新課標必修一函數(shù)的單調性的教案

1、金太陽新課標資源網(wǎng)教學目標：課題： 1.3.1函數(shù)的單調性1. 知識與技能（1） 通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調性概念；（2） 學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質；(3) 了解數(shù)形結合的思想及嚴密的邏輯推理，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思想和數(shù)學方法；（4）能夠熟練應用定義判斷數(shù)在某區(qū)間上的的單調性2. 過程與方法能夠觀察研究函數(shù)圖象的特點，來研究函數(shù)的單調性性質3. 情感、態(tài)度、價值觀：培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，體會函數(shù)圖象的變化規(guī)律及蘊含本質教學方法 ： 引導發(fā)現(xiàn)法教學重點： 函數(shù)的單調性教學難點： 利用函數(shù)的單調性定義判斷、證明函數(shù)的單調性 教學程序與環(huán)節(jié)設計 ：1. 創(chuàng)設情境 ：

2、問題引入2. 組織探究：通過幾個函數(shù)的圖象的“上升“和”下降“的整體認識探究函數(shù)的單調性的定義及判斷函數(shù)單調性的方法步驟3. 嘗試練習：利用函數(shù)的圖象確定函數(shù)的單調區(qū)間4. 鞏固提高：利用函數(shù)的單調性定義判斷、證明函數(shù)的單調性5. 作業(yè)反饋：單調性定義的應用教學過程：一、 引入課題1. 在初中，有沒有學過函數(shù)的增減性？（學過）一些函數(shù)的增減性是怎樣知道的？（觀察圖象得出）y2. 畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：（1） f(x) = -x 11從左至右圖象上升還是下降 ?-11x2在區(qū)間 上，隨著 x 的增大，-1f(x)的值隨著y2（2） f(x) = x1 在區(qū)間 上， f(x)的值隨著

3、 x 的增大而2在區(qū)間 上， f(x)的值隨金太陽新課標資源網(wǎng)1-11x-1金太陽新課標資源網(wǎng)著 x 的增大而（3） 如何把上述的圖象所反映的特征用數(shù)學符號語言表示出來？ 引導學生探討，歸納 二、新課教學（一）函數(shù)單調性定義1. 增函數(shù)一般地，設函數(shù) y=f(x)的定義域為 i ，如果對于定義域 i 內的某個區(qū)間 d 內的任意兩個自變量x 1， x 2 ，當 x 1 x2 時，都有f(x 1)f(x2 ) ，那么就說f(x)在區(qū)間d 上是 增 函數(shù)（increasing function）思考 ：仿照增函數(shù)的定義說出減函數(shù) 的定義（學生活動） 注意：1函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質

4、，是函數(shù)的局部性質；2必須是對于區(qū)間d 內的 任意 兩個自變量x 1， x2 ；當 x 1x2 時， 總有f(x 1 )f(x2 )2. 函數(shù)的單調性定義如果函數(shù) y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù) y=f(x)在這一區(qū)間具有 （嚴格的） 單調性 ，區(qū)間 d 叫做 y=f(x)的單調區(qū)間：3. 判斷函數(shù)單調性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間 d 上的單調性的一般步驟：1任取 x1 ， x 2 d，且 x 1x 2；2作差 f(x 1 ) f(x 2) ；3變形（通常是因式分解和配方） ；4定號（即判斷差 f(x 1 ) f(x 2) 的正負）；5下結論（即指

5、出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間 d 上的單調性） （二）典型例題例 1根據(jù)函數(shù)圖象說明函數(shù)的單調性如圖，是定義在區(qū)間5, 5上的函數(shù) yf ( x ) ，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？金太陽新課標資源網(wǎng)yy-5-05 5 xx解：函數(shù) yf ( x ) 的單調區(qū)間有5, 2，2,1， 1, 3， 3, 5。其中 yf ( x)在區(qū)間 5, 2 ， 1, 3 上是減區(qū)間， 在區(qū)間 2,1 ， 3, 5 上是增函數(shù)。鞏固練習：課本 p36 練習第 3 題題后小結：以上是通過觀察圖象的方法來說明函數(shù)在某一區(qū)間的單調性， 是一種比較粗略的方法，那么，對于任給函數(shù)，

