《數(shù)值計(jì)算方法》精彩試題集及問題詳解

1、f (x)dx,用三點(diǎn)式求得f (1)答案:2.367, 0.252、f (1)1, f(2) 2, f(3)1，則過(guò)這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中x的系數(shù)為拉格朗日插值多項(xiàng)式為答案：-1,1 1L2(x)-(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3)尹 1)(x2)3、近似值x* 0.231關(guān)于真值x 0.229有(2 )位有效數(shù)字;4、設(shè)f (x)可微,求方程x f (x)的牛頓迭代格式是(Xn f(Xn)xn 1 Xn答案1 f (xn)5、對(duì) f(x) x3 x 1,差商 f0,1,2,3(1), f0,1,2,314),0)；&計(jì)算方法主要研究(截?cái)?誤差和(舍入)誤差；7、用二分

2、法求非線性方程 f (x)=0在區(qū)間(a,b)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為8已知f(1)= 2, f(2) = 3, "4) = 5.9,則二次Newton插值多項(xiàng)式中x2系數(shù)為(0.15 );11、兩點(diǎn)式咼斯型求積公式111.31°f(x)dx (0f(x)dx ?f(苛)、31f(23),代數(shù)精計(jì)算方法期中復(fù)習(xí)試題、填空題:1、已知f(1) W f(2) 2, f(3)3 ,則用辛普生(辛卜生)公式計(jì)算求得31度為(5 );1012、為了使計(jì)算4(x 1)26(x 1)3的乘除法次數(shù)盡量地少,應(yīng)將該表達(dá)式改寫為y 10(3(4,為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式.200119

3、99改寫為2001.1999_ o313、用二分法求方程f(x) x x 10在區(qū)間0,1的根,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為0.5，1,進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為0.5, 0.751 14、計(jì)算積分o.xdx,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為0.4268 ，用辛卜生公式計(jì)算求得的近似值為0.4309，梯形公式的代數(shù)精度為1，辛卜生公式的代數(shù)精度為 3。15、設(shè) f(0)0, f(1)16, f(2)46,則 li(x)li(x)x(x 2)_, f(x)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為 N2(x)16x 7x(x 1)16、a求積公式bf(x)dxnA<f(Xk)k 0的代數(shù)精度以(高斯型)

4、求積公式為最高，具有(2n 1)次代數(shù)精度。17、已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求51 f(x)dx (12 )。18設(shè) f (1)=1，f(2)=2，19、(如果用二分法求方程10 )次f (3)=0，用三點(diǎn)式求3xx 40在區(qū)間f (1)(2.5 )。1,2的根精確到三位小數(shù)，需對(duì)分20、a=(21、nlk(x)k 0n(xkk 0S(x)已知3)，l°(x), h(x),o3x1 3-(x 1)2b=(3a(x1)2 b(x 1) c3是三次樣條函數(shù)，則)，c=( 1,ln(x)是以整數(shù)點(diǎn)XoM, ,xn為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)

5、，則Xkl j (Xk)0(Xj)22、數(shù)。3)lk(x)(區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù))S(x)在a，b上具有直到2階的連續(xù)導(dǎo)23、jf JI改變函數(shù)f (x) x 1'x1(x 1 )的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確24、若用二分法求方程 次.O0在區(qū)間1,2的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對(duì)分S x25、設(shè)2x3,032x axxbx1c, 1 x 2是3次樣條函數(shù)，則a= 3, b= -3, c=126、若用復(fù)化梯形公式計(jì)算477個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。°exdx要求誤差不超過(guò)10 6利用余項(xiàng)公式估計(jì),至少用27、 若 f(x)3x4 2x 1，則差商 f2,4,8,16,321 2

