15分形幾何(上)

1、課題：分形幾何（上）【教學(xué)目標(biāo)】分形幾何的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展【教學(xué)重點(diǎn)】分形幾何的特點(diǎn)【教學(xué)過程】引入：分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)。 相對于傳統(tǒng)幾何學(xué)的研究對象為整數(shù)維數(shù)，如，零維的點(diǎn)、一維的線、二維的面、三維的立體乃至四維的時(shí)空。 分形幾何學(xué)的研究對象為分?jǐn)?shù)維數(shù)，如 0.63、1.58、2.72。因?yàn)樗难芯繉ο笃毡榇嬖谟谧匀唤缰?，因此分形幾何學(xué)又被稱為 “大自然的幾何學(xué) ”。一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式， 即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)。 分形有幾種類型， 可以分別依據(jù)表現(xiàn)出的精確自相似性、半自相似性和統(tǒng)計(jì)自相似性來定義。 雖然分形是一個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造，它們同樣可

2、以在自然界中被找到， 這使得它們被劃入藝術(shù)作品的范疇。分形在醫(yī)學(xué)、土力學(xué)、地震學(xué)和技術(shù)分析中都有應(yīng)用。一、分形幾何的由來分形（英語： Fractal），又稱碎形，通常被定義為 “一個(gè)粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個(gè)部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀 ”，即具有自相似的性質(zhì)。分形思想的根源可以追溯到公元 17 世紀(jì)，而對分形使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)處理則始于一個(gè)世紀(jì)后卡爾 魏爾施特拉斯、 格奧爾格 康托爾和費(fèi)利克斯 豪斯多夫?qū)B續(xù)而不可微函數(shù)的研究。但是分形（fractal）一詞直到 1975 年才由本華 曼德布勞恩特創(chuàng)造出，來自拉丁文 fr ctus，有“零碎 ”、“破裂 ”之意。一個(gè)

3、數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式， 即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)。 分形有幾種類型， 可以分別依據(jù)表現(xiàn)出的精確自相似性、半自相似性和統(tǒng)計(jì)自相似性來定義。 雖然分形是一個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造，它們同樣可以在自然界中被找到，這使得它們被劃入藝術(shù)作品的范疇。分形在醫(yī)學(xué)、土力學(xué)、地震學(xué)和技術(shù)分析中都有應(yīng)用。二、分形的特征分形一般有以下特質(zhì)：在任意小的尺度上都能有精細(xì)的結(jié)構(gòu)；太不規(guī)則，以至無論是其整體或局部都難以用傳統(tǒng)歐氏幾何的語言來描述；具有（至少是近似的或統(tǒng)計(jì)的）自相似形式；一般地，其 “分形維數(shù) ”（通常為豪斯多夫維數(shù)）會大于拓?fù)渚S數(shù)（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）；在多數(shù)情況下有著簡單的

4、遞歸定義。因?yàn)榉中卧谒械拇笮〕叨认露硷@得相似， 所以通常被認(rèn)為是無限復(fù)雜的（以不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠迷~來說）。自然界里一定程度上類似分形的事物有云、山脈、閃電、海岸線、雪片、植物根、多種蔬菜（如花椰菜和西蘭花）和動物的毛皮的圖案等等。但是，并不是所有自相似的東西都是分形， 如實(shí)直線雖然在形式上是自相似的， 但卻不符合分形的其他特質(zhì)，比如說它能被傳統(tǒng)的歐氏幾何語言所描述。分形的圖像可以用分形生成軟件作出。盡管用此類軟件生成的圖像并不具備上述分形的特征， 比如說存在放大后無上述特征的局部區(qū)域，但是這些圖像通常仍然被稱為分形。而且這些圖像可能含有由計(jì)算或顯示造成的人為偏差 一些不屬于分形的特征.四、歷史17

5、世紀(jì)時(shí)，數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家萊布尼茨思考過遞歸的自相似，分形的數(shù)學(xué)從那時(shí)開始漸漸地成形（雖然他誤認(rèn)只有直線會自相似）。直到 1872 年，卡爾 魏爾施特拉斯才給出一個(gè)具有處處連續(xù)但處處不可微這種非直觀性質(zhì)的函數(shù)例子，其圖像在現(xiàn)今被認(rèn)為是分形。1904 年，海里格 馮科赫不滿意魏爾施特拉斯那抽象且解析的定義，用更加幾何化的定義給出一個(gè)類似的函數(shù)，今日稱之為科赫雪花。1915 年瓦茨瓦夫 謝爾賓斯基造出了謝爾賓斯基三角形；隔年，又造出了謝爾賓斯基地毯。 1938 年，保羅 皮埃爾 萊維在他的論文 Planeor Space Curves and Surfaces Consisting of Parts

6、Similar to the Whole中將自相似曲線的概念更進(jìn)一步地推進(jìn)，他在文中描述了一個(gè)新的分形曲線萊維 C 形曲線。格奧爾格 康托爾也給出一個(gè)具有不尋常性質(zhì)的實(shí)直線上的子集康托爾集，今日也被認(rèn)為是分形。復(fù)平面的迭代函數(shù)在19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初被儒勒 昂利 龐加萊、菲利克斯 克萊因、皮埃爾 法圖和加斯東 茹利亞等人所研究， 但直到現(xiàn)在有電腦繪圖的幫忙，許多他們所發(fā)現(xiàn)的函數(shù)才顯現(xiàn)出其美麗來。1960 年代，本華 曼德布勞恩特開始研究自相似，且在路易斯 弗萊理查德森之前工作的基礎(chǔ)上，寫下一篇論文英國的海岸線有多長？統(tǒng)計(jì)自相似和分?jǐn)?shù)維度。最終，曼德布勞恩特在1975 年提出了“分形 ”一詞，來標(biāo)記一個(gè)豪斯多夫-貝西科維奇維數(shù)大于拓?fù)渚S數(shù)的物件。曼德布勞恩特以顯著的電腦繪制圖像來描繪此一數(shù)學(xué)定