6、我們怎樣根據(jù)增減函數(shù)的定義來證明它的單調性呢？例 2根據(jù)函數(shù)單調性定義證明函數(shù)的單調性k物理學中的玻意耳定律p（ k 為正常數(shù)）告訴我們，對于一定v量的氣體，當其體積v 減小時，壓強p 將增大，試用函數(shù)的單調性證明之。分析：按題義，只要證明可。kp在區(qū)間（ 0， +）上是減函數(shù)即v證明：根據(jù)單調性的定義，設v1 ， v2 是定義域（ 0，+）上的任意兩個實數(shù)，且 v 0；由 v1 0；又 k0，于是p ( v1 )p ( v2 ) 0，即 p ( v1 ) p( v2 )所以，函數(shù)pkv， v（ 0， +）是減函數(shù)。也就是說，當體積v 減少時，壓強 p 將增大。鞏固練習：練習：判斷函數(shù)y1x在

7、(0,+ ) 上單調性，并給予證明。思考： 畫出反比例函數(shù)y1的圖象x 這個函數(shù)的定義域是什么？ 它在定義域上具有單調性嗎？為什么？請你確定此函數(shù)的單調性，并證明你的結論說明： 本例可利用幾何畫板、函數(shù)圖象生成軟件等作出函數(shù)圖象 題后小結： 函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，證明過程的第一步任取變量一定要注意其所在的區(qū)間范圍。三、歸納小結，強化思想函數(shù)的單調性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明求函數(shù)的單調區(qū)間時必須要注意函數(shù)的定義域，單調性的證明一般分五步：取 值 作 差 變 形 定 號 下結論四、 業(yè)布置1. 書面作業(yè)：課本 p43 習題 1 3（ a 組） 第 1- 4題2.

8、提高作業(yè)：(1) ,f(x)=x2-2bx+b 在 x ( - ,1)上是減函數(shù)，求 b 的取值范圍(2).f(x)=(b-2)x2- 2bx+b 在 x ( - ,1上是減函數(shù)， 求 b 的取值范圍 .教學過程與操作設計 ： 環(huán)節(jié)教學內容設計師生雙邊互動閱讀教材 p90 的具體實例（ 1） （ 5），思考下列生：獨立思考完創(chuàng)問題：1. 它們的對應法則分別是什么？2. 以上問題中的函數(shù)有什么共同特征？（ 答案）成引例師：引導學生分設1（ 1）乘以 1；（ 2）求平方；（ 3）求立方；（ 4）開方；（5）取倒數(shù)（或求1 次方）析 歸 納 概 括 得出結論情2 上述問題中涉及到的函數(shù)，都是形如yx

9、境的函數(shù)，其中x 是自變量，是常數(shù)師生：共同辨析這 種 新 函 數(shù) 與指 數(shù) 函 數(shù) 的 異同材料一：冪函數(shù)定義及其圖象 一般地，形如yx( ar )的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù) 下面我們舉例學習這類函數(shù)的一些性質組作出下列函數(shù)的圖象：1師：說明：冪 函 數(shù) 的定 義 來 自 于 實踐，它同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，也是基本初等函數(shù)， 同樣也是一種“形式定（ 1） y織1x ；（ 2） yx 2 ；（ 3） yx；23義” 的函數(shù)， 引導 學 生 注 意 辨（ 4） yx；（ 5） yx析探 解 1列表（ 略）2圖象究生：利用所學知識 和 方 法 嘗 試作 出 五 個 具 體冪函數(shù)的圖象，觀察所

