無窮級數(shù)總結(jié)

1、、概念與性質(zhì)1.定義:2.性質(zhì)設(shè)常數(shù)無窮級數(shù)總結(jié)對數(shù)列U1,U2（,U|，ZUn稱為無窮級數(shù)，Un稱為一般項；若部分和n=1數(shù)列Sn有極限 S，即 lim Sn= S，稱級數(shù)收斂，否則稱為發(fā)散.n_咨30CH0，則送Un與送CUn有相同的斂散性;n =1nA設(shè)有兩個級數(shù)CoCoCoCZ Un與送Vn，若S Un=s，送VCT，n4n nAn4貝U送（UnVn） =SCr；nA若S Un收斂,n iZ Vn發(fā)散，貝U送（UnVn）發(fā)散;n4nA若藝Un，Z Vn均發(fā)散，則送（UnVn）斂散性不確定;n ztn z1n=1添加或去掉有限項不影響一個級數(shù)的斂散性;設(shè)級數(shù)Un收斂，則對其各項任意加括號

2、后所得新級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.nz1注：一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散;一個級數(shù)加括號后收斂，原級數(shù)斂散性不確定.級數(shù)送Un收斂的必要條件：nim Un=0;n壬nT注：級數(shù)收斂的必要條件，常用判別級數(shù)發(fā)散;c若lim Un=0，則送Un未必收斂;nnzic若汕發(fā)散，則nmUn=0未必成立、常數(shù)項級數(shù)審斂法1.正項級數(shù)及其審斂法定義：若un0，則2 Un稱為正項級數(shù).n 4審斂法:(i)充要條件：正項級數(shù) Un收斂的充分必要條件是其部分和數(shù)列有界n 4A.B.C.CUnn比較審斂法：設(shè)2 Un與Z Vn都是正項級數(shù)，且UnN 時有Un N 時有UnkVn(kA0)成立，則發(fā)散;

3、OC1設(shè) SUn為正項級數(shù)，若有 P使得 Un-P( n=1,2 川)，則送Un收斂；若n呂nPUn工一(n = 1,2HI)，則藝Un發(fā)散.nn呂CoC極限形式：設(shè)2 Un與送Vn都是正項級數(shù),n=1n=1Unn呂lim b =丨(01時2P-級數(shù)：2 飛L嶺門時；nrnnP(發(fā)散P蘭1時r 1oC調(diào)和級數(shù)：S1=1+1+丄十發(fā)散.n#n2n(iii)比值判別法(達郎貝爾判別法)設(shè)Z an是正項級數(shù)，若nTa_ -be 1-be 1lim =1，lim 07 =1，但S-發(fā)散，而送一收斂.Jannn心門2-ben _(iv)根值判別法(柯西判別法)設(shè) S an是正項級數(shù)，厚= P，若 P 1

4、則級數(shù)發(fā)散.(V)極限審斂法：設(shè) Un0，且 lim nP山=1，則lim門卩un=1 0且p蘭1，則級n_咨n_-be數(shù)發(fā)散；如果P1，而nmnpzogf則其收斂.(書上 P317-2-(1)注：凡涉及證明的命題，一般不用比值法與根值法，一般會使用比較判別法.正項級數(shù)的比(根)值判別法不能當(dāng)作收斂與發(fā)散的充要條件， 是充分非必要條件.2.交錯級數(shù)及其審斂法1定義：設(shè)Un0( n =1,2,川)，則送(-1)2un稱為交錯級數(shù).審斂法：萊布尼茲定理：對交錯級數(shù)Z (-1)nUn，若UnXUn41且 lim 比=0，心則送(-VUn收斂.nzt注：比較Un與Un+的大小的方法有三種: 比值法，即

5、考察啞是否小于 1；Un2差值法，即考察Un-Un十是否大于 0；-be=r ；1，則送an發(fā)散.n4a_ 1乂1注：若lim丑=1，或 lim 廟=1,推不出級數(shù)的斂散.例送-與 2 占，雖然limnTcanan +an七 Ca=r 1，則送an收斂；lim上17ann由Un找出一個連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，使Un=f( n),( n =1,2,)考察f(x)是否小于 0.3. 一般項級數(shù)的判別法: 若2；Un絕對收斂，則送Un收斂.n 2n 4若用比值法或根值法判定2|Un|發(fā)散，則S Un必發(fā)散.n 4n二、冪級數(shù)1.定義：h anXn稱為幕級數(shù).n zO2.收斂性-be 阿貝爾定理：設(shè)幕級

