直線和圓綜合問題題型分類全面.

1、第九講直線和圓問題一、直線與圓（一）直線和圓的位置關(guān)系及其特點1. 直線和圓相交：直線和圓有兩個公共點.2.直線和圓相切：直線和圓有一個公共點.3. 直線和圓相離：直線和圓沒有公共點.（二）直線和圓的位置關(guān)系的判斷幾何法： 利用圓心 O (a, b)到直線 AxByC 0 的距離 dAa Bb CA2與半徑 r 的大B2小來判斷 .代數(shù)法： 聯(lián)立直線與圓的方程組成方程組，消去其中一個未知量，得到關(guān)于另外一個未知量的一元二次方程，通過根的判別式b24ac 來判斷 .直線與圓的相切相離相交位置關(guān)系圖形圓心到直線的距離 db24ac（三）相交弦長1. 定義：當直線和圓相交時，我們把兩個交點的距離叫做

2、相交弦長.2. 求相交弦長的兩種方法幾何法：如圖，半徑 r ，弦心距 d ，弦長 l 的一半構(gòu)成直角三角形， 滿足勾股定理： _.代數(shù)法： 若直線 ykxb 與圓有兩個交點A( x1 , y1)、B( x2 , y2 ) ，則弦長公式 AB =_ 或 _ 3. 相交弦中點求法幾何法： 求出經(jīng)過圓心與相交弦l垂直的直線方程 l ，則 l、 l 的交點即為相交弦中點代數(shù)法： 聯(lián)立直線 l 和圓 C 的方程，消去y 后得到關(guān)于 x 的一元二次方程，其兩根分別為x1, x2 則相交弦的中點橫坐標為x0x1x2 ，再把 x0 代入直線 l 的方程求得 y0 ，( x0 , y0 ) 即2為中點弦坐標（四

3、）圓的切線. 圓的切線條數(shù)點在圓內(nèi)時： _ ；點在圓上時：_；點在圓外時：_.2. 圓的切線方程求法（1）求過圓上一點( x0 , y0 )的切線方程求法先求切點與圓心連線的斜率k ，由垂直關(guān)系可知切線斜率為k ，由點斜式方程求得切線方程. 若 k0 或 k 不存在，則由圖形可以直接求得切線方程（2）求過圓外一點( x0, y0)的切線方程求法幾何法：設(shè)切線方程為點斜式，由圓心到直線距離等于半徑求出斜率k ，從而求出切線方程代數(shù)法： 設(shè)切線方程為點斜式，將切線方程代入圓的方程消去y ，得到關(guān)于 x 的一元二次方程，利用0 求出 k ，從而求出切線方程3. 過圓上一點 ( x0 , y0 ) 的

4、切線方程（1）經(jīng)過圓 x2y2r 2 上一點 P（x0 , y0）的切線方程為 x xy y r 2 .00（2）經(jīng)過圓 (xa)2( yb)2r 2 上一點 P（x0 , y0）的切線方程為( x0 a)( xa)( y0b)( yb)r 2.（3）經(jīng)過圓 x2y2DxEyF0 上一點 P(x0 , y0 ) 的切線方程為x0 x y0 y D x0 xE y0yF 0.224.切 線 長 ： 若 圓 C : ( xa) 2( yb) 2r 2 ， 則 過 圓 外 一 點 P(x0 , y0 ) 的 切 線 長d( x0 a)2( y0b) 2r 2 .5.切點弦：過圓 C : ( xa)

5、2( yb) 2r 2 外一點 P( x0 , y0 ) 作圓 C 的兩條切線方程，切點分別為 A, B , 則切點弦 AB 所在直線方程為：( x0 a)(x a)( y0 b)( y b) r 2.（五）圓系方程1.以 (a,b) 為圓心的圓系方程是 _.2.與圓 x 2y2DxEyF0同心的圓系方程是 _.3. 過同一定點 (a,b) 的圓系方程是 _.4. 過直線 Ax By C 0 與圓 x2 y2 Dx Ey F 0 的交點的圓系方程是_.5. 過兩圓 C1 : x2y2D1xE1 yF10,C2:x2y2D2 xE2 yF20 的交點的圓系方程是 _.二、圓和圓（一）圓和圓的位置

