壓縮感知理論綜述(原創(chuàng))

1、壓縮感知理論綜述摘要：信號(hào)采樣是模擬的物理世界通向數(shù)字的信息世界之必備手段。多年來(lái)，指導(dǎo)信號(hào)采樣的理論基礎(chǔ)一直是著名的Nyquist采樣定理，但其產(chǎn)生的大量數(shù)據(jù)造成了存儲(chǔ)空間的浪費(fèi)。壓縮感知（Compressed Sensing）提出一種新的采樣理論，它能夠以遠(yuǎn)低于Nyquist采樣速率采樣信號(hào)。本文詳述了壓縮感知的基本理論，著重介紹了信號(hào)稀疏變換、觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)和重構(gòu)算法三個(gè)方面的最新進(jìn)展，并介紹了壓縮感知的應(yīng)用及仿真，舉例說(shuō)明基于壓縮感知理論的編解碼理論在一維信號(hào)、二維圖像處理上的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：壓縮感知；稀疏表示；觀測(cè)矩陣；編碼；解碼 一、引言Nyquist采樣定理指出，采樣速率達(dá)到信號(hào)帶寬

2、的兩倍以上時(shí)，才能由采樣信號(hào)精確重建原始信號(hào)。可見(jiàn)，帶寬是Nyquist采樣定理對(duì)采樣的本質(zhì)要求。然而隨著人們對(duì)信息需求量的增加，攜帶信息的信號(hào)帶寬越來(lái)越寬，以此為基礎(chǔ)的信號(hào)處理框架要求的采樣速率和處理速度也越來(lái)越高。解決這些壓力常見(jiàn)的方案是信號(hào)壓縮。但是，信號(hào)壓縮實(shí)際上是一種資源浪費(fèi)，因?yàn)榇罅康牟恢匾幕蛘咧皇侨哂嘈畔⒃趬嚎s過(guò)程中被丟棄。從這個(gè)意義而言，我們得到以下結(jié)論：帶寬不能本質(zhì)地表達(dá)信號(hào)的信息，基于信號(hào)帶寬的Nyquist采樣機(jī)制是冗余的或者說(shuō)是非信息的。于是很自然地引出一個(gè)問(wèn)題：能否利用其它變換空間描述信號(hào)，建立新的信號(hào)描述和處理的理論框架，使得在保證信息不損失的情況下，用遠(yuǎn)低于Ny

3、quist采樣定理要求的速率采樣信號(hào)，同時(shí)又可以完全恢復(fù)信號(hào)。與信號(hào)帶寬相比，稀疏性能夠直觀地而且相對(duì)本質(zhì)地表達(dá)信號(hào)的信息。事實(shí)上，稀疏性在現(xiàn)代信號(hào)處理領(lǐng)域起著至關(guān)重要的作用。近年來(lái)基于信號(hào)稀疏性提出一種稱為壓縮感知或壓縮采樣的新興采樣理論，成功實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的同時(shí)采樣與壓縮。 簡(jiǎn)單地說(shuō)，壓縮感知理論指出：只要信號(hào)是可壓縮的或在某個(gè)變換域是稀疏的，那么就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣將變換所得高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，然后通過(guò)求解一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題就可以從這些少量的投影中以高概率重構(gòu)出原信號(hào)，可以證明這樣的投影包含了重構(gòu)信號(hào)的足夠信息。在該理論框架下，采樣速率不再取決于信號(hào)的帶寬，而在很大程度上

