直線與圓專題18

1、最新高考數(shù)學(xué)專題沖刺學(xué)案(附經(jīng)典解析)專題12直線與圓圓的方程【背一背基礎(chǔ)知識】1. 圓的定義：在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓.2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)若圓的圓心為C(a,b),半徑為r,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(X -a)2 +(y -b)2 = r2 方程(X-a)2+(y-b)2 = r2表示圓心為C(a,b),半徑為r的圓.3. 圓的一般方程(1)任意一個圓的方程都可化為：X2十y2 + Dx + Ey + F = 0 .這個方程就叫做圓的一般方程. 對方程：X2+y2+ Dx+Ey+F =0 .若D2+E2-4F:>0，則方程表示以(-D , - -E)為圓心,*J

2、d2+e24F為半徑的圓;若D2+E2-4f=0，則方程只表示一個點(-號,-|)； 若D2 +E2 -4F <0，則方程不表示任何圖形.4.點A(X0, yo)與Q C的位置關(guān)系(1)1 AQvr?點 A在圓內(nèi)？ (Xo-a)2 + (yo b)2vr2(2)1 AC = r?點 A在圓上？ (xo-a)2 + (yo-b)2=r2 I AC>r?點 A在圓外？ (xo-a)2+ (yo-b)Sr2【講一講基本技能】1.必備技能： 1.求圓的方程，采用待定系數(shù)法:若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān)，可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.若已知條件沒有明確給出圓的圓心和半徑，可選擇圓的一般方 程.2.在求

3、圓的方程時，常用到圓的以下幾何性質(zhì):圓心在過切點且與切線垂直的直線上;圓心在任一弦的垂直平分線上.2.典型例題例1圓心在x軸上，半徑為5,且過點A (2, -3)的圓的方程2 2 2 2(x+2) +y =25 或 x +(y-6) =25.【答案】I解析】由于圜心在梵軸上，半徑為5,故可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：,則由題意得: =5S解這個方程組得.d或a = 6.所CJl所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知(X+2/ +/ =25或x+(y-6/ =25. 例2圓心在直線x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸 所得弦的長為273，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【答案】(X-2)2 +(y -1)2 =4【解析】因為

4、圓心在直線x_2y=0上，所以，可設(shè)圓心為(2a,a).因為圓C與y軸相切，所以，a",半徑r=2，又因為圓C截x軸所 得弦長為23,所以，a2+(軸2 =(2a)2,.解得a=1，故所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2 =4【練一練趁熱打鐵】1.若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點和點(4,0),且與直線y=l相切，則圓C的方程是().A2 I 225A.(x-2)+(y+2)盲B.(X2)2+(y|)2=25C. (x+ 2)2 +(y 3)224D.2 I 225(x+2) +(廠2)=【答案】A【解析】因為圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點和點4 0),故可設(shè)圓心為0(2上),貝k = OC =V4+?.又

5、因為圓與直線F =1相切，所以尹詐_從由此可得=b-b =送-所以圓C的方程是: ("2尸2+孑斗24X2 + y2 - 4x -2y - 8 = 0D. 62.若直線ax+2by -2 =0(a Mb >0)，始終平分圓的周長，貝y丄+¥的最小值為()a bA、1 B . 3+272C . 442【答案】D【解析】 試題分析：因為直線g + 2切一2=0(d>A:>0) *始終平分圓- 4x-2j-B = 0的周長，所以直線紉一2=0過圓的圓心(2R貝g2d+2b2 = 0,即d + i = 貝Q丄+ ?=廿+蘭+半.r=-(O<r<l>

6、;,則/(f> = f+-+在(QU上單調(diào)遞為 aba ba bat幾e = /(l) = l+2 + 3=6,故i+2的最小值為6.3.求圓心在直線l:x + y=O上，且過點A(AO), B(0,2)的圓的方程.【答案】(X +3)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【背一背基礎(chǔ)知識】 直線與圓相切：直線與圓有且只有一個公共點； Ja2 + B2(2)如下圖所示，涉及直線與圓相交及弦長的題，都在RtUOB中，利用勾股定理，得半徑弦長及弦心距之間的關(guān)系式 +(y 3)2 =皿【解析】直線仙的斜率為5=斗，AB的中點頭)30 ”由詡式可得綁殳AS的垂直平分線的方程42為：2jc+y+3=O因為圓&