6、 f (x)dx - f ( 1)28、數(shù)值積分公式 192。選擇題8f(0)f (1)的代數(shù)精度為1、三點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為(B )A.2B. 5C.32、舍入誤差是(A )產(chǎn)生的誤差。A.只取有限位數(shù)B.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C.觀察與測(cè)量D .數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值3、3.141580是n的有(B )位有效數(shù)字的近似值。A.6B.5C.4D.74、 用1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是( C)誤差。A.模型B.觀測(cè)C .截?cái)郉.舍入x5、用1 + 3近似表示劉C所產(chǎn)生的誤差是(D )誤差。A.舍入B.觀測(cè)C .模型D.截?cái)? -324 . 7500是舍入得到的近似值，它

7、有(C )位有效數(shù)字。A .5B .6C .7D .87、設(shè)f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為(A )A.-0 . 5B . 0 . 5 C . 2D . -28、三點(diǎn)的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C )。A .3B .4C .5D .29、( D )的3位有效數(shù)字是0.236X 102。(C) 235.418 (D) 235.54X 10- 1(A) 0.0023549 X 103(B) 2354.82 X 10-210、用簡(jiǎn)單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根,把方程f(x)=0表示成x= (x),則f(x)=0的根是(B )。(A) y= (x)

8、與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C) y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(B) y=x與y= (x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D) y=x與y= (x)的交點(diǎn)11、拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(B )，牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(C ) o(A) f(x,x0,x1,x2.,xnx®(x x2)(x xn 1)(x xn),(n 1)Rn(x) f(x)(B)Pn(x)j(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2.,x(x)(x x1)(x x2)(xxn 1)(x xn), f (n 1()Pn(x)(n 1)!Rn(x) f(x)(D)12、用牛頓切線法解方程f(x)=0，選初始值x0滿足(A)，則它的解數(shù)列xnn

9、=0,1,2,n l(x)定收斂到方程f(x)=0的根。(A)f(x°)f(x) 0(B)f(x°)f(x) 0(C)f(x°)f(x) 0(D)f(x°)f(x) 02x(A)xk1x(B),迭代公式:xk 1X12Xk3(C)xx2,迭代公式:Xk 1(12、1/3Xk)3x(D)x2,迭代公式：Xk 12Xkbf(x)dx a14、在牛頓-柯特斯求積公式：公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)( 使用(b a)i 0n(n)Ci f(Xi)中，當(dāng)系數(shù)C(n)是負(fù)值時(shí),)時(shí)的牛頓-柯特斯求積公式不13、為求方程x3x2仁0在區(qū)間1.3,1.6的一個(gè)

10、根，把方程改寫成下列形式，并建立 相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )o1一,迭代公式：Xk 1x 1(1) n 8，(2) n 7，(3) n 10，(4) n 6,23、有下列數(shù)表X00.511.521 2.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是()。(1) 二 次；(2)三次；(3)四次；(4)五次15、取亦 1.732計(jì)算x (亦1)4，下列方法中哪種最好？()1616(A) 28 16 亦；侶)(4 2后；(C) (42亦)2 ；(D)1)4。3 X0 x2S(x)3b 2 x26、已知2(x 1) a(x 2)4是三次樣條函數(shù)，則a,b的值為

11、( )(A)6, 6;(B)6 , 8;(C)8, 6;(D)8, &16、由下列數(shù)表進(jìn)行Newt on插值，所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是()Xi11.522.533.5f (Xi )-10.52.55.08.011.5(A)5;(B)4 ;(C) 3 ;(D) 217、形如bf (x)dx A1 f (x1)aA?f(X2)A3f(X3)的高斯度為()(A)9;(B)7 ;(C) 5 ;(D) 31&計(jì)算-3的Newton迭代格式為()xk 1(A)Xk 3Xk 12Xk ; (B)xk322XkxXkk 1;(C)219、用二分法求方程x3 4x2100在區(qū)間1,2的實(shí)根

