現(xiàn)代控制理論-大作業(yè)-倒立擺

1、摘要倒立擺系統(tǒng)是一個復雜的、高度非線性的、不穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，是學習和研究現(xiàn)代控制理論最合適的實驗裝置。倒立擺的控制是控制理論應用的一個典型范例，一個穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)對于證實狀態(tài)空間理論的實用性是非常有用的。本文主要研究的是二級倒立擺的極點配置方法，首先用Lagrange方程建立了二級倒立擺的數(shù)學模型，然后對二級倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了分析和研究，并給出了系統(tǒng)能控能觀性的判別。基于現(xiàn)代控制理論中的極點配置理論，根據(jù)超調量和調整時間來配置極點，求出反饋矩陣并利用Simulink對其進行仿真，得到二級倒立擺的變化曲線，實現(xiàn)了對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。關鍵詞：二級倒立擺；極點配置；Simulink目錄1.

2、緒論12 數(shù)學模型的建立和分析12.1 數(shù)學建模的方法12.2 二級倒立擺的結構和工作原理22.3 拉格朗日運動方程32.4推導建立數(shù)學模型43 二級倒立擺系統(tǒng)性能分析103.1 穩(wěn)定性分析103.2 能控性能觀性分析114 狀態(tài)反饋極點配置124.1 二級倒立擺的最優(yōu)極點配置1124.2 二級倒立擺最優(yōu)極點配置2135. 二級倒立擺matlab仿真155.1 Simulink搭建開環(huán)系統(tǒng)155.2 開環(huán)系統(tǒng)Simulink仿真結果155.3 Simulink搭建極點配置后的閉環(huán)系統(tǒng)165.4極點配置Simulink仿真結果175.4.1 第一組極點配置仿真結果175.4.2 第二組極點配置仿

3、真結果196.結論207.參考文獻21附錄一221. 緒論倒立擺最初誕生于麻省理工學院，僅有一級擺桿，另一端鉸接于可以在直線導軌上自由滑動的小車上。后來在此基礎上，人們又進行拓展，設計出了直線二級倒立擺、環(huán)型倒立擺、平面倒立擺、柔性連接倒立擺、多級倒立擺等實驗設備。在控制理論的發(fā)展過程中，為驗證某一理論在實際應用中的可行性需要按其理論設計的控制器去控制一個典型對象來驗證。倒立擺系統(tǒng)作為一個實驗裝置，形象直觀，結構簡單，成本低廉；作為一個控制對象，他又相當復雜，同時就其本身而言，是一個高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強耦合系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法才能使之穩(wěn)定，因此倒立擺裝置被公認為是自動

4、控制理論中的典型實驗設備。綜合文獻資料，倒立擺控制的方法主要有：PID控制，狀態(tài)反饋，利用云模型，神經網絡控制，遺傳算法，自適應控制，模糊控制，變論域自適應模糊控制理論，智能控制等多種算法來實現(xiàn)倒立擺的控制。本文主要構建二級倒立擺的數(shù)學模型的建立與分析，對倒立擺系統(tǒng)進行控制方法的研究。本文就以下幾個問題進行了論述。1.二級倒立擺的數(shù)學模型的建立與分析。在建模部分，首先采用拉格朗日方程推導數(shù)學模型，并對系統(tǒng)的可控性可觀性進行分析，并分析倒立擺系統(tǒng)控制的難易程度。2.二級倒立擺的控制原理及方法的研究。本文主要采用狀態(tài)反饋極點配置的方法對二級倒立擺進行研究。3.采用Matlab語言進行數(shù)字仿真，分析

5、仿真結果。2 數(shù)學模型的建立和分析2.1 數(shù)學建模的方法所謂系統(tǒng)的數(shù)學模型就是利用數(shù)學結構來反映系統(tǒng)內部之間、內部與外部某些因素之間的精確的定量的表示。它是分析、設計、預報和控制一個系統(tǒng)的基礎，所以要對一個系統(tǒng)進行研究，首先要建立它的數(shù)學模型。建立倒立擺系統(tǒng)的模型時，一般采用牛頓運動規(guī)律，結果要解算大量的微分方程組，而且考慮到質點組受到的約束條件，建模問題將更加復雜，為此本文采用分析力學方法中的Lagrange方程推導倒立擺的系統(tǒng)模型。Lagrange方程有如下特點：1.它是以廣義坐標表達的任意完整系統(tǒng)的運動方程式，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度是一致的。2.理想約束反力不出現(xiàn)在方程組中，因此在建