6、數(shù)2 anXn在Xo工0處收斂，則其在滿足I x| Xo|的所有X處絕對收斂.反之，若幕級數(shù)2 anXn在Xi處發(fā)散，則其在滿足Ix|Xi|n二0的所有x處發(fā)散.收斂半徑(i)定義：若幕級數(shù)在x=Xo點收斂，但不是在整個實軸上收斂，則必存在一個正數(shù)R，使得當(dāng)I x-Xo|R時，幕級數(shù)發(fā)散；R 稱為幕級數(shù)的收斂半徑.-be求法：設(shè)冪級數(shù)汀xn的收斂半徑為R，其系數(shù)滿足條件嗎a或niimya T，則當(dāng)0 vi時，R=1；當(dāng)1=0時，R=，注：求收斂半徑的方法卻有很大的差異.前一個可直接用公式，后一個則須分奇、 偶項(有時會出現(xiàn)更復(fù)雜的情況)分別來求.在分成奇偶項之后，由于通項中出 現(xiàn)缺項，由此仍不

7、能用求半徑的公式直接求，須用求函數(shù)項級數(shù)收斂性的方法.(iii )收斂半徑的類型=1，A.R=0，此時收斂域僅為一點;B.R=垃，此時收斂域為(嚴(yán)+處)；C.R=某定常數(shù)，此時收斂域為一個有限區(qū)間.3.幕級數(shù)的運算(略)4.幕級數(shù)的性質(zhì)-beRAO，貝U和函數(shù)S(x)=送anXn在收斂區(qū)間(_R, R)內(nèi)連續(xù).n雖-beRAO，則和函數(shù)S(x)匹anXn在收斂區(qū)間(R, R)內(nèi)可導(dǎo),nzO且可逐項求導(dǎo)，即s(x)=(送anXn) =2(anXn)=S nanXn，收斂半徑不變.n zOn zOn z1若幕級數(shù)的收斂半徑RAO，貝抑函數(shù)S(x)=送anxn在收斂區(qū)間(R, R)內(nèi)可積,n zO,

8、XX址址X且可逐項積分，即fS(t)dt =(送antn)dt=送fantndt(x J-R, R)，收斂半徑不0 On占nJO變.5.函數(shù)展開成幕級數(shù) 若f (X)在含有點XO的某個區(qū)間I內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，f (X)在XO點的n階泰勒公式為f(x) =f(Xo) +f(xo)(x-xo)+f(xXo)2十中 f“。)(x-Xo) +2!n!f(n方(b丄f(n十)(4丄(+2)(X -Xo)(n十)，記Rn(x)=+z)(X -Xo)(n十)，e介于X,Xo之間，貝U f (x)在(n +1)!(n +1)!I內(nèi)能展開成為泰勒級數(shù)的充要條件為limRn(x) =0,/x引.n-bc初等函數(shù)的泰

9、勒級數(shù)(X0=O)說n(i)ex匹一，x(g,+處)nTn!-be - d n 4 2n J(ii)sinX= z2*(，-c)；若幕級數(shù)的收斂半徑若幕級數(shù)的收斂半徑(iii)(V)*e)nx2nCOSX = -, X迂(-OC,+處);to(2n)!丿；-1)nx1In(1+x)=2，x(1,1;n n +1疔嚴(yán)a (a -1)(a -n +1)n(1 +x)a=1+送 - - -xn, X迂(一1,1), (a迂R);n4n!1說1-be=ZXn,|x|1 ;=Z(1)nxn,| x| 1.1-X71+Xn衛(wèi)6.級數(shù)求和冪級數(shù)求和函數(shù)解題程序(i)求出給定級數(shù)的收斂域;(ii )通過逐項積

10、分或微分將給定的幕級數(shù)化為常見函數(shù)展開式的形式(或易看出其假設(shè)和函數(shù)s(x)與其導(dǎo)數(shù)s(x)的關(guān)系)，從而得到新級數(shù)的和函數(shù);注：系數(shù)為若干項代數(shù)和的幕級數(shù)，求和函數(shù)時應(yīng)先將級數(shù)寫成各個幕級數(shù)的代數(shù)和，然后分別求出它們的和函數(shù)，最后對和函數(shù)求代數(shù)和，即得所求級數(shù)的和函數(shù).數(shù)項級數(shù)求和(i)禾用級數(shù)和的定義求和，即lim Sn=s，則 ZUn=s，其中 Y心nSn =Ui+U2十+Un匹.根據(jù)S.的求法又可分為：直接法、拆項法、遞推法.A.直接法: 適用于送Uk為等差或等比數(shù)列或通過簡單變換易化為這兩種數(shù)列;kz1B.拆項法:把通項拆成兩項差的形式，在求n項和時，除首尾兩項外其余各項對消掉.Co