6、關(guān)系圓與圓之間有幾種位置關(guān)系？（二）圓和圓的位置關(guān)系判斷幾何法： 設(shè)兩圓的半徑分別為r1 , r2 ，圓心距為 d ，比較 d 和 r1 , r2的大小關(guān)系 .代數(shù)法： 由兩個圓的方程組成一個方程組消元化為一元二次方程根據(jù)來判斷 .圓和圓的位內(nèi)含內(nèi)切相交外切外離置關(guān)系圖形兩圓圓心的距離 db24ac（三）圓與圓的公共弦1. 兩圓的相交弦所在直線方程的求法設(shè)兩圓 C1 : x 2y 2D1xE1 yF10和 C2 : x2y2D2 xE2 yF20相交時，-得 D1D2E1E2F1F20若兩圓相交，方程表示過兩圓交點的直線，即為經(jīng)過兩圓交點的直線方程提示：當兩圓相切時為兩圓的公切線方程.2. 公

7、共弦長的求法代數(shù)法 ：將兩圓方程聯(lián)立，解出交點坐標，利用兩點距離公式求出弦長.幾何法 ：求出公共弦所在直線方程，求出弦心距，半徑，利用勾股定理求出弦長.三、直線與圓的方程的應(yīng)用坐標法： 建立適當?shù)闹苯亲鴺讼岛螅?借助代數(shù)方法把要研究的幾何問題， 轉(zhuǎn)化為坐標之間的運算，由此解決幾何問題考點一、直線和圓的位置關(guān)系、圓和圓的位置關(guān)系例 1：已知動直線 l : ykx 5 和圓 C : (x 1)2y21 ，試問 k 為何值時，直線與圓相切、相離、相交？例 2：若直線 axby 1 0 與圓 x2y21相交，則點 P(a, b) 與圓的位置關(guān)系是_.例 3：圓 C1 : x2y22mx 4 y m2

8、5 0 與圓 C2：x2y22x 2my m23 0 .試問 m 為何值時，兩圓（ 1）外離；（ 2）外切；（ 3）相交；（4）內(nèi)切；（ 5）內(nèi)含；變式 1：圓 2 x22 y 21與直線 xsinq y1 0 (R,2k,kz) 的位置關(guān)系是？變式：已知點 M (a, b) 在圓O : x2y21外，則直線axby 1與圓 O 的位置關(guān)系是2_.變式 3：已知圓 C1 : x2y 22x 8y 8 0 ，圓 C2 : x2y 24x 4 y 2 0 ，試判斷兩圓的位置關(guān)系 .練習(xí)：1. 直線 3x4y120 與C：(x1)2 ( y1)29 的位置關(guān)系是 _.2. 直線 xy1與圓 x2y2

9、2ay0(a0) 有公共點，則a 的取值范圍是多少？3.若直線 xy m 0 與圓 x2 y2m 相切，則 m 的值為 ()A0或2B0或 4C 2D 44.圓 x2y 22x0 和 x2y2 +4y 0 的位置關(guān)系是 _.5. 圓 C1 ： ( xm)2( y2)29與圓 C2 ： (x1)2(ym)24 外切，則 m 的值為多少？6. 判斷直線L : (1m)x(1m) y2m10 與圓 O： x2y 29 的位置關(guān)系 .考點二、直線和圓相交（一）相交弦長例 1：求直線 l : 3xy60 被圓 C : x2y 22 y40 截得的弦長 .例 ：已知圓C過點 (1,0) ，且圓心在x軸的正

10、半軸上，直線 l : yx 1被圓 C 所截得的弦2長為 2 2 ，求圓的方程 .例 3：直線 y kx 3與圓 ( x 3) 2( y 2) 24相交于 M,N 兩點,若 MN2 3 , 則 k 的取值范圍是 _.變式 1：在平面直角坐標系 xOy 中，直線 x 2 y 30 與圓 C : ( x 2) 2( y 1) 24 交于A,B 兩點，求 AB 及 AOB 的面積 .變式2：設(shè)直線ax y 3 0 與圓 ( x 1)2( y 2) 24 相交于 A 、 B 兩點，且弦AB 的長為2 3 ，則 a_變式3：已知圓M : (x 1)2( y 1)24 ，直線 l 過點 P(2,3), 且

