高等數(shù)學(專科)復習題及答案

1、高等數(shù)學期末試卷一、填空題（每題2 分，共 30 分）1函數(shù) yx241x1解 . (, 2 2,)的定義域是.。2若函數(shù)f ( x 1)x22x 5 ，則 f ( x)解 . x 263 lim x sin x_ _x x答案： 1正確解法： limxsin xlim (1sin x )lim 1lim sin x101xxxxxxx4. 已知 limx2axb，則 a_,b _。x2x2x 22由所給極限存在知,4 2ab0 ,得 b2a4 ,又由 limx 2axbxa 2a 4x 2limx 12 ,x 2 x 2x 23知 a2, b85. 已知 limexb，則 a _,b _。a

2、)( xx0 (x1)limexb1),即 lim (xa)( x1)a0 ,a0, b 1x 0 ( x a)( xx0exb1b16函數(shù) f ( x)x sin xx0 的間斷點是 x。x1x0解：由 f ( x) 是分段函數(shù)，x0 是 f ( x) 的分段點，考慮函數(shù)在x0處的連續(xù)性。因為limx sin 10 lim (x1)1 f (0)1x 0xx 0所以函數(shù)f ( x) 在 x0 處是間斷的，又 f (x) 在 (,0) 和 (0,) 都是連續(xù)的，故函數(shù)f ( x) 的間斷點是 x0。7. 設 yx x1 x2xn , 則 y n 1( n1)!8 f ( x)x2 ，則 f (

3、 f (x)1)_ 。答案： (2x1) 2 或 4x24x19函數(shù) z4xy2的定義域為。ln(1x22y)解：函數(shù) z 的定義域為滿足下列不等式的點集。4xy20y24xy 24x1 x 2y 20x2y210 x2y211 x 2y 21x2y20z的定義域為：( x, y) | 0x2y21且 y24 x 10已知 f ( xy, xy)x 2 yxy 2 ,則 f ( x, y).解令 xyu ， xyv ，則 xuv , yuv ， f ( xy)( xy) xy( x y)22f (u, v)uv u2v uu (u 2v2 ) ， f (x, y)x ( x2y2 )2x244

4、11設 f (x, y)xy,則 f x(0,1)。 f y(0,1)x 2y2f ( 0 , 1 )00xx0fx (0,1)limf ( x,1)f (0,1)limx212xxx 0x0f y (0,1)limf (0,y1)f (0,1)lim 000 。y0yy0y12 設zx2sin,cos ,yt3,則 dz 。y xtdt解dz2xsin t3t2dtcos y13. ddd f (x)dx.dxd解：由導數(shù)與積分互為逆運算得，dd f ( x) dxf ( x) .dx14. 設 f ( x) 是連續(xù)函數(shù)，且x31x ，則 f (7)0f (t )dt.x32(31)1，令3

5、，得 x2，所以11解：兩邊對求導得xfxx17f (7).123x2x 215若e kxdx1 ，則 k_ 。02答案：1kxlim1bekxd(kx)2edxk00blim1kxb1lim1ekb1e0bkkbkk k2二、單項選擇題（每題2 分，共 30 分）1函數(shù) f ( x) x a x1 (a0,a 1) （）a x1A. 是奇函數(shù)；B. 是偶函數(shù)；C. 既奇函數(shù)又是偶函數(shù)；D. 是非奇非偶函數(shù)。解：利用奇偶函數(shù)的定義進行驗證。f ( x) ( x) a x a x所以 B 正確。1x ax(1ax)x ax1xxxf ( x)1a(1a)a12若函數(shù) f ( x1 )x21 ，則

6、 f ( x)（）xx 2A. x 2 ；B. x22 ；C. (x1) 2 ； D. x 21 。解：因為 x 21x2212 (x1 ) 22 ，所以 f (x1 ) (x1 ) 22x2x 2xxx則 f (x)x22 ，故選項 B 正確。3設 f ( x)x 1 ，則 f ( f ( x)1) =（）A xB x + 1C x + 2D x + 3解 由于 f ( x)x 1，得 f ( f ( x) 1)( f (x) 1) 1 f ( x) 2將 f ( x)x1 代入，得 f ( f ( x) 1) =( x1) 2 x3正確答案： D4已知 lim (x 2axb)0 ，其中