4、取決于兩個(gè)基本準(zhǔn)則：稀疏性和非相干性，或者稀疏性和等距約束性。事實(shí)上，壓縮感知理論的某些抽象結(jié)論源于Kashin創(chuàng)立的范函分析和逼近論，最近由Candes，Romberg,Tao和Donoho等人構(gòu)造了具體的算法并且通過(guò)研究表明了這一理論的巨大應(yīng)用前景。目前國(guó)內(nèi)已經(jīng)有科研單位的學(xué)者對(duì)其展開(kāi)研究。如西安電子科技大學(xué)課題組基于該理論提出采用超低速率采樣檢測(cè)超寬帶回波信號(hào)。 顯然，在壓縮感知理論中，圖像/信號(hào)的采樣和壓縮同時(shí)以低速率進(jìn)行，使傳感器的采樣和計(jì)算成本大大降低，而信號(hào)的恢復(fù)過(guò)程是一個(gè)優(yōu)化計(jì)算的過(guò)程因此，該理論指出了將模擬信號(hào)直接采樣壓縮為數(shù)字形式的有效途徑。從理論上講任何信號(hào)都具有可壓縮性

5、，只要能找到其相應(yīng)的稀疏表示空間，就可以有效地進(jìn)行壓縮采樣。當(dāng)前，壓縮感知理論主要涉及三個(gè)核心問(wèn)題：(1) 具有稀疏表示能力的過(guò)完備字典設(shè)計(jì)；(2) 滿足非相干性或等距約束性準(zhǔn)則的測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)；(3) 快速魯棒的信號(hào)重建算法設(shè)計(jì)。 壓縮感知理論必將給信號(hào)采樣方法帶來(lái)一次新的革命。這一理論的引人之處還在于它對(duì)應(yīng)用科學(xué)的許多領(lǐng)域具有重要的影響，如統(tǒng)計(jì)學(xué)、信息論、編碼等。目前，學(xué)者們已經(jīng)在模擬-信息采樣、合成孔徑雷達(dá)成像、遙感成像、核磁共振成像、深空探測(cè)成像、無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)、信源編碼、人臉識(shí)別、語(yǔ)音識(shí)別、探地雷達(dá)成像等諸多領(lǐng)域?qū)嚎s感知展開(kāi)了廣泛的應(yīng)用研究。Rice大學(xué)已經(jīng)成功設(shè)計(jì)出了一種基于壓縮感

6、知的新型單像素相機(jī)，在實(shí)踐中為取代傳統(tǒng)相機(jī)邁出了實(shí)質(zhì)性的一步。本文圍繞稀疏字典設(shè)計(jì)、測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)、重建算法設(shè)計(jì)三個(gè)核心問(wèn)題，綜述了壓縮感知理論以及與之相關(guān)的信號(hào)稀疏變換、觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)、重構(gòu)算法等一系列最新理論成果和應(yīng)用研究，描述了國(guó)內(nèi)外的研究進(jìn)展。本文結(jié)構(gòu)安排如下：第2 部分闡述了壓縮感知的理論框架；第3 部分系統(tǒng)介紹了壓縮感知的三個(gè)核心問(wèn)題，即信號(hào)的稀疏表示、信號(hào)的觀測(cè)矩陣、信號(hào)重構(gòu)算法；第4 部分指出壓縮感知有待解決的若干關(guān)鍵問(wèn)題；第5 部分介紹了壓縮感知的應(yīng)用及仿真；第6部分對(duì)全文作了總結(jié)。 2、 壓縮感知理論框架傳統(tǒng)的信號(hào)采集、編解碼過(guò)程如圖l所示：編碼端先對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，再對(duì)所有采樣

7、值進(jìn)行變換，并將其中重要系數(shù)的幅度和位置進(jìn)行編碼，最后將編碼值進(jìn)行存儲(chǔ)或傳輸：信號(hào)的解碼過(guò)程僅僅是編碼的逆過(guò)程，接收的信號(hào)經(jīng)解壓縮、反變換后得到恢復(fù)信號(hào)。采用這種傳統(tǒng)的編解碼方法，由于信號(hào)的采樣速率不得低于信號(hào)帶寬的2倍，使得硬件系統(tǒng)面臨著很大的采樣速率的壓力。此外在壓縮編碼過(guò)程中，大量變換計(jì)算得到的小系數(shù)被丟棄，造成了數(shù)據(jù)計(jì)算和內(nèi)存資源的浪費(fèi)。圖1 傳統(tǒng)編解碼理論的框圖壓縮感知理論對(duì)信號(hào)的采樣、壓縮編碼發(fā)生在同一個(gè)步驟，利用信號(hào)的稀疏性，以遠(yuǎn)低于Nyquist采樣率的速率對(duì)信號(hào)進(jìn)行非自適應(yīng)的測(cè)量編碼。測(cè)量值并非信號(hào)本身，而是從高維到低維的投影值，從數(shù)學(xué)角度看，每個(gè)測(cè)量值是傳統(tǒng)理論下的每個(gè)樣本

