(完整)八年級下勾股定理培優(yōu)試題集錦(含解析)

1、初二數(shù)學勾股定理提高練習與?？茧y題和培優(yōu)題壓軸題二填空題（共5 小題）11已知 RtABC中，C=90°，a+b=14cm，c=10cm，則 RtABC的面積等于12觀察下列勾股數(shù)第一組： 3=2×1+1，4=2×1×（ 1+1）， 5=2×1×（ 1+1） +1第二組： 5=2×2+1，12=2×2×（ 2+1），13=2×2×（ 2+1）+1第三組： 7=2×3+1，24=2×3×（ 3+1），25=2×3×（ 3+1）+1第四組：

2、 9=2×4+1，40=2×4×（ 4+1），41=2×4×（ 4+1）+1 觀察以上各組勾股數(shù)組成特點，第7 組勾股數(shù)是（只填數(shù)，不填等式）13觀察下列一組數(shù)：列舉： 3、4、5，猜想： 32=4+5；列舉： 5、12、13，猜想： 52=12+13；列舉： 7、24、25，猜想： 72=24+25；列舉： 13、b、c，猜想： 132=b+c；請你分析上述數(shù)據(jù)的規(guī)律，結合相關知識求得b=，c=三解答題（共27 小題）14a，b，c 為三角形 ABC的三邊，且滿足a2 +b2+c2+338=10a+24b+26c，試判別這個三角形的形狀15如

3、圖：四邊形 ABCD中， AB=CB=，CD=，DA=1，且 ABCB于 B試求：（1） BAD的度數(shù)；（ 2）四邊形 ABCD的面積第 1頁（共 53頁）16如圖，小華準備在邊長為1 的正方形網(wǎng)格中， 作一個三邊長分別為4，5，的三角形，請你幫助小華作出來17如圖所示，在一次夏令營活動中，小明坐車從營地A 點出發(fā)，沿北偏東60°方向走了 100km 到達 B 點，然后再沿北偏西30°方向走了 100km 到達目的地C 點，求出 A、C 兩點之間的距離18如圖，在氣象站臺 A 的正西方向 320km 的 B 處有一臺風中心，該臺風中心以每小時 20km 的速度沿北偏東 60

4、°的 BD 方向移動，在距離臺風中心 200km 內的地方都要受到其影響（ 1）臺風中心在移動過程中，與氣象臺 A 的最短距離是多少？（ 2）臺風中心在移動過程中，氣象臺將受臺風的影響，求臺風影響氣象臺的時間會持續(xù)多長？第 2頁（共 53頁）19如圖，已知 ABC 中， B=90°，AB=8cm， BC=6cm，P、Q 分別為 AB、BC邊上的動點，點 P 從點 A 開始沿 A? B 方向運動，且速度為每秒 1cm，點 Q 從點 B 開始 BC方向運動，且速度為每秒 2cm，它們同時出發(fā)；設出發(fā)的時間為 t秒（ 1）出發(fā) 2 秒后，求 PQ 的長；（ 2）從出發(fā)幾秒鐘后，

5、PQB能形成等腰三角形？（ 3）在運動過程中，直線 PQ 能否把原三角形周長分成相等的兩部分？若能夠，請求出運動時間；若不能夠，請說明理由20在 ABC 中， AB、 BC、AC 三邊的長分別為、，求這個三角形的面積小華同學在解答這道題時，先畫一個正方形網(wǎng)格 （每個小正方形的邊長為 1），再在網(wǎng)格中畫出格點 ABC（即 ABC三個頂點都在小正方形的頂點處） ，如圖 1 所示這樣不需求 ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積這種方法叫做構圖法（ 1） ABC的面積為：（ 2）若 DEF三邊的長分別為、，請在圖 2 的正方形網(wǎng)格中畫出相應的 DEF，并利用構圖法求出它的面積為（ 3）如圖 3，

