有理數(shù)培優(yōu)題(有答案).

1、有理數(shù)培優(yōu)題基礎(chǔ)訓練題一、填空：1、在數(shù)軸上表示 2 的點到原點的距離等于（）。2、若 a=a, 則 a（） 0.3、任何有理數(shù)的絕對值都是（）。4、如果 a+b=0,那么 a、b 一定是（）。5、將 0.1 毫米的厚度的紙對折20 次，列式表示厚度是（）。6、已知 | a |3,| b | 2,| ab |ab ，則 ab （）7、 | x 2 | x 3| 的最小值是（）。8、在數(shù)軸上，點 A、 B 分別表示11）。4， ，則線段 AB的中點所表示的數(shù)是（2a b20109、若 a,b 互為相反數(shù)， m, n 互為倒數(shù)， P 的絕對值為 3，則mnp2（）。p10、若 abc0，則 | a

2、 |b | c | 的值是（） .abc11、下列有規(guī)律排列的一列數(shù)： 1、3 、2 、5 、3 、,，其中從左到右第100 個數(shù)是（）。4385二、解答問題：1、已知 x+3=0,|y+5|+4 的值是 4，z 對應的點到 -2 對應的點的距離是7，求 x、y、 z 這三個數(shù)兩兩之積的和。3、若 2x| 45x |13x |4 的值恒為常數(shù)，求x 滿足的條件及此時常數(shù)的值。4、若 a,b, c 為整數(shù)，且 | ab |2010| ca |20101，試求 |ca | ab | bc | 的值。5、計算： 1 5 7 9 11 1315 17261220304256726、應用拓展：將七只杯子

3、放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下?，F(xiàn)要求每次翻轉(zhuǎn)其中任意四只，使它們杯口朝向相反，問能否經(jīng)有限次翻轉(zhuǎn)后，讓所有杯子杯口朝下？能力培訓題知識點一：數(shù)軸例 1：已知有理數(shù) a 在數(shù)軸上原點的右方，有理數(shù)b 在原點的左方，那么（）A ab b B ab b C a b 0 D a b 0拓廣訓練：1、如圖 a, b 為數(shù)軸上的兩點表示的有理數(shù)，在 ab,b 2a, ab , b a 中，負數(shù)的個數(shù)有 （）（“祖沖之杯”邀請賽試題）aObA1B2C3D43、把滿足 2 a5 中的整數(shù) a 表示在數(shù)軸上，并用不等號連接。2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；例 2：如果數(shù)軸上點A 到原點的距離為 3，點 B

4、 到原點的距離為 5，那么 A、B 兩點的距離為。拓廣訓練：1、在數(shù)軸上表示數(shù)a 的點到原點的距離為3，則 a 3 _ .2、已知數(shù)軸上有 A、 B 兩點， A、B 之間的距離為 1，點 A 與原點 O的距離為3，那么所有滿足條件的點B與原點 O的距離之和等于。（北京市“迎春杯”競賽題）3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小；例 3：已知 a 0,b0 且 a b 0 ，那么有理數(shù) a,b, a, b 的大小關(guān)系是。（用“”號連接）（北京市“迎春杯”競賽題）拓廣訓練：1、 若 m0,n0 且 mn ，比較m, n, mn, mn, nm 的大小，并用“”號連接。例 4：已知 a5 比較 a 與 4 的大

5、小拓廣訓練：1、已知 a3，試討論a 與 3 的大小2 、已知兩數(shù)a, b ，如果 a 比 b 大，試判斷a 與 b 的大小4、利用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題。例 5： 有理數(shù) a,b,c 在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子ababbc 化簡結(jié)果為（）A 2a3bcB 3bcC bcD cb-1aO1bc拓廣訓練：1、有理數(shù) a, b, c 在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡abb1ac1c 的結(jié)果為。baOc 12、已知abab2b ，在數(shù)軸上給出關(guān)于a, b的四種情況如圖所示，則成立的是。a 0 bb 0 a0a b0 b a3、已知有理數(shù)a,b, c 在數(shù)軸上的對應的位置如下圖：則c1acab 化