11、與圓 M 相交于A,B 兩點,AB 23，求 . 直線 l的方程 .練習(xí)：1. 直線 y2x 3 被圓 x2y 26x 8 y 0 所截得的弦長等于多少？2. 已 知 圓 x2y22x2ya0 截 直 線 xy20 所 得 弦 的 長 度 為4 ， 則a _.3. 直線 l 過點 Q (0,5) , 被圓 C : ( x2) 2( y6)216 截得的弦長為4 3 ，求直線 l 的方程 .4. 直線 x 2 y 30 與圓 C : ( x 2) 2( y 3) 29交于 E 、 F 兩點，則ECF 的面積為_.5. 求與 x 軸相切，圓心在直線3xy0 上，且截直線xy0 的所得弦長為2 7

12、的圓的方程 .6. 直線3xy230 截圓 x2 + y2 = 4 的劣弧所對的圓心角是_.（二）中點弦和弦的中點軌跡問題例1：已知圓x2y24x6 y120 內(nèi)一點 A(4, 2) ，求以為A 中點的弦所在直線的方程.例 2：過點 P(3,1), 作圓 M : ( x2) 2( y2) 24 的弦，其中最短的弦長為_.例 3：直線 ykx 與圓 x2y 26x4 y100 相交于兩個不同點，求中點軌跡方程.變式 1：設(shè)圓 C : x2y24x50 的一條弦的中點為P(3,1), 則該弦所在直線的方程為_.變式 2：過點（ 1， 2）的直線 l 將圓 ( x 2) 2y 24 分成兩段弧，當劣

13、弧所對的圓心角最小時，直線 l 的的方程為.變式 3：已知點 P(0,5)及圓 C： x2y2 4x 12y 24 0.求過 P 點的圓 C 的弦的中點的軌跡方程練習(xí)：1. （ 1）設(shè)直線 2x 3y 10 和圓 x2y 22x 3 0 相交于點 A， B ，弦 AB 的垂直平分線的方程為 ?22（2）若點 P (2，- 1)為圓 (x - 1) + y= 25的弦 AB 的中點，求直線 AB 的方程 .2. 過點 (2,1) 的直線被圓x2224y0截得的弦長最短的直線方程是？yx3. 經(jīng)過原點作圓x2 + y2 + 2x - 4y + 4 = 0 的割線 l ，交圓于 A、 B 兩點，求弦

14、 AB 的中點 M的軌跡方程 .4. 若直線 y = 2x + b與圓 x2 + y2 = 4 相交于 A、 B 兩點，求弦AB 的中點 M 的軌跡 .5. 已知圓的方程為x2 y2 6x8y 0，設(shè)該圓過點P(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC 和BD ，則四邊形 ABCD 的面積為 ()A106B206C 306D 406（三）直線和圓相交最值問題例 1：在圓標是x2y24 上，與直線 4 x3y - 120 的距離最小距離是_.最大距離是 _. 該點的坐標是 _.該點的坐例 2：若圓22410 0yxyl : ax by 0x上至少有三個不同的點到直線的距離為42 2 , 則直線 l 的

15、傾斜角的取值范圍是例 3：若過定點 M ( 1, 0)且斜率為 k 的直線與圓 x24x y25 0 在第一象限內(nèi)的部分有交點，則 k 的取值范圍是變式 1：已知點 P( x, y) 是圓 ( x 3) 2( y 3)24 上任意一點，求到直線2x y 6 0 的最大距離和最小距離 .變式2：在平面直角坐標系xoy 中，已知圓x2y24 上有且僅有四個點到直線12x5 yc0 的距離為1，則實數(shù)c 的取值范圍是_.變式 3: 直線 l 過點 A(0，2)且與半圓 C：x 1 2y 21( y 0) 有兩個不同的交點，則直線 l的斜率的范圍是 _.練習(xí)：1.圓 x2y 21上的點到直線 3x4

