第七章：收益率曲線動力學(xué)

1、第七章 收益率曲線動力學(xué)在本書的第六章中， 我們詳細(xì)介紹了期限結(jié)構(gòu)的參數(shù)模型和收益率曲線的擬合方法。 在已經(jīng)知道債券市場的全部 品種 （假設(shè)這些品種是同質(zhì)的） 在某一時點的橫截面數(shù)據(jù)時， 我們就可以通過特定的方法得出市場的收益率曲線 數(shù)據(jù)和形態(tài)。原則上來說，如果市場是有效的，那么同期限的債券品種長期來看不應(yīng)存在套利空間（注* ：注意，我們在這里對債券市場有效的假設(shè)并不包括對收益率曲線形態(tài)的任何假設(shè) ）。也就是說， 個別品種與收益率曲線間的定價偏差應(yīng)是完全由 隨機因素引起的。 在這種情況下， 我們的債券投資組合所面臨的最大風(fēng)險就是市場風(fēng)險， 即收益率曲線本身的動 態(tài)變化所帶來的風(fēng)險。事實上， 債

2、券市場的效率通常是非常高的， 即使是在中國債券市場這樣的新興市場上， 投資者所面臨的最大風(fēng)險 也是來自利率的波動。通常情況下，大型的債券投資組合是分散在整個期限結(jié)構(gòu)上的。對于組合的管理者來說， 需要時時了解到收益率曲線的信息，以調(diào)整組合和投資策略，來滿足收益性和避險的要求。但是，我們即便是已 經(jīng)可以準(zhǔn)確、 即時地獲得市場的期限結(jié)構(gòu)， 也并不能保證投資組合的安全性。 因為傳統(tǒng)的利率風(fēng)險管理通常是通 過對久期的管理， 而這種方法的局限性在于它假設(shè)收益率曲線僅僅是平行移動的。 現(xiàn)實中的收益率曲線是隨時在 發(fā)生著各種形態(tài)變化的， 單純對橫截面數(shù)據(jù)進(jìn)行研究是不夠的， 我們還必須了解收益率曲線的形態(tài)變化，

3、 導(dǎo)致其 形態(tài)變化的原因，以及整條曲線上的不同點對于這些原因的敏感程度。這樣，就要求我們的研究重點從“靜態(tài)方法”轉(zhuǎn)向“動態(tài)方法” ，對于收益率來說，即是由對其橫截面數(shù)據(jù)的研 究轉(zhuǎn)向時間序列數(shù)據(jù)的研究。從某種意義上講，在整個前面一章的內(nèi)容，都是為了準(zhǔn)確地“獲取數(shù)據(jù)”提供技術(shù) 上的支持。而本章開始，我們才開始正式研究這些數(shù)據(jù)。當(dāng)代數(shù)量金融學(xué)的對時間序列數(shù)據(jù)的研究方法已經(jīng)非常完善。 然而， 對于收益率曲線來說， 我們所觀測到的是一 條連續(xù)的曲線的時間序列變化，它包含了許多具體的期限點的點利率（注 *：這里的點利率并不是即期利率的英文名稱（Spot Rate）相對應(yīng)，請讀者不要混淆）的運動。在考慮債券

4、投資組合面對的利率風(fēng)險時，我們必須將每一個期限點 的點利率看作投資組合的一個風(fēng)險因子。這就造成了一個實際的困難：即使我們只考慮有限多（離散的）的點利 率，它們的動態(tài)變化也是處在一個高維的向量空間中， 通常的如單位根或協(xié)整檢驗之類的方法在這樣的條件下顯 得繁瑣而缺乏效率?？疾焓找媛是€的變化及其成因，需要借鑒于一些新近被引入數(shù)理金融學(xué)中研究方法，如主成因分析 （PrincipleComponent Analysis ），這種方法在處理多維變量時具有很多優(yōu)點，但目前國內(nèi)的研究中對它的應(yīng)用還非常不足， 我們將在本章中對此方法詳細(xì)介紹。在數(shù)理模型之外，經(jīng)濟學(xué)家們也提供了一些“更宏觀”的模型來解釋收益率

5、 曲線，這些理論雖然已經(jīng)廣為人知，但在近年來它們也得到了新的分析方法和數(shù)據(jù)的證實。我們在本章中提供的內(nèi)容從體系角度上看是比較松散的， 但對收益率曲線的形態(tài)、 變化及其成因的理論和研究方 法則是本章的主要線索， 而將收益率曲線的變化看作一個動力學(xué)問題， 對我們的研究也有所幫助。 基于這些原因， 我們將本章的題目概括為收益率曲線動力學(xué) 。但這并不表明我們要以研究物理系統(tǒng)的方法來純粹地對待利率 期限結(jié)構(gòu)（雖然研究方法的確有所借鑒） 。7-1樸素的收益率曲線變化分解收益率曲線的基本形態(tài)對收益率曲線來說，最直觀的研究方法就是觀察它的圖形。我們經(jīng)常聽到利率水平“向上”或“向下”的說法， 這樣的說法所描述的