6、ABC中， AGBC 于點 G，以 A 為直角頂點，分別以 AB、 AC為直角邊，向 ABC外作等腰 Rt ABE和等腰 Rt ACF，過點 E、F 作射線 GA 的垂線，垂足分別為 P、 Q試探究 EP與 FQ之間的數(shù)量關系，并證明你的結論（ 4）如圖 4，一個六邊形的花壇被分割成 7 個部分，其中正方形 PRBA，RQDC，QPFE的面積分別為 13m2、25m2、36m2，則六邊形花壇 ABCDEF的面積是m 2第 3頁（共 53頁）21（ 1）在 ABC 中， AB、BC、AC 三邊的長分別為、，求這個三角形的面積如圖 1，某同學在解答這道題時， 先建立一個每個小正方形的邊長都是1 的

7、網(wǎng)格，再在網(wǎng)格中畫出邊長符合要求的格點三角形ABC（即 ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），這樣不需要求 ABC的高，而借用網(wǎng)格就能就算出它的面積請你將 ABC的面積直接填寫在橫線上思維拓展：（ 2）已知 ABC三邊的長分別為a（a0），求這個三角形的面積我們把上述求 ABC面積的方法叫做構圖法如圖 2，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是 a，請在網(wǎng)格中畫出相應的 ABC，并求出它的面積類比創(chuàng)新：（ 3）若 ABC 三邊的長分別為（ m0，n 0，且 m n），求出這個三角形的面積如圖 3，網(wǎng)格中每個小長方形長、寬都是m，n，請在網(wǎng)格中畫出相應的ABC，用網(wǎng)格計算這個三角形的面積第 4頁（共 53

8、頁）22有一只喜鵲在一棵3m 高的小樹上覓食，它的巢筑在距離該樹24m 的一棵大樹上，大樹高14m，且巢離樹頂部1m當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即趕過去，如果它飛行的速度為5m/s，那它至少需要多少時間才能趕回巢中？23（拓展創(chuàng)新）在教材中，我們通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關系，利用完全相同的四個直角三角形采用拼圖的方式驗證了勾股定理的正確性問題 1：以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形， 探究 S+S與 S 的關系（如圖 1）問題 2：以直角三角形的三邊為斜邊向形外作等腰直角三角形，探究 S+S與 S 的關系（如圖 2）問題 3：以直角三角形的三邊為直徑向形外作半圓， 探究 S+

9、S與 S 的關系（如圖3）第 5頁（共 53頁）24如圖，在平面坐標系中， 點 A、點 B 分別在 x 軸、y 軸的正半軸上，且 OA=OB，另有兩點 C（a， b）和 D（ b， a）（ a、b 均大于 0）；（ 1）連接 OD、 CD，求證： ODC=45°；（ 2）連接 CO、CB、CA，若 CB=1， C0=2， CA=3，求 OCB的度數(shù)；（ 3）若 a=b，在線段 OA 上有一點 E，且 AE=3，CE=5，AC=7，求 OCA的面積2511 世紀的一位阿拉伯數(shù)學家曾提出一個 “鳥兒捉魚 ”的問題“小溪邊長著兩棵棕櫚樹，恰好隔岸相望一棵樹高是 30 肘尺（肘尺是古代的長度

10、單位），另外一棵高 20 肘尺；兩棵棕櫚樹的樹干間的距離是 50 肘尺每棵樹的樹頂上都停著一只鳥忽然，兩只鳥同時看見棕櫚樹間的水面上游出一條魚，它們立刻飛去抓魚， 并且同時到達目標 問這條魚出現(xiàn)的地方離開比較高的棕櫚樹的樹根有多遠？第 6頁（共 53頁）26（ 1）先化簡，再求值： x（x 2）（ x+1）（x1），其中 x=10（ 2）已知，求代數(shù)式（ x+1）2 4（ x+1） +4 的值（ 3）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，請在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖：從點 A 出發(fā)在圖中畫一條線段AB，使得 AB=；畫出一個以（ 1）中的AB 為斜邊的等腰直角三角形，