12、,對(duì)分次數(shù)至少為()(A)10;(B)12 ;(C)8 ;(D)9 0(Gauss)型求積公式的代數(shù)精2xk3xk 1Xk ; (D)3Xk0I 103要求誤差限為2，則kli(k)(A)x;(B) k ;(C)i ;(D) 1033、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有()次代數(shù)精度(A)5 ;(B)4 ;(C)6 ;(D)3 03X0x 2S(x)321、已知2( x 1) a(x 2)b 2x 4是三次樣條函數(shù)，貝U a,b(A)6, 6 ;(B)6, 8 ;(C)8,(6 ;(D)8, &35、已知方程x3 2x 50在 x2附近有根，下列迭代格式中在X。20、設(shè) h(x)

13、是以 xk k(k0,1丄，9)為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則k 0的值為(2不收斂的是( )Xk 1Xk(A) xk 13 2xk 5 22、由下列數(shù)據(jù)(B)2總3xk (C) xk 1 xk xk 5 (D)X0|1234f(x)1243-5確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為()(A) 4;(B)2;(C)1 ;(D)3 023、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11。三、是非題(認(rèn)為正確的在后面的括弧中打，否則打)1、已知觀察值任，屮川01 2,，叫用最小二乘法求Pn(x)的次數(shù)n可以任意取。2x： 53xk 20n次擬合多項(xiàng)式Pn

14、(x)時(shí),2、 用1-2近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。()(X Xo)(X X2 )3、 (X1 Xo)(X1 X2)表示在節(jié)點(diǎn)X1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。()4、牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)，高一級(jí)的插值多項(xiàng)式可利用前一次插值的結(jié)果。()3112535、矩陣A=125具有嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)。()四、計(jì)算題：111+冬+工口八亠 1f(X)dX Af( 1) f(1) Bf( -)拓蛀由口曰1、求A、B使求積公式122的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度；利用此公式求丄dxX(保留四位小數(shù))。2A2A1求積公式為1f(X)dX1f(1)f(1)2)1f(-)當(dāng)f(x) x3時(shí)，公式顯然精確成立；

15、當(dāng)f (X)2時(shí)，左=5，1右=3。所以代2答案：f(X) 1-X'X是精確成立，即2B1b2數(shù)精度為3。121dxt1 X2x里 0.692861402、已知Xif (Xi)2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(X)的三次插值多項(xiàng)式P3(x)，并求f(2)的近似值(保留四位小數(shù))。L(x)2(x®(x4)(x 5)6(x1)(x4)(x5)答案：3(13)(14)(15)(31)(34)(35)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)54(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表為Xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-1

16、014P3(x)N3(x)2 2(x 1) (x 1)( x 3) -(x 1)( x 3)(x 4)4f(2)P3(2) 5.55、已知Xi-2-1012f (xj42135求f(x)的二次擬合曲線P2(x)，并求f (0)的近似值答案：解：iXiyi2Xi3Xi4 XiXi yi2Xi yi0-244-816-8161-121-11-2220100r 0P 00313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為/、 10311 2P2(X)XX710145a°10a21510a1310a°34a24110311a。,a1,a271014311P2(

17、X)X07f (0)p2(0)106、已知sinx區(qū)間0.4, 0.8的函數(shù)表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最小？并求該近似值答案：解：應(yīng)選三個(gè)節(jié)點(diǎn)，使誤差M 3|R2(X)| 寸 I 3(X)1盡量小，即應(yīng)使1 3(X)I盡量小，最靠近插值點(diǎn)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)滿足上述要求。即取節(jié)點(diǎn)0.5,0.6,0.7最好，實(shí)際計(jì)算結(jié)果Sin0.63891 0.596274，sin 0.638910.5962741評(píng)638910.5)(0.6389190.6)(0.6389

18、10.7)7、構(gòu)造求解方程e10x 2 0的根的迭代格式Xn 1(Xn), n 0,1,2,，討論其收斂性，并將根求出來(lái),|xn 1 xn 丨 10 4。答案：解：令f(x)ex 10x 2, f (0)20,f (1)10 e 0f (x)0變形為X eX)則當(dāng)x (0,1)時(shí)(X)存 ex), 1 (x)|X e10e10故迭代格式1Xn、Xn1 10(2 e )收斂。取X00.5，計(jì)算結(jié)果列表如下:n0123Xn0.50. 127 8720.096 424 7850. 877 325n4567Xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 5

