天大《高等數(shù)學(專)-1》學習筆記七

1、 高等數(shù)學（專）-1學習筆記七 數(shù)。 由 y = (t ， t = 1 ( x y = 1 ( x 據(jù)復合函數(shù)微分法，有 dy dy dt = dx dt dx 再由反函數(shù)微分法，有 dt = 1 = 1 dx dx (t dt dy dy 1 (t = = , ( (t 0 dx dt dx (t dt 如果 x = (t ， y = (t 具有二階導數(shù)，那么 (t dt d (t 1 d 2 y d dy = ( = d ( = ( 2 dx dx dt (t dx dt (t dx dx dt (t (t (t (t 1 (t (t 2 (t (t (t (t = (t 3 = 例 1求

2、擺線 d y x = a(t sin t , 在 t = 時的切線方程及 2 dx 2 y = a (1 cos t , 2 解： t = 對應擺線上的點 M ( a ( 1, a 2 2 dy a(1 cos t = = sin t dx a(t sin t 1 cos t 2sin t cos t 2 2 2 = cot t = 2 2sin 2 t 2 過點 M 的切線斜率 k = dy dx t = 2 = cot = 1 4 過點 M 的切線方程： y a = 1 x a ( 1 x y + a (2 = 0 2 2 d 2 y d dy 1 = ( = d (cot t 1 = 1

3、 csc 2 t dx dx dx dt 2 2 a(1 cos t 2 dx dt 1 = 1 1 = 1 1 = 1 csc 4 t 4a 2 4a sin 4 t 2 sin 2 t 2a sin 2 t 2 2 2 （ t 2n , n 為整數(shù)） 高等數(shù)學（專）-1學習筆記七 三 、極坐標系下曲線的切線斜率 在極坐標系下，設曲線的方程為 = ( ，現(xiàn)在要求曲線上一點 M ( , 斜率 k=? * 處的切線的 設 = ( 是可導函數(shù)，利用極坐標與直角坐標的關系： x = cos ， y = sin ， 可以得到由線的參量議程： 其中參量 為極角。 設曲線上一點 M ( , 的切線與極軸的

4、夾角為 ，由參量函數(shù)微分法，有 x = cos = ( cos , u = sin = ( sin . dy ( sin ' ' ( sin + ( cos ' ( tan + ( = = = dx ( cos ' ' ( cos ( sin ' ( ( tan k = tan = dy ' ( tan + ( = dx ' ( ( tan 再根據(jù)在直角坐標系下，導數(shù)的幾何意義，可知曲線的切線斜率為 例 2、求心形線 = a(1 cos 在 = 線在直角坐標系下的方程。 解：點 M 的極坐標為 a1 4 的點 M a1 2 , 處

5、的切線斜率及切 2 4 2 , 4 2 a a 點 M 的直角坐標為 2 1, 2 1 曲線的參量方程為 2 2 x = cos = a(1 cos cos y = sin = a(1 cos sin dy a(sin cos sin ' cos + sin 2 cos 2 = = dx sin + 2 cos sSin a cos cos 2 ' cos cos 2 = sin 2 sin ( ( 心形線在點 M 處切線斜率為 k = dy dx = 4 = cos cos 2 sin 2 sin = 4 = 1 2 1 ，心形線在點 M 的切線在直角坐標下的方程為 a 1

6、a y 2 1 = 2 1 x 2 2 2 1 1 或 x + 1 2 y + 4 3 2 a = 0 2 ( ( ( ( 四、相關變化率 設 x = x(t ， y = y (t 都是可導函數(shù)，而變量 x ， y 之間又存在某種關系，從而導數(shù)（即 變化率） dx dy 與 之間也存在一定的關系，這兩個相互依賴的變化率稱為相關變化率。 dt dt 討論相關變化率問題，就是尋求兩個變化率之間的關系，以便從其中一個已知變化率去 求出另一個未知的變化率。 例 3 、設有深為 8m ，上頂直徑為 8m 的正圓錐形容器，現(xiàn)往容器中注水，其速率為 4m 3 min ，問當水深為 5m 時，水表面上升的速率為多少？ 解：設注水 t 分鐘后，水表面上升高度為 xm ， 高等數(shù)學（專）-1學習筆記七 AB = 8m, OE = 8m OF = xm Q OCD OAB, 即 CD OF = AB OE CD x = CD = x 8 8 1 CD OF 3 2 2 注水 t 分鐘后，注入水的體積為 V = 1 2 1 x x = x 3 ， 其 中 V ， x 都 是 t 的 函 數(shù) ，