11、使三角形的三個頂點都在格點上，并根據(jù)所畫圖形求出等腰直角三角形的腰長第 7頁（共 53頁）27 問題情境 勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法 我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，著名數(shù)學家華羅庚曾提出把“數(shù)學關系 ”（勾股定理）帶到其它星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次 “談話 ”的語言； 定理表述 請你根據(jù)圖 1 中的直角三角形敘述勾股定理； 嘗試證明 以圖 1 中的直角三角形為基礎，將兩個直角邊長為a，b，斜邊長為 c的三角形按如圖所示的方式放置，連接兩個之間三角形的另外一對銳角的頂點（如圖 2），請你利用圖 2，驗證勾股定理； 知識擴展 利用圖 2 中的

12、直角梯形，我們可以證明，其證明步驟如下： BC=a+b，AD=又在直角梯形ABCD中，有 BCAD（填大小關系），即第 8頁（共 53頁）28觀察、思考與驗證（ 1）如圖 1 是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式；（ 2）如圖 2 所示，B=D=90°，且 B，C，D 在同一直線上 試說明： ACE=90°；（ 3）伽菲爾德（ 1881 年任美國第 20 屆總統(tǒng)）利用（ 1）中的公式和圖 2 證明了勾股定理（發(fā)表在 1876 年 4 月 1 日的新英格蘭教育日志上） ，請你寫出驗證過程29超速行駛容易引發(fā)交通事故如圖，某觀測點設在到公路l 的距離為 100 米的點 P

13、 處，一輛汽車由西向東勻速駛來，測得此車從A 處行駛到 B 處所用的時間為 3 秒，并測得 APO=60°， BPO=45°，是判斷此車是否超過了每小時80 千米的限制速度？（參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）第 9頁（共 53頁）30中日釣魚島爭端持續(xù)，我海監(jiān)船加大釣魚島海域的巡航維權力度如圖，OAOB，OA=45海里， OB=15海里，釣魚島位于 O 點，我國海監(jiān)船在點 B 處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船，自 A 點出發(fā)沿著 AO 方向勻速駛向釣魚島所在地點 O，我國海監(jiān)船立即從 B 處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船， 結果在點 C 處截住了漁船（ 1）請用直尺和圓規(guī)

14、作出 C 處的位置；（ 2）求我國海監(jiān)船行駛的航程 BC的長31在一次 “構造勾股數(shù) ”的探究性學習中，老師給出了下表：m2334n1123a22+1232+1232+2242+32b461224c2212321232224232其中 m、 n 為正整數(shù)，且 mn（ 1）觀察表格，當 m=2， n=1 時，此時對應的 a、 b、 c 的值能否為直角三角形三邊的長？說明你的理由（ 2）探究 a，b，c 與 m、n 之間的關系并用含m、n 的代數(shù)式表示：a=，b=，c=（ 3）以 a，b，c 為邊長的三角形是否一定為直角三角形？如果是，請說明理由；如果不是，請舉出反例第10頁（共 53頁）32如圖

15、 1，在 4×8 的網(wǎng)格紙中，每個小正方形的邊長都為1，動點 P、Q 分別從點 D、A 同時出發(fā)向右移動，點 P 的運動速度為每秒 1 個單位，點 Q 的運動速度為每秒 0.5 個單位，當點 P 運動到點 C 時，兩個點都停止運動，設運動時間為t （0t 8）（ 1）請在 4×8 的網(wǎng)格紙圖 2 中畫出 t 為 6 秒時的線段 PQ并求其長度；（ 2）當 t 為多少時 PQB是以 BP為底的等腰三角形33閱讀下面的情景對話，然后解答問題：（ 1）理解：根據(jù) “奇異三角形 ”的定義，請你判斷： “等邊三角形一定是奇異三角形 ”嗎？（填是或不是）若某三角形的三邊長分別為1、 2

16、，則該三角形（是或不是）奇異三角形（ 2）探究：若 RtABC是奇異三角形，且其兩邊長分別為2、2，則第三邊的長為，且這個直角三角形的三邊之比為（從小到大排列，不得含有分母） （ 3）設問：請?zhí)岢鲆粋€和奇異三角形有關的問題 （不用解答）第11頁（共 53頁）34觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41， 用你的發(fā)現(xiàn)解決下列問題：（ 1）填空： 112=+；（ 2）請用含字母 n（n 為正整數(shù)）的關系式表示出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：；（ 3）結合勾股定理有關知識，說明你的結論的正確性35小明爸爸給小明出了一道題：如圖，修公路AB 遇到一座山，于是要修一