16、y 250的距離的最小值是（）A 6B4C 5D 12.設(shè) A 為圓 ( x2)2( y 2)21上一動點，則A 到直線 xy 50 的最大距離為 _.3. 圓 x2y22x4 y30上到直線 x y1 0的距離為2 的點有（）A 1個B2個C3個D 4 個4. 若圓 ( x 3) 2( y 5) 2r 2 上有且只有兩個點到直線4x3 y2的距離等于1，則半徑 r 的取值范圍是 _.5.若圓 ( x 3) 2(y 5) 2r 2 上有且只有兩個點到直線4x3y2的距離等于1，則半徑 r 的取值范圍是 _.6. 曲線 y 14 x2 (| x| 2) 與直線 yk ( x 2) 4 有兩個交點

17、時，實數(shù)k 的取值范圍是_.考點三、直線和圓相切（一）與圓相切的直線方程（點在圓外）例1：自點 M（3，1）向圓 x2y21引切線，則切線方程是多少？（點在圓上）例2：經(jīng)過圓上一點 P( 4, 8) 作圓 (x 7)2( y 8) 29 的切線方程為_.例 3：與圓 C：x 2( y 5)23 相切、且縱截距和橫截距相等的直線共有條 .例 4：把直線y3 x 繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使它與圓x2y22 3 x2y30 相切，則3直線轉(zhuǎn)動的最小正角是_.變式 1：求過 A(3,5) 且與圓 C : x2y 24x4 y70 相切的直線方程 .變式 2：圓 x 2y24 x0 在點 P(1,3) 處

18、的切線方程為_.練習(xí)：1. 求過點 A(2，2 2 2) 的圓 C： x2 + y2 - 2x + 4 y - 4 = 0 的切線方程 .2. 已知圓 O：x2 + y2 = 16 ，求過點 P(4,6) 的圓的切線 PT 的方程 .3. 已知過點 P( 2, 2)的直線與圓 (x1)2y25相切 ,且與直線 ax y10 垂直 , 則 a（）A.1B 1C 2D1224. 一條光線從點A(2，3) 射出，經(jīng) x 軸反射后，與圓 C : ( x 3) 2( y2) 21相切，求反射后光線所在直線的方程 _.5. 垂直于直線 yx1且與圓 x2y21相切于第一象限的直線方程是（）A x y2 0

19、B x y 1 0C x y 1 0D x y2 06. 若經(jīng)過點 P(1, 0)的直線與圓 x 2y 24x2 y 30 相切，則此直線在y 軸上的截距是（二）與直線相切的圓方程例：求圓心在直線l1 :5x3y0 上，并且與直線l2 ：x6y100相切于點P（ 4,-1)圓的方程.變式：若圓 C 經(jīng)過坐標原點和點(4,0) , 且與直線 y = 1相切 , 則圓 C 的方程是 _.練習(xí)：1. 圓心為（ 1， 2）且與直線 5x 12 y 70 相切的圓的方程為.2. 已知圓C 的半徑為2 ，圓心在x 軸的正半軸上，直線3x4y40與圓C相切，則圓C的方程為_.3. 已知圓 C 的圓心是直線x

20、y10 與 x 軸的交點，且圓C 與直線 xy30 相切，則圓 C 的方程為 _ （三）切點弦、切線長例 1：過點 P(2,3) 向圓 C：x2 y21上作兩條切線PA， PB ，則弦 AB 所在的直線方程為_.例 2：自點A(1, 4)作圓 ( x2 ) 2( y3) 21 的切線，則切線長為_.例 ：已知 P 是直線 3x4 y 80 上的動點， PA, PB 是圓C : x2y22x2 y 1 0 的3兩條切線， A、 B 是切點， C 是圓心，（1）那么四邊形 PACB 面積的最小值為多少？（2）直線上是否存在點P 使BPA 60 ？若存在求出點的坐標，若不存在說明理由.例 4. 自動

21、點 P 引圓 x2y210 的兩條切線 PA, PB ，直線 PA, PB 的斜率分別為 k1 , k2 .（1）若 k1k2 k1k21，求動點 P 的軌跡方程；（2）若點P 在直線 xym 上，且 PAPB ，求實數(shù) m 的取值范圍 .變式 1：過點3,1 作圓 (x1) 2y21的兩條切線 , 切點分別為A , B , 則直線 AB 的方程為_.變 式2 ： 自 直 線 y = x 上 的 點 向 圓 x2 + y2 - 6x +7 = 0 引 切 線 ， 則 切 線 長 的 最 小 值為.變式 3：由動點 P 向圓 x2y21 引兩條切線 PA、 PB ，切點分別為A、 B， APB6