10、圖象， 體會 冪 函 數(shù) 的 變化規(guī)律師：引導學生應用 畫 函 數(shù) 的 性質畫圖象，如： 定 義 域 、 奇 偶性師生共同分析， 強 調 畫 圖 象 易犯的錯誤環(huán)教學內容設計師生雙邊互動節(jié)材料二：冪函數(shù)性質歸納（ 1）所有的冪函數(shù)在（ 0，+）都有定義，并組且圖象都過點（ 1，1）；（ 2）0 時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且?guī)煟阂龑W生觀察圖象， 歸納概括 冪 函 數(shù) 的 的性 質 及 圖 象 變化規(guī)律在區(qū)間織 0,) 上是增函數(shù)特別地，當1 時，冪函數(shù)的圖象下凸；當0上凸；1 時，冪函數(shù)的圖象生：觀察圖象，探（ 3）0 時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間( 0,分組討論， 探究) 上冪 函 數(shù) 的 性

11、質是減函數(shù)在第一象限內，當x 從右邊趨向原點時， 究圖象在 y 軸右方無限地逼近y 軸正半軸，當 x 趨于時，圖象在 x 軸上方無限地逼近x 軸正半軸和 圖 象 的 變 化規(guī)律，并展示各自 的 結 論 進 行交流評析， 并填材料三：觀察與思考表觀察圖象，總結填寫下表：yxyx 2yx 31yx 21yx定義域值域奇偶性單調性定點材料五：例題 例 1（教材 p92 例題） 例 2比較下列兩個代數(shù)值的大小：（ 1） ( a1)1 . 5， a1. 5（ 2） ( 22a)23 ， 223師：引導學生回顧 討 論 函 數(shù) 性質的方法， 規(guī)范解 題 格 式 與 步驟并 指 出 函數(shù) 單 調 性 是 判

12、別 大 小 的 重 要工具，冪函數(shù)的圖 象 可 以 在 單調性、奇偶性基礎上較快描出2 例 3 討論函數(shù) yx 3 的定義域、奇偶性，作出它的圖象，并根據(jù)圖象說明函數(shù)的單調性生：獨立思考，給出解答， 共同討論、評析環(huán)節(jié)呈現(xiàn)教學材料師生互動設計1. 利用冪函數(shù)的性質，比較下列各題中兩個冪的值的大?。?（ 1） 2 .3 43， 2 .4 4 ；（ 2） 0 .31665 ， 0 .35 5 ；（ 3） (嘗32 ) 2 ， (133 ) 2 ；1試（ 4） 1 .1練2 ， 0 .92 3習2作出函數(shù) yx 2 的圖象，根據(jù)圖象討論這22個函數(shù)有哪些性質，并給出證明3. 作出函數(shù)yx和函數(shù) y(

13、 x3)的圖象，求這兩個函數(shù)的定義域和單調區(qū)間4. 用圖象法解方程：（ 1）xx1 ；（ 2） x 3x 23 1. 如圖所示，曲線是冪規(guī)律 1：在第一象 限 ， 作 直 線函 數(shù) yx在第一象限內的xa ( a1) ，圖 象 ， 已 知分 別 取1它 同 各 冪 函 數(shù)圖象相交， 按交1,1,探2,2 四個值，則相應圖點 從 下 到 上 的究象依次為：與發(fā)現(xiàn)2在同一坐標系內， 作出下列函數(shù)的圖象， 你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？順序，冪指數(shù)按從 小 到 大 的 順序排列（ 1） y（ 2） yx和 y35x 4 和 y1x3 ； 4x 5 規(guī)律 2：冪指數(shù)互 為 倒 數(shù) 的 冪函 數(shù) 在 第 一 象限 內 的 圖 象 關于 直 線 yx對稱作1在函數(shù)y業(yè)122,y22 x, yxxx , y1中，冪函數(shù)的個數(shù)為：回a 0b 1c 2d 3饋環(huán)呈現(xiàn)教學材料師生互動設計節(jié)2. 已知冪函數(shù) yf ( x ) 的圖象過點( 2 ,2 ) ，試求出這個函數(shù)的解析式3. 在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當氣體 通過圓形管道時，其流量速率r 與管道半徑 r 的四次方成正比（ 1）寫出函數(shù)解析式；（ 2）若氣體在半徑為3cm 的管道中，流量速3率為 400cm /s，求該氣體通過半徑為r 的管道時，其流量速率r 的表達式；（ 3）已知（2）中的氣體通過的管道半徑為5cm，計算該氣體的