17、條隧道 BC已知 A，B，C 在同一條直線上，為了在小山的兩側B，C 同時施工過點 B 作一直線 m（在山的旁邊經過），過點 C 作一直線 l 與 m 相交于 D 點，經測量 ABD=130°， D=40°，BD=1000米， CD=800米若施工隊每天挖 100 米，求施工隊幾天能挖完？36如圖，把一塊等腰直角三角形零件（ ABC，其中 ACB=90°），放置在一凹槽內，三個頂點 A， B， C 分別落在凹槽內壁上，已知 ADE=BED=90°，測得AD=5cm，BE=7cm，求該三角形零件的面積37如圖，四邊形 ABCD的三邊（ AB、BC、CD）和

18、 BD 的長度都為 5 厘米，動點 P 從 A 出發(fā)（A BD）到 D，速度為 2 厘米 / 秒，動點 Q 從點 D 出發(fā)（D C BA）到 A，速度為 2.8 厘米 / 秒 5 秒后 P、Q 相距 3 厘米，試確定 5 秒時 APQ 的形狀第12頁（共 53頁）38一艘輪船以 20 海里 / 時的速度由西向東航行，在途中接到臺風警報，臺風中心正以 40 海里 / 時的速度由南向北移動，距臺風中心 20 海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬于臺風區(qū)域， 當輪船到 A 處時測得臺風中心移到位于點 A 正南方的 B 處，且 AB=100 海里若這艘輪船自 A 處按原速度繼續(xù)航行，在途中是否會遇到臺風？若

19、會，則求出輪船最初遇到臺風的時間；若不會，請說明理由39明朝數(shù)學家程大位在他的著作算法統(tǒng)宗中寫了一首計算秋千繩索長度的詞西江月：“平地秋千未起， 踏板一尺離地 °送行二步恰竿齊， 五尺板高離地 ” 翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千 OA 靜止的時候，踏板離地高一尺（ AC=1尺），將它往前推進兩步（ EB=10 尺），此時踏板升高離地五尺（ BD=5 尺），求秋千繩索（ OA 或 OB）的長度40如圖， AOB=90°，OA=45cm， OB=15cm，一機器人在點B 處看見一個小球第13頁（共 53頁）從點 A 出發(fā)沿著 AO 方向勻速滾向點 O，機器人立即從點 B 出發(fā)，沿直

20、線勻速前進攔截小球，恰好在點 C 處截住了小球 如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，那么機器人行走的路程 BC是多少？1已知直角三角形兩邊的長為3 和 4，則此三角形的周長為（）A12B7+C 12 或 7+D以上都不對2圖中字母所代表的正方形的面積為144 的選項為（）ABCD3如圖，數(shù)軸上的點A 所表示的數(shù)為 x，則 x 的值為（）ABC 2D 24如圖，帶陰影的正方形面積是5如圖，在 Rt ABC中， BCA=90°，點 D 是 BC上一點，AD=BD，若 AB=8，BD=5，則CD= 第14頁（共 53頁）6正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點

21、，以格點為頂點，（ 1）在圖中，畫一個面積為 10 的正方形；（ 2）在圖、圖中，分別畫兩個不全等的直角三角形，使它們的三邊長都是無理數(shù)第15頁（共 53頁）初二數(shù)學勾股定理提高練習與?？茧y題和培優(yōu)題壓軸題(含解析)參考答案與試題解析二填空題（共5 小題）11（2016 春 ?高安市期中）已知Rt ABC中， C=90°，a+b=14cm，c=10cm，則Rt ABC的面積等于24cm2【分析】利用勾股定理列出關系式，再利用完全平方公式變形，將a+b 與 c 的值代入求出 ab 的值，即可確定出直角三角形的面積【解答】 解： RtABC中， C=90°，a+b=14cm，