22、0 ，則動點 P 的軌跡方程為練習(xí)1. 過圓 x 2y 24外一點 M (4, 1) 引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為( )A 4x y 4 0B 4 x y 4 0 C 4x y 4 0 D 4x y 4 02. 過點 C (6，8) 作圓 x2 y225的切線于切點 A、 B ，那么 C 到兩切點 A、B 連線的距離為()A 15B 115D 5C.23. 由直線 y x1上的點向圓 C：x2y26x80 引切線，則切線長的最小值為 ()A 1B 22C. 7D 34. 從直線 l：2x - y +10 = 0 上一點做圓O：x2 + y2 = 4 的切線，切點為A、B ，求四邊形

23、 PAOB 面積的最小值 .5. 已知22=1和定點 A(2,1) , 由O : x + yO 外一點 P(a, b) 向O 引切線 PQ , 切點為Q,且滿足PQ = PA .(1) 求實數(shù) a, b 間滿足的等量關(guān)系 ;(2) 求線段 PQ 的最小值 .（四）利用直線和圓的位置關(guān)系解決最值問題例 1：已知實數(shù)x、y滿足方程2241 0 ，xyx（1）求 y 的最大值和最小值；x（2）求 xy 的最大值和最小值；（3）求 x2y2 的最大值和最小值 .變式：若實數(shù)x, y 滿足 x2y22x4 y0 ，則 x2 y 的最大值為練習(xí)1. 已知 x, y 是實數(shù) , 且 x2 + y 2 - 4

24、x - 6y +12 = 0 ,求(1)y 的最值； (2) x2 + y2 的最值； (3) x + y 的最值； (4) x y 的最值 .x2. 已知實數(shù)x, y 滿足 x2 + y 2 =1，則 y2 的取值范圍為 _.x1考點四、圓與圓（一）圓與圓相切例 1：求與圓x2y225 內(nèi)切于點（ 5， 0），且與直線 3x - 4 y50 也相切的圓方程變式：已知半徑為1 的動圓與圓 （x5)2( y7)216 相切 , 則動圓圓心的軌跡方程是_.練習(xí)：1. 圓 M ： ( x 1)2( y 1)28 ，圓 N 的圓心為 N (2, 2) 且與圓 M 相切，求圓 N 的方程2. 求過點 A

25、(0,6) 且與圓 C ： x2y210x10 y0 切于原點的圓的方程（二）圓與圓相交例 1：求兩圓： x2y 26x 4 y 0 及 x2y24x 2 y 4 0 的公共弦所在直線方程和公共弦長 .例 2：已知圓 C1 : x2y2 6x 7 0 與圓 C2：x2y26 y 27 0 相交于 A, B 兩點，則線段 AB 的中垂線方程為 _例 3：求過兩圓x2y26x40和x2y26 y280 的交點，且圓心在直線x y 4 0 上的圓的方程變式 1：圓 x2y22x 0 和 x2y24y0的公共弦所在直線方程為（）A. x 2 y 0B.x 2 y 0 C.2 x y 0D.2x y 0

26、變式 2：已知兩圓 x2y2 10x 10 y 0 和 x2y26x 2 y 40 0 ，則它們的公共弦長為 _.練習(xí)：1. 圓 x2y2x y 2 0 和圓 x2y25 的公共弦直線方程為_ ；公共弦長為.2. 已知圓 M： x2y210 和圓 N：x2y 22x 2 y 14 0 , 求過兩圓交點, 且面積最小的圓的方程 .考點六、綜合拓展（設(shè)而不求、對稱問題）例 1：已知直線x2 y30 交圓 x2y2x6 yF0 于點 P, Q ， O 為坐標原點，且OPOQ，則 F 的值為2點 A(4， 3) 為OAB 的直角頂點， 已知AB 2OA，例 ：在以 O 為原點的直角坐標系中，且點 B