8、信號(hào)的組合函數(shù)，即一個(gè)測(cè)量值已經(jīng)包含了所有樣本信號(hào)的少量信息。解碼過(guò)程不是編碼的簡(jiǎn)單逆過(guò)程，而是在盲源分離中的求逆思想下。利用信號(hào)稀疏分解中已有的重構(gòu)方法在概率意義上實(shí)現(xiàn)信號(hào)的精確重構(gòu)或者一定誤差下的近似重構(gòu)。解碼所需測(cè)量值的數(shù)目遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)理論下的樣本數(shù)。圖2 壓縮感知理論的編解碼框圖3、 壓縮感知的基本理論及核心問(wèn)題假設(shè)有一信號(hào)，長(zhǎng)度為，基向量為，對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換：顯然是信號(hào)在時(shí)域的表示，是信號(hào)在域的表示。信號(hào)是否具有稀疏性或者近似稀疏性是運(yùn)用壓縮感知理論的關(guān)鍵問(wèn)題，若(1)式中的只有個(gè)是非零值者僅經(jīng)排序后按指數(shù)級(jí)衰減并趨近于零，可認(rèn)為信號(hào)是稀疏的。信號(hào)的可稀疏表示是壓縮感知的先驗(yàn)條件。在已知

9、信號(hào)是可壓縮的前提下，壓縮感知過(guò)程可分為兩步：(1) 設(shè)計(jì)一個(gè)與變換基不相關(guān)的維測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)，得到維的測(cè)量向量。(2) 由維的測(cè)量向量重構(gòu)信號(hào)。文獻(xiàn)4給出稀疏的數(shù)學(xué)定義：信號(hào)在正交基下的變換系數(shù)向量為，假如對(duì)于和，這些系數(shù)滿足： 則說(shuō)明系數(shù)向量在某種意義下是稀疏的文獻(xiàn)1給出另一種定義：如果變換系數(shù)的支撐域的勢(shì)小于等于，則可以說(shuō)信號(hào)是項(xiàng)稀疏。如何找到信號(hào)最佳的稀疏域?這是壓縮感知理論應(yīng)用的基礎(chǔ)和前提，只有選擇合適的基表示信號(hào)才能保證信號(hào)的稀疏度，從而保證信號(hào)的恢復(fù)精度。在研究信號(hào)的稀疏表示時(shí)，可以通過(guò)變換系數(shù)衰減速度來(lái)衡量變換基的稀疏表示能力。Candes和Tao研究表明，滿足具有冪次

10、(power-law)速度衰減的信號(hào)，可利用壓縮感知理論得到恢復(fù)。最近幾年，對(duì)稀疏表示研究的另一個(gè)熱點(diǎn)是信號(hào)在冗余字典下的稀疏分解這是一種全新的信號(hào)表示理論：用超完備的冗余函數(shù)庫(kù)取代基函數(shù)，稱之為冗余字典，字典中的元素被稱為原子字典的選擇應(yīng)盡可能好地符合被逼近信號(hào)的結(jié)構(gòu)，其構(gòu)成可以沒(méi)有任何限制從從冗余字典中找到具有最佳線性組合的K項(xiàng)原子來(lái)表示一個(gè)信號(hào)，稱作信號(hào)的稀疏逼近或高度非線性逼近。目前信號(hào)在冗余字典下的稀疏表示的研究集中在兩個(gè)方面：(1)如何構(gòu)造一個(gè)適合某一類信號(hào)的冗余字典；(2)如何設(shè)計(jì)快速有效的稀疏分解算法這兩個(gè)問(wèn)題也一直是該領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)，學(xué)者們對(duì)此已做了一些探索，其中以非相干字典