7、a , b 是常數(shù)，則（）x x 1(A)a1, b1,(B)a1, b1(C)a1, b1(D)a1, b1解 .lim (x 2axb)lim1a x 2ab xb0 ,xx1xx11a0,ab0,a1,b1答案： C5下列函數(shù)在指定的變化過程中，（）是無窮小量。1sin xA. e x , (x) ；) ；B., ( xxC.ln( 1x),( x1) ；D.解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以x 1 1 , (x0)xlim sin x0xx而 A, C, D 三個選項中的極限都不為0，故選項 B 正確。6下列函數(shù)中，在給定趨勢下是無界變量且為無窮大的函數(shù)是（）(A)yx sin

8、 1 ( x) ;(B)yn1 n(n) ;x(C)yln x( x0) ；(D)y1 cos 1 ( x0)111xx1解 .lim xsinlim sin1 , 故不選 (A). 取 m2k1,則 lim n 1 nlim0, 故不選 (B).xxxxxnk2k1取 xn1,則 lim1 cos 10 ,故不選 (D). 答案： Cnnxnxn27設 f ( x)x sin 1 ,x00處（x，則 f (x) 在 x）x,x0A 連續(xù)且可導B 連續(xù)但不可導C不連續(xù)但可導D既不連續(xù)又不可導解：（B ）lim f ( x)limx0， limf ( x)limxsin 10， f (0)0x0

9、x0x0x0x因此 f ( x) 在 x0處連續(xù)x sin10f(0)limf ( x)f (0)limxxlim sin 1，此極限不存在x0x0x00x 0x從而 f(0)不存在，故f (0) 不存在8曲線 yx3x 在點（ 1， 0）處的切線是（）A y 2x 2B y2 x 2C y 2x 2D y2 x 2解由導數(shù)的定義和它的幾何意義可知，y (1)( x3x)(3x21)2x 1x 1是曲線 yx 3x 在點（ 1， 0）處的切線斜率，故切線方程是y02( x1) ，即 y2x 2正確答案： A9已知 y1 x4，則 y=（）4A . x3B . 3x 2C.6xD . 6解直接利

10、用導數(shù)的公式計算：y( 1 x4 )x3 ,y( x3 ) 3x24正確答案： B10若 f ( 1 )x ，則 f ( x)（）。x11C11A B xD xx2x2答案： D先求出f (x) ，再求其導數(shù)。2211 zlnxy的定義域為（）A x2y 21B x2 y 20 C x2y 21D x 2 y20解 z 的定義域為( x, y) x2y20 個，選 D。12.設函數(shù)項級數(shù)un (x) ，下列結論中正確的是 ().n1（ A）若函數(shù)列 un(x) 定義在區(qū)間 I 上，則區(qū)間 I為此級數(shù)的收斂區(qū)間Brn ( x)S(x) Sn ( x) ， lim rn ( x) 0（ ）若 S(

11、 x) 為此級數(shù)的和函數(shù)，則余項n（ C）若 x0I 使u n ( x0 ) 收斂，則 | x | | x0 |所有 x 都使un ( x) 收斂n 1n 1（ D）若 S( x) 為此級數(shù)的和函數(shù)，則un (x0 ) 必收斂于 S( x0 )n1解：選（ B）.13. 設 a 0為常數(shù)，則級數(shù)( 1)n (1cos a ) （） .n 1n（ A）絕對收斂（ B）條件收斂（ C）發(fā)散（ D）斂散性與 a 有關解：因為 (1)n (1 cos a )2 sin2aa2 ，而a 2收斂，因此原級數(shù)絕對收斂 .故選（ A） .n2n2n 2n 1 2n214. 若級數(shù)( 1)n ( xa) n在

12、x0 時發(fā)散，在 x0 處收斂，則常數(shù)a（） .n 1n（ A）1（B） -1（C）2（ D）2解：由于(1) n ( a) n收斂，由此知a 1 . 當1 a1時，由于(1) n ( xa) n的收斂半徑為1，因此n 1nn1n該冪級數(shù)在區(qū)間(a1, a1) 內收斂，特別地，在 (0, a1) 內收斂，此與冪級數(shù)在x0 時發(fā)散矛盾，因此 a1.故選（ B） .15. y2 y5 ye x cos2x 的特解可設為（）（ A ） y*e xA cos2x;（ B） y*xe（ C） y*xex A cos2x B sin 2x ;（ D） y*exxAcos2x;A cos2xB sin 2