6、立運動方程式時，只需分析已知的主動力，而不必分析未知的約束反力。3.Lagrange方程是以能量觀點建立起來的運動方程，為了列出系統(tǒng)的運動方程，只需要從兩個方面去分析，一個是表征系統(tǒng)運動的動力學量系統(tǒng)的動能，另一個是表征主動力作用的動力學量廣義力。因此用Lagrange方程來求解系統(tǒng)的動力學方程可以大大簡化建模過程。2.2 二級倒立擺的結構和工作原理如圖2.1，系統(tǒng)包括計算機、運動控制卡、伺服機構、倒立擺本體（小車，上擺，下擺，皮帶輪等）和光電碼盤幾大部分，組成了一個閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤1將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅動器和運動控制卡，下面一節(jié)擺桿（和小車相連）的角度、角速度信號由光電碼盤2

7、反饋回控制卡和伺服驅動器，上面一節(jié)擺桿的角度和角速度信號則由光電碼盤3反饋。計算機從運動控制卡中讀取實時數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車向哪個方向移動、移動速度、加速度等），并由運動控制卡來實現(xiàn)該控制決策，產生相應的控制量，使電機轉動，帶動小車運動，保持兩節(jié)擺桿的平衡。圖2.1 系統(tǒng)結構和工作原理圖2.3 拉格朗日運動方程拉格朗日提出了用能量的方法推導物理系統(tǒng)的數(shù)學模型，首先我們引入廣義坐標，拉格朗日方程。廣義坐標：系統(tǒng)的廣義坐標是描述系統(tǒng)運動必需的一組獨立坐標，廣義坐標數(shù)等同于系統(tǒng)自由度數(shù)。如果系統(tǒng)的運動用n維廣義坐標q1,q2,qn來表示，我們可以把這n維廣義坐標看成是n維空間的n位坐標系中的坐標

8、。對于任一系統(tǒng)可由n維空間中的一點來表征。系統(tǒng)在n維空間中運動形成的若干系統(tǒng)點連成一條曲線，此曲線表示系統(tǒng)點的軌跡。拉格朗日方程：Lq,q=Tq,q-Vq,q(2.1)式中，拉格朗日算子，系統(tǒng)的廣義坐標，系統(tǒng)的動能，系統(tǒng)的勢能。拉格朗日方程由廣義坐標和表示為:ddtLqi-Lqi=fi(2.2)式中，系統(tǒng)沿該廣義坐標方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設系統(tǒng)的三個廣義坐標分別是。 2.4推導建立數(shù)學模型在推導數(shù)學模型之前，我們需要幾點必要的假設：1.上擺、下擺及小車均是剛體；2.皮帶輪與傳動帶之間無相對滑動；傳動皮帶無伸長現(xiàn)象；3.小車運動時所受的摩擦力正比于小車的速度；4.小車的驅動力與直流放大器的輸

9、入成正比，且無滯后，忽略電機電樞繞組中的電感；5.下擺轉動時所受到的摩擦力矩正比于下擺的轉動速度；6.上擺運動時所受到的摩擦力矩正比于上擺對下擺的相對角速度；二級倒立擺的運動分析示意圖如圖2.2yxxFm1m32m2M圖2.2 二級倒立擺運動分析示意圖倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下：小車系統(tǒng)的等效質量M=1.32Kg擺桿1 質量=0.04Kg 擺桿1 轉動中心到桿質心距離=0.09m擺桿2 質量m2=0.132Kg 擺桿2 轉動中心到桿質心距離l2=0.27m質量塊質量=0.208Kg作用在系統(tǒng)上的外力F擺桿1 與垂直向上方向的夾角擺桿2 與垂直向上方向的夾角首先，計算系統(tǒng)的動能： (2.3)小車動能：T

10、M=12Mx2 (2.4)擺桿1動能： (2.5)式中，Tm1'-擺桿1質心平東動能Tm1''-擺桿1繞質心轉動動能 (2.6) (2.7)則 (2.8)擺桿2動能： (2.9)式中，Tm2'-擺桿1質心平東動能Tm2''-擺桿1繞質心轉動動能 (2.10) (2.11) (2.12)質量塊動能： (2.13)因此，可以得到系統(tǒng)總動能： (2.14)系統(tǒng)的勢能為：(2.15)至此得到拉格朗日算子： (2.16)由于因為在廣義坐標上均無外力作用，有以下等式成立： (2.17) (2.18)展開(2.17)、(2.18)式，分別得到(2.19)、(2