6、是不同期限的點利率同時按同等變動幅度變化。我們已經(jīng)知道的是，不同期限的利率變化是并不一定是完全一致的，它們甚至可以朝相反的方向變化，這就形成了各式各樣的收益率曲線形態(tài)。收益率曲線的形態(tài)和變化往往同宏觀經(jīng)濟環(huán)境有關(guān), 我們可以就美國的收益率曲線近二十年的變化過程看看其同圖7-1 :美國國債收益率曲線（1984年 12月）90 DAYYEAR3 YR10YR20YR30YR經(jīng)濟的相關(guān)關(guān)系。一般而言，短期債券的收益率較低，因為投資人的資金的風(fēng)險相對較小。將資金投入到30年的債券畢竟要承受今后三十年的眾多變化。因此投資三十年的債券一般情況下要有更高的收益率才能吸引投資人。所以正常的收益率曲線應(yīng)隨期限的

7、增加而緩慢平滑上升。 但是在有些時候，收益率曲線會變型為一些其他形狀， 這些特殊的形狀 往往反映的是一個經(jīng)濟的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點。當(dāng)這些形狀出現(xiàn)時，就要重新對經(jīng)濟宏觀走勢進(jìn)行判斷。因為很難通過文字來表述清楚這些形態(tài)的具體特征，研究人員對收益率曲線的形狀大體上進(jìn)行了總結(jié)和分類。通常，收益率曲線的基本形態(tài)可以被分為四種：正常型，陡峭型，倒掛型，和平坦型。讓我們來看看這些形態(tài)的收 益率曲線在美國出現(xiàn)的歷史時期和當(dāng)時經(jīng)濟形勢的關(guān)系。1、正常收益率曲線（圖7-1）13.00%12.00%11.00%10.00%9.00%8.00%7.00%當(dāng)美國經(jīng)濟較為正常地增長，低通貨膨脹，且資金面變化不大時，收益率曲線屬于

8、正常，緩慢平滑向上。在沒有 大的經(jīng)濟波動的情況下，承擔(dān)較長到期期限的投資人獲得較高的投資收益率，因而有這樣的曲線。1984年12月是美國戰(zhàn)后最長的經(jīng)濟擴張期。GDP成長在2%到5%之間。而隨后兩年的美國股市也在其后兩年有強勁增長。這種曲線形狀往往在經(jīng)濟擴張和股市增長的中期，市場普遍性的謹(jǐn)慎樂觀。2、陡峭型收益率曲線（圖7-2）此種形狀中三十年國債同三個月短期國債的利差超過3%,短期和長期利率有非常陡峭的增長，這表明長期債券投資人認(rèn)為經(jīng)濟在未來將加速增長。這種形狀一般出現(xiàn)在經(jīng)濟膨脹期的初期，緊跟在經(jīng)濟畏縮之后。此時前期經(jīng)濟呆滯而導(dǎo)致短期利率低水平的狀況依然存在，但是一旦經(jīng)濟活動對資本需求開始形成

9、后，利率將開始升高。長期債券投資人擔(dān)心被鎖定在利率，立刻會要求更高的長期收益率回報。 而短期資金的貸方會面對較小的利率風(fēng)險，因為他們只須在借貸到期后投資到更高的收益率品種上。1992年四月，長短期收益率相差 5%,表明投資人預(yù)期強勁的經(jīng)濟增長，導(dǎo)致長期債券收益率拔高。事實確實如 此。GDP在1993增長3%。而到了 1994年十月，短期利率已上升 2%,使得長短期的息差得以緩解，收益率曲 線也趨于正常。3、倒掛型收益率曲線（圖7-3）倒掛型有點不可思議。為什么債券投資人愿意持有比更短到期日債券為低的長期債券呢？其中的答案可以這樣解 釋。長期債券持有人如果認(rèn)為今后長期利率水平比現(xiàn)在更低的話，那他

