2020年浙江省高中競賽試題和解答

1、、選擇題1.集合AA.ApBC.A解：因?yàn)?.當(dāng)0A,f2(x)2020年浙江省高中競賽試題和解答本大題總分值36分，每題6分1,xR,Bxx2x20,那么以下正確的選項(xiàng)是B.ApBy|y2D.AByy2或y,B1,或x2,因此有ApB,正確答案為A.1時,f(x)f(x2)C.f(x)f(x2)解：當(dāng)0x1時,又因?yàn)?.設(shè)A.解:f(x)f2(x)xf(x)/那么以下大小關(guān)系正確的選項(xiàng)是2_2_x2xx(2B.D.x)x,I2lgxlgx2lgx2lgxf(x)在0,1上有定義，要使函數(shù)B.函數(shù)f(xa)f(x2)f(x2)f(x2)11123cqf2(x)f(x)2xlgx2f(x)f2(

2、x)f2(x)1gx0.因此f(x)f(xa)f(x);D.f(xa)的定義域?yàn)閍,1aa,1f(x2)f2(x).選C.a)有定義,那么11,22,)a的取值范疇為a.當(dāng)a0時,應(yīng)有a1a,即1t2；當(dāng)a0時,4.P為三角形ABC內(nèi)部任一點(diǎn)不包括邊界因此，選B.(PBpA)(PBpA2pC)0,那么ABC一定為(A.直角三角形;)B.解：因?yàn)榈冗吶切?；C.等腰直角三角形；D.等腰三角形JpA2PCCBCA,因此條件可改寫為AB(CBCA)0.容易得到此三角形為等腰三角形.因此選D.25.fxx2abb2是偶函數(shù)，那么函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是B.2C,2V2D.4解：由條件可知，

3、a2b210,函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a22abb2.令acos,bsin,那么2222a2abbcos2sincossincos2sin2v2.因此選A.6.圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)包括圓周.假設(shè)AMIMP,那么P點(diǎn)形成的軌跡的長度為一.73A.77B.-C.3D.-3、解：建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,J3),M(0,0,),P(x,y,0).因此有2aM (0,1,), MP2(x, y, Y3).由于 AMMP,因此2(0,1,3(x,y, y)0,即y 9 ,此為 P點(diǎn)形成

4、的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為 42J (4)2因此選B.二、填空題此題總分值54分，每題9分7. cos(小 &_5x7 Jx2 5x 6)=2斛：依照題息要求，x5x7 1 .因此有x25x7 1 .因此cos( .1x2 5x 7,x2 5x 6)cos0因此答案為1.a8.設(shè)a,b,c,d為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足解：明顯abcd0,由于因此有9.設(shè)解:f(x)1121gx族，那么f(x)f(1)xf(x)f(l)x112lgx1114lgx18lgx112lgx1141gx13181gx210.設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程xax2b20有兩個相異實(shí)根，其中一根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，另根在區(qū)間(1,2

5、)內(nèi)，那么解：依照題意,設(shè)兩個相異的實(shí)根為X1,x2,且x11X22,那么因此有1x1x2a1,1b2,也即有3,X1X22b22.即取值范疇為11.R,直線xsinsinysincosxcossincosy1cos的交點(diǎn)在直線yx上，那么sincossincos解：由可知，可設(shè)兩直線的交點(diǎn)為(X0,X0),且sin,cos為方程的兩個根,即為方程,2/t(cos的兩個根.因此sinsinX0sintcos)tsincosx0(cossin)cos(sin即sincossincos0.12.在邊長為1的正三角形頂點(diǎn)A正好落在邊BC上.ABC的邊AB、AC上分不取D、E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角

6、形時,AD的長度的最小值為解：設(shè)ADx,ADE作4ADE關(guān)于DE的對稱圖形,A的對稱點(diǎn)G落在BC上.在4DGB中，上sin一3、3當(dāng)sin(2sin(2-).32sin(2-)3)1時，即Xmin、解答題此題總分值60分，每題20分.解承諾寫出文字講明，證明過程或演算步驟.22xy13.橢圓C：f01aab4.25一、，.、b0，其離心率為-,兩準(zhǔn)線之間的距離為25。1求a,b之52值；2設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(6,0),A,B,P按順時針方向排列，B為橢圓C上的動點(diǎn)，以A為直角頂點(diǎn)，作等腰直角ABP字母求P點(diǎn)的軌跡方程。.c4a2解：1設(shè)c為橢圓的焦半徑，那么-,a5c2545分因此有a=5,b=3.

