計算坐標(biāo)與坐標(biāo)方位角的基本公式

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案二計算坐標(biāo)與坐標(biāo)方位角的基本公式控制測量的主要目的是通過測量和計算求出控制點的坐標(biāo)，控制點的坐標(biāo)是根據(jù)邊長及方位角計算出來的。下面介紹計算坐標(biāo)與坐標(biāo)方位角的基本公式，這些公式是礦山測量工中最基本最常用的公式。一、坐標(biāo)正算和坐標(biāo)反算公式1坐標(biāo)正算根據(jù)已知點的坐標(biāo)和已知點到待定點的坐標(biāo)方位角、邊長計算待定點的坐標(biāo)，這種計算在測量中稱為坐標(biāo)正算。如圖 55 所示，已知 A 點的坐標(biāo)為 xA 、 yA，A 到 B 的邊長和坐標(biāo)方位角分別為 SAB 和 AB ，則待定點 B 的坐標(biāo)為xBxAx AByByAyAB（ 5 1）式中x AB、yAB 坐標(biāo)增量。由圖 55 可知xABSAB cos

2、y ABSAB sinABAB（ 5 2）式中SAB 水平邊長；AB 坐標(biāo)方位角。將式（ 5-2 ）代入式（ 5-1 ），則有xBx ASAB cosyBy ASAB sinABAB精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案（ 5 3）當(dāng) A 點的坐標(biāo) xA 、 y A 和邊長 SAB 及其坐標(biāo)方位角AB 為已知時，就可以用上述公式計算出待定點B 的坐標(biāo)。式（5 2）是計算坐標(biāo)增量的基本公式，式（5 3）是計算坐標(biāo)的基本公式，稱為坐標(biāo)正算公式。從圖 55 可以看出xAB 是邊長 SAB 在 x 軸上的投影長度，y AB 是邊長 SAB 在 y 軸上的投影長度，邊長是有向線段，是在實地由 A 量到 B 得到的正值。而

3、公式中的坐標(biāo)方位角可以從0°到 360°變化， 根據(jù)三角函數(shù)定義，坐標(biāo)方位角的正弦值和余弦值就有正負(fù)兩種情況，其正負(fù)符號取決于坐標(biāo)方位角所在的象限，如圖 5 6所示。從式（ 52）知，由于三角函數(shù)值的正負(fù)決定了坐標(biāo)增量的正負(fù)，其符號歸納成表 5 3。精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案圖 55 坐標(biāo)計算圖 56 坐標(biāo)增量符號表 53坐標(biāo)增量符號表坐標(biāo)方所在象限坐標(biāo)增量的正位角負(fù)號（°）x y0 9090 180180270270精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案360例 1 已知 A 點坐標(biāo) xA =100.00m ， yA =300.10m；邊長sAB =100m，方位角

4、AB =330°。求 B 點的坐標(biāo)xB 、 y B 。解：根據(jù)公式（53）有xBxAsAB cosy ByAsAB sinABAB100100 cos330186.1m300.1100 sin 330249.6m2、坐標(biāo)反算由兩個已知點的坐標(biāo)計算出這兩個點連線的坐標(biāo)方位角和邊長，這種計算稱為坐標(biāo)反算。由式（ 51）有xABxBx Ay AByBy A（54）該式說明坐標(biāo)增量就是兩點的坐標(biāo)之差。在圖 5 5 中 x AB表示由 A 點到達(dá) B 點的縱坐標(biāo)之差稱縱坐標(biāo)增量；y AB 表示由 A 點到 B 點的橫坐標(biāo)之差稱橫坐標(biāo)增量。坐標(biāo)增量也有正負(fù)兩種情況，它們決定于起點和終點坐標(biāo)值的大

5、小。在圖 5 5 中如果 A 點到 B 點的坐標(biāo)已知， 需要計算 AB邊的坐標(biāo)方位角AB 和邊長時SAB ，則有tanyByAy ABABxAxABxB精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案xAByABSABsin ABcos AB(5 5)或SAB22xAByAB公式（ 5 5）稱為坐標(biāo)反算公式。應(yīng)當(dāng)指出， 使用公式 （ 5 5）中第一式計算的角是象限角 R，應(yīng)根據(jù) x、 y 的正負(fù)號，確定所在象限，再將象限角換算為方位角。因此公式（ 5 5）中的第一式還可表示為：RAB arctan yByAarctan yABxBxAxAB例 2已知 xA =300m,y A =500m, xB =500m, yB =3