10、會接受這種形狀。他們更愿意鎖定長期債調(diào)低聯(lián)邦資金利率，債券投資人意識到這是他們鎖定今后幾年10%收益率的最后機會，于是大量購入長期國債,從而壓低了收益率曲線的遠(yuǎn)端。這個集體的市場智慧再次得到驗證。GDP的增長十分糟糕。隨著經(jīng)濟的倒退短期利率大幅下降。三十年債券的收益率從14%降到7%,短期利率則從 15%開始，逐步降到 5-6%。而第二年的股市也損失慘重。雖然倒掛型出 現(xiàn)情況較少，但也不可忽略。出現(xiàn)這種情況，經(jīng)濟的衰退或經(jīng)濟危機也將接踵而至，而整個利息水平將跌至低位。4、平坦型或駝背型收益率曲線（圖7-4）要從正?；蚨盖瓦^渡到倒掛型，收益率曲線必須經(jīng)過一個平臺型區(qū)域，或許中間區(qū)域也帶有一點駝峰

11、。但反之不盡然，即平坦型并不總轉(zhuǎn)化為倒掛型。市場總是有其不可預(yù)測性。但是一個平坦的收益率曲線經(jīng)常會伴隨經(jīng)濟滑坡，在經(jīng)歷過一段平坦曲線后，利率水平往往也會降低。1989年就是這樣的情形。三十年債券的收益率小于三年的。這個現(xiàn)象持續(xù)了大約五個月。隨后曲線扁平化，再后來才在1990初變得較為正常。這并不是錯誤報警、因為從GDP可以看出經(jīng)濟在六月份下滑，并在1991年陷入經(jīng)濟衰退。而股票市場也在1990年中期大幅跌落。短期與中期收益率下降了四個百分點。收益率曲線形態(tài)變化的基本類型在四種基礎(chǔ)的收益率曲線形態(tài)下，讓我們繼續(xù)來研究收益率曲線通常發(fā)生的形態(tài)變化。從歷史的數(shù)據(jù)和理論研究都可以發(fā)現(xiàn)，收益率曲線形態(tài)的

12、變化明顯地受到宏觀經(jīng)濟因素的影響，而其中最主要的影響是我們熟悉的“經(jīng)濟周期”導(dǎo)致的收益率曲線變化。舉個例子來說，在經(jīng)濟形勢剛剛走出低谷的時期，企業(yè)盈利開始增加，快速成長的動力要求更多的勞動力和生產(chǎn)資料，這將會加速物價和工資水平的上漲；另一方面，對資本的需求將會增加，而資本的來源則主要是國民儲蓄轉(zhuǎn)化為投資，膨脹的投資需求將導(dǎo)致利率水平的上升，所有的這些因素將使整個收益率曲線向上方移動。這一時刻，人們感受到的是“利率水平的上升”。但我們需要注意的是，此時的利率上升并不一定體現(xiàn)為收益率曲線上每一點的同步同幅上升，即所謂的“平行移動”實際上，我們也可以將收益率曲線的形態(tài)變化劃分為幾個基本的類型，因為這

13、種歸類相對直觀而簡單，并且主要注重直接觀差圖形的變化而不涉及更復(fù)雜的數(shù)據(jù)和模型的研究，因此我們把這種分類方法成為樸素的收益率曲線變化分解。雖然這種歸類法相對簡單， 但我們在后面的內(nèi)容中會發(fā)現(xiàn)，這種樸素歸類方法的科學(xué)性在很大程度上會得到更先進(jìn)的研究方法的證實?；旧?，我們可以把收益率曲線的變化分為三種類型：平行移動，旋轉(zhuǎn)扭動和蝴蝶形移動。請注意，這三種變化 有時候不是單獨出現(xiàn)的，收益率曲線形態(tài)變化經(jīng)常同時包含兩種或三種變化類型。1、平行移動（圖7-5）4.00%3.50%3.00%2.50%2.00%1.50%請讀者回憶本書曾經(jīng)介紹過的久期和凸度的概念，當(dāng)時我們指出，以久期和凸度分析方法只有在收

14、益率曲線平行移動的條件下才是有效的。我們看到，圖7-5是平行移動的收益率曲線變化的一個例子。所謂平行移動，就是收益率曲線上每一點利率水平都在同一期間內(nèi)發(fā)生了完全相同的變化。例如圖7-5所示，若5年即期利率由1.88%上升至2.18%，貝U 20年即期利率則由 3.24%上升至3.54%，同樣也是上升了 30個基點。收益率曲線的平行移動是最常見的移動方式。當(dāng)然，“絕對平行”的移動通常是不會出現(xiàn)的，但我們經(jīng)?？梢钥吹健按笾缕叫小钡氖找媛是€移動方式。如圖7-6,中國交易所市場國債即期利率曲線在2002年初和年底的收益率曲線就幾乎是平行的（ 注* :當(dāng)然，2002年內(nèi)的交易所市場收益率曲線還出現(xiàn)了其