19、25 0086 *且滿足 |x7 x6 | 0.000 000 95 10 所以 X 0.090525 008解：當(dāng)0<x<1時(shí),f(X)ex，則f (x) e1且 0eXdX有一位整數(shù).要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差R(n)(f)10 4R(n)(f)(b a)312n2，只要R(n) (ex)e12n2e12n210 410、已知下列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Xi1.361.952.16f(Xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項(xiàng)式擬合以上數(shù)據(jù)即可，解得所以 n 68,因此至少需將0,1 68等份。12、取節(jié)點(diǎn)X。0，xi0.5, X2 求函數(shù)f (x)xe在區(qū)間

20、0,1上的二次插值多項(xiàng)式P2（X）,并估計(jì)誤差。解:B(x)(x 0.5)(x 1) (0 0.5)(01)e 0.5(x 0)(x 1)(0.5 0)(0.5 1)(x0)(x0.5)(1 0)(1 0.5)0 510.5)(x 1) 4e . x(x 1) 2e x(x 0.5)又 f(x) ex2（x（X） 皿max|f（x）|故截?cái)嗾`差x|R2(x)| |e1P2(x)| 3x(x0.5)( x 1)|014、給定方程f（x）(x 1)ex 11）分析該方程存在幾個(gè)根;2）用迭代法求出這些根，精確到 5位有效數(shù)字;3）說(shuō)明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程(x 1)ex1 0(1)

21、改寫為x 1X e(2)作函數(shù)f1（x）x 1f2(x) eX的圖形（略）知(2)有唯根x (1,2)2）將方程（2）改寫為X 1 e xXk 111 e k構(gòu)造迭代格式X01.5(k0,1,2,)計(jì)算結(jié)果列表如下:k12345678946Xk1.223131.294311.27409)1.27969 1.27812 1.2785>6 1.27844 1.27847 1.2783)(x)1 e(X) e x當(dāng) X 1,2時(shí),(2), (1)【1,2】，且|(x)| e 11所以迭代格式Xk 1(Xk) (k0,1,2,)對(duì)任意Xo1,2均收斂。15、用牛頓(切線)法求3的近似值取xo=1

22、.7,計(jì)算三次，保留五位小數(shù)。解：.3是f(x) x2 3 0的正根,f(x) 2x，牛頓迭代公式為xn 3xn 1 xn2xnxn 1 號(hào) f (n 鳩)取X0=1.7,列表如下:n123Xn1.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2, f (1)=3，f (2)=-4,求拉格朗日插值多項(xiàng)式L2(x)及f (1, 5)的近似值, 取五位小數(shù)。解:L2(x)2(X 1)(X2)(1 1)( 13 (x1)(x2)4 (x1)(x1)2) (11)(12) (21)(21)討 1)(x17、n=3,用復(fù)合梯形公式求1eXdx0的近似值(取四位小數(shù))，并求誤差估計(jì)。解:0

23、1exdx T3 Te°02 31 32(e'2 31e ) e 1.7342(x)I e|R| |exT3Ie12 32e0.0250.05108至少有兩位有效數(shù)字。20、( 8分)用最小二乘法求形如y.2a bX的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù):Xi19253038解:atyi19.032.349.073.3span 1, x21 1 1119.032.3 49.073.3T192解方程組252312382At AC At y其中ata433913391 3529603ATy173.6179980.7C解得：0.92555770.0501025 所以0.9255577，b 0.05

24、0102521、（ 15 分）用 n項(xiàng)估計(jì)其誤差。用 值。8的復(fù)化梯形公式n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化1e x dx0e時(shí)，試用余（或復(fù)化 Simpson公式）計(jì)算Simpson公式）計(jì)算出該積分的近似pf()|RT【f| 解：T(8)-f(a)2111210.00130276872 f(xQ f(b)k 11 2 (0.8824969 160.77880080.606530660.53526140.63294340.472366550.41686207) 0.36787947322、（ 15分）方程x0在x 1.5附近有根，把方程寫成三種不同的等價(jià)形式（1）x 3x 1對(duì)應(yīng)迭代格式Xn3x