7、amp;在兀+"上，所以線段血的垂直平分26直線/的交點就是圓心 解方程組嚴(yán)Q；'=°得產(chǎn);所決圓心為cw)lx+ y =0IJ =3何半徑= +4/+(3-0/ =屎, 所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方稈為:(X+S/ +(y-S/ =應(yīng).5. 幾何法：圓心到直線的距離小于半徑，即d<r ;6.代數(shù)法：込>0 ,方程組有兩組不同的解.7.設(shè)兩圓的圓心分別為Ci、C2,圓心距為d = CiC2，半徑分別為R、 r ( R>r).(1)兩圓相離：無公共點；d>R + r，方程組無解.(2) 兩圓外切：有一個公共點;d =R + r，方程組有一組不同的解.(3

8、) 兩圓相交：有兩個公共點;R - r < d c R + r，方程組有兩組不同的解.(4)兩圓內(nèi)切：有一公共點;d=R-r，方程組有一組不同的解.Axo +Byo +C=r，直線與圓相切的問題，往往用這個結(jié)論解題 兩圓內(nèi)含：無公共點；0"<R-r，方程組無解.特別地，d=0 時，為兩個同心圓.【講一講基本技能】 1.必備技能:(1)設(shè)圓的圓心為C(xo, yo)半徑分別為r，直線的方程為方法一、設(shè)圓的半徑為R，圓心到直線的距Ax + By +C =0.若直線與圓相切，貝y圓心到直線的距離離為d，貝y弦長I =2jR2_d2 .方法二、設(shè)直線的斜率為k，直線與圓的交點坐標(biāo)

9、為P(Xi,yi),Q(X2,y2)，則弦長 |PQ =Xi - x2丿1 +k2 = y1 y2(4) 兩圓公共弦的直線方程即為聯(lián)立兩圓方程消去二次項所得的二元一次方程;(5) 求兩圓的公共弦長，往往在一個圓中，應(yīng)用勾股定理求解2.典型例題 例1如圖，已知圓C與X軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A B ( B在A的上方)，且I AB|=2.(I)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ()圓C在點B處的切線在X軸上的截距為-CA30 T【答案】(I) (X-1)2+(y -72)2 =2 ; (n) -1-72.【解析】設(shè)點口的坐標(biāo)為區(qū)J亠 則由圓C與兀軸相切于點JU知，點C的橫坐標(biāo)為L,即 7,半徑

10、F=% 又0為11=2 >所以r +F=>0 即*b=血=C所以圓C的標(biāo)淮方程為a -ly +tv -= 2 $令"0得：鞏00十學(xué)設(shè)圓C在點H處的切線方程為j- + l） = kx,則圓心C到其距離為:-忑,解之得比"即圓C在點B處的切線方程為=于是令y = 0可得X =-1,即圓C在點B處的切線在工軸上的截距為_1_龐，故應(yīng)和-【考點定位】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的切線問題 ，屬中高檔【名師點睛】將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程與弦長問題聯(lián)系起 來，注重實際問題的特殊性，合理的挖掘問題的實質(zhì)，充分體現(xiàn) 了數(shù)學(xué)學(xué)科特點和知識間的內(nèi)在聯(lián)系，滲透著方程的數(shù)學(xué)思想，能較

11、好的考查學(xué)生的綜合知識運用能力.其解題突破口是觀察出點C的橫坐標(biāo).例 2 直線 3x+4y=b 與圓 X2 + y2-2x-2y+1=0 相切，則 b=(A)-2 或 12(B)2 或-12(0-2 或-12(D)2或12【答案】D【解析】直線3x + 4y=b與圓心為（1,1 ）,半徑為1的圓相切，.3+4-bb=2或12,故選D.【練一練趁熱打鐵】1.若點p（1,2）在以坐標(biāo)原點為圓心的圓上，貝y該圓在點P處的切最新高考數(shù)學(xué)專題沖刺學(xué)案（附經(jīng)典解析）線方程為.【答案】x+2y5=0【解析】由點刊X2）在次坐標(biāo)嫌點為圓心的圓上知此圓的方程為：=所以該圓在點P處的切線方程為lxjc+2xy =

