探究圓錐曲線中定值定點問題

1、探究圓錐曲線中的定值定點問題云南省富源縣第一中學 李華老師例1. 證明定角問題（2009北京理）（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準線方程為（）求雙曲線的方程；（）設直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值.【解法1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）點在圓上，圓在點處的切線方程為，化簡得.由及得 切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，設A、B兩點的坐標分別為，則， 的大小為.例2. 證明斜率為定值的問題（2009遼寧卷理）（本

2、小題滿分12分）已知，橢圓C過點A，兩個焦點為（1，0），（1，0）。（1） 求橢圓C的方程； （2） E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。解：（）由題意，c=1,可設橢圓方程為，解得，（舍去）所以橢圓方程為。 （）設直線AE方程為：，代入得 設,因為點在橢圓上，所以 ， 又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以K代K，可得， 所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。 將第二問的結論進行如下推廣：結論1.過橢圓上任一點任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。

3、證明：直線AE的方程為，則直線AF的方程為， 聯(lián)立和，消去y可得 結論2.過雙曲線上任一點任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。結論3.過拋物線上任一點任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。例3. 證明定直線問題（2008安徽卷22）（本小題滿分13分）設橢圓過點，且焦點為（）求橢圓的方程；（）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)設點，由題設，均不為零。且 又 四點共線，可設,于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 ，即點總在定直線上例4.證明定點的問題（2007山東理科卷21）（本小題滿分12分）已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標準方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標 (I)由題意設橢圓的標準方程為， (II)設，由得，.以AB