11、為基礎(chǔ)的一系列理論證明得到了進(jìn)一步改進(jìn)西安電子科技大學(xué)的石光明教授也對(duì)稀疏表示問(wèn)題進(jìn)行了認(rèn)真研究，并基于多組正交基級(jí)聯(lián)而成的冗余字典提出一種新的稀疏分解方法。用一個(gè)與變換矩陣不相關(guān)的測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行線性投影，得到線性測(cè)量值： 測(cè)量值是一個(gè)維向量，這樣使測(cè)量對(duì)象從維降為維。觀測(cè)過(guò)程是非自適應(yīng)的即測(cè)量矩陣少的選擇不依賴于信號(hào)。測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)要求信號(hào)從轉(zhuǎn)換為的過(guò)程中，所測(cè)量到的個(gè)測(cè)量值不會(huì)破壞原始信號(hào)的信息，保證信號(hào)的精確重構(gòu)。由于信號(hào)是是可稀疏表示的，上式可以表示為下式： 其中是一個(gè)矩陣。上式中，方程的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，方程無(wú)確定解，無(wú)法重構(gòu)信號(hào)。但是，由于信號(hào)是K稀疏，若上式中的滿足有限

12、等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property，簡(jiǎn)稱RIP)，即對(duì)于任意K稀疏信號(hào)和常數(shù)，矩陣滿足：則K個(gè)系數(shù)能夠從M個(gè)測(cè)量值準(zhǔn)確重構(gòu)。RIP性質(zhì)的等價(jià)條件是測(cè)量矩陣和稀疏基不相關(guān)。目前，用于壓縮感知的測(cè)量矩陣主要有以下幾種：高斯隨機(jī)矩陣，二值隨機(jī)矩陣(伯努力矩陣)，傅立葉隨機(jī)矩陣，哈達(dá)瑪矩陣，一致球矩陣等。當(dāng)矩陣滿足RIP準(zhǔn)則時(shí)。壓縮感知理論能夠通過(guò)對(duì)上式的逆問(wèn)題先求解稀疏系數(shù)，然后將稀疏度為K的信號(hào)從維的測(cè)量投影值中正確地恢復(fù)出來(lái)。解碼的最直接方法是通過(guò)范數(shù)下求解的最優(yōu)化問(wèn)題：從而得到稀疏系數(shù)的估計(jì)。由于上式的求解是個(gè)NPHARD問(wèn)題。而該最優(yōu)化問(wèn)題與信號(hào)的稀疏分解十分

13、類似，所以有學(xué)者從信號(hào)稀疏分解的相關(guān)理論中尋找更有效的求解途徑。文獻(xiàn)10表明，最小范數(shù)下在一定條件下和最小范數(shù)具有等價(jià)性，可得到相同的解。那么上式轉(zhuǎn)化為最小范數(shù)下的最優(yōu)化問(wèn)題： 最小范數(shù)下最優(yōu)化問(wèn)題又稱為基追蹤(BP)，其常用實(shí)現(xiàn)算法有：內(nèi)點(diǎn)法和梯度投影法。內(nèi)點(diǎn)法速度慢，但得到的結(jié)果十分準(zhǔn)確：而梯度投影法速度快，但沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)法得到的結(jié)果準(zhǔn)確。二維圖像的重構(gòu)中，為充分利用圖像的梯度結(jié)構(gòu)。可修正為整體部分(Total Variation，TV)最小化法。由于最小范數(shù)下的算法速度慢，新的快速貪婪法被逐漸采用，如匹配追蹤法(MP)和正交匹配追蹤法(OMP)。此外，有效的算法還有迭代閾值法以及各種改進(jìn)算法