15、他形式的變化，在圖7-6種我們只考察年初和年底的變化狀況），不過長期債的收益率下降幅度要稍大一些。這樣的觀察結(jié)果似乎提供給久期和凸度分析方法一些實證上的支持。有時候，債券研究人員往往會不自覺地假設(shè)收益率曲線只發(fā)生平行移動。如果把經(jīng)濟因素對收益率曲線的影響看待的比較簡單和直接，我們也可以從直觀上接受這一觀點，即收益率曲線在大多數(shù)情況下都是平行移動的?？墒菍嶋H上，我們所講“平行移動是最常見的移 動方式”，是指大多數(shù)觀察到的收益率曲線形態(tài)變化都“包含”平行移動，即通常各個期限的點利率的變動方向 是相同的，但其個別的變動幅度卻往往不完全一致。4.05%圖7-6 :國債交易所市場即期利率曲線的平行移動3

16、.55%2.55%2.05%1.55%3.05%2、旋轉(zhuǎn)扭動（圖7-7）3.90%3.40%2.90%2.40%1.90%1.40%扭動的收益率曲線也可以被視為“旋轉(zhuǎn)”的收益率曲線。如圖7-7所示，收益率曲線的近端和遠(yuǎn)端的變化方向是相反的，即收益率曲線的斜率發(fā)生了變化，然而收益率曲線的彎曲程度幾乎沒有發(fā)生變化。當(dāng)然，這里的“方向 相反”指剔除了平行移動變化之后的“相反”，收益率曲線斜率的變化當(dāng)然也可能發(fā)生近端和遠(yuǎn)端變化方向一致的情況下。我們可以把收益率曲線的扭動歸為兩種類型：陡峭化和平坦化。導(dǎo)致收益率曲線發(fā)生陡峭化或者平坦化的原因可以有許多種。如前所述，收益率曲線的形態(tài)扭動大多數(shù)是受到宏觀經(jīng)濟

17、因素的影響。與許多“滯后的”經(jīng)濟指標(biāo) 不同的是，收益率曲線的扭動往往和宏觀經(jīng)濟趨勢的變化是同時發(fā)生的。當(dāng)經(jīng)濟剛剛走出低谷， 特別是在通貨緊縮結(jié)束的，物價水平開始表現(xiàn)出微弱的上漲趨勢時，收益率曲線往往迅速發(fā)生明顯的陡峭化變化。這是因為長期固息債券的持有者對遠(yuǎn)期利率水平上升出現(xiàn)了較為一致的預(yù)期，為了規(guī)避利率風(fēng)險，他們在第一時間拋出手中的長期品種，使收益率曲線的遠(yuǎn)端迅速上移。而短期品種面臨的利率風(fēng)險相對較小，因此拋盤也往往較少， 這使得收益率曲線的近端向上移動的幅度也就較小，整個收益率曲線明顯呈現(xiàn)出。在很多情況下，收益率曲線的陡峭化也就意味著債券市場的陡峭化趨勢（當(dāng)然，也會伴隨著向上的平行移動） 長

18、期牛市結(jié)束。有趣的是，實證研究發(fā)現(xiàn)在收益率曲線的平坦化變化卻往往略慢于實際的宏觀經(jīng)濟表現(xiàn)。直覺的觀點告訴我們，投資人在證券市場熊市的末期往往表現(xiàn)得猶豫不決，但在判斷牛市結(jié)束時卻總是迅速地拋售風(fēng)險品種，這也許可以有助于解釋上述現(xiàn)象。3、蝴蝶型扭動（圖7-8）3.90%3.40%2.90%2.40%1.90%1.40%蝴蝶型扭動的收益率曲線如圖7-8所示。在整條收益率曲線的中段并不發(fā)生很大的變化，而收益率曲線的近端和遠(yuǎn)端則出現(xiàn)明顯的同方向大幅度變化。隨著時間的流逝我們觀察這種變化，會發(fā)現(xiàn)整條收益率曲線像蝴蝶扇動著翅膀，因此我們稱收益率曲線的這種形態(tài)變化為蝴蝶型扭動。蝴蝶型扭動通常體現(xiàn)為收益率曲線的