13、x .解： C三、解答題（任選4 題完成，每題10 分，共 40 分）1.設函數(shù)xsin 1b x0f (x)xx0asin x0xx問（ 1） a, b 為何值時， f (x) 在 x0處有極限存在？（ 2） a, b 為何值時，f ( x) 在 x0處連續(xù)？解：（ 1）要f ( x)在x0處有極限存在，即要limf(x)limf( )成立。x 0x 0x因為 limf ( x)lim ( xsin 1b)bx 0x0xlimf ( x)limsin x1x 0x 0x所以，當 b1時，有 limf ( x)limf ( x) 成立，即 b1時，函數(shù)在 x0處有極限存在，又因為函數(shù)x 0x

14、0在某點處有極限與在該點處是否有定義無關，所以此時a 可以取任意值。（ 2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點處連續(xù)的充要條件是limf (x)lim f ( x)f (x0 )xx0xx0于是有 b1f (0)a ，即 ab1時函數(shù)在 x0處連續(xù)。2求方程中y 是 x 的隱函數(shù)的導數(shù)（ 1） xyexey1, y解：方程兩邊對自變量x 求導，視 y 為中間變量，即( xy)(ex )(e y )1yxy exey y0( xey ) yexy整理得yexyxey（ 2）設 ysin( x y) ，求 dy ， d 2 y；dxdx 2解： ycos( xy)(1y )ycos(xy)1cos(

15、xy)ysin( x y)(1y ) 2cos(x y) y ，ysin( xy)y1cos( xy) 31cos( xy) 33設函數(shù) f ( x) 在 0,1 上可導，且0f ( x)1，對于（ 0 ,1）內所有 x 有 f ' (x)1, 證明在（ 0,1）內有且只有一個數(shù) x 使f (x)x .設 F ( x) f ( x) x, 在 0 ,1 上用零點定理，得 F ( x) 至少有一個零點 .反設 F ( x) 在 0 ,1上存在兩個零點 c1 , c2，即 F (c1 )F (c2 )0,c1 , c2 0 ,1 ,函數(shù)由定理可得至少有使即7. 求(c1 , c2 ) ,F

16、()0f ( )10 f () 1,Rolle與題設矛盾，故在(0 ,1)內有且只有一個x,使f ( x)x.y x2 (1 x) 1 的單調區(qū)間和極值 .解 函數(shù) yx2 (1x) 1的定義域是 ( ,1) (1,)y 2 x(1x) 1x 2 (1)(1x) 22x(1x) x2x(2x)(1x) 2(1x) 2x(2x)0，得駐點 x12 ， x20令yx) 2(1(, 2)- 22, 1)( 1,0)(f (x)+0-極大值f ( x)0(0,)0+極小值故函數(shù)的單調增加區(qū)間是( , 2)和(0,) ，單調減少區(qū)間是( 2, 1)及(1,0) ，當 x- 2 時，極大值f ( 2)4

17、；當 x 0時，極小值 f (0)0.4求下列積分(1)11 dx1x 3b1b11232解：dxlimdxlimx3lim(b 31)111112bb1bx3x331極限不存在，則積分發(fā)散 .(2)a 2x2y 2 dx2y 2 a 2解f (x, y)a 2x2y2 是 D 上的半球面，由Ia2x2y2 d 的幾何意義知I=V 半球= 2a3D3(3)yd，D 由 xy1, x y1, x0的圍成。D解關于 x 軸對稱，且f ( x, y)y 是關于 y 的奇函數(shù)，由 I幾何意義知，yd0 。D5判別級數(shù)(1)n1的斂散性 . 如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂?n2ln n解：記 un(1) n 11，則 un1vn .ln( n1)n1顯見1 去掉首項后所得級數(shù)vn 仍是發(fā)散的，由比較法知un 發(fā)散，從而un 發(fā)散 . 又顯見n1 nn1n 1n2( 1) n 11是 Leibniz型級數(shù)，它收斂 . 即(1) n1收斂，從而原級數(shù)條件收斂 .n 1ln( n1)n 2ln n6求解微分方程(1)2x1y 2 dxydy0 的所有解 .解 原方程可化為ydy2xdx ，（當 y 21），兩邊積分得1y 2x2c ，即1y 2x 21y2c