14、。 四、有待研究的幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題壓縮感知經(jīng)過(guò)近年來(lái)的迅猛發(fā)展，已基本形成了自己的理論框架，包括基礎(chǔ)理論、實(shí)現(xiàn)方法和實(shí)際應(yīng)用。但是，壓縮感知理論還有很多亟待解決的問(wèn)題，為此本文列出了壓縮感知有待解決的幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。 4.1 基礎(chǔ)理論層面 （1）基于非正交稀疏字典的壓縮感知信號(hào)重建理論。在等距約束性準(zhǔn)則驅(qū)動(dòng)的可壓縮信號(hào)壓縮感知定理中，關(guān)于稀疏字典和測(cè)量矩陣僅要求兩者乘積 = 滿足RIP。但是，測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)部分關(guān)于壓縮測(cè)量個(gè)數(shù)M 的界定還額外附加了假設(shè)條件，即稀疏字典 是正交基。當(dāng)測(cè)量矩陣依然通過(guò)三種方式生成，但是稀疏字典不再正交時(shí)， = 是否滿足RIP？壓縮測(cè)量個(gè)數(shù)M 的下限是否不變？由于過(guò)完備的稀

15、疏字典才能保證表示系數(shù)具有足夠的稀疏性或衰減性，進(jìn)而能夠在減少壓縮測(cè)量的同時(shí)保證壓縮感知的重建精度，所以需要設(shè)計(jì)魯棒的測(cè)量矩陣 使之與過(guò)完備稀疏字典依然滿足RIP，同時(shí)需要重新估計(jì)壓縮測(cè)量個(gè)數(shù)M 的下限，這時(shí)所需的壓縮測(cè)量定會(huì)減少。 （2）自然圖像的自適應(yīng)壓縮感知信號(hào)重建理論。雖然基于線性投影的壓縮感知理論能夠直接應(yīng)用于自然圖像這樣的復(fù)雜高維信號(hào)，但是由于沒(méi)有考慮到自然圖像的固有特性，諸如結(jié)構(gòu)多成分性、高階統(tǒng)計(jì)性等，對(duì)于自然圖像壓縮采樣本身沒(méi)有特殊的指導(dǎo)作用。事實(shí)上，相對(duì)于一維離散信號(hào)，自然圖像的復(fù)雜性和高維性使之需要自適應(yīng)的壓縮采樣和重建算法。例如，基于圖像多成分性的特點(diǎn)能夠提高重建圖像的峰

16、值信噪比和視覺(jué)效果。注意到，壓縮感知理論的大部分文獻(xiàn)中，測(cè)量矩陣 都是線性的且設(shè)計(jì)好的，不需根據(jù)觀測(cè)信號(hào)自適應(yīng)地變化。對(duì)于自然圖像，假如能夠?qū)崿F(xiàn)非線性自適應(yīng)的壓縮測(cè)量，壓縮感知的壓縮性能勢(shì)必會(huì)獲得大幅度的提高。目前，自然圖像的自適應(yīng)壓縮感知信號(hào)重建理論基本空白。這項(xiàng)工作對(duì)壓縮感知的理論推廣和實(shí)際應(yīng)用都具有重要意義。4.2 實(shí)現(xiàn)方法層面 （1）基于學(xué)習(xí)的自然圖像過(guò)完備字典設(shè)計(jì)。目前，基于構(gòu)造方法的自然圖像過(guò)完備字典設(shè)計(jì)具有很好的理論支撐，正則化幾何方法、幾何多尺度分析、基于信息論的“有效編碼假設(shè)”為其奠定了堅(jiān)實(shí)廣闊的理論基礎(chǔ)。但是，從國(guó)際上關(guān)于過(guò)完備字典設(shè)計(jì)的整體情況看，基于學(xué)習(xí)的自然圖像過(guò)完備