19、彎曲程度的變化，而我們上面所介紹的平行移動和旋轉(zhuǎn)扭動變化中，收益率曲線的彎曲程度是不變的。收益率曲線彎曲程度的變化往往并沒有很明確的經(jīng)濟解釋。由于成熟市場上的中期債券（7-10年期）品種一般數(shù)量最多，并且此段的收益率曲線水平是市場當(dāng)前利率水平的最集中反映，因此收益率曲線的中段通常是最穩(wěn)定的。而相對來說，收益率曲線的近端和遠(yuǎn)端則波動性往往大于中段（注*:在本書后面將要介紹的波動性期限結(jié)構(gòu)和“波動率微笑”效應(yīng)的部分，我們還將從實證上來證實這一現(xiàn)象），因此，收益率曲線的蝴蝶型扭動是經(jīng)常可以被觀察到的。不過，圖7-8中的收益率曲線僅僅描述了一個不存在拐點（二階導(dǎo)數(shù)為0）的收益率曲線的蝴蝶型扭動，對于存

20、在一個或更多拐點的收益率曲線來說， 蝴蝶型扭動的樣式可能就更為復(fù)雜。 當(dāng)然，我們也可以把這樣的收益率曲 線以其拐點位置劃分為幾小段，然后具體分析每一段中的蝴蝶型扭動情況基本上，“平行移動”、“旋轉(zhuǎn)扭動”和“蝴蝶型扭動”可以概括所有可能的收益率曲線形態(tài)變化，這三種變化方 式分別表現(xiàn)了收益率曲線絕對水平的變化、斜率的變化和彎曲程度的變化。 研究人員可以對現(xiàn)實中收益率曲線在一段時間內(nèi)的變化進(jìn)行考察，并且從直觀上將其變化分解為以上三種形態(tài)變化的組合。7-2 主成因分析法：原理與應(yīng)用我們在上一節(jié)已經(jīng)詳細(xì)地介紹了“樸素”的收益率曲線變化分解方法。將收益率曲線變化歸納為基本的三種形態(tài)，這樣的方法看似簡單實用

21、，但其理論基礎(chǔ)似乎頗值得懷疑。在金融學(xué)的研究領(lǐng)域里， 直覺得出的結(jié)果和理論推導(dǎo)相悖的事情時有發(fā)生。 此外，我們也的確需要一種定量化的方法來幫助我們了解收益率曲線的變化成因。這就需要我們引入一種方法，可以對構(gòu)成收益率曲線的一組變量（不同期限的點利率）進(jìn)行整體性的研究。通常情況下，如果這些點利率都是不相關(guān)的，那么我們可以將它們作為單變量來逐個進(jìn)行處理。對它們的研究也可以借助一些成熟的時間序列分析方法。這樣的方法在學(xué)術(shù)研究中也許還是具有一定價值的，但現(xiàn)實中的收益率曲線顯然必須被作為一個整體來考慮，而點利率之間也顯然具有相關(guān)關(guān)系。這時候，如果我們試圖去用傳統(tǒng)方法來研究整條收益率曲線，則必須在高維的向量

22、空間中進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，這當(dāng)然是非常麻煩的。為了克服這些困難， 很自然地，我們會考慮到用降低維數(shù)的方法，以初始數(shù)據(jù)中的多個點利率變量來構(gòu)造數(shù)目較少的一些新的、相互獨立的綜合變量， 使這些綜合變量能夠盡可能完整地反映初始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征。這就是主成因分析法（Principal Components Analysis ）的基本思想。在統(tǒng)計學(xué)中，主成因分析法早已經(jīng)是一種成熟的分析方法，而金融學(xué)領(lǐng)域中對它的應(yīng)用還是近些年的事。盡管如此，主成因分析法的流行卻是非常迅速的。在固定收益工具的研究領(lǐng)域，收益率曲線的變動因素（也可以說，其 風(fēng)險因子）的構(gòu)成相對比較復(fù)雜，而以久期來度量債券組合風(fēng)險的方法隱含了收益率曲線

23、的平行移動假設(shè)，而我們已經(jīng)知道，收益率曲線的形態(tài)變化是復(fù)雜的，平行移動遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能概括全部的可能情況。當(dāng)研究人員通過主成因分析法得出了經(jīng)濟意義顯著，更加全面卻相對容易處理的收益率曲線風(fēng)險因子時，這類方法的流行也就是必然的事情了。主成因分析的基本原理我們已經(jīng)知道，收益率曲線的變動可以考慮為n個關(guān)鍵點利率的變化，例如 1個月，3個月，6個月，1年，2年直至30年的30多個點利率（我們計為SiSn）。我們把這些點利率作為 n個存在相關(guān)關(guān)系的變量來考慮。為了將復(fù)雜的問題（同時處理30多個變量）轉(zhuǎn)化成為一個簡單的問題，我們希望以這n個相關(guān)變量的初始數(shù)據(jù)，來構(gòu)造一組新的 m個（mw n）獨立的綜合變量 PC。