6、簡后的結(jié)果是（）（湖北省初中數(shù)學競賽選撥賽試題）-1cOabA b 1 B 2a b 1 C 1 2a b 2c D 1 2c b三、培優(yōu)訓練1、已知是有理數(shù)，且x 1 22y1 20 ，那以 xy的值是（）A1 B 3C 1或3D 1或 3222222（、 07 樂山）如圖，數(shù)軸上一動點A 向左移動2 個單位長度到達點B ，再向右移動 5 個單位長度到達點C 若點 C 表示的數(shù)為 1，則點 A 表示的數(shù)為（）5B2AC 7 332013、如圖，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1 個單位，點 A、B、 C、 D對應的數(shù)分別是整數(shù) a, b,c, d且 d 2a 10 ，那么數(shù)軸的原點應是（）

7、AB CDAA點 B B點 C C點 DD 點4、數(shù) a, b, c, d 所對應的點 A，B，C，D 在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么 ac 與 bd 的大小關(guān)系是 （）A D0CBA acbdB acbdC acb dD 不確定的5、不相等的有理數(shù)a, b, c 在數(shù)軸上對應點分別為A，B， C，若 abbc ac ，那么點 B（）A在 A、 C 點右邊B 在 A、C點左邊C 在 A、 C點之間D 以上均有可能6、設(shè) yx 1x1 ，則下面四個結(jié)論中正確的是（）（全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）A y 沒有最小值B只一個 x 使 y 取最小值Cx（不止一個）使y 取最小值D有無窮多個x使y 取最小值有限個

8、7、在數(shù)軸上，點A， B 分別表示1和1 ，則線段 AB的中點所表示的數(shù)是。358、若 a0, b0 ，則使 xaxbab 成立的 x 的取值范圍是。9、 x 是有理數(shù)，則x10095的最小值是。x22122110、已知 a, b, c, d 為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：dbOac且 6 a6 b3 c4 d6, 求 3a2d3b2a2bc 的值。11、（南京市中考題） (1) 閱讀下面材料：點 A、 B 在數(shù)軸上分別表示實數(shù) a, b， A、 B 兩點這間的距離表示為AB ，當 A、 B 兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點 A在原點，如圖 1， ABOBba b ；當 A、 B 兩點都不在

9、原點時，O(A)BobABOBOA b ab a a b ；OAB如圖 2，點 A、 B 都在原點的右邊o abBAO如圖 3，點 A、 B 都在原點的左邊如圖 4，點 A、 B 在原點的兩邊ABOBOAbabaa b ；ba oABOAOBab abab 。BOAboa綜上，數(shù)軸上A、 B兩點之間的距離 ABab 。（ 2）回答下列問題：數(shù)軸上表示2 和 5 兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示 -2 和 -5 的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示 1 和-3的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示x 和 -1 的兩點 A 和 B 之間的距離是，如果 AB2 ，那么 x 為；當代數(shù)式x1x2 取最小值時，相應的 x

10、 的取值范圍是；求 x 1x2x3x 1997 的最小值。聚焦絕對值一、閱讀與思考絕對值是初中代數(shù)中的一個重要概念，引入絕對值概念之后，對有理數(shù)、相反數(shù)以及后續(xù)要學習的算術(shù)根可以有進一步的理解；絕對值又是初中代數(shù)中一個基本概念，在求代數(shù)式的值、代數(shù)式的化簡、解方程與解不等式時，常常遇到含有絕對值符號的問題，理解、掌握絕對值概念應注意以下幾個方面：1、脫去絕值符號是解絕對值問題的切入點。脫去絕對值符號常用到相關(guān)法則、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識方法。去絕對值符號法則：aa0a0a0aa02、恰當?shù)剡\用絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看a 表示數(shù) a 的點到原點的距離；a b 表示數(shù) a 、數(shù) b 的兩點間的

11、距離。3、靈活運用絕對值的基本性質(zhì) a 0 a 222 ab a b aa a b a baab 0bb a ba b二、知識點反饋1、去絕對值符號法則例 1：已知 a5, b3且 abba 那么 ab。拓廣訓練：1、已知 a1, b2, c3, 且 a bc ，那么 a b c2。（北京市“迎春杯”競賽題）2、若a8, b5b 0 ，那么 a b 的值是（），且 aA3 或 13 B 13 或-13 C 3 或-3 D -3 或-132、恰當?shù)剡\用絕對值的幾何意義例 2： x1 x1 的最小值是（）A2B0C1D-1解法 1、分類討論當 x1時， x 1 x 1x 1x 12x 2 ；當 1

