拋物線的準(zhǔn)線性質(zhì).答案：B x2=8y 例 27. p2 例 2

15、8. x + ( y + = 9 2 2 a2 = 4 , a2 = 4 , 例 40. C由已知得曲線 C1 的準(zhǔn)線為 x = 4 ,焦點在 x 軸上且 c 2 a = 2, c = 1 , k = b = 3 6 6 U p - arctan ,p 2 2 例 30. 解：由題意，直線 AB 不能是水平線， 故可設(shè)直線方程為： ky = x - 2 p . ìky = x - 2 p, 2 2 又設(shè) A( x A , y A , B( x B , y B ，則其坐標(biāo)滿足 í 2 消去 x 得 y - 2 pky - 4 p = 0 y = 2 px . î 例

16、 29. 0, arctan y A + y B = 2 pk, ì x A + x B = 4 p + k ( y A + y B = (4 + 2k 2 p, 由此得 ì ï í 2 í ( y A yB 2 î y A y B = -4 p . = 4 p2 ïx A xB = 2 î uuu r uuu r 因此 OA × OB = xA xB + yA yB = 0 ,即 OA OB . (2 p 3 4 例 45.k< - 2 3 2 3 或k > 3 3 例 46. 3 2 例

17、47. (0， 3 2 例 48. 解：設(shè) AB：y=- 1 x+m,代入雙曲線方程得 11x2+4mx-4(m2+1=0, 2 這里=(4m2-4×11-4(m2+1=16(2m2+110 恒成立， 故 O 必在圓 H 的圓周上. 又由題意圓心 H（ xH , y H ）是 AB 的中點， x + xB ì xH = A = ( 2 + k 2 p, ï ï 2 故í 由前已證 y + y A B ïy = = kp. B ï 2 î OH 應(yīng)是圓 H 的半徑， 且 | OH |= 2m 1 12 m 4m ，x

18、0=- ,y0=- x0+m= , 2 11 11 11 若 A、B 關(guān)于直線 y=2x 對稱，則 M 必在直線 y=2x 上， 設(shè) A(x1,y1,B(x2,y2,AB 的中點為 M(x0,y0,則 x1+x2=- 12 m 4m 1 =- 得 m=1，由雙曲線的對稱性知，直線 y=- x 與雙曲線的交點的 A、B 必關(guān)于 11 2 11 直線 y=2x 對稱. 存在 A、B 且求得 A( 2 11 ，- 1 11 ，B(- 2 11 ， 1 11 x +y 2 H 2 H = k + 5k + 4 p .從而當(dāng) k=0 時，圓 H 的半徑最小，亦使圓 H 的面 4 2 積最小.此時，直線

19、AB 的方程為：x=2p. 第 13 頁 第 14 頁 8、當(dāng)你想“超越對手”時，請“瘋狂地運用智慧”吧！ 瘋狂代表著人類超越自我的精神； 代表著對理想的執(zhí)著追求； 代表著對事業(yè)忘我的全情投入； 代表著不達目的絕不罷休的激情。 “Crazy” stands for the human spirit of transcending oneself. stands for the single-minded pursuit of dreams. stands for the total devotion to your work. stands for the passion of commitm

20、ent to reach the goal. Once you have this craziness, 有些人誤以為李陽發(fā)起的 “瘋狂英語” ， 只是大聲地苦熬意志， 狂喊地鍛煉膽量。 其實， “瘋狂”的最高境界是智慧， “瘋狂”的最高境界是了解人性后的覺悟！ 我從來堅信： “成功一定有方法！成功一定有簡單而實用的方法！ ” 劉翔為什么會成為中國第一個 110 米跨欄的世界奧運冠軍？為什么他能比一般 隊員節(jié)省很多時間取得突破？除了努力和天分外，科學(xué)而實用的訓(xùn)練，才是成功 的關(guān)鍵。 世界跨欄飛人劉翔背后，站著一位神奇而有超級智慧的教練孫海平。有人 笑說： “劉翔的成績越好，教練孫海平的頭發(fā)就越少。 ” 當(dāng)劉翔剛試訓(xùn)的時候，動作僵硬，孫教練差點準(zhǔn)備放棄他了，只因為孫海平發(fā) 現(xiàn)劉翔的領(lǐng)悟能力很強，才留了下來。體育天賦分兩種，一種是先天的，另一種 是后天領(lǐng)悟獲得的。孫教練