24、對于一組參數(shù)pi, P2,Pn,我們將綜合變量 PC作為初始變量S的一個線性組合，即PC 二 PiS ' P2S2 - P3S3 -PnSn = PTS（ 7-1）其中，P （ Pi , P2 , , Pn） , S （S1 ,S2 , ,Sn）。對于自由參數(shù)向量 p,我們要求其應(yīng)使綜合變量PC滿足下列條件：1、綜合變量PC的方差最大；2、在n維空間中的n個點S1Sn到超平面PC的距離之和最小；3、 以式7-1的形式進(jìn)行多元線性回歸，參數(shù)向量p是這個多元線性回歸的最優(yōu)估計量；4、綜合變量PC與變量S1Sn的相關(guān)系數(shù)平方和最大?？梢宰C明，上述條件 1 3是變量S1Sn的方差-協(xié)方差矩陣求

25、特征值問題，而條件4是變量S1Sn的相關(guān)系數(shù)矩陣求特征值問題。我們知道，對于實對稱矩陣工，可以將其分解為pl 0.01T0/ 2 tI=X =X 0 X（7-2）. 0 扎一其中，對角矩陣 A中的入1,入2,入n為實對稱矩陣 工的特征值，而 X為一個正交矩陣，其列向量為對應(yīng) 于特征值 入i的特征向量（注* :對于N X N階實對稱矩陣來說，其必然有N個實特征根（但不一定都是不同的）和 N個正交的特征向量Ci, C2,5。即對于任意的izj,有CiTC尸0。但若矩陣非對稱，則上述結(jié)論不一定為真）。也就是我們所需要的參數(shù)向量（Pi, P2,Pn）,由于特征向量間是相互正交（即相互獨立的），而且我們

26、知道，對于某一特征值入i，我們據(jù)（7-2 ）,有Pi,i1_Pi,i 1Pi, 2Pi,2(7-3)PnP，n實際上，我們解（7-2）所得到的特征向量矩陣（正交矩陣X）就是n個相互獨立的參數(shù)向量組成的矩陣，即Pi,1 P2,1Pn,1 1Pi,2'Pi,nPn,2Pn,n(7-4)通常，我們構(gòu)造協(xié)方差矩陣 工時，基礎(chǔ)數(shù)據(jù)選取的是初始變量SiSn的增量 Si Sn。因此，這里的綜合變量PC是變量 Si Sn的線性組合（注* :在應(yīng)用主成因分析法時，我們實際上是要考察整條收益率曲線的變化情況， 因此對于收益率曲線上 n個點利率來說，我們選取其變化的增量作為初始數(shù)據(jù)）。由于解（7-2）得出的

27、是n組正交向量，也就是說，滿足前面 4個條件，且包含所有初始變量信息的新的綜合變量PC有n個，可以寫作：也就是 pCi =pi,i .0 Pi ,2 S2 Pi,n "Sn(7-5)(7-6)其中，綜合變量 PCi, PC2, ,PCn稱為協(xié)方差矩陣工的n個主成份（Principal Component）。特別是，對應(yīng)最大的特征值 入i的特征向量Pi,被稱為第一主成份（First Prin cipal Comp on e nt）,而次大的入2對應(yīng)的特征向量 P2。被稱為第二主成分。依次類推，我們可以得出n個主成分。注意一點，由于特征向量之間都是彼此相互正交的，因此它們的線性組合，即n

28、個主成份彼此間都是相互獨立的。而且我們知道，因為特征向量矩陣X是一個正交矩陣，我們也可以將（7-5）寫作a,nPl,2,1p2,1Pn,訂PG 1Pn,2PC2T Ri,nPCn(7-7)式（7-7）和式（7-5）具有不同的經(jīng)濟意義，前者實際上將每一個點利率寫作n個主成份的線性組合，因此。例如，第一主成份每變化1單位，則對應(yīng)的點利率 Si變化pi,i單位，依次類推，我們可以得出每一主成份的變化對 每一個點利率S變化的邊際影響。這個邊際影響Pi,j被稱為每一主成份對應(yīng)于每一個變量Sj的因子載荷（FactorLoading ）。還有一點，由特征向量的性質(zhì)我們可以知道，對于每一主成份來說，它所對應(yīng)的

