4.5-1相似三角形判定定理的證明共25張

1、第四章第四章 圖形的相似圖形的相似第第5 5節(jié)節(jié) 相似三角形判定定理的證明相似三角形判定定理的證明判定兩個三角形相似的方法有哪些？判定兩個三角形相似的方法有哪些？兩角分別相等的兩個三角形相似。兩角分別相等的兩個三角形相似。兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似三邊成比例的兩個三角形相似三邊成比例的兩個三角形相似在上一節(jié)中，我們探索了三角形相似的條件，本在上一節(jié)中，我們探索了三角形相似的條件，本節(jié)課我們將對它們進行證明。節(jié)課我們將對它們進行證明。定義判定定義判定定理定理 兩兩角分別相等的兩個三角形相似角分別相等的兩個三角形相似ABCA/B/C/已知：如圖，在已知

2、：如圖，在ABC和和A/B/C/中，中，A=A/, B=B/.求證：求證：ABCA/B/C/.ABCA/B/C/證明：在證明：在ABC的邊的邊AB（或它的延長線）上截?。ɑ蛩难娱L線）上截取AD=A/B/,過點過點D作作BC的平行線，交的平行線，交AC于點于點E（如圖）（如圖）則則ADE=B, AED=CACAEABAD（平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例）相交，截得的對應(yīng)線段成比例）DEF過點過點D作作AC的平行線，交的平行線，交BC于點于點F,則則CBCFABAD（平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相

3、交，截得的對應(yīng)線段成比例）相交，截得的對應(yīng)線段成比例）ABCA/B/C/DEFDEBC,DFAC四邊形四邊形DFCE是平行四邊形是平行四邊形DE=CFCBCFACAECBDEACAEBCDEACAEABADABCA/B/C/DEF而而ADE=B, DAE=BAC, AED=CADEABCA=A/, ADE=B=B/,AD=A/B/ADE A/B/C/ABCA/B/C/定理定理 兩邊兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形成比例且夾角相等的兩個三角形相似相似ABCA/B/C/已知：如圖，已知：如圖，在在ABC和和A/B/C/中中， A=A/, /CAACBAAB求證：求證：ABCA/B/C/.ABCA/

4、B/C/證明：證明：在在ABC的邊的邊AB（或它的延長線）上截?。ɑ蛩难娱L線）上截取AD=A/B/,過點過點D作作BC的平行線，交的平行線，交AC于點于點E（如圖）（如圖）則則DEB=ADE, C=AEDABCADE（兩（兩角分別相等的兩個三角形角分別相等的兩個三角形相似）相似）AEACADAB/,BAADCAACBAABABCA/B/C/DE/CAACADAB/CAACAEACAE=A/C/而而A=A/ADE A/B/C/ABCA/B/C/定理定理 三三邊成比例的兩個三角形相似邊成比例的兩個三角形相似ABCA/B/C/已知：如圖，在已知：如圖，在ABC和和A/B/C/中，中， /CAACC

5、BBCBAAB求證：求證：ABCA/B/C/.ABCA/B/C/DE證明證明：在：在ABC的邊的邊AB,AC（或它們的延長線）上（或它們的延長線）上分別截取分別截取AD=A/B/,AE=A/C/,連接連接DE./,CAAEBAADCAACBAABAEACADAB而而BAC=DAEABCADE（兩邊（兩邊成比例且夾角相等的兩成比例且夾角相等的兩個三角形個三角形相似）相似）DEBCADABABCA/B/C/DE/,BAADCBBCBAAB又/CBBCADAB/CBBCDEBCDE=B/C/ADE A/B/C/ABCA/B/C/練習(xí)練習(xí)如圖，在等邊三角形如圖，在等邊三角形ABC中，中，D,E,F分別

6、是三邊上的分別是三邊上的點，點，AE=BF=CD,那么那么ABC與與DEF相似嗎相似嗎？請證明請證明你的結(jié)論？你的結(jié)論？提示：由提示：由AE=BF=CD,得得BE=CF=AD,可證可證ADE BEF CFD,從從而而DE=EF=FD,所以所以DEF是是等邊三角形，因此等邊三角形，因此ABCDEF.AEABBCAEABDEACAD求證：已知：如圖，ADEBCAEABDEACAD得提示：由,CAB,所以所以B=AED,因此因此AB=AE.已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，D是邊是邊AC上的一點，上的一點，CBD的平分線交的平分線交AC于點于點E,且且AE=AB.求證：求證：AE2=ADAC

7、.提示：由提示：由AE=AB,得得ABE=AEB;而而ABE=ABD+DBE, AEB=C+EBC,由由DBE=EBC,得得ABD=C.于是于是ABDACB,所以所以,ABADACAB即即AB2=ADAC.由由AE=AB,得得AE2=ADAC.如圖，在如圖，在ABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,動點動點P從點從點A開始沿開始沿AB邊運動，速度為邊運動，速度為2cm/s;動點動點Q從點從點B開始開始沿沿BC邊運動，速度為邊運動，速度為4cm/s.如果如果P,Q兩動點同時運兩動點同時運動，那么何時動，那么何時QBP與與ABC相似？相似？0.8s或或2s。提示：。提示：設(shè)同時運動設(shè)同時運動t

8、s時時這這兩個三角形相似，兩個三角形相似，此時此時BQ=4tcm,BP=（8-2t）cm.假設(shè)假設(shè)QBPABC,則則0.8s或或2s。提示：設(shè)同時運動。提示：設(shè)同時運動ts時這兩個三角形相時這兩個三角形相似，此時似，此時BQ=4tcm,BP=（8-2t）cm.假設(shè)假設(shè)QBPABC,則則; 8 . 0,162884,tttBCBPBABQ解得即假設(shè)假設(shè)PBQABC,則則. 2,164828,tttBCBQBABP解得即BCAEDF如圖，如圖，ADBCADBC于點于點D D， CEABCEAB于點于點 E E ，且交，且交ADAD于于F F，你能從中找出幾對相似三角形？，你能從中找出幾對相似三角形

9、？BCAEDF如圖，如圖，ADBCADBC于點于點D D， CEABCEAB于點于點 E E ，且交，且交ADAD于于F F，你能從中找出幾對相似三角形？，你能從中找出幾對相似三角形？BCAEDF如圖，如圖，ADBCADBC于點于點D D， CEABCEAB于點于點 E E ，且交，且交ADAD于于F F，你能從中找出幾對相似三角形？，你能從中找出幾對相似三角形？BCAEDF如圖，如圖，ADBCADBC于點于點D D， CEABCEAB于點于點 E E ，且交，且交ADAD于于F F，你能從中找出幾對相似三角形？，你能從中找出幾對相似三角形？BCAEDF如圖，如圖，ADBCADBC于點于點D D， CEABCEAB于點于點 E E ，且交，且交ADAD于于F F，你能從中找出幾對相似三角形？，你能從中找出幾對相似三角形？解：解： A= A,ABD=C, ABD ACB , AB : AC=AD : AB, AB2 = AD AC. AD=2, AC=8, AB =4.已知已知:如圖如圖,ABD=C，AD=2, AC=8，求，求AB. 已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCD中，中，B=ACD，AB=