17、字典設(shè)計(jì)的工作非常少，主要在于：設(shè)計(jì)難度大、性能要求高，同時(shí)缺乏嚴(yán)格的理論支撐。這項(xiàng)工作對(duì)于稀疏字典和壓縮感知都將是重要的理論完善。 (2)硬件易實(shí)現(xiàn)的確定性測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)。在等距約束性準(zhǔn)則驅(qū)動(dòng)的可壓縮信號(hào)壓縮感知定理3、4 中，要求稀疏字典和測(cè)量矩陣的乘積 = 滿足RIP。其中，稀疏字典可以是正交的也可以是非正交的，測(cè)量矩陣 可以是隨機(jī)的也可以是確定的。但是，面向應(yīng)用且硬件易實(shí)現(xiàn)的測(cè)量矩陣應(yīng)該具有以下基本特點(diǎn)：滿足等距約束性、壓縮測(cè)量個(gè)數(shù)少、采樣計(jì)算成本低、存儲(chǔ)矩陣的空間小、以及測(cè)量矩陣最好是確定性的。設(shè)計(jì)出硬件容易實(shí)現(xiàn)的測(cè)量矩陣和快速穩(wěn)定的重建算法是將壓縮感知理論推向?qū)嵱玫年P(guān)鍵。(3)噪聲情

18、形大尺度問(wèn)題的快速魯棒重建算法設(shè)計(jì)。快速穩(wěn)定的信號(hào)重建算法是將壓縮感知理論推向?qū)嵱玫年P(guān)鍵技術(shù)之一，特別適用于糾錯(cuò)編碼、核磁共振成像、NMR波譜研究等大尺度問(wèn)題。通常，基于最小化松弛算法的計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較高。因而，在最小化驅(qū)動(dòng)的壓縮感知理論完善工作的基礎(chǔ)上，希望能夠基于稀疏性自適應(yīng)的貪婪迭代和基于多層超先驗(yàn)建模的非凸迭代思想設(shè)計(jì)適于噪聲情形大尺度問(wèn)題的快速魯棒重建算法。5、 壓縮感知的應(yīng)用及仿真5.1 應(yīng)用 使用一定數(shù)量的非相關(guān)測(cè)量值能夠高效率地采集可壓縮信號(hào)的信息，這種特性決定了壓縮感知應(yīng)用的廣泛性。例如低成本數(shù)碼相機(jī)和音頻采集設(shè)備；節(jié)電型音頻和圖像采集設(shè)備；天文觀測(cè)；網(wǎng)絡(luò)傳輸；軍事地圖；雷達(dá)

19、信號(hào)處理等等。以下歸納了壓縮感知幾個(gè)方面的應(yīng)用： (1)數(shù)據(jù)壓縮 在某些情況下，稀疏基妒在編碼中是未知的或在數(shù)據(jù)壓縮中是不能實(shí)際實(shí)現(xiàn)的。由于測(cè)量矩陣西是不需要根據(jù)緲的結(jié)構(gòu)來(lái)設(shè)計(jì)的，隨機(jī)測(cè)量矩陣可認(rèn)為是一個(gè)通用的編碼方案，而噦只有在解碼或重建信號(hào)的時(shí)候需要用到。這種通用用性在多信號(hào)裝置(如傳感器網(wǎng)絡(luò))的分布式編碼特別有用。(2)信道編碼 壓縮感知的稀疏性、隨機(jī)性和凸優(yōu)化性，可以應(yīng)用于設(shè)計(jì)快速糾錯(cuò)碼以防止錯(cuò)誤傳輸。(3)逆問(wèn)題在其他情況下，獲取信號(hào)的唯一方法是運(yùn)用特定模式的測(cè)量系統(tǒng)。然而，假定信號(hào)存在稀疏變換基，并與測(cè)量矩陣不相關(guān)，則能夠有效的感知的信號(hào)。這樣的應(yīng)用在文獻(xiàn)2中的MR血管造影術(shù)有提到