22、c=10cm，由勾股定理得： a2+b2=c2，即（ a+b） 22ab=c2 =100， 1962ab=100，即 ab=48，則 RtABC的面積為ab=24（ cm2）故答案為： 24cm2【點評】 此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵12（ 2016 春?嘉祥縣期中）觀察下列勾股數(shù)第一組： 3=2×1+1，4=2×1×（ 1+1）， 5=2×1×（ 1+1） +1第二組： 5=2×2+1，12=2×2×（ 2+1），13=2×2×（ 2+1）+1第三組： 7=2×

23、3+1，24=2×3×（ 3+1），25=2×3×（ 3+1）+1第四組： 9=2×4+1，40=2×4×（ 4+1），41=2×4×（ 4+1）+1 觀察以上各組勾股數(shù)組成特點，第7 組勾股數(shù)是15， 112，113（只填數(shù)，不填等式）【分析】 通過觀察，得出規(guī)律：這類勾股數(shù)分別為2n+1，2n（n+1），2n（ n+1）+1，由此可寫出第 7 組勾股數(shù)【解答】 解：第 1 組： 3=2×1+1，4=2×1×（ 1+1），5=2×1×（ 1+1） +1，

24、第 2 組： 5=2×2+1，12=2×2×（ 2+1），13=2×2×（ 2+1）+1，第16頁（共 53頁）第 3 組： 7=2×3+1，24=2×3×（ 3+1），25=2×3×（ 3+1）+1，第 4 組： 9=2×4+1，40=2×4×（ 4+1） 41=2× 4×（ 4+1）+1，第 7 組勾股數(shù)是 2×7+1=15，2×7×（ 7+1）=112，2× 7×（ 7+1）+1=113，即

25、15，112，113故答案為： 15， 112， 113【點評】此題考查的知識點是勾股數(shù)， 屬于規(guī)律性題目， 關鍵是通過觀察找出規(guī)律求解13（ 2009 春?武昌區(qū)期中）觀察下列一組數(shù)：列舉： 3、4、5，猜想： 32=4+5；列舉： 5、12、13，猜想： 52=12+13；列舉： 7、24、25，猜想： 72=24+25；列舉： 13、b、c，猜想： 132=b+c；請你分析上述數(shù)據(jù)的規(guī)律，結合相關知識求得b=84，c=85【分析】認真觀察三個數(shù)之間的關系：首先發(fā)現(xiàn)每一組的三個數(shù)為勾股數(shù)，第一個數(shù)為從 3 開始連續(xù)的奇數(shù)， 第二、三個數(shù)為連續(xù)的自然數(shù)； 進一步發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)的平方是第二、三個

26、數(shù)的和；最后得出第n 組數(shù)為（ 2n+1），（），（），由此規(guī)律解決問題【解答】 解：在 32=4+5 中， 4=，5=；在 52=12+13 中， 12=，13=；則在 13、b、c 中， b=84，c=85【點評】 認真觀察各式的特點，總結規(guī)律是解題的關鍵三解答題（共27 小題）14 （ 2016 春 ? 黃 岡 期 中 ） a ， b ， c 為 三 角 形 ABC 的 三 邊 ，且 滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判別這個三角形的形狀第17頁（共 53頁）【分析】現(xiàn)對已知的式子變形， 出現(xiàn)三個非負數(shù)的平方和等于0 的形式，求出 a、b、c，再驗證兩小邊的平方和是

27、否等于最長邊的平方即可【解答】 解：由 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：（ a210a+25） +（b2 24b+144） +（ c226c+169） =0，即：（ a5）2+（b12） 2+（c13）2=0，由非負數(shù)的性質可得：，解得， 52+122=169=132，即 a2+b2=c2， C=90°，即三角形 ABC為直角三角形【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用、完全平方公式、非負數(shù)的性質判斷三角形是否為直角三角形， 已知三角形三邊的長， 只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可15（2016 秋 ?永登縣期中）如圖：四邊形ABCD中，AB=CB=，CD=，