12、x 1時， x 1x 1x 1x 1 2 ；當 x1時 x 1x 1x 1 x 12 x 2 。比較可知， x1x 1 的最小值是 2，故選 A。解法 2、由絕對值的幾何意義知x 1 表示數(shù) x 所對應的點與數(shù)1 所對應的點之間的距離；x 1 表示數(shù) x所對應的點與數(shù) -1所對應的點之間的距離；x 1x 1 的最小值是指x 點到1 與 -1 兩點距離和的最小值。如圖易知x -1x 1xx 1時， x1x 1當 1的值最小，最小值是2故選 A。拓廣訓練：1、 已知 x3x2 的最小值是 a ， x3x2 的最大值為 b ，求 ab 的值。三、培優(yōu)訓練1、如圖，有理數(shù) a, b 在數(shù)軸上的位置如圖

13、所示：-2 a-10 b1則在 ab,b 2a, ba , a b , a 2 , b4 中，負數(shù)共有（）（湖北省荊州市競賽題）A3個 B 1個 C 4個 D 2個2、若 m 是有理數(shù)，則 m m 一定是（）A零B 非負數(shù)C 正數(shù) D 負數(shù)3、如果x 2 x2 0 ，那么 x 的取值范圍是（）A x 2B x 2 C x 2 D x 24、a, b 是有理數(shù)， 如果 abab ，那么對于結(jié)論 （ 1）a 一定不是負數(shù)；（ 2）b 可能是負數(shù)， 其中（）（第 15 屆江蘇省競賽題）A只有（ 1）正確B只有（ 2）正確C （1）（ 2）都正確D （ 1）（2）都不正確5、已知 aa ，則化簡 a1

14、a2 所得的結(jié)果為（）A 1 B 1 C 2a 3 D 3 2a6、已知 0a4 ，那么 a23 a 的最大值等于（）A1B5C8D97、已知 a, b, c 都不等于零，且xabcabc）abc，根據(jù) a,b,c 的不同取值， x 有（abcA唯一確定的值B3 種不同的值C 4 種不同的值D 8 種不同的值8、滿足 abab 成立的條件是（）（湖北省黃岡市競賽題）A ab 0B ab 1C ab 0D ab 19、若 2xx5x2x的值為。5，則代數(shù)式52xxx10、若 ab0，則abab的值等于。abab11、已知 a, b, c 是非零有理數(shù)，且abc 0, abc 0 ，求 ab c

15、abc 的值。abcabc12、已知 a, b, c, d 是有理數(shù)，ab9, cd16 ，且 abcd25 ，求 badc 的值。13、閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：xx0我們知道 x0x0，現(xiàn)在我們可以用這一個結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式xx0x 1x2 時，可令 x10 和 x20 ，分別求得 x1, x 2 （稱 1,2 分別為 x1 與 x 2 的零點值）。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值x1和 x2 可將全體有理數(shù)分成不重復且不遺漏的如下3 種情況：（ 1）當 x1時，原式 =x1x22x 1;21x2 時，原式= x1x23；（ ）當（ 3）當 x2 時，原式 = x1x22x

16、1。2x1x1綜上討論，原式 =31x22x1x2通過以上閱讀，請你解決以下問題：（ 1）分別求出x2 和 x4 的零點值；（ 2）化簡代數(shù)式x2x414、（ 1）當 x 取何值時，x3 有最小值？這個最小值是多少？（ 2）當 x 取何值時， 5x2 有最大值？這個最大值是多少？（3）求 x4x5 的最小值。（ 4）求 x7x8x9 的最小值。15、某公共汽車運營線路AB段上有 A、 D、 C、B 四個汽車站，如圖，現(xiàn)在要在AB段上修建一個加油站 M，為了使加油站選址合理，要求A， B， C， D 四個汽車站到加油站M的路程總和最小，試分析加油站M在何處選址最好？A DCB16、先閱讀下面的材