20、，記錄了傅立葉變換子集，所得到的期望的圖像信號(hào)在時(shí)域和小波域都是稀疏的。(4)數(shù)據(jù)獲取在某些重要的情況下，完全采集模擬信號(hào)的N個(gè)離散時(shí)間樣本是困難的，而且也難以對(duì)其進(jìn)行壓縮。而運(yùn)用壓縮感知，可以設(shè)計(jì)物理采樣裝置，直接記錄模擬信號(hào)離散、低碼率、不相關(guān)的測(cè)量值，有效地進(jìn)行數(shù)據(jù)獲取?；赗IP理論，目前已研制出了一些設(shè)備，有萊斯大學(xué)研制的單像素相機(jī)和A/I轉(zhuǎn)換器，麻省理工學(xué)院研制的編碼孔徑相機(jī)，耶魯大學(xué)研制的超譜成像儀，麻省理工學(xué)院研制的MRI RF脈沖設(shè)備，伊利諾伊州立大學(xué)研制的DNA微陣列傳感器。5.2 仿真（一維信號(hào)情況下的實(shí)驗(yàn)仿真）源信號(hào)是一維離散稀疏信號(hào)，長(zhǎng)度N=256,選余弦基為稀疏基，

21、得到稀疏個(gè)數(shù)K=30。在基于CS理論的編解碼框架中，編碼端采用高斯測(cè)量矩陣，解碼端采用OMP法進(jìn)行恢復(fù)重構(gòu)。仿真實(shí)驗(yàn)首先觀察壓縮感知理論下測(cè)量值數(shù)量對(duì)信號(hào)重建效果的影響。由圖3可知，當(dāng)測(cè)量值的數(shù)量M增加時(shí)，信號(hào)成功恢復(fù)的概率同步增加。而且當(dāng)樣本數(shù)目達(dá)到M=110時(shí)。信號(hào)已經(jīng)能夠準(zhǔn)確恢復(fù)。此時(shí)由圖4可以看出信號(hào)得到了準(zhǔn)確的解碼重構(gòu)。圖3 一維稀疏信號(hào)恢復(fù)成功概率圖4 源信號(hào)、解碼重構(gòu)稀疏系數(shù)、解碼重構(gòu)信號(hào)圖六、總結(jié)本文主要闡述了壓縮感知理論框架，基于壓縮感知理論的編解碼模型，以及壓縮感知技術(shù)的三大核心問(wèn)題。通過(guò)對(duì)一維信號(hào)編解碼的仿真實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了壓縮感知理論是一種能夠使用少量測(cè)量值實(shí)現(xiàn)信號(hào)準(zhǔn)確恢復(fù)的

22、數(shù)據(jù)采集、編解碼理論。由于壓縮感知理論對(duì)處理大規(guī)模稀疏或可壓縮數(shù)據(jù)具有十分重要的意義。所以該理論提出后在許多研究領(lǐng)域得到了關(guān)注。目前，國(guó)外研究人員已開(kāi)始將壓縮感知理論用于壓縮成像、醫(yī)學(xué)圖像、模數(shù)轉(zhuǎn)換、雷達(dá)成像、天文學(xué)、通信等領(lǐng)域。作為國(guó)外剛出現(xiàn)的新理論，壓縮感知理論的研究方興未艾，將有著更廣泛的應(yīng)用前景?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1石光明.劉丹華.高大化.劉哲.林杰.王良君 壓縮感知理論及其研究進(jìn)展-ACTA Electronica Sinica 2009，37(5)2張銳 基于壓縮感知理論的圖像壓縮初步研究-Computer Knowledge And Technology 2010，6(4) 3Cand

23、es E, Romberg J, Tao T. Robust uncertainty principles: Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency informationJ. IEEE Trans. Information Theory, 2006, 52(4): 489-509 4E Candes and J Romberg, Quantitative robust uncentainty principles and optimally sparse decompositionsJ. Foundations of Comput Math, 2006, 6(2): 227-254 5E Candès.T Tao Near optimal signal recovery from random projections:Universal encoding strategies 2006(12)6D L Donoho Compressed sensing 2006(04)7B Kashin.The widths of certain fini