28、DA=1，且 AB CB于 B試求：（1） BAD的度數(shù)；（ 2）四邊形 ABCD的面積【分析】 連接 AC，則在直角 ABC中，已知 AB， BC可以求 AC，根據(jù) AC，AD，CD的長可以判定 ACD為直角三角形，（ 1）根據(jù) BAD= CAD+BAC，可以求解；（ 2）根據(jù)四邊形 ABCD的面積為 ABC和 ACD的面積之和可以解題第18頁（共 53頁）【解答】 解：（1）連接 AC， ABCB于 B， B=90°，在 ABC中， B=90°， AB2+BC2=AC2，又 AB=CB= ， AC=2， BAC=BCA=45°， CD= ， DA=1，22，2

29、 CD，=5DA =1AC =4222，AC+DA =CD由勾股定理的逆定理得：DAC=90°， BAD=BAC+DAC=45°+90°=135°；（ 2） DAC=90°，ABCB于 B， S ABC=，S DAC=， AB=CB= ， DA=1，AC=2， S ABC=1，SDAC=1而 S 四邊形 ABCD=S ABC+SDAC， S四邊形 ABCD=2【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用， 考查了根據(jù)勾股定理逆定理判定直角三角形， 考查了直角三角形面積的計算， 本題中求證 ACD是直角三角形是解題的關鍵16（ 2016 春?鄒

30、城市校級期中）如圖，小華準備在邊長為1 的正方形網(wǎng)格中，第19頁（共 53頁）作一個三邊長分別為4，5，的三角形，請你幫助小華作出來【分析】 直接利用網(wǎng)格結合勾股定理求出答案【解答】 解：如圖所示： ABC即為所求【點評】 此題主要考查了勾股定理，正確借助網(wǎng)格求出是解題關鍵17（2015 春 ?平南縣期中） 如圖所示，在一次夏令營活動中， 小明坐車從營地 A 點出發(fā)，沿北偏東 60°方向走了 100 km 到達 B 點，然后再沿北偏西 30°方向走了 100km 到達目的地 C 點，求出 A、C 兩點之間的距離【分析】根據(jù)所走的方向可判斷出 ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理

31、可求出解【解答】 解： ADBE ABE=DAB=60° CBE=30° ABC=180° ABE CBE=180°60°30°=90°，在 RtABC中，第20頁（共 53頁）=200， A、 C 兩點之間的距離為200km【點評】本題考查勾股定理的應用，先確定是直角三角形后，根據(jù)各邊長，用勾股定理可求出 AC的長，且求出 DAC的度數(shù)，進而可求出點 C 在點 A 的什么方向上18（2015 秋?新泰市期中）如圖，在氣象站臺 A 的正西方向 320km 的 B 處有一臺風中心，該臺風中心以每小時 20km 的速度沿北偏東

32、60°的 BD 方向移動，在距離臺風中心 200km 內的地方都要受到其影響（ 1）臺風中心在移動過程中，與氣象臺 A 的最短距離是多少？（ 2）臺風中心在移動過程中，氣象臺將受臺風的影響，求臺風影響氣象臺的時間會持續(xù)多長？【分析】（1）過 A 作 AEBD 于 E，線段 AE 的長即為臺風中心與氣象臺A 的最短距離，由含 30°角的直角三角形的性質即可得出結果；（ 2）根據(jù)題意得出線段 CD就是氣象臺 A 受到臺風影響的路程，求出 CD 的長，即可得出結果【解答】 解：（1）過 A 作 AEBD 于 E，如圖 1 所示：臺風中心在 BD 上移動， AE的長即為氣象臺距離臺

33、風中心的最短距離，在 RtABE中， ABE=90° 60°=30°， AE= AB=160，即臺風中心在移動過程中，與氣象臺A 的最短距離是 160km（ 2）臺風中心以每小時20km 的速度沿北偏東60°的 BD 方向移動，在距離臺第21頁（共 53頁）240÷20=12（小時）風中心 200km 內的地方都要受到其影響，線段 CD就是氣象臺 A 受到臺風影響的路程，連接 AC，如圖 2 所示：在 RtACE中， AC=200km，AE=160km， CE=120km， AC=AD， AECD， CE=ED=120km， CD=240km臺