27、的縱坐標大于0.(1) 求 AB的坐標；(2) 求圓 x2 6xy2 2y 0 關(guān)于直線OB 對稱的圓的方程例3 ：已知圓C1 :( x - 2)2 + ( y - 3)2 =1 , 圓 C2 :( x - 3)2 +( y - 4)2 = 9 , M 、 N 分別是圓C1、C2 上的動點， P 為 x 軸上的動點 , PMPN 的最小值 .變式 1：若圓 C : ( x3) 2( y1) 29 與直線 xya0 交于 A、 B 兩點，且 OAOB ，求 a 的值 .變式2：若圓 x2y28 和圓 x2y24 x 4 y 40關(guān)于直線 l 對稱，則直線 l 的方程為（）A. x y 0B.x

28、y 0 C.x y 2 0D.x y 2 0練習(xí)1.已知圓 C1:(x+ 1)2+ (y-1)2= 1,圓 C2 與圓 C1 關(guān)于直線x-y-1= 0 對稱 ,則圓 C2 的方程為 ()A .(x+ 2)2+ (y-2)2 = 1B.(x-2)2+ (y+ 2)2= 1來C.(x+ 2)2+ (y+ 2)2= 1D.(x-2)2+ (y-2)2 =1來源:2.若兩圓 x2y216及 (x4)2( y3)2r 2 在交點處的切線互相垂直，求實數(shù)r 的值3.已知圓(3 - x)2y24 和直線ymx 的交點分別為P、Q 兩點，O 為坐標原點，則OPOQ 的值為 _.考點七、實際運用例：有一種大型商

29、品，A、 B 兩地均有出售且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品運回來，每公里的運費A 地是 B 地的兩倍，若A、 B 兩地相距10 km，顧客選擇A 地或 B 地購買這種商品的運費和價格的總費用較低，那么不同地點的居民應(yīng)如何選擇購買此商品的地點？變式：如圖，已知一艘海監(jiān)船外籍輪船從位于海監(jiān)船正東O上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為25 km的圓形區(qū)域，一艘40 km的 A 處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30 km的 B 處島嶼，速度為 28 km/h. 問：這艘外籍輪船能否被我海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間多長？練習(xí)： 航行前方的河道上有一圓拱橋，在正常水位時，拱圓最高點距水面9 米，拱圓內(nèi)水面寬

30、為 22 米，船只在水面上部高為6.5 米 , 船頂寬 4 米 , 故船行無阻 . 近日水位暴漲了2.7 米 ,船只已不能通過橋洞, 船員必須加重船載, 降低船身 . 問 : 船身必須降低多少, 才能通過橋洞 ?鞏固訓(xùn)練22A相交并且過圓心B 相交不過圓心C相切D相離)2.已知圓 x2y2x2 y61，圓 ( xsin )2( y1) 21，其中 090 ，則兩1616圓的位置關(guān)系為（）A. 相交B外切C內(nèi)切D相交或外切3.若曲線 y1x2與直線 yxb 始終有兩個交點，則b 的取值范圍是 _.4.圓 x2 y2 4x 4y6 0截直線 x y5 0 所得弦長等于 ()52A 6B 2C 1D

31、 522222 3，則 a _.5.若圓 x y 4 與圓 x y 2ay 60(a 0)的公共弦的長為6.若過點 A(4,0) 的直線 l與曲線 ( x 2)2 y2 1 有公共點，則直線l 斜率的取值范圍為_.7.直線 x y1與圓 x2y22ay 0(a 0) 沒有公共點，則 a 的取值范圍是 _.8. 設(shè) P 是圓 ( x3)2( y1)24 上的動點 , Q 是直線 x3 上的動點 , 則 PQ 的最小值為_.9. 過點 P (1,6) 且與圓 ( x3) 2( y2)24 相切的直線方程是_10. 求與圓 x2y22 x4 y10 同心，且與直線2 xy10 相切的圓的方程.11. 過點 ( 2,1)的直線中被圓 x 2y 22x4y 0 截得的弦長最大的直線方程是 ( )A. 3x y 50 B. 3x y 7 0C.x 3 y 5 0 D. x 3y 5