11、coc(ii)阿貝爾法(構(gòu)造幕級數(shù)法)Zanpim Z anXn，其中幕級數(shù)2 anXn，可通nFXnWnT過逐項微分或積分求得和函數(shù)S(x).因此z an = I烏s(x).四、傅里葉級數(shù) 1.定義1定義 1：設(shè)f(x)是以2兀為周期的函數(shù)，且在-兒?；?, 21上可積，則1 兀12 jan =f (x)cosnxdx = f f (x)cosnxdx,(n = 0,1,2)， 兀兀 兀01 遼12雹bn =f(x)si nnxdx f(x)si mxd,xn =1, 2,)，71兀稱為函數(shù)f(x)的傅立葉系數(shù).稱為函數(shù)f(x)的傅立葉級數(shù)，表示為1處f(x)一a0+送(ancosnx+gs

12、in nx)2心3定義 3:設(shè)f(x)是以21為周期的函數(shù)，且在斗,1上可積，則以1 Jn兀an =T J丄f (x)cos T xdx, (n =0,1, 2)，bn =1L f (x)sin F xdx,(n =1,2)為系數(shù)的三角級數(shù)1比-a0+送(ancos x +bnsin x)稱為f (x)的傅立葉級數(shù)，表示為2n1 2l1丄n兀 丄nnf(x)一a。+ 瓦(ancosx + bnSin x).2nl12.收斂定理(狄里赫萊的充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間兒兀上滿足條件除有限個第一類間斷點外都是連續(xù)的；只有有限個極值點,則f(x)的傅立葉級數(shù)在T,兀上收斂，且有定義 2:以f(x)

13、的傅立葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)1比-a0+W (ancosnx +bnsinnx).2nrnf (x), x是f (x)的連續(xù)點；12f(XoO) + f(Xo+0),x0是f (x)的第一類間斷點；1一f(一兀+ 0) + f(兀-0), X=兀22丿n兀an =TJ0f(x)cos-pxdx(n = 0,1,2，)，g =0(n= 1,2，).2非周期函數(shù)(i )奇延拓：A.f (x)為0,刃上的非周期函數(shù)，令F(xjf()，0蘭X：兀，則F(x)除x = 0外在一f (X), ；！ X C0處2兀-兀兀上為奇函數(shù)，f(x)藝bnsi nnx(正弦級數(shù))，S f (x)sin nxdx(n

14、=1,2，)；B.f(x)為0,上的非周期函數(shù)，則令F(xt(；Lx)0：xx0，則F(x)除-0外a處+2 (ancosnx +bnsin nx) =2n43.函數(shù)展開成傅氏級數(shù)周期函數(shù)a比(i )以 2 兀為周期的函數(shù)f (x):f(x)才+Xancos nx + bnsi nnxnA1兀1JTan=f(x) cos nxdx(n = 0,1,2，)，S =f (x)sinnxdx(n= 1,2，);兀-71注：若f(x)為奇函數(shù)，則Cf(x)送bnsi nnx(正弦級數(shù))，a0 (n = 0,1,2,)n42兀bn = f (x)sin nxdx兀0(n=1, 2,);若f(x)為偶函數(shù)

15、，則f(x)+2 ancosnx (余弦級數(shù))，2n二2兀an = f (x)cos nxdx(n =0,1, 2，)，g =0 (n = 1,2，).兀 F(ii)以2l為周期的函數(shù)f(x):f(x)匹2nd：anLfW cosxdx(n= 0,1, 2，)，bn=-J f(x) sinn兀. n兀、cosx+bnsinx)lnl1n兀-1注：若f (x)為奇函數(shù)，則cf(x)2 bnsinn=t1n；!x(正弦級數(shù)),an=0 (n= 0,1, 2,)bn彳V(x)sinyxdx(n =1,2，)；若f(x)為偶函數(shù)，則f(X)也2n；!ancosn=1|X，(余弦級數(shù))在-TT,兀上為奇函數(shù)，f(X)送bnsin罕x(正弦級數(shù))，bn上f (x)sin巴xdxnA111(n =1,2,).(ii )偶延拓:A.f(x)為 z上的非周期函數(shù)，令尸(叫(:),0;:0,則F(x)除x=0外在7,兀上為偶函數(shù)