34、風影響氣象臺的時間會持續(xù)【點評】 本題考查了勾股定理在實際生活中的應用、垂徑定理、含30°角的直角三角形的性質等知識；熟練掌握垂徑定理和勾股定理，求出CD是解決問題（ 2）的關鍵19（2015 春?陽東縣期中）如圖，已知 ABC中， B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q 分別為 AB、BC邊上的動點，點 P 從點 A 開始沿 A? B 方向運動，且速度為每秒 1cm，點 Q 從點 B 開始 BC方向運動， 且速度為每秒 2cm，它們同時出發(fā)；第22頁（共 53頁）設出發(fā)的時間為t 秒（ 1）出發(fā) 2 秒后，求 PQ 的長；（ 2）從出發(fā)幾秒鐘后， PQB能形成等腰

35、三角形？（ 3）在運動過程中，直線 PQ 能否把原三角形周長分成相等的兩部分？若能夠，請求出運動時間；若不能夠，請說明理由【分析】（1）我們求出 BP、BQ 的長，用勾股定理解決即可（ 2） PQB形成等腰三角形，即BP=BQ，我們可設時間為t，列出方程 2t=81× t，解方程即得結果（ 3）直線 PQ 把原三角形周長分成相等的兩部分，根據(jù)勾股定理可知AC=10cm，即三角形的周長為24cm，則有 BP+BQ=12，即 2t+（ 8 1× t）=12，解方程即可【解答】 解：（1）出發(fā) 2 秒后， AP=2， BQ=4， BP=8 2=6，PQ=2；（3 分）（ 2）設時

36、間為 t ，列方程得2t=81×t，解得 t=；（6 分）（ 3）假設直線 PQ 能把原三角形周長分成相等的兩部分，由 AB=8cm， BC=6cm，根據(jù)勾股定理可知 AC=10cm，即三角形的周長為 8+6+10=24cm，則有 BP+BQ= ×24=12，設時間為 t，列方程得： 2t+（81×t ）=12，解得 t=4，第23頁（共 53頁）當 t=4 時，點 Q 運動的路程是 4× 2=86，所以直線 PQ 不能夠把原三角形周長分成相等的兩部分 （10 分）【點評】 本題重點考查了利用勾股定理解決問題的能力，綜合性較強20（2014 秋 ?江陰市

37、期中）在 ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、，求這個三角形的面積 小華同學在解答這道題時， 先畫一個正方形網(wǎng)格 （每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點 ABC（即 ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖 1 所示這樣不需求 ABC 的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積這種方法叫做構圖法（ 1） ABC的面積為：3.5（ 2）若 DEF三邊的長分別為、，請在圖 2 的正方形網(wǎng)格中畫出相應的 DEF，并利用構圖法求出它的面積為3（ 3）如圖 3， ABC中， AGBC 于點 G，以 A 為直角頂點，分別以 AB、 AC為直角邊，向 ABC外作等腰 Rt ABE和等腰 Rt ACF

38、，過點 E、F 作射線 GA 的垂線，垂足分別為 P、 Q試探究 EP與 FQ之間的數(shù)量關系，并證明你的結論（ 4）如圖 4，一個六邊形的花壇被分割成 7 個部分，其中正方形 PRBA，RQDC，QPFE的面積分別為 13m2、25m2、36m2，則六邊形花壇 ABCDEF的面積是 110 m2【分析】（ 1）利用 ABC所在的正方形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，計算即可得解；（ 2）根據(jù)網(wǎng)格結構和勾股定理作出 DEF，再利用 DEF所在的矩形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，計算即可得解；第24頁（共 53頁）（ 3）利用同角的余角相等求出 BAG= AEP，然后利用 “角角邊

