分類討論思想

1、高中數(shù)學專題復習二分類討論思想 第二節(jié) 分類討論思想在集合函數(shù)題中的應用 例 1已知集合 A 和集合 B 各含有 12 個元素， AB 含有 4 個元素， 試求同時滿足下面兩個條件的集合 C 的個數(shù)： . C AB 且 C 中 含有 3 個元素； . C A 。 【分析】 由已知并結合集合的概念， C 中的元素分兩類： 屬于 A 元 素；不屬于 A 而屬于 B 的元素。并由含 A 中元素的個數(shù) 1、2、3, 而將取法分三種。 【解】 C 112 C28 C122 C18 C312 C08 1084 【注】本題是排列組合中“包含與排除”的基本問題，正確地解題的 前提是合理科學的分類， 達到分類完

2、整及每類互斥的要求， 還有一個 關鍵是要確定 C 中元素如何取法。 另一種解題思路是直接使用 “排除 法”，即 C203 C83 1084。 例 4設 a 為實數(shù)，設函數(shù) f ( x) a 1 x 2 1 x 1 x 的最大值為 g( a) 。 （）設 t 1 x 1 x ，求 t 的取值范圍，并把 f ( x) 表示為 t 的函 數(shù) m( t ) （II ）求 g( a) （III ）試求滿足 g (a ) 1 ) 的所有實數(shù) 。 g ( a a 解析：（）令 t 1 x 1 x 要使有 t 意義，必須 1+x0 且 1-x 0，即 -1 x1, t 2 2 2 1 x2 2,4, t 0

3、t 的取值范圍是 2,2. 由得 1 x2 1 t2 1 2 1 t 2 1)+t= 1 at 2 m(t)=a( t a, t 2, 2 2 2 1 at 2 （II ）由題意知 g(a) 即為函數(shù) m(t ) t a, t 2, 2 的最大值。 2 第1頁（共 5頁） 高中數(shù)學專題復習二分類討論思想 注意到直線 t 1 是拋物線 m(t) 1 at 2 t a 的對稱軸，分以下幾種情 a 2 況討論。 （1）當 a0 時，函數(shù) y=m(t), t 2,2 的圖象是開口向上的拋物線 的一段， 由 t 1 0 知 m(t) 在 2,2. 上單調遞增， g(a)=m(2)=a+2 。 a (2)

4、 當 a=0 時， m(t)=t, t 2,2 , g(a)=2 。 (3) 當 a0 時, 函數(shù) y=m(t), t 2,2 的圖象是開口向下的拋物線的一 段， 若 t 1 0, 2 ，即 a 2 則 g( a) m( 2) 2 ， a 2 若 t 1 ( 2,2，即 2 a 1 則 g( a) m( 1 ) a 1 ， a 2 2 a 2a 若 t 1 (2, ) ，即 1 a 0 則 g( a) m(2) a 2 ， a 2 a 2, a 1 2 1 , 綜上有 g (a) a 2 a 1 2a 2 , 2 2, a 2 2 (III) 解法一： 情形 1：當 a 2 時 1 1 ，此時

5、 g(a) 2 ， g ( 1) 1 2 a 2 a a 1 2 由 2 2 解得 a1 a 2 ，與 a0 時， 1 0 ，此時 g(a)=a+2, g (1 ) 1 2 1 a a a 由 a 2 2解得 a 1 ，由 a0 得 a=1. a 綜上知，滿足 g (a) g( 1 ) 的所有實數(shù) a 為 2 a 2 , 或 a=1。 a 2 點評：本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識，考查分類討論的數(shù)學思想方法和綜合運用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力。 例 5設函數(shù) f(x) ax 2 2x 2，對于滿足 1x0 ，求實數(shù) a 的范圍。 【分析】 含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最

6、小值等 值域問題，需要先對開口方向討論， 再對其拋物線對稱軸的位置與閉 區(qū)間的關系進行分類討論，最后綜合得解。 【解】當 a0 時， f(x) a（x 1 ） 2 2 1 a a 第3頁（共 5頁） 高中數(shù)學專題復習二分類討論思想 1 1 1 1 1 4 4 a 或 a 或 a 1 1 f ( ) a 2 2 0 0f ( ) 16a 8 2 0 1 f ( ) 2 4 a a a 1 或 1 a 1 ； 2 2 當 a 1 。 2 【注】本題分兩級討論，先對決定開口方向 的二次項系數(shù) a 分 a0、a0 時 將對稱軸與閉區(qū)間的關系分三種，即在閉區(qū) 1 4 間左邊、右邊、中間。 x 綜合訓練 2. 若 A x|x2 ( p 2) x 1 0， x R ，且 A R ，則實數(shù)中的取值 范圍是（ ） A. p 2 B. p2 C. p 2 D. p 4 3. 設 A= x| x a 0 ，B x|ax 1 0 ，且 A B B，則實數(shù) a 的值為 （ ）A. 1 B. 1 C. 1 或 1 D. 1， 1 或 0 第4頁（共 5頁） 高