12、 55卩兀+2-5 = 0,古攵填：工+ 2$5 = 0【考點定位】圓的切線.【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念和運算， 采用分母實數(shù)化和利 用共軛復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行化解求解 本題屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準(zhǔn)確性2.若直線3x-4y+5=0與圓X2 +y2=r2（r:>0 ）相交于A,B兩點，且NAOB =120。（ 0為坐標(biāo)原點），則r =【答案】【解析】如圖直線3x4y+5=0與圓x2+y2=r2（r>0）交于A、B兩點，0為坐標(biāo)原點，且NAOB=120o，則圓心（0, 0）到直線3X-4y + 5 = 0的距離為廠為弘r=2 .故答案為2.【名師點睛】涉及圓的弦長的常用方法為幾何法： 設(shè)

13、圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為I，則G）2才2-d2.本題條件是圓心角，可利用直角三角形轉(zhuǎn)化為弦心距與半徑之間關(guān)系，再根據(jù)點到直線 距離公式列等量關(guān)系.選擇題（12*5=60分）1.圓（x+2）2+y2=4 與圓（x-2）2+（y-1）2=9 的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切B. 相交 C. 外切 D 相離【解析】【答案】兩圓圓心間的距離d=J（2 + 2卄1=717，兩圓半徑的差為1和為6，因為1 <71 <6，故兩圓相交，選B.2.平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是A . 2x y+75=0 或 2x y 75=0B.2x + y + J5=0 或2x

14、+y=0C. 2x_y+5=0 或 2x y5=0D.2x+y+5=0或2x +y -5=0【答案】D .【解析】依題可設(shè)所求切線方程為2x+y+ = 0.則有+-r= >5.解得"卻，所以所求切線的直纟肪程為2jc+j + 5=0或2jc +$5=0故選D 【考點定位】直線與圓的位置關(guān)系，直線的方程.【名師點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，利用點到直線距離求直線的方程及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用和運算求解能力，根據(jù)題意可設(shè)所求直線方程為2X + y+C =0，然后可用代數(shù)方法即聯(lián)立直線與圓的方程有且只有一解求得，也可以利用幾何法轉(zhuǎn)化為圓心與直線的距離等于半徑求得，屬于容易題.3

15、.若圓心在x軸上、半徑為75的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x+ 2y = 0相切，則圓O的方程是（）A.(X 75)2 + y2= 5 B . (x + 殲 + y2= 5C. (x 5)2 + y2= 5 D . (x + 5)2 + y2= 5【答案】D最新高考數(shù)學(xué)專題沖刺學(xué)案（附經(jīng)典解析）4 + 2x0【解析】設(shè)圓心為a.0）（a<0）. Klr=屈 2：二,解得耳=-5 ,所以，所求圓的方程為0 + 5)2 +夢3=5,故選 D.4. 一條光線從點（-2,-3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓2 2(X + 3) ry 2) =1相切，則反射光線所在直線的斜率為（B）-3 或（A） -5 或

16、 _335（D）一4或-4【答案】D(C)-或-445【解析】由光的反射原理知，反射光線的反向延長2規(guī)'過點（2-3）,設(shè)反射光線所在直線的斜率為氐,則反身光纟戔所在直線方不呈為：y+3 = A;（x-2）,艮卩：b-y-2A;-3 = 0.又因為光線與圓相切，（x+3/+（j-2）" = l所兒I節(jié)2-213| = 1 ,整理：12Jt+25jt+12 = 0 ,解得：jt=一一 ，或氏=一一，故選 D.34【考點定位】1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線的方程；3、直線與圓的位置關(guān)系.【名師點睛】本題考查了圓與直線的方程的基礎(chǔ)知識，重點考查利用對稱性解決直線方程的有關(guān)問題以及直線與

17、圓的位置關(guān)系的判斷，意在考查學(xué)生對直線與直線、 直線與圓的位置關(guān)系的理解與把握以及學(xué)生的運算求解能力.5.圓X2+y2-4x+4y+6 =0截直線x-y-5 = 0所得弦長為（）最新高考數(shù)學(xué)專題沖刺學(xué)案(附經(jīng)典解析)【答案】A【解析】將X2 +y2 _4x+4y+6 = 0配方得：(x 一 2)2 + (y+ 2)2 = 2 ,所以圓心到直線的距離為d =帝¥，弦長為I =2jR2-d2 =2匸 = /6，選 A.6.直線l經(jīng)過點P(5,5),且與圓C:x2 + y2=25相交，截得弦長為45 , 求I的方程.【答案】2x y 5 = 0或 X 2y +5 = 0【解析】(2)由題意