25、x式計(jì)算3 xn3xn解：（1）1對(duì)應(yīng)迭代格式Xn 11.5附近的根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。1 2（x） Jx 1）31 ；x 1X對(duì)應(yīng)迭代格式Xn11。判斷迭代格式在X。1.5的收斂性,1 1xn ；（ 3）選一種收斂格(3)(x)(X)X1(1.5)3 1.5251.5選擇(1)：X。X51.3247625、數(shù)值積分公式形如(1.5)0.18 1，故收斂;0.17 1，故收斂;1.3572x2X61.324721，故發(fā)散。1.3309 X31.3259 x41.3249? ? ?oxf(x)dx S(x) Af (0)Bf(1) Cf (0) Df度盡量高；(2)設(shè)f(x)C40,1，推導(dǎo)

26、余項(xiàng)公式(1)試確定參數(shù)A,B,C,D使公式代數(shù)精10xf(x)dx S(x)，并估計(jì)誤差。R(x)23A解：將f(x) 1,x,x ,x分布代入公式得：120構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式H/x)滿足H3W)f(xjH3(k)f (Xi)i 0,1 其中 X。OX 1則有:1o xH3 (x)dx S(x)f(x) H3(x)兇()()2 2 x (x 1) 4!R(x)1Oxf (x) S(x)dx(4)()4!(x 1)2dx(4)(4! 60(4)()x3(x 1)2dx 04!：(4)()144027、( 10分)已知數(shù)值積分公式為:f(x)dx尹0)f(h)h2f(0)f(h)，試確

27、定積分公式中的參數(shù)，使其代hh2hf (x)X時(shí)，xdx0hh211022h 2 .h3h s2 -h2.亠h3f(x)2x dx-0h 02h2 hx時(shí)，0322h 3 ,h4h s3-12,亠亠2-f(x)3x dx0h h 03h x時(shí)，04212h 4 ,h5h rc4 12小h5f(x)4x dx-0h h 04h 6 ；x時(shí)，05212所以，其代數(shù)精確度為3。數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)解：f(x) 1顯然精確成立；112 -728、(8分)已知求' a(a 0)的迭代公式為:1 ( xk 1- (xka)xkX00 k0,1,2證明：對(duì)一切k 12,Xka且序

28、列Xk是單調(diào)遞減的,從而迭代過(guò)程收斂。1a1i1afXk 1 ;區(qū)一)1 2Xk 、a k0,1,2證明：2Xk2VXk故對(duì)一切k1,2,Xk- a0Xk 1又Xk1 a 12(1X!)2(1 1) 1所以Xk 1 Xk，即序列Xk是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過(guò)程收斂33f（x）dx -f （1） f 29、（ 9分）數(shù)值求積公式02是否為插值型求積公式？為什么?其代數(shù)精度是多少？3p(x)dx0|f(1)f(2)。其代數(shù)精度為1。30、(6分）寫出求方程4xcos X1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。XnXn 35100 215 6 290.00163 1cos xn（6分）

29、4，n=0,1,2,'X14sin x1-14對(duì)任意的初值Xo0,1,迭代公式都收斂。解：是。因?yàn)閒（x）在基點(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為P(x)f（1）汨f(2)31、（12 分）以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555的近似值，并利用余項(xiàng)估用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113632、（10分）用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分1 sin x0 xdX的近似值，要求誤差限為R 115 100 115 121 115 1443!0.5 10Si6f04f - f 120.94614588S21?f04f4f4 f1°.94608693S215S20.39310-5IS20.94608693sin xx2x4x6x8或利用余項(xiàng):3!5!7!9!(4) x7 2!9 4!5 a2880n42880 5n40.510 52, IS233、(10分)用Gauss列主元消去法解方程組:X14x22x3243捲X25x3342x