39、”證明 ABG 和 EAP 全等，同理可證 ACG 和 FAQ 全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EP=AG=FQ；（ 4）過 R 作 RH PQ于 H，設 PH=h，在 RtPRH和 Rt RQH中，利用勾股定理列式表示出 PQ，然后解無理方程求出 h，從而求出 PQR 的面積，再根據(jù)六邊形被分成的四個三角形的面積相等， 總面積等于各部分的面積之和列式計算即可得解【解答】 解：（1） ABC的面積 =3×3 × 2×1 ×3×1 ×2×3，=911.53，=95.5，=3.5；（ 2） DEF如圖 2 所示；面積 =2&#

40、215;4×1×2×2×2×1×4，=8122，=85，=3；（ 3） ABE是等腰直角三角形， AB=AE， BAE=90°， PAE+BAG=180°90°=90°，又 AEP+PAE=90°， BAG=AEP，在 ABG和 EAP中， ABG EAP（ AAS），同理可證， ACG FAQ， EP=AG=FQ；第25頁（共 53頁）（ 4）如圖 4，過 R 作 RH PQ于 H，設 RH=h，在 RtPRH中， PH=，在 RtRQH中， QH=， PQ=+=6，=6，兩邊平方得

41、， 25h2h2，=36 12+13整理得，=2，兩邊平方得， 13h2，=4解得 h=3， S PQR= ×6×3=9，六邊形花壇 ABCDEF的面積 =25+13+36+4× 9=74+36=110m2故答案為：（ 1） 3.5；（2）3；（ 4） 110【點評】本題考查了勾股定理， 構圖法求三角形的面積， 全等三角形的判定與性質，讀懂題目信息，理解構圖法的操作方法是解題的關鍵第26頁（共 53頁）21（2016 春 ?周口期中）（1）在 ABC中，AB、BC、AC 三邊的長分別為、，求這個三角形的面積如圖 1，某同學在解答這道題時， 先建立一個每個小正方形的

42、邊長都是1 的網(wǎng)格，再在網(wǎng)格中畫出邊長符合要求的格點三角形ABC（即 ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），這樣不需要求 ABC的高，而借用網(wǎng)格就能就算出它的面積請你將 ABC的面積直接填寫在橫線上3.5 思維拓展：（ 2）已知 ABC三邊的長分別為a（a0），求這個三角形的面積我們把上述求 ABC面積的方法叫做構圖法如圖 2，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是 a，請在網(wǎng)格中畫出相應的 ABC，并求出它的面積類比創(chuàng)新：（ 3）若 ABC 三邊的長分別為（ m0，n 0，且 m n），求出這個三角形的面積如圖 3，網(wǎng)格中每個小長方形長、寬都是m，n，請在網(wǎng)格中畫出相應的ABC，用網(wǎng)格計算這個三角形的

43、面積【分析】（1）根據(jù)矩形的面積公式和三角形的面積公式計算即可；（ 2）根據(jù)勾股定理在網(wǎng)格中畫出相應的 ABC，根據(jù)矩形的面積公式和三角形的面積公式求出它的面積；（ 3）根據(jù)勾股定理在網(wǎng)格中畫出相應的 ABC，根據(jù)矩形的面積公式和三角形的面積公式求出它的面積【解答】 解：（1） ABC的面積 =2×4 × 1×2 ×1×4 ×1×3=3.5，第27頁（共 53頁）故答案為： 3.5；（ 2）如圖 2，ABC的面積 =3a×4a ×3a×2a × a× 4a × 2a

44、×2a=5a2；（ 3）如圖 3 ， ABC 的面積 =4m× 4n × m× 4n × 3m × n × 4m×3n=6.5mn【點評】本題考查的是勾股定理的應用， 掌握在任何一個直角三角形中， 兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關鍵22（2015 春 ?羅田縣期中） 有一只喜鵲在一棵 3m 高的小樹上覓食， 它的巢筑在距離該樹 24m 的一棵大樹上，大樹高 14m，且巢離樹頂部 1m當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即趕過去，如果它飛行的速度為 5m/s，那它至少需要多少時間才能趕回巢中？【分析】 根據(jù)題意，構建直角三角形，利用勾股定理解答【解