17、料，然后解答問題：在一條直線上有依次排列的n n 1 臺機床在工作，我們要設(shè)置一個零件供應站P，使這 n 臺機床到供應站 P 的距離總和最小，要解決這個問題，先“退”到比較簡單的情形：A1A 2A 1A2（ P） DA 3甲 P乙甲乙丙如圖，如果直線上有2 臺機床（甲、乙）時, 很明顯 P 設(shè)在 A1 和 A2 之間的任何地方都行 , 因為甲和乙分別到 P 的距離之和等于A1 到 A2的距離 .如圖 , 如果直線上有3 臺機床 ( 甲、乙、丙 ) 時，不難判斷， P 設(shè)在中間一臺機床A2 處最合適，因為如果P 放在 A2 處，甲和丙分別到P 的距離之和恰好為A1 到 A3 的距離；而如果 P

18、放在別處，例如 D 處，那么甲和丙分別到 P 的距離之和仍是A1 到 A3 的距離，可是乙還得走從A2 到 D近段距離，這是多出來的，因此 P放在 A2 處是最佳選擇。不難知道，如果直線上有4 臺機床， P 應設(shè)在第 2 臺與第 3 臺之間的任何地方；有5 臺機床， P 應設(shè)在第3 臺位置。問題（ 1）：有 n 機床時， P 應設(shè)在何處？問題（ 2）根據(jù)問題（ 1）的結(jié)論，求x1x2x3x617 的最小值。有理數(shù)的運算一、閱讀與思考在小學里我們已學會根據(jù)四則運算法則對整數(shù)和分數(shù)進行計算，當引進負數(shù)概念后，數(shù)集擴大到了有理數(shù)范圍，我們又學習了有理數(shù)的計算，有理數(shù)的計算與算術(shù)數(shù)的計算有很大的不同：

19、首先，有理數(shù)計算每一步要確定符號；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)” ，所以有理數(shù)的計算很多是字母運算，也就是通常說的 符號演算 。數(shù)學競賽中的計算通常與推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地算出結(jié)果，而且要善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特點，將推理與計算相結(jié)合，靈活選用算法和技巧，提高計算的速成度，有理數(shù)的計算常用的技巧與方法有：1、利用運算律；2、以符代數(shù)； 3、裂項相消；4、分解相約； 5、巧用公式等。二、知識點反饋1、利用運算律：加法運算律加法交換律 abba乘法運算律乘法交換律 a bb a乘法結(jié)合律 ab ca bc加法結(jié)合律 abcabc乘法分配律 a b cabac例 1：計算： 23422

20、.7572533解：原式 = 4.64224.62.7534.6 5.751.152.75733拓廣訓練：1、計算（ 1）0.60.082270.92253159171951111（2）11369444114例 2：計算：9 245025解：原式 =1501050150500 2498102525拓廣訓練：1、 計算： 23 41111534522、裂項相消（ 1） a b 11 ；（2）111；（3）m11aba bn n 1 n n 1n n m n n m（ 4）211n n 1n 1 n 2n n 1 n 2例 3、計算1111122334200920101111111解：原式 = 1

21、2334200920102=111111112233420092010=11200920102010拓廣訓練：1、計算：1111335572007200913、以符代數(shù)例 4：計算：17 727 111 3713 128 175 38271739172739解：分析： 17716 34 ,27 126 24 ,11371076272717173939令 A =13128 175 38，則17 727 111 3716 3426 2410 76172739271739271739原式=2A A2拓廣訓練：1、計算：111111111112320062323200620054、分解相約124248

22、n 2n 4n2例 5：計算：1392618n 3n 9n解：原式 = 1242124n 1 2 421 2 41 2=1392139n 1 3 913912124264=397291三、培優(yōu)訓練1、 a 是最大的負整數(shù)，b 是絕對值最小的有理數(shù)，則a2007b2009=20082、計算：（1）1111=；2A1112320052nn。35577919971999（2）0.25 48 322 461 =。323、若 a 與b 互為相反數(shù)，則 1898a299b 2=。1997ab4、計算： 1131351397=。2446669898985、計算： 222232 425262 72829210