18、可知直線的斜率存在.可設(shè)/的方程為:y 5 = k(x5)艮卩：AxJ + 5 5A; = 0又由圓C:x + /=25截直線I的弦長為4 則圓心到直線/的距離為75 陋由點到直線礙公式泮解得i =2或* =-.代入所設(shè)/的方程化簡為；2x-y-5= 0或x-2j + 5=O, £7.已知圓 C：(X-a)2+( y-2)2 =4 ( a>0 ),有直線 I : x-y+3 = 0，當(dāng)直線I被圓C截得弦長為2J3時，a等于(B.2-C.42D. 72+1【答案】A4-3 = 1.又由點到直線【解析】由題意得：圓心到直線的距離d2a =近-1 .選 A.8.已知a , b是方程X

19、2X 72 = 0的兩個不等的實數(shù)根，則點P（a,b）與圓C： xy8的位置關(guān)系是（A.點P在圓C內(nèi) B .點P在圓C外 C .點P在圓C上D.無法確定【答案】A【解析】. a2+b2 = (a+b)2-2ab=12+272=1+22 V 8,.點 P(a,b)在圓C： X2 + y2 =8 內(nèi).9.過點A (1, -1 ), B (-1 , 1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是（）A. (X-3)2 +(y+1)2 =4B. (x-1)2 +(y -1)2 =4C. (X +3)2 +(y -1)2 =4D. (x+1)2 +(y +1)2 =4【答案】B最新高考數(shù)學(xué)專題沖刺學(xué)案(

20、附經(jīng)典解析)【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：o口尸+(j 一竊,則由題意得(l-a)+(-l-i/=r(一+(1硏口 "一2=0 一®得：也一4Z? = 0 a h -®得：，代入®得：口 =L將a=tb=l代入得：尸丄=4所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x-l>"+(j-l/ = 4 ,選月.10.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是(A. (X-1 )+(y-1 ) =12 2.(X+1) +(y + 1) =1C22C. (x+1)+(y+i) =22 2.(X1) +(y1) =2【答案】D【解析】由題意可得圓的半徑為 7 ,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

21、(X-1 $+(y-1 f =2，故選 D.【考點定位】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【名師點晴】本題主要考查的是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于容易題.解題時一定要抓住重要字眼“過原點”否則很容易出現(xiàn)錯誤.解本題需要掌握的知識點是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即圓心(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a 2 +(y -b)2 =r2 .y2=25的圓心到該直線的距11. 一條直線過點卩(-3,-3)，且圓X2 +離為3,則該直線的方程為()A. X = 3最新高考數(shù)學(xué)專題沖刺學(xué)案(附經(jīng)典解析)B.x 一3或y|C. X = 3或3x+4y+15 = 0D. 3x +4y +15 =0【答案】C【解析】圓X2 + y2=25的圓心為

22、原點，顯然原點到直線 x=3的距離為3.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：y + _3 = k(x + 3)即kx-y+3k|=0.由點到直線的距離公式得:30-0+3k-2Jk2+1=3，平方得：k=-3，所以直線的方程為y+? = -mZ!)即3x + 4x + 15 = 0.綜424上知，選C.12.過三點A(1,3)，B(4,2)， C(1,7)的圓交y軸于M N兩點，則| MN 1 =(A. 2 J6B . 8 C . 476D . 10【答案】【解析】a_217= 咯=3,所汰%=1,所以血丄CB,即SC為直角三 14341角形，其外接圓圓心為(1-2),半徑為5 ,所以外接圓方程為0c-1F+O+2"竹令"0,得y = ±2來-2,所以= 故選 G【考點定位】圓的方程.【名師點睛】本題考查三角形的外接圓方程， 要注意邊之間斜率最新高考數(shù)學(xué)專題沖刺學(xué)案（附經(jīng)典解析）的關(guān)系，得出MBC是直角三角形，可以簡潔快速地求出外接圓 方程，進(jìn)而求弦MN的長，屬于中檔題.（二）填空題（4*5=20分）13.設(shè)直線過點（0,a）,其斜率為1,且與圓x2+y2=2