11、.20)式 (2.19) (2.20)將(2.19)、(2.20)式對求解代數(shù)方程，得到以下兩式 (2.21) (2.22)表示成以下形式： (2.23) (2.24)取平衡位置時各變量的初值為零， (2.25)將(2.23)式在平衡位置進行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令 (2.26) (2.27) (2.28) (2.29) (2.30) (2.31) (2.32)得到線性化之后的公式 (2.33)將在平衡位置進行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令 (2.34) (2.35) (2.36) (2.37) (2.38) (2.39) (2.40)得到 (2.41)即: (2.42) (2.43)現(xiàn)在得到了

12、兩個線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個方程: (2.44)取狀態(tài)變量如下： (2.45)則狀態(tài)空間方程如下： (2.46)將以下參數(shù)代入 求出各個值： 得到狀態(tài)方程各個參數(shù)矩陣： 3 二級倒立擺系統(tǒng)性能分析3.1 穩(wěn)定性分析二級倒立擺的特征方程為: (3.1)Matlab中，用函數(shù)eig(A)來計算系統(tǒng)矩陣的特征值，經過計算，系統(tǒng)的特征值為： (3.2)開環(huán)系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點位于平面右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。同時，根據(jù)前面的狀態(tài)空間表達式，在matlab中，用step(A,B,C,D)函數(shù)對系統(tǒng)的階躍響應進行分析：圖1 開環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應從上圖可以看出，在階躍響

13、應的作用下，系統(tǒng)是發(fā)散的。3.2 能控性能觀性分析對于線形狀態(tài)方程 (3.3)其能控性矩陣為： (3.4)求的秩 (3.5)所以系統(tǒng)是完全能控的。其能觀性矩陣為：C0=C,CA,CA2,CA3,CA4,CA5T (3.6)求的秩 (3.7)所以系統(tǒng)是完全能觀的。（代碼見附錄）由上述計算結果可知，二級倒立擺系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，但它的狀態(tài)是完全能控且完全能觀測的。因此，可以對其實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制。4 狀態(tài)反饋極點配置4.1 二級倒立擺的最優(yōu)極點配置1在式3.3中，A為6*6陣；B為6*1陣；C為3*6陣。是一個單輸入系統(tǒng)，且完全能控、能觀測。因此，可按照最優(yōu)控制系統(tǒng)的極點配置方法進行設計。對于一般

14、控制系統(tǒng)，閉環(huán)主導極點的選取應使0.40.8。但二級倒立擺是一個特殊的高階系統(tǒng)，穩(wěn)定性是主要矛盾，因此可適當增加，即適當降低響應速度，來彌補系統(tǒng)穩(wěn)定性要求。相應在選擇性能指標時，應適當減小系統(tǒng)的超調量。對于二階倒立擺系統(tǒng)，主要針對如下兩個主要的性能指標進行設計：超調量：0.005調節(jié)時間：ts2.5s=e-1-2(4.1)ts=4-ln1-2n (4.2)這里，誤差范圍取為2%,將上述性能指標代入式4.1和式4.2得到二級倒立擺系統(tǒng)的2個性能指標滿足0.826，n2.17，取=0.826，n=2.17將得到的阻尼比與自然角頻率代入下式：s1,s2=-n±jn1-2(4.3)得到二級倒

15、立擺系統(tǒng)的2個主導極點為：s1=-1.87+1.11j, s2=-1.87-1.11j(4.4)對于其他四個非主導極點，不妨設為四重極點，且距主導極點10倍以上，即滿足下式：s3=s4=s5=s610*2.17=21.7(4.5)所以，另外四個非主導極點取為：s3=s4=s5=s6=-22到此，二級倒立擺的6個極點都已確定。P=-1.87+1.11j -1.87-1.11j -22 -22 -22 -22（4.6）在matlab中輸入K=acker(A,B,P)可求得:K = 1.0e+03 * 0.5281 0.4618 -2.6379 0.5136 -0.0797 -0.4476至此，完成