6、00m,求 A、 B二點連線的坐標(biāo)方位角AB 和邊長 SAB 。解：由公式（ 5-5 ）有RAByByA300500arctanxAarctanarctan( 1)xB500300因為 xAB 為正、 y AB 為負(fù)，直線AB 位于第四象限。所以RABNW 45根據(jù)第四象限的坐標(biāo)方位角與象限角的關(guān)系得：AB36045315AB邊長為：SAB( x Bx A ) 2( y ByA ) 2( 500300) 2(300500) 2282.8m坐標(biāo)正算公式和坐標(biāo)反算公式都是礦山測量中最基本的精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案公式，應(yīng)用十分廣泛。在測量計算時， 由于公式中各元素的數(shù)字較多， 測量規(guī)范對數(shù)字取位及計算

7、成果作了規(guī)定。例如圖根控制點要求邊長計算取至毫米；角度計算取至秒；坐標(biāo)計算取至厘米。二、坐標(biāo)方位角的推算公式由公式（ 5-2 ）知，計算坐標(biāo)增量需要邊長和該邊的坐標(biāo)方位角兩個要素，其中邊長是在野外直接測量或通過三角學(xué)的公式計算得到的，坐標(biāo)方位角則是根據(jù)已知坐標(biāo)方位角和水平角推算出來的。下面介紹坐標(biāo)方位角的推算公式。如圖 5-7 所示，箭頭所指的方向為“前進(jìn)”方向，位于前進(jìn)方向左側(cè)的觀測角稱為左觀測角，簡稱左角；位于前進(jìn)方向右側(cè)的角稱為右觀測角，簡稱右角。1. 觀測左角時的坐標(biāo)方位角計算公式在圖 57 與 58 中，已知 AB邊的方位角為AB ，左 為左觀測角，需要求得BC邊的方位角BC 。 左

8、 是外業(yè)觀測得到的水平角，從圖上可以看出已知方位角AB 與左觀測角左 之和有兩種情況：即大于180°或小于 180°。圖 5 7 中為大于 180°的情況，圖5 8 中為小于 180°的情況。精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案圖 5 7 坐標(biāo)方位角推算圖 58 坐標(biāo)方位角推算從圖 5 7 可知， BC邊的坐標(biāo)方位角為BCAB左180從圖 5 8 可知， BC邊的坐標(biāo)方位角為BCAB左180綜上所述兩式則有前后左180（ 5 6）式（ 5-6 ）是按照邊的前進(jìn)方向，根據(jù)后一條邊的已知方位角計算前一條邊方位角的基本公式。公式說明：導(dǎo)線前一條邊的坐標(biāo)方位角等于后一條邊的坐標(biāo)

9、方位角加上左觀測角，其和大于180°時應(yīng)減去180°，小于 180°時應(yīng)加上180°。2. 觀測右角時的坐標(biāo)方位角計算公式從圖 5-7 或圖 5-8 可以看出精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案左360右將該式代入式 (5- 6),得前 (后右 180) 360當(dāng)方位角大于 360°時，應(yīng)減去 360°，方向不變。所以上式變?yōu)榍昂笥?80（ 5 7）上式說明： 導(dǎo)線中， 前一條邊的坐標(biāo)方位角等于后一條邊的坐標(biāo)方位角減去右觀測角，其差大于 180°時應(yīng)減去180°，小于 180°時應(yīng)加上180°。使用式（ 5-6 ）與(5-7) 時，還應(yīng)注意相應(yīng)兩條邊的前進(jìn)方向必須一致，計算結(jié)果大于 360°時，則應(yīng)減去 360°，方向不變。例 3圖 5-9為一條支導(dǎo)線，已知A 點的坐標(biāo)方位角BA=101° 28, 導(dǎo)線 A 點的左觀測角左=108 °