23、 =。6、1997 ,97 ,1998 ,98 這四個數(shù)由小到大的排列順序是。1998981999997、（ “五羊杯”）計算： 3.1431.46280.68668.66.86 =（）A 3140 B 628C 1000D 12008、（ “希望杯”） 12341415等于（）24682830A1 B1C1 D144229、（ “五羊杯”）計算： 5642.5 32 =（）29814.54A 5B 10C 20D 40239910、（ 2009鄂州中考）為了求1222322008 的值，可令S 1222322008 ，則2S22232422009，因此 2S-S 220091，所以 1222

24、322008 220091仿照以上推理計算出 1525352009 的值是（）A、 520091B、 520101C、 520091D、 5201014411、 a1 , a2 , a3 ,a2004都是正數(shù)，如果Ma1a2a2003a2 a3a2004，Na1a2a2004a2a3a2003 ，那么 M , N 的大小關(guān)系是（）A MNB MNC MND 不確定12、設(shè)三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為1, ab, a 的形式，又可表示為0, b ,b 的形式，求 a1999b2000a的值（“希望杯”邀請賽試題）13、計算（ 1） 5.70.000360.190.00657000.00000

25、0164 （2009 年第二十屆“五羊杯”競賽題）312（ 2） 0.25 48 346.52461（北京市“迎春杯”競賽題）3133214、已知 m, n 互為相反數(shù)， a,b 互為負倒數(shù)，x 的絕對值等于3 ，求 x31 m n ab x 2mn x20012003ab的值15、已知 ab 2a 2 0 ，求 1111的值aba 1 b 1a 2 b 2a 2006 b2006（香港競賽）16、（ 2007，無錫中考） 圖 1 是由若干個小圓圈堆成的一個形如正三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了n 層將圖1 倒置后與原圖1 拼成圖 2 的形狀，這樣我們

26、可以算出圖1 中所有圓圈的個數(shù)為 12 3nn(n1)2第 1 層第 2 層,第 n 層圖圖 2圖 3圖 4如果圖1 中的圓圈共有 12層，（ 1）我們自上往下，在每個圓圈中都按圖3 的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4， ，則最底層最左邊這個圓圈中的數(shù)是；（ 2）我們自上往下，在每個圓圈中都按圖 4 的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)23 ，22 ，21，求圖 4 中所有圓圈中各數(shù)的絕對值之和【專題精講】【例 1】計算下列各題 ( 3) 3 0.75 0.52( 3)325 (112) (3)343( 3)344372544 ( 0.125)12 ( 12) 7 ( 8) 13(3)935【例2】

27、計算：1234567891011122005 2006 2007 2008【例 3】計算： 111111131519912612203099001357101反思說明： 一般地，多個分數(shù)相加減，如果分子相同，分母是兩個整數(shù)的積，且每個分母中因數(shù)差相同，可以用裂項相消法求值。11111 ( 11 )n(n1) nn 1n(n k) k n nkn(n11 1111)1 ( 11 )1)(n2) 2n(n 1)(n 1)(n2)(n 1)(n2 n1 n 1【例 4】屆迎春杯）計算：1111（第 182481024【例 5】 計算： 1( 12 )( 123 )( 1234)( 1235859)2

28、3344455556060606060【例 6】屆“希望杯” ）計算：（第 8(1 111 )(1111)(11111 )(111)23200923420102320092010232009【例 7】 請你從下表歸納出13233343n3的公式并計算出值。12345246810369121548121620【實戰(zhàn)演練】5101520251、用簡便方法計算： 9999989989999989999999982、（第 10 屆“希望杯”訓練題）(11) (11)(1(11) (11)20031)200410021001100019991999199920002000200

29、0200120012001 則 abc、已知 a,b, c31998199819991999199920002000200019984、計算：111131513151729313311、（“聰明杯”試題） ( 124248n 2n 4n )25392618n 3n 9n16、 (11 )(11)(11) (11)(11) 的值得整數(shù)部分為（）1324351998200019992001A 1B 2C 3D 4提示： ( n 1)2n22n1481216407、1335577919218、計算： S 1 2 2223220109、計算 1111的值 .21231231100111110、計算：2342010的值。(1 1)(11)(1 1)(11)(11 )(1 1 )(11) (1111 )223234232010參考答案基礎(chǔ)訓練題一、填空。1、2；2、；3、非負數(shù)；4、互為相反數(shù)；5、 0.1220 毫米；6、5 或 1；7、5；8、1 ；9、 8； 10、± 3，± 1；11、