16、了二級倒立擺控制器的設計。接下來在matlab中仿真得到：圖2 極點配置后單位階躍響應14.2 二級倒立擺最優(yōu)極點配置2在上述基礎上，繼續(xù)調整超調量和調整時間，使二級倒立擺達到穩(wěn)定。第二次取：超調量：0.05調節(jié)時間：ts2.5s這里，誤差范圍仍取為2%,代入式4.1和式4.2得到二級倒立擺系統(tǒng)的2個性能指標滿足0.69，n2.51，取=0.69，n=2.51將得到的阻尼比與自然角頻率式4.3得到第二組主導極點：s1=-1.73+1.81j, s2=-1.73-1.81j(4.4)對于其他四個非主導極點，不妨設為四重極點，且距主導極點10倍以上，即滿足下式：s3=s4=s5=s612*2.5=

17、30(4.5)所以，另外四個非主導極點取為：s3=s4=s5=s6=-30因此，第二組極點P2=-1.73+1.81j -1.73-1.81j -30 -30 -30 -30在matlab中輸入K2=acker(A,B,P2)可求得:K2 = 1.0e+03 * 2.4205 0.5209 -7.4977 1.6587 -0.2846 -1.2008接下來繪制極點配置后系統(tǒng)的單位階躍響應圖：圖3極點配置后單位階躍響應25. 二級倒立擺matlab仿真5.1 Simulink搭建開環(huán)系統(tǒng)圖4 開環(huán)系統(tǒng)仿真圖5.2 開環(huán)系統(tǒng)Simulink仿真結果圖5 開環(huán)系統(tǒng)matlab仿真結果圖由上圖可知，在

18、Simulink中搭建的開環(huán)系統(tǒng)是發(fā)散的，與理論計算的結果吻合。5.3 Simulink搭建極點配置后的閉環(huán)系統(tǒng)圖6 極點配置優(yōu)化后的系統(tǒng)結構圖5.4極點配置Simulink仿真結果5.4.1 第一組極點配置仿真結果圖7 極點配置優(yōu)化后的結果圖圖8 小車位移曲線圖9 一級倒立擺角度曲線圖10 二級倒立擺角度曲線從以上的圖片可以看出，系統(tǒng)在給定輸入的情況下，1秒左右恢復到平衡點的位置附近，系統(tǒng)較好的快速性、穩(wěn)定性和精確性都非常理想，且無超調量，符合要求。5.4.2 第二組極點配置仿真結果圖11 極點配置優(yōu)化后的結果圖圖12 小車位移曲線圖13 一級倒立擺角度曲線圖14 二級倒立擺角度曲線與第一組

19、極點相比，超調量略有增加，但調整時間有所下降，且都達到穩(wěn)定狀態(tài)符合要求。6.結論倒立擺系統(tǒng)就其本身而言，是一個多變量、快速、嚴重非線性和絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)，必需采用有效的控制法使之穩(wěn)定，對倒立擺系統(tǒng)的研究在理論上和方法論上均有著深遠的意義。本文借助拉格朗日方程，建立了二級倒立擺的數(shù)學模型，并通過線性化，得到了二級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。應用現(xiàn)代控制理論，分析了倒立擺的穩(wěn)定性、能控性、能觀性。隨后采用二次型最優(yōu)控制理論研究了倒立擺控制問題,并且運用狀態(tài)反饋極點配置的方法得到較好的控制效果。最后進行了Matlab仿真，通過優(yōu)化前后優(yōu)化后的響應曲線可以看出經過極點配置算法優(yōu)化后的系統(tǒng)響應的速度加快，超

20、調量明顯減少，穩(wěn)定時間和上升時間有所減少，系統(tǒng)的動態(tài)性能和靜態(tài)性能要比沒有優(yōu)化的控制效果好了很多。7.參考文獻1劉豹 唐萬生 現(xiàn)代控制理論（第三版） 機械工業(yè)出版社2夏德鈐 翁貽方 自動控制理論（第4版） 機械工業(yè)出版社3李國勇 程永強 計算機仿真技術與CAD基于matlab的控制系統(tǒng)（第三版） 電子工業(yè)出版社4 基于LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng)研究 本科畢業(yè)論文5湯唯 基于直線二級倒立擺控制系統(tǒng)的研究 碩士學位論文6基于極點配置的倒立擺控制器設計 碩士學位論文附錄一%-階躍響應下系統(tǒng)的穩(wěn)定性-A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0; 0 77.0642 -21.1927 0 0 0;0 -38.5321 37.8186 0 0 0;B=0;0;0;1;5.7012;-0.0728;C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;D=0;0;0;step(A,B,C,D)%繪制階躍響應%-能控能觀性判斷-A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0; 0 77.0642 -21.1927 0 0 0;0 -38.5321 37.8186