29、全部因子載荷nnPijPij =1（ 7-8）i 1j 1（注* :也就是特征向量矩陣 X的任意一行（列）元素的平方和等于1）特征值的經(jīng)濟意義在主成因分析法的應(yīng)用中，我們可以選取的研究對象通常有兩種選擇，即選取點利率增量 S1 Sn （點利率的時間序列數(shù)據(jù)差分后取得）的協(xié)方差矩陣或是相關(guān)系數(shù)矩陣。一般情況下，選取這兩種矩陣的計算結(jié)果是比較接近的，但如果我們選取的是點利率的協(xié)方差矩陣工作為，則條件4還不能保證被滿足。在有些應(yīng)用中，研究人員回將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，將變量 S1 Sn的標(biāo)準(zhǔn)化為均值為0,方差為1的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，這樣得出的協(xié)方差矩陣 和相關(guān)系數(shù)據(jù)是相同的。但實際應(yīng)用中，我們并不建議采取這樣的做法

30、。上述的這種方法在一些初始數(shù)據(jù)變量單位不一致的問題中經(jīng)常被用到。但收益率曲線上的數(shù)據(jù)不存在單位的問題，而且數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化則需要對變量 S1 Sn的分布狀況進(jìn)行假設(shè)，這也是我們所不希望的。事實上，條件1、2、3就可以滿足主成因分析所需要的假設(shè)，因此通常我們選取的是點利率增量的協(xié)方差矩陣工來進(jìn)行研究，而不考慮相關(guān)系數(shù)矩陣，或者將其放在一個稍次要的位置上。選取協(xié)方差矩陣 工的另一個好處在于，它賦予了特征值以明確的經(jīng)濟意義。由（7-2）我們已經(jīng)知道，矩陣 工可以被分解為匸二X_'XT，而X是正交矩陣，也就是說有一I二XTSX（7-9）而對于X中的任一列，即工的任一特征向量，我們記作G （卩如山解

31、,，Pk,n T，關(guān)于對角矩陣A中相應(yīng)的特征值入k，有k =CkT iCk（7-10）而我們知道，主成份 PCk是變量 S1 S的線性組合，且參數(shù)對應(yīng)相應(yīng)的特征向量PCi =C 禹丁 =P,1 占 +Pi,2 足 + +Pi,n '0（ 7-11）那么，主成份PCk的方差為nnVar（PCQ =無卩如2 Var （怡）+ 無 Pk,i Pk,j Cov（也S，也（7-12）i 1i 1, j A而如果矩陣工是變量厶Si Sn的方差-協(xié)方差矩陣，即_ Var（出）Cov（ZiSz,ZiS）.Cov（ASn,能）=Cov（ZS,ZS2）Var（ZiS2）（乙伯）.C0V（iSi,也Sn _

32、1）Cov（出，0）.Cov（箱丄，能）Var（g）_我們由（7-10）, （ 7-12）和（7-13），顯然有k 二Var（PCk）（7-14）即特定的主成份的方差就是相應(yīng)的特征值。知道了主成份的方差，由一個重要的好處，就是我們可以由相應(yīng)的因子載荷，求出點利率變化對于主成份變動的敏感度，這個敏感度是基于主成份的“多少標(biāo)準(zhǔn)差變動”，這樣，我們可以避免抽象地講“一個主成份”變動是多少，而是去考慮“一個標(biāo)準(zhǔn)差的主成份”變動會帶來多少影響。而以主成因分析法來研究債券投資組合的風(fēng)險 狀況也需要借助以上的方法，關(guān)于這個問題，本書的第14章將會有詳細(xì)的介紹。主成份貢獻(xiàn)率我們知道，對于一個 N X N階實對

33、稱矩陣工（N個初始變量的協(xié)方差矩陣）來說，必然可以取得N個線性無關(guān)的特征向量，而每一個特征向量都可以組成一個主成份，也就是說，N個相關(guān)的初始變量被解釋成了N個獨立的綜合變量。表面上看，似乎并沒有降低問題的維數(shù)。實際上，每一個主成份對于初始變量的解釋能力（或者說 影響力）是不同的，我們事實上可以忽略掉解釋能力較弱的，也就是方差較小的主成份。由特征值的性質(zhì)可以知道，實對稱矩陣的特征值，也就是主成份的方差 入1,入2,，入n為，與變量量 S1 Sn的方差之間有如下關(guān)系：-.叫=Var（ . ：S）Var（ . S2） . Var （丄Sn）（7-15）即所有主成份的方差之和等于所有初始變量的方差之和