7、2解法一：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(s,t),P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y).因此有(s6,t),AP(x6,y)o因?yàn)閍B,因此有(s6,t)(x6,y)(s6)(x6)ty0.(A1)又因?yàn)锳BP為等腰直角三角形，因此有AB=AP,、.(s6)2 t2 J(x6)(A2 )10 分由A1推出S(S，代入A2，得 t2 (x 6)215 分從而有y2 (s不合題意，舍去或X x 6)2代入橢圓方程，即得動點(diǎn) P的軌跡方程kx 679(y 6)22520 分解法二：設(shè) B(x1,y),P(x,y), ABA為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程為rcosyrsin設(shè)AB與x軸正方向夾角為,B點(diǎn)的參數(shù)表示為x1 6 r co

8、s10 分P點(diǎn)的參數(shù)表示為0r cos(90r sin(900從上面兩式，得到Xiy1又由于B點(diǎn)在橢圓上，可得(x 6)225yi r sin6 r sinr cos15 分20 分此即為P點(diǎn)的軌跡方程.14.求解不等式j(luò)x2axi1。解：Ix1情形.現(xiàn)在不等式為JX2ax2,因此有x2a01x20x2ax2因此當(dāng)a 0時，有1x 2；當(dāng) 0 a 1時，有 1 x 2；當(dāng)1 a 4時，有 x 2；當(dāng)a 4時，空集5分122xaxa0x22x20x2ax2x14現(xiàn)在有當(dāng)a0時，有x2;當(dāng)0a1時，有x2;當(dāng)1a4時，有x2;當(dāng)a4時,ax-1.10分4IIx1情形.現(xiàn)在不等式為Jx2ax.因此有

9、2xa03x0,x2ax因此當(dāng)a 0時，有0x 1；當(dāng)0 a 1時，有jax 1；當(dāng)a 1時，空集15分4因此綜合22x2 a0 xax0 x0x2 a x x2 a x2當(dāng)a 0時，有x 0；當(dāng)a 0時，空集1一 4可得當(dāng)a 0時，有x R；當(dāng)0 a4時，有x JI ；當(dāng)a 4時，x - 120分415.設(shè)非負(fù)等差數(shù)列an的公差d0 ,記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，證明:們假設(shè)m,n, p*F 11N ,且m n 2p ,那么 Sm Sn2假設(shè) a50310052007 1，那么 一 n 1 Sn2008。解：設(shè)非負(fù)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a10,公差為d0.1因?yàn)閙n2p,因此m2n22p2,p

10、2mn,aman2ap.2一,一從而有（ap）aman.因?yàn)镾nn(aan)n(n1),na1-d,因此有2SnSm2p4aiSnSm(m2pa2p&n(a1an)m(a1n)ai22alapapapn(n1)m(m1),d2_2_2d2am)mn2一P(aiap)5分2Spa1(aman)aman2Sp11因此0SnSmSnSmSn2Sp拓10分200712n1Sn2*10031S1004又因?yàn)镾10041004a1S2007S?2007S100410041003d21S2006HI10031004(a1502d)1S10051SI00415分1004a5031004,因此有10052007

11、12007n1SnSI0042007100510042008.20分四、附加題本大題總分值50分.解承諾寫出文字講明，證明過程或演算步驟.選做本大題，不計(jì)入總分.選考B卷的學(xué)生16.設(shè)1,2,|,2008為2018個整數(shù)，且1i9i1,2,“|,2008.假如存在某個k1,2,|,2008，使得2018位數(shù)kk1I20081Hlk1被101整除，試證明：對一切i1,2,|,20082018位數(shù)iii|2008i|i1均能被101整除解：依照條件，不妨設(shè)k=1,即2018位數(shù)12“|2008被101整除，只要能證明2018位數(shù)20081能被101整除.5分事實(shí)上，A122008102007110

12、20062HI1020072008，二10200721020063HI102008110分從而有10AB(1020081)1(104)50211(99991)502119999N111,即有B10A9999N1.20分因?yàn)?01A,1019999,因此101B.利用上述方法依次類推能夠得到對一切i1,2j,2008,2018位數(shù)ii一一200811一一二均能被101整除.25分17.將3kk為正整數(shù)個石子分成五堆.假如通過每次從其中3堆中各取走一個石子，而最后取完，那么稱如此的分法是和諧的.試給出和諧分法的充分必要條件，并加以證明.解：分法是和諧的充分必要條件是最多一堆石子的個數(shù)不超過k.5分下面設(shè)五堆石子的個數(shù)分不為a,b,c,d,e其中abcde.必要性的證明：假設(shè)分法是和諧的，那么把a(bǔ)所對應(yīng)的石子取完至少要取a次，這a次每次都要取走3個石子.假如ak,那么3a3k,即把a(bǔ)所對應(yīng)的一堆取完時，需取走的石子多于五堆石子的總數(shù).矛盾.因此最多一堆石子的個數(shù)不能超過k.15分充分性的證明：數(shù)學(xué)歸納法(1) 當(dāng)k1時，滿足ak的分法只能是1,1,1,0,0.明顯如此的分法是和諧的.(2) 假設(shè)kn時，滿足ak的分法是和諧的.(3) 當(dāng)kn1時，假設(shè)an1,且分法a,b,c,d