34、。而式（7-15 ）的經(jīng)濟意義在于，主成份實際上包含了所有點利率變化的信息，而方差越大的主成份，包含的信息就越多，因此我們稱np = ' i / 冷（7-16）j 士為第i個主成份的貢獻(xiàn)率或解釋能力，它反映了第i個主成份包含了多少所有初始變量的信息。顯然有Zp=1 o通常，我們在對角矩陣 A中是將特征值從大至小沿對角線排列的，因此我們又稱KnPK = '1 / 二 /ji 土j 土為前K個主成份的累計貢獻(xiàn)率或累計解釋能力，它反映了最重要的前K個主成份對所有初始變量的信息的反映程度。通常情況下，前兩個或前三個主成份就可以反映絕大多數(shù)信息（通常在95%）以上。這樣，在實際應(yīng)用中我們

35、只需要考慮最重要的23個主成份的變動及其影響即可。此外，我們還可以進(jìn)一步考慮某一個主成份PCk與某一特定點利率變動 S的相關(guān)系數(shù)。我們前面已經(jīng)介紹了因子載荷的意義。實際上，主成份與變量間的相關(guān)系數(shù)也是一種因子負(fù)荷量。我們?nèi)绻x取相關(guān)系數(shù)矩陣或標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)矩陣作為主成份分析的基礎(chǔ)，因子負(fù)荷量記為fl（pck,s）,有FL（PCk, Si） = -K Pi,K（ 7-17）上式中的phK為第K個特征值入k，對應(yīng)的特征向量的第i個分量，也就是我們前面一小節(jié)中所說的第K個主成份變動一單位引起的 S的變動量。特征值（BPs）1314.777.85912.6836.51435.28872.64432.3

36、5262.1623標(biāo)準(zhǔn)差（BPs）36.268.823.562.552.301.631.531.47貝獻(xiàn)率92.31%5.47%0.89%0.46%0.37%0.19%0.17%0.15%首先，我們可以發(fā)現(xiàn)貢獻(xiàn)率最高，也就是方差最大的的第一和第二個主成份解釋了92.311% + 5.467% = 97.778%的收益率曲線變動狀況，而如果再考慮上第三個主成份，則前三個主成份就可以解釋98.669%的收益率曲線變動?？梢哉f，這樣的解釋能力已經(jīng)足夠了，我們可以忽略后面5個影響力微弱的主成份。7-3 主成因分析法：實證研究與經(jīng)濟意義美國國債收益率曲線的主成因分析為了介紹主成因分析法在應(yīng)用領(lǐng)域中的實用

37、效果， 所示，它們分別為美國國債即期利率曲線歷史變動 成份方差）、主成份標(biāo)準(zhǔn)差和主成份解釋能力。以及相關(guān)的一些結(jié)論，讓我們來看一個例子。如表7-1和表7-2（點利率周變動量的方差-協(xié)方差矩陣）的主成份、特征值（主請讀者注意一點：由于我們的原始數(shù)據(jù)直接以1基點（1 Basis Poi nt）作為基本單位，因此，在計算特征值（方差）和主成份標(biāo)準(zhǔn)差時，為了表示上的清楚，我們也將數(shù)據(jù)單位表示為1 BP。表7-1 美國收益率曲線主成份3 Mon ths0.28459-0.54194-0.64812-0.36873-0.23151-0.030560.0627030.104066 Mon ths0.3628

38、3-0.409420.0619410.452120.462710.526030.0263530.0313481 YR0.3868-0.258690.206630.1895-0.04859-0.56447-0.36598-0.499933 YR0.39335-0.057260.40414-0.03054-0.03045-0.366820.363830.640225 YR0.393640.157380.26814-0.2484-0.378080.371140.43775-0.4629810 YR0.36750.251580.13152-0.37213-0.024540.28805-0.703490

39、.259620 YR0.320850.45616-0.431530.59682-0.36107-0.01757-0.014010.1252630 YR0.300130.41513-0.30769-0.25770.6746-0.219420.20575-0.17589表7-2美國收益率曲線主成份特征值、標(biāo)準(zhǔn)差和貢獻(xiàn)率我們繼續(xù)來考察主成份對特定點利率的邊際影響（因子載荷），由P1,1 = 0.28459，我們可知，第一主成份每變動一個單位，則相應(yīng)地，3個月即期利率將變動 0.28459單位。但這樣的結(jié)果顯然讓人感到迷惑，因為我們并不能準(zhǔn)確地度量抽象的“一單位”到底是多少，而且我們也不知道 主成份變化“一單位”的概率。因此，有必要將主成份中具體的因子載荷明確定義，以使我們的主成因分析具有 明確的經(jīng)濟意義。事實上，我們由上一節(jié)的內(nèi)容已經(jīng)知道，某一點利率對相應(yīng)主成份的具體得因子負(fù)荷量是主成份變動的標(biāo)準(zhǔn)差乘以相應(yīng)的邊際影響，由